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将一个顿角三角形分隔成若干个锐角三角形，最少可以分割多少个？当时的我第一思路就是分割钝角，可是发现，无论你如何分，只要分出了一条线，那么就会立刻将一个平角分成两个角，显然这两个角里最少有一个不是锐角的。因此无论你怎么加线分角，都分不成功。于是我在思考，这道题会不会有问题啊，显然无解啊……好吧，我错了，他听到了之后说，别吹了，一定有解再想想吧……无奈，再仔细想了想，果然……既然每加一条线，都会有非锐角产生，那就不能让他产生？如何呢？在加线的时候为什么就一定要延伸这条线，使其与三角形的边相交呢？思路来了于是就分了钝角，但是线不延长。停在三角形里面的某个位置，如下：这样了之后如何做呢？显然就是相当于多出了一个圆周角360度既然想变成锐角三角形，那么将这个圆周角分成四份是肯定不够的，因为等于四分的话，那么最少有一个角是非锐角，那自然是不行的。于是这里我尝试将这个圆周角分成五分。到这里那肯定会有两种想法了，分成五分就会多出四条线，那这四条线是否要延长与三角形的边相交呢？如下：&？或者？当时想，如果不相交，那么情况貌似更复杂了，最后分的三角形肯定会比较多，因为尽量最少，所以我就想着先相交，然后不行的话在考虑。。。然后怎么办呢？一下子又多出了是个平角，这种情况下就至少又有四个非锐角了。因为这样一来显然可以看到有两个已经是非三角形了，而且很容易把它们变成三角形，那就是连两条线，那就变成了如下情况：乍一看貌似是成功了，而且自己感觉得到答案已经不远了，虽然自己画的有时候可能有非锐角三角形。答案肯定已经猜出来了，那就是最少7个，分法如下：&&可是如何证明这个方法可行呢？是不是对所有的钝角三角形，都可以最少分七个呢？这仅仅是一个猜测而已。当时的我也只能相信是可以的，没给出完美的证明，于是就到网上搜，发现这个是肯定可以的，确实可以证明。问题：能否把任意一个钝角三角形都分割成若干个锐角三角形？这个有名的问题最早出现在 1960 年 3 月的 The American Mathematical Monthly 上，同年 11 月，美国的一位中学数学老师
Wallace Manheimer 给出了下面这个解答。证明：假设 △ABC 中， ∠BAC 是钝角。作出 △ABC 的内心 I 以及内切圆，将 BI 、 CI 与圆的交点分别记作 M 、 N 。过点 M
作圆的切线，分别与 AB 、 BC 交于 D 、 E ；过点 N 作圆的切线，分别与 AC 、 BC 交于 G 、 F 。最后，把 D 、 E 、 F 、 G
都和内心 I 相连，我们就把整个大三角形分成了 7 个小的锐角三角形。如图所示：&这个解决方案是一定可以的，下面证明这七个三角形都是锐角三角形。因为：圆的半径垂直于切线；& & & & & & 所以： BI⊥DE ；又因为：BI 又是 ∠B 的角平分线；& & & & & & 所以： △BDE
就是一个等腰三角形。因为：等腰三角形的两个底角一定都是锐角，而这个等腰三角形的顶角 ∠B 也是一个锐角；& & & & & & &所以：它就是一个锐角三角形。同理：△CGF
也是一个锐角三角形。因为：五边形 ADEFG 的每个角都是钝角，而容易看出 AI 、 DI 、 EI 、 FI 、 GI
正好都是这些钝角的角平分线，& & & & & & &所以：这些角把每个钝角都分成了两个大于 45 度的锐角。因为：如果一个三角形有两个大于 45
度的锐角，这个三角形就一定是锐角三角形。& & & & & & &所以：五边形 ADEFG 里的五个小三角形也都是锐角三角形了。&得证。然后：1961 年，美国数学家 Verner Hoggatt Jr. 在 The American Mathematical Monthly
上发表了一篇论文，给出了一个更出人意料的结论：不但任意一个钝角三角形都能被分割成若干个锐角三角形，而且任意一个钝角三角形都能被分割成若干个等腰锐角三角形(即使这个钝角三角形本身不是等腰的)！让我们来看一看他是怎么做到的。& & & & 仍然假设 △ABC 中， ∠BAC 是钝角。还是作出 △ABC 的内心 I ，还是以 I 为圆心，不过这一次，让我们以 IA 为半径作圆。这个圆一定会和
△ABC 交于另外四个点，不妨依次记作 D 、 E 、 F 、 G (这四点一定存在，证明略)。显然， IA
= ID = IE = IF = IG ，因而圆里的五个小三角形都是等腰三角形。过 I 作三角形三边的垂线段 IH1 、 IH2 、 IH3 ，由于内心 I
到三角形三边的距离都相等，因此 IH1 = IH2 = IH3 。那么， △IAD 、 △IAG 、 △IEF
