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数列中的奇偶项问题..doc 5页
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数列中的奇偶项问题.
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数列中的奇偶项问题例1、（12宁波一模）已知数列满足：，设.（1）求并证明：（2）①证明：数列等比数列；②若成等比数列，求正整数k的值.解：（1）（2）①因为所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列可得，，则，因为成等比数列，所以，令，得，解得，得.例2、（14宁波二模）设等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．（I）求数列,的通项公式；（II）设，求数列的前项和．解：（Ⅰ）由题意，，得．…………3分，，，两式相减，得数列为等比数列，．…………7分（Ⅱ）．当为偶数时，=．……………10分当为奇数时，（法一）为偶数，……………13分点评:根据结论1退而求之.（法二）．……………13分……………14分点评：分清项数，根据奇偶进行分组求和。点评:数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列分成两个新的数列进行考查，易搞错的是新数列与原数列的项数、公差、公比的判定；数列问题主要涉及通项与求和、等差与等比、特殊数列与非特殊数列、新数列与旧数列的四大问题的考查。常用知识点：(1)等差数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等差数列。（2）项数为奇数的等差数列有：；；=项数（3）项数为偶数的等差数列有：；；(4)等比数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等比数列，公比都是。练习：1.已知数列{an}满足an＋1＝若a3＝1，则a1的所有可能取值为________．解析：当a2为奇数时，a3＝a2－4＝1，a2＝5；当a2为偶数时，a3＝a2＝1，a2＝2；当a1为奇数时，a2＝a1－2＝5，a1＝7或a2＝a1－2＝2，a1＝4(舍去)；当a1为偶数时，a2＝a1＝5，a1＝10或a2＝a1＝2，a1＝4.综上，a1的可能取值为4,7,10.答案：4,7,102.一个数列{an}，当n是奇数时，an＝5n＋1；当n为偶数时，an＝，则这个数列的前2m项的和是________．解析：当n为奇数时，{an}是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n为偶数时，{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S2m＝S奇＋S偶＝ma1＋×10＋＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1)＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2＝2m＋1＋5m2＋m－2.参考题目：1．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)A．10B．20C．30D．40解析：选A　设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.2、等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则这个等比数列的项数为（C）（A）（B）（C）（D）3、已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝________.解析：∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，∴an＋1·an＋2＝2n＋1，∴an＋2＝2an.又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，∴a2n＝2n，a2n－1＝2n－1(n∈N*)，∴b10＝a10＋a11＝64.4、已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝(　　)A．2B．4C．5D.解析：选B　依题意得＝＝2，即＝2，故数列a1，a3，a5，a7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此＝4.5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，设Sn是数列{an}的前n项和，则S2014＝(　　)A．22014－1B．3×21007－3C．3×21007－1D．3×21007－2解析：选B　由＝＝＝2，且a2＝2，得数列{an}的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S2014＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2013)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2014)＝＋＝3×21007－3.对比：an＋1/an＝2n则用累乘法，6.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.解析：由an＋2－an＝1＋(－1)n，知a2k＋2－a2k＝2，a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋＝2600.点评：分奇偶项求和，实质分组法求和，注意公差和公比。对比练习：(2014·衢州模拟)对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2
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1、输入一个整数数组，调整数组中数字的顺序，使得所有奇数位于数组的前半部分，所有偶数位于数组的后半部分。要求时间复杂度为 O(n)。
如：342。注意：题目没有要求调序后奇偶数的相对位置保持不变。
解答：利用两个指针i,j，一个指向头(i)，一个指向尾(j)。
& &当i指向的是奇数时，不需要调整，i++;
& & & & & &当j指向的是偶数时，不需要调整，j--；
& & & & & &当i指向的是偶数而j指向的是奇数时，交换。
void ch1(char *str)
int n=strlen(str);
int i=0,j=n-1;
while(i&=j)
while((str[i]-'0')%2==1)//奇数
while((str[j]-'0')%2==0)//偶数
swap(str[i],str[j]);
2、同1，但要求相对位置不变。只想到用类似插入排序的方法，时间复杂度为O(n*n)
void ch2(char *str)
int n=strlen(str);
int i=0,j=0;
while(i&n)
if((str[i]-'0')%2==1)
char tmp=str[i];
while(j&=0 && (str[j]-'0')%2==0)
str[j+1]=str[j];
3、输入一个整数数组，调整数组中数字的顺序，使得调整后的数字按照 &奇偶奇偶奇偶奇偶...方式排列
解答：方法类似，只是要对i指向的数判断应该是偶数还是奇数。
void ch3(char *str)
int flag=1;
int n=strlen(str);
int i=0,j=n-1;
while(i&=j)
if(flag==1)//i对应的应该是奇数
if((str[i]-'0')%2==1)//此位是奇数，不需要调整
else//需要调整，从后向前找到一个奇数来调整
while(i&j && (str[j]-'0')%2==0)//从后向前找，直至找到一个奇数，用来和i指向的偶数交换
swap(str[i],str[j]);
flag=0;//下一位应对应偶数
if(flag==0)//i对应的应该是偶数
if((str[i]-'0')%2==0)//i指向的是偶数，不需要交换
while(i&j &&(str[j]-'0')%2==1)//找到j指向的偶数，用来和i指向的奇数交换
swap(str[i],str[j]);
flag=1;//下一位应对应奇数
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排名：千里之外
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转载：74篇
(2)(1)(4)(11)(28)(51)(52)(3)(1)常见的奇偶性问题练习
&1、已知a、b、c有一个为5，有一个为6，有一个为7，那么：(a-1)(b-2)(c-3)的积是奇数还是偶数?
