正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）
正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）
正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：
X~N(μ,σ2),则其概率密度函数为
正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在、及等都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若X服从一个为μ、为σ2的高斯分布，记为：
X~N(μ,σ2),
正态分布的μ决定了其位置，其σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布（见右图中绿色曲线）。
正态分布是与中的定量现象的一个方便模型。各种各样的测试分数和现象比如计数都被发现近似地服从正态分布。尽管这些现象的根本原因经常是未知的， 理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一种简单的证明)。正态分布出现在许多区域:例如, 是近似地正态的，既使被采样的样本总体并不服从正态分布。另外，常态分布在所有的已知均值及方差的分布中最大，这使得它作为一种以及已知的分布的自然选择。正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一类分布。在，正态分布是几种连续以及离散分布的。
常态分布最早是在发表的一篇关于文章中提出的。在1812年发表的《分析概率论》（Theorie Analytique des Probabilites）中对棣莫佛的结论作了扩展。现在这一结论通常被称为。
拉普拉斯在试验中使用了正态分布。于引入这一重要方法；而则宣称他早在就使用了该方法，并通过假设误差服从正态分布给出了严格的证明。
“钟形曲线”这个名字可以追溯到他在首次提出这个术语"钟形曲面"，用来指代（）。正态分布这个名字还被、、在1875分布独立的使用。这个术语是不幸的，因为它反应和鼓励了一种谬误，即很多概率分布都是正态的。（请参考下面的“实例”）
这个分布被称为“正态”或者“高斯”正好是的一个例子，这个法则说“没有科学发现是以它最初的发现者命名的”。
有几种不同的方法用来说明一个随机变量。最直观的方法是，这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。是一种概率上更加清楚的方法，但是非专业人士看起来不直观（请看下边的例子）。还有一些其他的等价方法，例如、、以及cumulant-。这些方法中有一些对于理论工作非常有用，但是不够直观。请参考关于的讨论。
四个不同参数集的概率密度函数（绿色线代表标准正态分布）
正态分布的均值为μ 为σ2 (或σ)是的一个实例：
(请看以及π.)
如果一个X服从这个分布，我们写作 X ~ N(μ,σ2). 如果μ = 0并且σ = 1，这个分布被称为标准正态分布，这个分布能够简化为
右边是给出了不同参数的正态分布的函数图。
正态分布中一些值得注意的量：
密度函数关于平均值对称
平均值是它的（statistical mode）以及（median）
函数曲线下68.268949%的面积在平均值左右的一个范围内
95.449974%的面积在平均值左右两个标准差2σ的范围内
99.730020%的面积在平均值左右三个标准差3σ的范围内
99.993666%的面积在平均值左右四个标准差4σ的范围内
（inflection point）在离平均值的距离为标准差之处
上图所示的概率密度函数的累积分布函数
是指随机变量X小于或等于x的概率，用密度函数表示为
正态分布的累积分布函数能够由一个叫做的表示：
标准正态分布的累积分布函数习惯上记为Φ，它仅仅是指μ = 0，σ = 1时的值，
将一般正态分布用表示的公式简化，可得：
它的被称为反误差函数，为：
该分位数函数有时也被称为函数。函数已被证明没有初等原函数。
正态分布的Φ(x)没有解析表达式，它的值可以通过、或者近似得到。
被定义为exp(tX)的期望值。
正态分布的矩生成函数如下：
可以通过在指数函数内配平方得到。
被定义为exp(itX)的，其中i是虚数单位. 对于一个正态分布来讲，特征函数是：
把矩生成函数中的t换成it就能得到特征函数。
正态分布的一些性质:
如果且a与b是，那么aX + b~N(aμ + b,(aσ)2) (参见和).
如果与是的正态，那么:
它们的和也满足正态分布 ().
它们的差也满足正态分布.
U与V两者是相互独立的。
如果和是独立正态随机变量，那么:
它们的积XY服从概率密度函数为p的分布
其中K0是贝塞尔函数（modified Bessel function）
它们的比符合，满足X / Y~Cauchy(0,σX / σY).
如果为独立标准正态随机变量，那么服从自由度为n的。
一些正态分布的一阶动差如下：
μ3 + 3μσ2
μ4 + 6μ2σ2 + 3σ4
正态分布的所有二阶以上的为零。
正态分布的概率密度函数，参数为μ = 12，σ = 3，趋近于n = 48、p = 1/4的的概率质量函数。
正态分布有一个非常重要的性质：在特定条件下，大量的随机变量的和的分布趋于正态分布，这就是。中心极限定理的重要意义在于，根据这一定理的结论，其他概率分布可以用正态分布作为近似。
参数为n和p的，在n相当大而且p不接近1或者0时近似于正态分布（有的参考书建议仅在np与n(1 - p)至少为5时才能使用这一近似）。
近似正态分布平均数为μ = np且方差为σ2 = np(1 - p).
