您所在位置： &  &  &  第四章数学期望.ppt33页 本文档一共被下载： 次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。 文档加载中...广告还剩秒 需要金币：300 && 第四章数学期望.ppt 你可能关注的文档： ·········· ·········· 数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质 五、小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 小结 * 第四章 随机变量的 数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的分布函数，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，分布函数一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望. 在这些数字特征中，最常用的是 期望和方差 一、离散型随机变量的数学期望 平均值是日常生活中最常用的一个数字特征， 它对评 判事物作出决策等具有重要作用. 例如， 某商场计划于5月1日在户外搞一次促销活动， 统计资料表明， 如果在商场内搞 可获得经济效益 3万元； 在商场外搞， 如果不遇雨天可获得12万元， 遇到雨天则带 来经济损失5万元；若前一天的天气 预报称当日有雨 的概率为40%，则商场应如何选择 促销方式？ 1.概念的引入 显然商场在该日搞促销活动预期获得的经济效益 是一个随机变量， 其概率分布为 要作出决策就要将此时的平均效益与3万元进行比较, 如何求平均效益呢？ 要客观地反映平均效益, 虑 的所有取值， 又要考虑 取每一个值时的概率， 即为 既要考 （万元）. 称这个平均效益5.2万元为随机变量 的数学期望, 2.数学期望的定义 定义 设 是离散型随机变量，其概率分布为 如果 绝对收敛， 为随机变量 的 正在加载中，请稍后...类型/数学期望 离散型数学期望离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率Pi(=xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（x）。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。连续型设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。 若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。 能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。 离散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取值范围(取值)确定， 变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量， 比如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上， k是随机变量， k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数√20， 因而k是离散型随机变量。 如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量， 比如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量， x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、√20等，因而称这随机变量是连续型随机变量。 连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),若积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量X的数学期望，记为： 定义/数学期望 按照定义，离散随机变量的一切可能取值与其对应的概率P的乘积之和称为数学期望，记为E.如果随机变量只取得有限个值:x,y,z,...则称该随机变量为离散型随机变量。定义2决定可靠性的因素常规的安全系数是根据经验而选取的，即取材料的强度极限均值（概率理论中称为数学期望)与工作应力均值（数学期望)之比 计算/数学期望 在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。）单独数据数学期望对于数学期望的定义是这样的。数学期望 E(X)=X1*p(X1）+X2*p(X2）+……+Xn*p(Xn) X1,X2,X3，……，Xn为这几个数据，p(X1）,p(X2）,p(X3），p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1）,p(X2）,p(X3），……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi).则： E(X)&=&X1*p(X1）+X2*p(X2）+……+Xn*p(Xn)=X1*f1(X1）+X2*f2(X2）+……+Xn*fn(Xn) 很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。 我们举个例子，比如说有这么几个数： 1，1，2，5，2，6，5，8，9，4，8，1 1出现的次数为3次，占所有数据出现次数的3/12，这个3/12就是1所对应的频率。