就成为了这么一组等腰三角形，它们拥有相同的腰长，并且底边上的高也都相等。由此可以推出，它们是一组全等三角形。另外，容易证明 △BIH1 和 △BIH3
全等，于是 BH1 = BH3 ；同时， EH1 也是等于 DH3 的，因而 BE 是等于 BD 的，可见 △BDE 是一个以 B
为顶点的等腰三角形。根据同样的道理， △CFG 也是一个以 C 为顶点的等腰三角形。由此可知，图中的所有小三角形都是等腰三角形。&上面只是将它们分割成了7个等腰三角形，并不能说明他们全是锐角三角形。等腰三角形的两个底角一定都是锐角这个确定，可是他的顶角有可能是钝角，现在来琢磨琢磨，看看这七个三角形的顶角是否都是锐角！& & & & & & 如图：∠B 和 ∠C 都是锐角，因而 △BDE 和 △CFG 都是锐角三角形。经过简单演算可以得出， ∠AID 和 ∠AIG 都等于 180° - ∠BAC ，因而 △IAD
和 △IAG 也都是锐角三角形。 △IEF 和它俩全等，自然也是一个锐角三角形。那么，就看剩下的 △IDE 和 △IFG 。仔细算一算可以得出， ∠DIE =
∠BAC - ∠B ， ∠FIG =&∠BAC - ∠B。& & & & & &对于这种情况，显然我们不能保证它们都是锐角。因为这是任意的一个顿角三角形，∠BAC - ∠B和∠BAC - ∠B这两个大小都是未知的，是可能大于90度的。因此，此时的我们通过这种方法只得到了一个不太满意的结果，也就是：如果三角形 △ABC 中，
∠A 是钝角，并且 ∠A - ∠B 和 ∠A - ∠C 都小于 90°，那么我们就可以把它分割成 7 个等腰锐角三角形。如果有一个条件不满足，就是失败的。如何避免呢？Verner Hoggatt Jr. 想到了一个巧妙的解决方法，不过要多出一个等腰锐角三角形。还是假设A为钝角，且B≤C。以B为圆心，AB为半径画圆，交BC于D（大角对大边，一定会相交）效果如图。那么△BAD 便成了一个以 B 为顶点的等腰三角形。而△DAC 将会满足， ∠1 - ∠2 和 ∠1 - ∠3 都小于 90° ！证明很简单：∠1 - ∠2 = (180° - ∠4) - ∠2 = (180° - ∠5) - ∠2 = 180° - (∠5 + ∠2) = 180° - ∠BAC
& 90°∠1 - ∠3 ≤ ∠1 - ∠B = (180° - ∠4) - ∠B = 180° - (∠4 + ∠B) = ∠5 & 90°（因为∠B ≤ ∠C=∠3）&这种情况符合上面的要求，那么可以把 △DAC 分成 7 个等腰锐角三角形。因此，Verner Hoggatt Jr. 就完整地证明了，任意一个钝角三角形都可以被分成最多 8 个等腰锐角三角形。从最初的思想出发，这个题目有很多变种，如：一个正方形最少能被分成多少个锐角三角形？数学趣题大师 Martin Gardner
曾经考虑过这个问题。他“想了好几天，一度以为分成 9 个是最少的，然后就突然想到了一种分成 8 个的方法”，如下图所示。他觉得 8
个锐角三角形应该是最少的了，但却不能证明这一点。随后，数学圈子里出现了好几个严密程度不同的证明。值得一提的是，这个问题还曾经作为一道题目，出现在了 1967
年的 IMO 候选题里。同样也可以思考：一个正方形最少能被分成多少个等腰锐角三角形？& & & & 先把正方形分成四个等腰三角形。其中三个等腰三角形已经是锐角三角形了，利用 Verner Hoggatt Jr. 的方法则可以把最下面那个钝角三角形分成 8 个等腰锐角三角形，于是最终把正方形分成了 11 个等腰锐角三角形。& & & & 然而，注意到最下面那个钝角三角形其实本来就是等腰的，这对于我们来说非常有利；或许把它分成等腰锐角三角形时，分成 8 个并不是必需的。事实上，利用下图所示的方法，我们可以把它分成 7 个等腰锐角三角形，因而最终把正方形分成了 10 个等腰锐角三角形。不过， 10 个究竟是不是最少的，这其实还有待进一步探讨。效果如下所示：&上面的文章，最初的思路是自己的原创，后面的一系列证明是参考网上百度，希望一起探讨。&
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历史上的今天
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blogTitle:'将一个钝角三角形分隔成若干个锐角三角形（有思路分享）',
