上传时间：
课堂笔记：
1不定积分的第二换元法与分部积分法的内容包括：第二换元法、分部积分法
专辑名称：
专辑创建者：
视频数：286
播放次数：22,176,004
56官方微信
扫一扫发现精彩& 不定积分中的几何背景和表格分部积分法
不定积分中的几何背景和表格分部积分法
摘 要：论述了数学背景对数学发展的重要性，提供了不定积分中的几何背景，介绍了不定积分的表格分部积分法及案例，对改革教学内容和改进教学方法进行了尝试。
【题　名】不定积分中的几何背景和表格分部积分法
【作　者】万勇 王晓梅
【机　构】长沙理工大学数学与计算科学学院 湖南长沙410004
【刊　名】《湖南工业大学学报》2010年 第1期 57-59页　共3页
【关键词】不定积分 几何背景 表格分部积分法
【文　摘】论述了数学背景对数学发展的重要性，提供了不定积分中的几何背景，介绍了不定积分的表格分部积分法及案例，对改革教学内容和改进教学方法进行了尝试。
【下载地址】
本文导航：
不定积分,几何背景,表格分部积分法
上一篇：暂无不定积分的积分方法论文
不定积分的积分方法论文
来源：数学毕业论文编辑:彩珊阅读：
　　不定积分的积分方法论文【1】
　　摘 要： 在高职高专院校高等数学的不定积分章节的学习中，有三种积分方法，分别是第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法.部分学生在积分运算中，对积分方法的选择不知如何着手.针对这种现象，本文对三种积分方法加以总结，以便学生对积分方法能更好地掌握.
　　关键词： 不定积分 换元积分法 分部积分法
　　一、第一类换元积分法
　　定理1(第一类换元积分法)设f(u)具有原函数，u=&(x)可导，则有换元积分公式
　　f[&(x)]&&(x)dx=[f(u)du].
　　第一类换元积分公式实质上就是：f[&(x)]&&(x)dx=f[&(x)]d[&(x)].
　　第一类换元积分公式在运用过程中，应用的关键是确定新的积分变量&(x)，那么如何确定&(x)?方法有如下两种.
　　1.通过对所求不定积分中被积函数的观察，发现函数中既含有&(x)又含有&&(x)，则我们就可以猜测出新的积分变量为&(x).
　　例如：求dx
　　分析：所求不定积分的被积函数为，因为(lnx)&=，所以我们可以把看做lnx，则新的积分变量&(x)=lnx.
　　解：dx=[lnx]dx=lnxd[lnx]=lnx+C
　　2.通过对所求不定积分的观察，猜测出所要运用的基本积分公式，基于这个公式确定新的积分变量&(x).
　　例如：求sin3xdx
　　分析：所求不定积分为sin3xdx，观察后发现我们所用的基本积分公式为sinxdx=-cosx+C，但是所求积分的被积函数不是sinx而是sin3x，我们可以把3x看做一个整体，就是新的积分变量&(x)，即&(x)=3x.
　　解：sin3xdx=[sin3x]3dx=[sin3x]d[3x]=[sin3x]d[3x]=-cos3x+C
　　二、第二类换元积分法
　　定理2(第二类换元积分法)设函数x=&(t)单调，可导，且&&(t)&0，f[&(t)]&&(t)的原函数存在，则有换元积分公式
　　f(x)dx=[f[&(t)]&&(t)dt]，
　　其中t=&(x)是x=&(t)的反函数.
　　第二类换元积分公式在何时运用?我认为：重点是解决被积函数中含有&根号&的积分问题.那么在学习中遇到的常见的含有根号的情形有几种呢?我总结了一下共有四种，分别是：;;;.
　　如何消除被积表达式中的根号?做适当变量替换即可，针对以上四种情形具体替换如下：
　　① 对，设t=;
　　② 对，设x=
　　③ 对，设x=
　　④ 对，设x=asect.
　　原来关于x的不定积分转化为关于t的不定积分，在求得关于t的不定积分后，必须代回原变量.在进行三角函数换元时，可由三角函数边与角的关系，作三角形，以便于回代.在使用第二类换元法的同时，应注意根据需要，随时与被积函数的恒等变形、不定积分性质、第一类换元法等结合使用.
　　例如：求dx
　　分析：所求不定积分的被积函数中含有根号，符合上述情形中的第三种，由此我们做替换x=2tant即可.