同理，可以计算出f(2)=2/12,f(5)=2/12,f(6)=1/12,f(8)=2/12,f(9)=1/12,f(4)&=&1/12&根据数学期望的定义： E(X)=1*f(1)+2*f(2)+5*f(5)+6*f(6)+8*f(8)+9*f(9)+4*f(4)=13/3 所以E(X)=13/3, 这些数的算术平均值： Xa=（1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1）/12=13/3 所以E(X)&=&Xa&=&13/3 万方数据期刊论文 北京工业大学学报 万方数据期刊论文 中国矿业大学学报 万方数据期刊论文 安徽农业科学 &|&相关影像 互动百科的词条（含所附图片）系由网友上传，如果涉嫌侵权，请与客服联系，我们将按照法律之相关规定及时进行处理。未经许可，禁止商业网站等复制、抓取本站内容；合理使用者，请注明来源于。 登录后使用互动百科的服务，将会得到个性化的提示和帮助，还有机会和专业认证智愿者沟通。 此词条还可添加& 编辑次数：14次 参与编辑人数：9位 最近更新时间： 14:20:55 贡献光荣榜【图文】4.1(随机变量的数学期望)_百度文库 两大类热门资源免费畅读 续费一年阅读会员，立省24元！ 评价文档： 4.1(随机变量的数学期望) 上传于||暂无简介 大小：655.50KB 登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！ 你可能喜欢2随机变量的数学期望_百度文库 两大类热门资源免费畅读 续费一年阅读会员，立省24元！ 2随机变量的数学期望 上传于||暂无简介 阅读已结束，如果下载本文需要使用1下载券 想免费下载本文？ 定制HR最喜欢的简历 下载文档到电脑，查找使用更方便 还剩2页未读，继续阅读 定制HR最喜欢的简历 你可能喜欢当前位置： >> 第一节 随机变量的数学期望 第一节随机变量的数学期望一、一维随机变量的数学期望二、二维随机变量的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质 五、数学期望性质的应用概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回
结束1一、一维随机变量的数学期望前面的章节中，我们研究了随机变量及 其分布，如果知道随机变量X 的概率分布， 那么 X 的全部概率特征也就知道了．但在实际问题中概率分布一般较难确 定，而且在一些实际应用中，人们并不需 要知道随机变量的一切概率性质，只要知 道它的某些数字特征就够了.概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 2例如，评价一批棉花的质量时,主要是 看其纤维的长度, 但我们不需要知道纤维长 度的概率分布, 只需要知道纤维的平均长度, 以及纤维长度与平均长度的偏离程度, 平均 长度越长, 偏离程度越小, 质量就越好. 由此看到, 与随机变量有关的某些数值, 虽然不能完整的描述随机变量, 但能清晰的 描述随机变量在某些方面的重要特征. 因此 研究随机变量的数字特征在理论和实践上 都具有重要的意义.概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 3随机变量某一方面的概率特性 都可以用数字来描述本 章 内 容? r.v.的平均取值 ―― 数学期望 ? r.v.取值平均偏离平均值的情况 ―― 方差 ? 描述两个 r.v.之间的某种关系的 数 ―― 协方差与相关系数下面先介绍随机变量的数学期望.概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束4X引例 设射击手甲、乙在同样条件下各进行 100次射击，其命中环数 X 是 一随机变量, 中靶情况如下表（其中0环表示脱靶）：X甲次数10 9 8 7 0X乙次数10987050201010102020302010试评定甲、乙射击水平的优劣.概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 5解：甲、乙两人在100次射击中每次命中 环数的平均值为:10 ? 50 ? 9 ? 20 ? 8 ?10 ? 7 ?10 ? 0 ?10 X甲 ? ? 8.3, 10010 ? 20 ? 9 ? 20 ? 8 ? 30 ? 7 ? 20 ? 0 ?10 X乙 ? ? 7.6. 100上面两式可以写成X甲 ? 10 ?X乙 ? 10 ?50 20 10 10 10 ? 9? ? 8? ? 7? ? 0? ? 8.3, 100 100 100 100 10020 20 30 20 10 ? 9? ? 8? ? 7? ? 0? ? 7.6. 100 100 100 100 100目录 上一页 下一页 返回 结束 6概率论与数理统计（湘潭大学）从上面甲、乙每次击中环数的平均值知道, 甲的射击水平要高些. 上面计算是以频率为权的加权平均值. 由频率与概率的关系, 不难想到, 计算其理 论平均环数的平均值时用概率来代替频率.由此启发，得到反应随机变量取值 “平均”意义特性的数值，应是随机变量 的一切可能取值与其相应概率乘积的总和.概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束7定义1.1 设离散型随机变量的概率分布为x1 x2 ? xn P p1 p2 ? pnX? ?或 其中P( X ? xi ) ? pi , i ? 1, 2,?.pi ? 0,??pi ?1?i? 1.xi pi 绝对收敛, 定义 若级数 ? X 的数学期望为 i ?1E ( X ) ? ? xi pii ?1?数学期望简称均值或期望.概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 8注: 离散型随机变量的数学期望是一个绝对 收敛的级数的和. 若级数不是绝对收敛, 则数学期望不存在.