一带有参数λ当取样样本数很大时将近似正态分布λ.
近似正态分布平均数为μ = λ且方差为σ2 = λ.
这些近似值是否完全充分正确取决于使用者的使用需求
正态分布是的概率分布。
正态分布是严格的概率分布。
深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%。根据正态分布，两个标准差之内（蓝，棕）的比率合起来为95%。根据正态分布，三个标准差之内（深蓝，橙，黄）的比率合起来为99%。
在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为"68-95-99.7法则"或"经验法则".
R~Rayleigh(σ)是，如果，这里X~N(0,σ2)和Y~N(0,σ2)是两个独立正态分布。
是具有ν，如果这里Xk~N(0,1)其中是独立的。
Y~Cauchy(μ = 0,θ = 1)是，如果Y = X1 / X2，其中X1~N(0,1)并且X2~N(0,1)是两个独立的正态分布。
Y~Log-N(μ,σ2)是如果Y = eX并且X~N(μ,σ2).
与相关：如果因而.
.如果， 在A以下和B以上截取X 将产生一个平均值这里，φ是一个标准正态随机变量的
如果X是一个正态分布的随机变量, Y = | X | ，那么Y具有.
的的估计的推导是比较难于理解的。它需要了解（spectral theorem）以及为什么把一个看做一个1×1 matrix的trace而不仅仅是一个标量更合理的原因。请参考（estimation of covariance matrices）.
《饮料装填量不足与超量的概率》
某饮料公司装瓶流程严谨，每罐饮料装填量符合平均600毫升，标准差3毫升的常态分配法则。随机选取一罐，容量超过605毫升的概率？容量小于590毫升的概率
容量超过605毫升的概率 = p ( X & 605)= p ( ((X-μ) /σ) & ( (605 – 600) / 3) )= p ( Z & 5/3) = p( Z & 1.67) = 0.9525
容量小于590毫升的概率 = p (X & 590) = p ( ((X-μ) /σ) & ( (590 – 600) / 3) )= p ( Z & -10/3) = p( Z & -3.33) = 0.0004
《6-标准差(6-sigma或6-σ)的品质管制标准》
6-标准差(6-sigma或6-σ)，是制造业流行的品质管制标准。在这个标准之下，一个标准常态分配的变量值出现在正负三个标准差之外，只有2* 0.6 (p (Z & -3) = 0.0013以及p(Z & 3) = 0.0013)。也就是说，这种品质管制标准的产品不良率只有万分之二十六。假设例3-16的饮料公司装瓶流程采用这个标准，而每罐饮料装填量符合平均600毫升，标准差3毫升的常态分配法则。预期装填容量的范围应该多少？ 6-标准差的范围 = p ( -3 & Z & 3)= p ( - 3 & (X-μ) /σ & 3) = p ( -3 & (X- 600) / 3 & 3)= p ( -9 & X – 600 & 9) = p (591 & X & 609) 因此，预期装填容量应该介于591至609毫升之间。
《计算学生智商高低的概率》
假设某校入学新生的智力测验平均分数与方差分别为100与12。那么随机抽取50个学生，他们智力测验平均分数大于105的概率？小于90的概率？
本例没有常态分配的假设，还好中心极限定理提供一个可行解，那就是当随机样本长度超过30，样本平均数xbar近似于一个常态变量，因此标准常态变量Z = (xbar –μ) /σ/ √n。
平均分数大于105的概率 = p(Z& (105 – 100) / (12 /√50))= p(Z& 5/1.7) = p( Z & 2.94) = 0.0016
平均分数小于90的概率 = p(Z& (90 – 100) / (12 /√50))= p(Z & 5.88) = 0.0000
在计算机模拟中，经常需要生成正态分布的数值。最基本的一个方法是使用标准的正态累积分布函数的反函数。除此之外还有其他更加高效的方法，Box-Muller变换就是其中之一。另一个更加快捷的方法是ziggurat算法。下面将介绍这两种方法。一个简单可行的并且容易编程的方法是：求12个在（0,1）上均匀分布的和，然后减6(12的一半)。这种方法可以用在很多应用中。这12个数的和是Irwin-Hall分布；选择一个方差12。这个随即推导的结果限制在（-6,6）之间，并且密度为12，是用11次多项式估计正态分布。
Box-Muller方法是以两组独立的随机数U和V，这两组数在(0,1]上均匀分布，用U和V生成两组独立的标准正态分布随即变量X和Y:
这个方程的提出是因为二自由度的（见性质4）很容易由指数随机变量（方程中的lnU）生成。因而通过随机变量V可以选择一个均匀环绕圆圈的角度，用指数分布选择半径然后变换成（正态分布的）x,y坐标。
引用来源：http://blog.csdn.net/rns521/article/details/6953591
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正态分布论有什么重要意义？
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正态分布最初由棣莫弗研究二项式时推导得出，后来高斯又从另一个方面导出了正态分布的表达式，研究了正态分布的一系列性质并将其应用于天文学研究，因此正态分布通常又被叫做高斯分布。10元币值的德国马克...