　　解：dx=&2sectdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln++C=ln(+x)+C
　　三、分部积分法
　　分部积分公式：udv=uv-vdu或uv&dx=uv-u&vdx(其中u=u(x)与v=v(x)都具有连续导数)
　　分部积分法主要是解决被积函数是两类不同类型函数乘积的不定积分问题.这里我们所说的函数类型指的是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数五种基本初等函数.当然在具体应用时被积函数未必是这五种类型，有可能是相似的类型，我们在应用公式前，只需要将所求的不定积分运用其他的积分方法适当变形转化为这五种函数即可.
　　应用分部积分公式的关键是确定公式中的u和v&，如何确定它们?可按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序(即&反、对、幂、三、指&的顺序)，把排在前面的那类函数选作u，而把排在后面的那类函数选作v&.
　　例如：求xsinxdx
　　分析：不定积分中的被积函数xsinx为两类不同类型的函数乘积，所以我们就要应用分部积分法，其中u为x，v&为sinx，则u&=1，v=-cosx把上述四项代入公式即可.
　　解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C
　　小结：我们学习以上三种积分方法的目的就是要把我们所计算的不定积分问题转化为我们所熟悉的基本积分公式来处理，当然，这些积分方法在运用时往往不是单独使用，大多数情形下都是混合使用，甚至要多次使用.
　　参考文献：
　　[1]同济大学，天津大学，浙江大学，重庆大学编.高等数学.高等教育出版社，2004.6，第2版.
　　[2]周金玉.高等数学.北京理工大学出版社，2009.8，第1版.
　　[3]陈传樟等.数学分析.高等教育出版社，1983.7，第2版.
　　不定积分计算方法的思考【2】
　　摘 要： 本文通过分析不定积分计算教与学中的困难，提出老师和学生要注意的问题，并对几种常用方法作了分析。
　　关键词： 不定积分计算 困难 分析 常用方法
　　不定积分是大学数学关于计算问题的一个重要内容，是定积分、重积分、线面积分计算、微分方程求解的基础。因此，熟练掌握不定积分的计算方法与技巧，对于学好高等数学是十分必要的，然而它的计算却存在着一定的难度。
　　一、不定积分计算的困难及分析
　　不定积分计算的困难首先是由其概念本身带来的，因为从求导的逆运算引进，造成了它的计算是非构造性的一类运算，它与求导相比有着显著的不同，求导有一定的公式可套，但求不定积分并非如此。
　　不定积分计算的困难还在于错误的思考方法，对于学生来说，解题往往通过&猜&的方式，猜原函数，这显然相当的困难;在老师方面，不定积分的教学也是一个难点，老师的任务是理出方法，教会学生如何理解方法，而不是凭感觉。
　　现实存在的问题有两个：一是当在指定让学生用哪种方法解决时，学生可以做到，但如果把方法混在一起，学生往往不知道用哪种方法;二是在当时学生会解决的题目，时间久了，学生就忘记了。原因都在于学生没有真正理解透各种方法的本质特点，面对问题时，不知道怎么根据其特征选择适当的方法。
　　二、不定积分计算的方法思考
　　在介绍积分方法时，老师首先应提醒学生注意被积函数的多样性，而不同类型的被积函数就需要不同的积分方法来解决，对于一个给定的f(x)，要求f(x)dx，这是一个未知的问题，从宏观上说我们要将未知的问题转化为已学知识来讨论。那么就存在两个问题：已知的是什么?怎么转化过去?
　　课本根据求导与不定积分的关系由基本求导公式给出了积分基本公式，它们可以作为已知的知识，那么不能直接由积分公式解决的问题，就要通过几种转化方法转化到现有的公式上，转化的依据要根据被积函数的结构和转化方法的特点。常用方法有以下几种。
　　1.基本变形。这个方法是由不定积分的性质线性引出的，只要做恒等变形就可以将要求的不定积分转化到基本积分公式中去，它的特点就是多个变单个。
　　2.凑微分法。顾名思义，关键在于一个&凑&字，如果能想到如何&凑&，则题目会迎刃而解，若想不到方法，则会无处入手。因此，归纳并熟记常用的凑微分公式是十分必要的。
　　老师在讲解这个方法的时候可以先通过几个简单的凑微分的例子引出凑微分这个方法，以形象地观察出凑微分法的本质、特点，书上给出的定理是比较抽象的，在对其证明中，可以采取比较通俗的方式，如：要验证f[&(x)]・&&(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[&(x)]+C是否成立，只要验证(F[&(x)]+C)&=f[&(x)]・&&(x)是否成立。
　　如果成立，则证明了该定理，也证明了前几个例子的做法是正确的。再结合例子和定理归纳出凑微分法的特点就是&变元再协同&。
　　有些例题要&凑&多次，老师可以举相关例题让学生充分体会凑微元法的本质特点是变元再协同中的&再&，总的来说凑微元法就是一个&变元再协同&的过程。
　　3.变量代换法。从被积函数中会发现一些难以处理的因式，使用凑微元怎么也协同不了，在讲解这个方法的时候可以先举几个这样的例子，告诉学生思考这个问题的方法，多列几个学生就会知道想办法去掉难以处理的因式，当然是有多种代换方法的。在学生接受了这种思路后再给出定理，证明手段类似凑微元的证明。
　　例1：求.