概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束9例1 设随机变量X具有如下的概率分布，求E(X).2 1 P{ X ? (?1) ? } ? k , k 2kkk ? 1,2,...解?虽然有? k? 2k 1 k 1 ? ? ln 2 xk P{ X ? xk } ? ? (?1) ? ? k ? ? (?1) ? k k 2 k ?1 k ?1 k ?1收敛,但?k ?1?1 xk pk ? ? ? ?? k ?1 k?发散, 因此E(X)不存在.概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 10“0 ? 1 ” 例2 设随机变量 X 服从 分布， 其概率分布为X0q1p ( xi )p( p ? q ? 1)求 X 的数学期望 E ( X ).解：E ( X ) ? 0 ? q ? 1? p ? p.概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束11例3 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中 只有一把能打开自己的家门，他随意的试 用这串钥匙中的某一把去开门，若每把钥 匙试开一次后除去，求打开门时试开次数 X 的数学期望. 解1 据题意有 P( X ? k ) ? , nn k ?1k ? 1, 2,? , n.于是 E ( X ) ? ? k ? 1 ? 1 ? (1 ? n)n ? n ? 1 .n n 2 2概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束12定义1.2 设连续型随机变量的概率密度为f ( x), 若积分?????x f ( x)dxX 收敛, 定义的数学期望为 ?? E ( X ) ? ? x f ( x)dx??注: 连续型随机变量的数学期望是一个绝对 ?? 收敛的积分, 若积分 ??? x f ( x)dx 不收敛, 则数学期望不存在. 数学期望的本质 ―― 加权平均 它是一个数不再是 r.v.概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 13例4 设随机变量 X 服从柯西分布,其概率密度为 1 f ( x) ? , ? ? ? x ? ??. 2 ? (1 ? x ) 求 E ( X ). ?? 1 ?? x dx ? 0, 解 虽 E ( X ) ? ??? x f ( x)dx ? ??? 2 ? (1 ? x )1 2 ?? x 但 ? | x | f ( x)dx ? ? | x | dx ? ? dx 2 2 ?? ?? ? 1? x ? 0 1? x?? ??1?1????01 1 2 2 ?? d ( 1 ? x ) ? ln( 1 ? x ) |0 ? ? 2 1? x ?所以 E ( X ) 不存在.概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 14例5 设随机变量 X 服从 [a, b] 的均匀分布, 求 E ( X ).解 E ( X ) ? ? x f ( x)dx????? ? x f ( x)dx ? ? x f ( x)dx ? ??? aab??bx f ( x)dx??ba1 x dx b?a1 1 2 a?b 2 ? ? (b ? a ) ? . b?a 2 2概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 15E ( X ). 例6 设随机变量 X ? N (? , ? ) , 求2解 E ( X ) ? ? x f ( x)dx??x???????t????? 1 x e ? 2?( x ? ? )2 2? 2dxt2 ? 2?1 ? ? (? ? ? t ) e dt ?? 2???? ? 2??? 概率论与数理统计（湘潭大学）?2????1 e dt ? ? ? t e dt ? ? ?? 2???t2 ? 2t2 ? 2???e dt ? 2? .目录 上一页 下一页 返回?t 2被积函数为奇 函数结束16二、二维随机变量的数学期望 定义1.3 设二维离散型随机变量( X , Y ) 的联合概 率分布为 P( X ? xi , Y ? y j ) ? pij , i=1,2,?, j =1,2,?, 则定义随机变量 X 、Y 的数学期望分别为E( X ) ? ? xi P( X ? xi ) ? ?? xi pij ,E(Y ) ? ? y j P(Y ? y j ) ? ?? y j pij .j j iiij上述公式与一维离散型随机变量的数学期望的 定义一致, 公式中的和式可以是有限项的和, 也可以 是级数的和, 假定级数是绝对收敛的.概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 17定义1.4 设二维连续型随机变量( X , Y ) 的 联合概率密度为 f (x,y ), 则定义随机变量 X 、Y 的数学期望分别为E ( X ) ? ? x f X ( x)dx ? ??? ?? ?? ???????x f ( x, y)dxdy,E (Y ) ? ?????y fY ( y)dy ? ??????????y f ( x, y)dxdy.上述公式与一维连续型随机变量的数学 期望的定义一致, 假定广义积分是绝对收敛的.概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 18三. 随机变量函数的数学期望 1. 设离散随机变量 X 的概率分布为XX p( xi )x1p( x1 )x2p( x2 )? ?xn p( xn )? ?则随机变量Y ? g ( X )的可能值与取这些值的概率 可列表如下：Yp( y)g ( x1 ) g ( x2 ) p( x1 ) p( x2 )i? ?g ( xn ) p( xn )? ?