　　2、在黑板上记上数1，2，3，4，……,1994。允许擦去任意的2个数，且写上他们的和或者差，重复下去，直到黑板上仅留下1个数为止。这个数可能为0吗?
　　3、有7只正立的茶杯，要求全部口翻过来。规定每次翻动其中6只。试问此事能否办成?若茶杯是10只，每次只翻动7只，又能否把正立的茶杯全部翻过来?
　　4、能否将1至25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和?
　　5、某班有49名同学，坐成7行7列，每个座位的前、后、左、右的座位叫做它的“邻座”。要让这49位同学中的每一位都换到他的邻座上去，问这种调换座位的方案能不能实现?为什么?
　　6、在一次同学聚会中，大家见面彼此握手问候，那么握手次数是奇数的同学人数是奇数还是偶数?
　　7、50盏红灯拍成一排，按顺序分别编上号码，1，2，3，4，，，，49，50。每盏灯按一下就会变成绿灯，再按一下，就会变成红灯。有50个人，第一个人走过来把凡是号码为1的倍数的按钮按一下，第二个人走过来把凡是号码为2的倍数的按钮按一下，第三个人走过来把凡是号码为3的倍数的按钮按一下，这样继续下去，当第50个人走过来把号码为50的倍数的按钮按一下，问最后哪几盏灯是绿灯?
　　8.30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数?
　　9.有6张扑克牌，画面都向上，小明每次翻转其中的5张。那么，要使6张牌的画面都向下，他至少需要翻动多少次?
　　10.博物馆有并列的5间展室的电灯开关。他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……，走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间……，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯?
　1.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：
　　(1)1+2+3+…+9+10;
　　(2)1+3+5+…+21+23;
　　2.在20～200的整数中，有多少个偶数?有多少个奇数?偶数之和与奇数之和谁大?大多少?
　　3.数(42&#)能被2整除，那么，□里可填什么数?
　　4.判断2能否被3整除.
　　5.20&21&22&…&49&50的积末尾有多少个0?
　　6.同时能被2，3，5整除的最小自然数是几?
　　7.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：
　　(1)1+2+3+…+9+10;
　　(2)1+3+5+…+21+23;
　　8.在20～200的整数中，有多少个偶数?有多少个奇数?偶数之和与奇数之和谁大?大多少?
　　9.数(42&#)能被2整除，那么，□里可填什么数?
　　10.判断2能否被3整除.
　　11.20&21&22&…&49&50的积末尾有多少个0?
　　12.同时能被2，3，5整除的最小自然数是几?
　　13.有一筐苹果，2个、2个地拿，最后还剩1个，问这筐苹果的个数是单数还是双数?
　　14.有一筐梨，2个、2个地拿，最后正好拿完，1个不剩，问这筐梨的个数是单数还是双数?
　　15.想一想：11+12+13+14+15+16+17+18+19的和是单数还是双数?
　　16.元旦前，同学们互相送贺年片，如果每人接到贺年片后，要回送一张贺年片，问所送贺年片的总数是单数还是双数?
　　17.一辆公共汽车从东站开到西站，开了一趟。若这辆公共汽车从东站出发，开了11趟之后，这辆公共汽车在东站还是在西站?
1.有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗?
　　2.甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒;如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的?
　　3.有6张扑克牌，画面都向上，小明每次翻转其中的5张。那么，要使6张牌的画面都向下，他至少需要翻动多少次?
　　4.博物馆有并列的5间展室的电灯开关。他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……，走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间……，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯?
　　5.有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯口全部向下?为什么?
　　6.有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯口全部向下?为什么?
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