正态分布最初由棣莫弗研究二项式时推导得出，后来高斯又从另一个方面导出了正态分布的表达式，研究了正态分布的一系列性质并将其应用于天文学研究，因此正态分布通常又被叫做高斯分布。10元币值的德国马克上印有高斯的头像和正态分布曲线，高斯是举世闻名的大数学家，其对数学的贡献数不胜数，但德国人却唯独将正态分布挑出来印在马克上，足以说明在德国人乃至整个西方数学界，高斯最大的贡献不是别的，正是正态分布。正态分布英文名称Normal Distribution，直译意思是&一般分布&，表示这个分布具有一般性，这是因为不论是自然界还是人类社会，绝大多数随机现象都服从正态分布，例如人的身高和体重分布、学生的成绩分布、股票组合的收益率分布、随机误差的分布、产品质量分布等都服从正态分布，另一方面，概率论中的其他分布如Possion分布、t分布、F分布等多由正态分布推导而出，在一定的条件下，所有其他的分布都可用正态分布来近似，正态分布在概率论中具有无可置疑的基础性地位。正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布。尽管这些现象的根本原因经常是未知的， 理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一种简单的证明)。
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正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉...
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
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“正态分布”的意是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量服从一个位置参数、尺度参数为的概率分布。正态分布（Normal distribution)是一种...
“正态分布”的意是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量服从一个位置参数、尺度参数为的概率分布。正态分布（Normal distribution)是一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2 )。遵从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
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正态分布论有什么重要意义？
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1人关注了此问题正态分布也称常态分布或常态分配，是连续随机变量概率分布的一种，是在数理统计的理论与实际应用中占有重要地位的一种理论分布。自然界人类社会，心理与教育中大量现象均按正态形式分布。例如能力的高低，学生成绩的好坏，人们的社会态度，行为表现以及身高、体重等身体状态。
（高斯Carl Friedrich Gauss）
正态分布是由阿伯拉罕·德莫弗尔(Abraham de Moivre)1733年发现的。其他几位学者如拉普拉斯(Marquis de Laplace)、高斯 (Carl Friedrich Gauss)对正态分布的研究也做出了贡献，故有时称正态分布为高斯分布。
正态分布的函数(又称密度函数)为
标准正态分布这两个参数分别为0与1。
标准正态分布的密度函数可写作：
（正态分布三个标准差的概率分布）&
所有正太分布都可以转化成标准正态分布。
期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
正态分布具有很大医学意义。正态分布的应用某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布。
我们提出一个常见的身高概率问题：假设男性平均身高175，标准差6；女性平均身高168,& 标准差3；随机抽取一个女性和男性，女性高于男性随机概率是多少？
我们不需要通过复杂公式来计算。只需让计算机产生足够多的随机值来模拟计算，最后得到答案。
下面我们用Python的蒙特卡洛建模正态分布函数，解决这个男女身高概率问题。
（matplotlib绘制两个正态分布，红色表示女性，蓝色表示男性）
程序模拟10万个随机值，最后算出结果0.14727
即女性高于男性随机概率为0.14727
测试环境Anaconda&Python2.7
源代码已经本人测试无问题
# -*- coding: utf-8 -*-
By Toby&,Blog:
http://www.cnblogs.com/webRobot/
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as stats
import seaborn as sns
import math,pylab,matplotlib,numpy
from matplotlib.font_manager import FontProperties
#设置中文字体
font=FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc",size=15)
#标准正太分布
normalDistribution=stats.norm(175,6)
#方差较大正态分布
normalDistribution1=stats.norm(168,3)
def Random_single():
&&& array_male=normalDistribution.rvs(1)
&&& array_female=normalDistribution1.rvs(1)
&&& male=array_male[0]
&&& female=array_female[0]
&&& if female&male:
&&&&&& return True
&&&&&& return False
#n次随机，返回count（女性高于男性的次数）
def Multiple_random(n):
&&& count=0
&&& for i in range(n):
&&&&&& value=Random_single()
&&&&&& if value==True:
&&&&&&&&& count+=1
&&& return count
# 计算女性高于男性概率
def Probability(n):