　　思路一：被积函数中既有x，又含有x，所以我们想办法通过变元都协同到x上，然后再观察，再协同。
　　解一：===
　　=arctan+C
　　思路二：考虑被积函数中含有根号，想办法去掉根号，使用三角代换很容易将其算出。
　　观察这两种方法的各自特点，第一种思路它比较难想到，但计算起来比较简单，第二种方法它虽然操作起来相对麻烦一些，但指向性非常明确。
　　三角换元法一般是把被积函数中含有的，分别用x=asint，x=atant，x=asect做变换去掉根式，没有太多的技巧，但是有些含有这样根式的不定积分不需要采取变量代换的方法，例如xdx，dx，被积函数中含有了比较难处理的因式，而变量代换就是起到一个去掉难处理的因式的作用，但在有些题目中只要用凑微元做就可以了，提醒学生不要犯教条。
　　4.分部积分。其基本公式为udv=uv-vdu，此方法用于求udv不易，而求vdu较易的题目。在运用分部积分法关键是u与dv的选取，掌握此方法的一个关键在于你要对哪个求导，du是一个局部求导，求导之后要方便运算才有意义。
　　例2：求xedx.
　　分析：被积函数是指数函数e与三角函数x的乘积，用分部积分有两种方案：xedx=edx=ex-xdexde，第一种方案是对e局部求导，而我们知道对它求导还是本身，所以解决不了根本问题，所以学生在做题的时候要思考到底对谁局部求导能达到目的，这题中对x局部求导就可以去掉这个因式，所以选择第二种方案。
　　这部分内容的学习要求我们要对各类积分法进行总结比较，分析各类积分方法的特征，达到掌握并熟练运用的目的。
　　参考文献：
　　[1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].高等教育出版社，1990.
　　[2]仉志余.大学数学应用教程(上册)[M].北京大学出版社，2006.8.
　　[3]夏磊.不定积分在高职教学中的教学浅析[J].教育研究与实践，2008，(12).
相关范文推荐
复变函数论的教学方法【1】 摘要：针对高等院校复变函数论的教学现状，结合自身的教学体会，提出了引入、对比、反例、总结式的教学方法。 关键词：复变函数论;引入式教学;对比式教学;反例式教学;总结式教学 复变函数论是高等院
高中数学函数教学的方法【1】 【摘要】针对初中高中数学函数教学的现状，探索如何让学生充分参与到函数教学课堂中，如何调动学生学习函数的积极性，以达到良好的函数教学效果.尤其高中函数数学，正是高中学生由简单数学逐渐向
建筑设计的几何学 【摘 要】几何学影响着建筑设计的方法，也影响着建筑设计的成果，本文试分析建筑表现方法与建筑思考活动的互动与变迁，指出当代计算机技术的成熟必将引来建筑历史上崭新的风格，同时阐述建筑的几何特征与几何
统计数据挖掘的方法及应用 摘要：在我国，经济统计工作的进行是为了有效地反映经济发展状况，为决策者提供有效决策的依据。 因此，统计部门在进行经济统计时必须重视经济统计信息的准确性和可靠性。 统计数据挖掘技术可以从混
线性代数教学方法的改进论文【1】 摘 要：文章从在教学中融入数学建模思想、利用数学软件辅助教学和借鉴国外优秀教材整合教学内容三个方面讨论了线性代数教学方法的改进。 关键词：数学建模思想;MATLAB;线性代数 线性代数是高
本文精彩评论
最新范文推荐
精彩范文推荐Vo.l9,No.6??????????????；37；辅导篇；分部积分法使用的几个技巧；连坡??；(西北农林科技大学应用数学系??陕西杨凌??71；摘要??就分部积分法的使用,举例说明了几种常用的；关键词??不定积分??分部积分法??被积函数??；在运用分部积分公式udv=uv-vdu时,恰当地；一、利用dv=d(kv+c)(k,c为常数),根；例1??求
Vo.l9,No.6????????????????????高等数学研究Nov.,2006STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS
分部积分法使用的几个技巧
(西北农林科技大学应用数学系??陕西杨凌??712100)
摘要??就分部积分法的使用,举例说明了几种常用的方法和技巧.