blogAbstract:'今天听到同学出给我一个有趣的题目：将一个顿角三角形分隔成若干个锐角三角形，最少可以分割多少个？当时的我第一思路就是分割钝角，可是发现，无论你如何分，只要分出了一条线，那么就会立刻将一个平角分成两个角，显然这两个角里最少有一个不是锐角的。因此无论你怎么加线分角，都分不成功。于是我在思考，这道题会不会有问题啊，显然无解啊……好吧，我错了，他听到了之后说，别吹了，一定有解再想想吧……无奈，再仔细想了想，果然……既然每加一条线，都会有非锐角产生，那就不能让他产生？如何呢？在加线的时候为什么就一定要延伸这条线，使其与三角形的边相交呢？思路来了于是就分了钝角，但是线不延长。停在三角形里面的某个位置，如下：',
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来源：期末题
题型：判断题
判断。（对的打“√”，错的打“×”）。
（1）一个三角形至少有两个锐角。
[&&&& ]（2）9.996保留两位小数是10.00。
[&&&& ]（3）把一个四边形木框用木条沿它的对角连起来后它就具有了稳定性。
[&&&& ]（4）比0.9大，比1小的数有9个。&
[&&&& ]（5）要把5.2扩大10倍，只要在5.2的末尾添上一个0就可以了。
科目：小学数学
（2009?兴国县模拟）我是小学六年级学生图图，我数学学得有点糊涂．不过我也发现数学知识充满奥妙！①身高1.2米的我在平均水深1米的水池中游泳绝对安全．②我知道圆面积与半径成正比例这句话是错的．③任何一个三角形至少有两个锐角．④把一个三角形中10°的锐角放在放大10倍的放大镜后成了100°的角．①×&&②√&&③√&④×．
科目：小学数学
来源：同步题
题型：判断题
判断。（对的画“√”，错的画“×”）（1）三角形大的，内角和就大。
[&&&& ]（2）直角三角形的内角和是90。。
[&&&& ]（3）&一个三角形至少有两个锐角。
[&&&& ]（4）&一个底角是30。的等腰三角形一定是钝角三角形。&&
科目：小学数学
来源：小学随堂优化作业·四年级数学下册(配北师大版) 北师大版
任意一个三角形至少有(　　)锐角．
科目：小学数学
来源：轻松练习15分(测试卷)　四年级数学　下　人教版课标本
一个三角形至少有多少个锐角?
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定义与命题(二)[下学期]
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定义与命题(二)[下学期]
北师大版 .ppt
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定义与命题 二
什么是命题？ 判断一件事情的句子，叫做命题. 回顾交流 什么是定义？ 对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.
你会举几个例子吗？ 情景引入 观察下列命题： 1、如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等； 2、如果一个四边形的一组对边平等且相等，那么这个四边形是平行四边形； 3、如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； 4、如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形； 这些命题有什么共同的结构待征？ 探索新知 如果两个三角形的三条边对应相等，那么这三角形全等； 已知的事项 由已知事项推断
出来的 命题都可以写成“如果……那么……”的形式；其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。 条件 结论 　　每个小组的同学轮流说出一个数学命题，其他同学把它改写成“如果……那么……”的形式. 合作学习 知识应用 下列命题的条件是什么？结论是什么？ 解：条件：两个角相等， 结论：它们是对顶角 1、如果两个角相等，那么它们是对顶角 2、如果a＞b,b＞c,那么a c； 解：条件： a＞b,b＞c ， 结论： a c 知识应用 3、两角和其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等；
解：可改写为：如果两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。 下列命题的条件是什么？结论是什么？ 条件：两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等 结论：这两个三角形全等 知识应用
解：可改写为：如果一个四边形是菱形，那么这个四边形的四条边相等。 下列命题的条件是什么？结论是什么？ 条件：一个四边形是菱形 结论：这个四边形的四条边相等 4、菱形
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