&&& count=Multiple_random(n)
&&& p=count*1.0/n
&&& return p
probability=Probability(n)
print '随机次数',n
print '女性高于男性概率:',probability
x=np.arange(60,220)
y=normalDistribution.pdf(x)
y1=normalDistribution1.pdf(x)
plt.plot(x,y,label="male")
plt.plot(x,y1,'r',label="female")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("probability density")
#plt.title("Normal distribution:mean=%.1f,standard
deviation=%.1f"%(mean,std))
plt.title("Normal distribution")
plt.legend()
plt.show()
阅读(...) 评论()正态分布的前世今生(一) | 我爱自然语言处理
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正态分布介绍讲义.docx 43页
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正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布。尽管这些现象的根本原因经常是未知的，理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布（在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一种简单的证明）。正态分布出现在许多区域统计：例如，采样分布均值是近似地常态的，即使被采样的样本的原始群体分布并不服从正态分布。另外，正态分布信息熵在所有的已知均值及方差的分布中最大，这使得它作为一种均值以及方差已知的分布的自然选择。正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一类分布。在概率论，正态分布是几种连续以及离散分布的极限分布。
历史[编辑]
正态分布最早是棣莫弗在1718年著作的书籍的（Doctrine of Change），及1734年发表的一篇关于二项分布文章中提出的，当二项随机变量的位置参数n很大及形状参数p为1/2时，则所推导出二项分布的近似分布函数就是正态分布。拉普拉斯在1812年发表的《分析概率论》（Theorie Analytique des Probabilites）中对棣莫佛的结论作了扩展到二项分布的位置参数为n及形状参数为1&p&0时。现在这一结论通常被称为棣莫佛－拉普拉斯定理。
拉普拉斯在误差分析试验中使用了正态分布。勒让德于1805年引入最小二乘法这一重要方法；而高斯则宣称他早在1794年就使用了该方法，并通过假设误差服从正态分布给出了严格的证明。
“钟形曲线”这个名字可以追溯到Jouffret他在1872年首次提出这个术语&钟形曲面&，用来指代二元正态分布（bivariate normal）。正态分布这个名字还被Charles S. Peirce、Francis Galton、Wilhelm Lexis在1875分别独立地使用。这个术语是不幸的，因为它反应和鼓励了一种谬误，即很多概率分布都是常态的。（请参考下面的“实例”）
这个分布被称为“常态”或者“高斯”正好是Stigler名字由来法则的一个例子，这个法则说“没有科学发现是以它最初的发现者命名的”。
正态分布的定义[编辑]
有几种不同的方法用来说明一个随机变量。最直观的方法是概率密度函数，这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。累积分布函数是一种概率上更加清楚的方法，请看下边的例子。还有一些其他的等价方法，例如cumulant、特征函数、动差生成函数以及cumulant-生成函数。这些方法中有一些对于理论工作非常有用，但是不够直观。请参考关于概率分布的讨论。
概率密度函数[编辑]
四个不同参数集的概率密度函数（绿色线代表标准正态分布）
正态分布的概率密度函数均值为?方差为?(或标准差)是高斯函数的一个实例：
(请看指数函数以及.)
如果一个随机变量服从这个分布，我们写作??~?. 如果并且，这个分布被称为标准正态分布，这个分布能够简化为
右边是给出了不同参数的正态分布的函数图。
正态分布中一些值得注意的量：
密度函数关于平均值对称
平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。
函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。
99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。
99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。
函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。
累积分布函数[编辑]
上图所示的概率密度函数的累积分布函数
累积分布函数是指随机变量小于或等于的概率，用概率密度函数表示为
正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数的特殊函数表示：
标准正态分布的累积分布函数习惯上记为，它仅仅是指，时的值，
将一般正态分布用误差函数表示的公式简化，可得：
它的反函数被称为反误差函数，为：
该分位数函数有时也被称为probit函数。probit函数已被证明没有初等原函数。
正态分布的分布函数没有解析表达式，它的值可以通过数值积分、泰勒级数或者渐进序列近似得到。
生成函数[编辑]
动差生成函数[编辑]
动差生成函数或矩生成函数或动差产生函数被定义为的期望值。
正态分布的动差产生函数如下：
可以通过在指数函数内配平方得到。
特征函数[编辑]
特征函数被定义为的期望值，其中是虚数单位. 对于一个常态分布来讲，特征函数是：
把矩生成函数中的换成就能得到特征函数。
性质[编辑]
正态分布的一些性质：
如果且与是实数，那么?(参见期望值和方差).
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