关键词??不定积分??分部积分法??被积函数????????中图分类号??0172.2
在运用分部积分公式udv=uv-vdu时,恰当地选取u和dv是解决问题的关键.选取u和dv的经验顺序是 反对幂指三!,其中 反!、 对!、 幂!、 指!、 三!依次表示反三角函数、对数函数、幂函数(多项式函数)、指数函数和三角函数,即被积函数中出现上述五类函数中的两个函数乘积时,次序在前的通常设为u,次序在后的与dx结合在一起设为dv.在进行分部积分运算时,如能把上述规律和一些常用的积分技巧和方法相结合,常常能收到事半功倍的效果.
一、利用dv=d(kv+c)(k,c为常数),根据下一步的需要巧妙地选择常数k,c,简化求解过程.
例1??求x1n(3x-2)dx.
分析??被积函数理解为多项式函数与对数函数的积,令u=1n(3x-2),考虑到du=dx,故选用xdx=d(9x2-4),便于对vdu进行化简.3x-218
22x1n(3x-2)dx=1n(3x-2)d(9x-4)=[(9x-4)1n(3x-2)-3dx]=
x-4)1n(3x-2)-3(3x+2)dx]=[(9x-4)1n(3x-2)-x-6x]+c.18182
例2??求dx.(2001.数学一)2x
分析??把复合函数arctane看成反三角函数,被积函数为指数函数与反三角函数积的形式,运
用 反对幂指三!法则,令arctane为u,注意到du=v=edx=-d(1+e)=2x故取d21+e
11+e2x-d以便消去vdu中的1+e.2x2e
x-2x-2xxdx=-arctaned(1+e)=-[(1+e)arctane-]=22ee(1+e)
-2xx-x-2xx-x-[(1+e)arctane-edx]=-[(1+e)arctane+e]+c
22二、运用分部积分法求积分过程中,出现复原的情形应特别留意.一种情形是得到递推公式,据此求出原积分;另一种情形是通过解方程求出原积分.
高等数学研究??????????????????????????????2006年11月
分析??可用分部积分法降低次数,也可用如下倒推的方法?升高次数,总结递推规律.
dxxxx(1+x)-1xdx
dx=2=2+222dx=2++x1+x(1+x)1+x(1+x)1+x1+x
++arctanx+c==21+x2(1+x)2(1+x)2(1+x)
例4??求解??
dx.(2003.数学二)
dx=arctanx
arctanx1+x
本题也可按令x=tant换元处理.
三、当被积函数较为繁杂时,对被积函数可先进行代数和分解,再使用分部积分公式变形,通过合并同类项化简求解.
例5??求ex.d
x-2x-1ex=d(x-1)
e2xe1x2xee
dx-dx=de-x=-d
x-1(x-1)x-1(x-x)x-1
xex-x=2+c22d22d(x-1)(x-1)x-1
cosx+xsinx(x+cosx)-(1-sinx)xdx1
x=dx=+xd=2d2
x+cosxx+cosx(x+cosx)(x+cosx)
+-=+cx+cosxx+cosxx+cosxx+cosx
四、根据分部积分公式分析推测原函数的构成形式,用待定系数法求积分.例7??求xedx.
分析??积分为多项式与指数函数积形式,令多项式为u,其余部分为dv,连续运用分部公式后将得到(ax+bx+cx+d)e形式的积分结果,故可设
xedx=(ax+bx+cx+d)e+C,两端求导整理得
xe=[2ax+(3a+2b)x+2(b+c)x+c+2d]e
由比较系数得a=
b=-,c=d=-故xedx=(x-x+x-)e+C
例8??求ecos2xdx.
分析??积分为指数与三角函数积形式,按分部积分规律,指数与三角函数均可为u,连续运用
分部公式后将得到(asin2x+bcos2x)e形式的积分结果,故可设(下转45页)
第9卷第6期????????????????????陈德新: 关于一个概率问题的条件!一文的商榷
乙正nn-1??0
甲正0,1,2,#,n0,1,2,#,n-1
每种条件下可能的结果数
可见此时结果总数为1+2+#+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2
所以由(1)和(2)知基本事件总数为
(n+1)(n+2)/2+(n+1)(n+2)/2=(n+1)(n+2)????????????????
事件A=(甲正&乙正)包含的基本事件数为(n+1)(n+2)/2则??P(A)=[(n+1)(n+2)/2]/(n+1)(n+2)=1/2
解法二??(利用对称性)
因??-(甲正&乙正)=(甲正?乙正)=(甲反&乙反)又因为硬币是均匀的,由对称性知
P(甲正&乙正)=P(甲反&乙反)
则??P(甲正&乙正)=1-P(甲正?乙正)=1-P(甲反&乙反)所以??????P(甲正&乙正)=1/2
两种解法相比较,显然解法二比较简单,解法一充分体现了求古典概率的基本思想;首先找出样本空间中,样本点总数,及事件A包含的样本点数,再求出其比值即可??解法二利用了对称性,因为硬币是均匀的,则就有P(甲正&乙正)=P(甲反&乙反),其实在古典概型中,所谓 等可能性!正是 对称性!的一种后果,因各个基本事件处在 对称!的位置上,所以才有 等可能性!??教科书上仅给出了解法二??我在从事这个例题的数学中,首先让学生用直接解法去思考几分钟,感到困难,不好下手??再转入第二种解法,即介绍书上的解法??之后,若时间允许,引导学生一起用第一种解法,求之;若时间不允许,叫学生课后给出直接的解法,加以比较之??
[1]张文忠.关于一个概率问题的条件[J].高等数学研究.页
[2]华东师范大学数学系.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1983年21页
(上接38页)
ecos2xdx=(asin2x+bcos2x)e+C??两端求导整理得
ecos2x=[(4a-2b)sin2x+(2a+4b)cos2x)]e
由比较系数得a=b=,故ecos2xdx=(sin2x+cos2x)e+C
上述的几种方法和技巧同样适合定积分的分部积分运算,只是相应地结合积分的限使用而已.分部积分法的使用灵活多样,各种方法都有自己的特点,只有在解题中不断积累经验,针对具体问题,对症下药,才能取得较好的效果.
[1]同济大学应用数学系.高等数学[M]??北京:高等教育出版社??2002[,.[M]????
三亿文库包含各类专业文献、专业论文、中学教育、高等教育、幼儿教育、小学教育、生活休闲娱乐、行业资料、文学作品欣赏、外语学习资料、应用写作文书、各类资格考试、51分部积分法使用的几个技巧等内容。　
　∫ dx = L 2 2 1+ x2 一般地,形如 x k arctan xdx 、 x k arcsin xdx 等形式的积分,都可以用分部积分法计算,并且计算 方法和例 4 类似。 例 5.... 　而其中的分部积分法更是较难掌握,传统计算分部积分时通常采用“竖式法”或“表格发”, 但这些方法操作起来往往比较复杂或不易理解。下面将介绍一种简单有效的分部... 　分部积分法是不定积分的积分法中的重点和难点,主要通过几道典型例题归纳出使用分部积分法的技巧,首先将被积函数视为两个不同类函数的乘积,然后按“反三角函数、... 　我们发现此题用前面学过的积分方法解决不了,要解决此类积 分需用到我们今天要...两个函数乘积的求导法则可以推导出求不定积分的一中积分方 法---分部积分法. ... 　求不定积分 重点和难点 教学方法 授课时间 引导教学法 第周教 教学手段 课时...课后反思通过本节课的学习学生掌握如何用分部积分法求解不定积分的题目,学生课下... 　掌握用分部积分法求定积分 的计算方法 计算模块 4-15 4-14 掌握程度 熟练掌握 一、正文编写思路及特点: 思路:在复习不定积分分部积分法的基础上,介绍一些具体... 　第三节 分部积分法_理学_高等教育_教育专区。经济数学---微积分教案 第三节 分部积分法教学目的:使学生掌握不定积分的分部积分法。 教学重点:不定积分的分部... 　关键词:定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法 引言数学分析...其任 务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地,求不定积...