则E (Y ) ? E ? g ( X )? ? ? g ( xi ) p( xi ).目录 上一页 下一页 返回 结束 19概率论与数理统计（湘潭大学）说明： (1) 一般来说,上表不一定是 Y ? g ( X ) 的概率分布 表， 但有了这个表格就可以计算 Y 的数学期望. 例如： 设 g ( xi ) ? g ( x j ) ? yk , 则由加法定理有 P(Y ? yk ) ? p( xi ) ? p( x j ), 此时 yk P(Y ? yk ) ? yk [ p( xi ) ? p( y j )]? g ( xi ) p( xi ) ? g ( x j ) p( x j ).(2) 若 X 的可能值为一个可数无穷集合时,公式的右边为级数. 假定这个级数是绝对收敛的.概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 20例7 设随机变量 X 的概率分布为?1 0 X ?2 1 2 3 p( xi ) 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10求随机变量函数 Y ? X 2 的数学期望. 解：直接按公式计算E (Y ) ? (?2) 2 ? 0.10 ? (?1) 2 ? 0.20 ? 02 ? 0.25? 1 ? 0.20 ? 2 ? 0.15 ? 3 ? 0.10 ? 2.30.222概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束21另解： 先求随机变量 Y ? X 2 的概率分布Y ? X2 0p( y j )149 0.100.25 0.400.25于是数学期望E (Y ) ? 0 ? 0.25 ? 1? 0.40 ? 4 ? 0.25 ? 9 ? 0.10? 2.30.概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束222 . 设连续随机变量 X 的概率密度为 f ( x) , 则随机变量的函数Y ? g ( X ) 的数学期望定义 为 ??E (Y ) ? E?g ( X )? ? ??? g ( x) f ( x)dx.注：假定这个广义积分是绝对收敛的.概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束23例8 设随机变量 X 在区间?0 , ? ? 上服从均匀分布 求随机变量函数 Y ? sin X 的数学期望. 解 随机变量 X 的概率密度为?1 , ? f ( x) ? ? π ? ?0 ,?? ??0 ? x ? π; 其它.π所以 E (Y ) ? ? sin xf ( x)dx ? ? sin x ? 1 dx 0π 1 π 2 ? ? sin xdx ? . π 0 π概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 24说明： 也可以先求出Y ? sin X 的概率密度2 ? , ? 2 fY ( y ) ? ? π 1 ? y ?0 , ?再计算数学期望10 ? y ? 1; 其它.2 2 1 y 2 dy ? ? dy ? . E (Y ) ? ?0 y ? 2 2 π 0 1? y π π 1? y但这样麻烦， 从例7、例8 知： 计算随机变量函数的 数学期望不必求随机变量函数的分布.概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束253. 设二维离散随机变量 ( X , Y )的联合概率分布为P( X ? xi , Y ? y j ) ? pij , i=1,2,?, j =1,2,?,则随机变量函数 g ( X , Y ) 的数学期望为E?g ( X , Y )? ? ?? g ( xi , y j ) pij .i j4. 设二维连续随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x , y ) , 则随机变量函数 g ( X , Y )的数学期望为E ?g ( X , Y )? ? ?g ( x , y ) f ( x , y )dxdy. ? ?? ???? ??注：假定上面的级数与反常积分都是绝对收敛的.概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 26例9 设（X,Y）的联合分布律如下，Z=XY，求E(Z).XY0 0.1 0.15 0.25 1 2 310.250.150.1解E(Z ) ? 1? 0 ? 0.1 ? 1?1? 0.25 ? 2 ? 0 ? 0.15 ? 2 ?1? 0.15?3 ? 0 ? 0.25 ? 3 ?1? 0.1 ? 0.85概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 27例10( X , Y ) 的联合概率密度为： 设二维随机变量8 ? , ? 2 2 3 f ( x , y ) ? ? π( x ? y ? 1) ? 0 , ? x?0,y ?0; 其它.求随机变量函数 Z ? X 2 ? Y 2 的数学期望. 解： E ( Z ) ? E ( X 2 ? Y 2 )8 ? ? ? (x ? y ) ? dxdy 2 2 3 0 0 π( x ? y ? 1) 8 ?? ?? x 2 ? y 2 ? ? ? dxdy 2 2 3 π 0 0 ( x ? y ? 1)?? ?? 2 2?? 8 2 r2 8 π 1 ? ? d? ? r dr ? ? ? ? 1. 2 3 0 0 π (r ? 1) π 2 4概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 28?另解可先求出求随机变量函数 Z ? X ? Y22的概率密度, 再利用一维随机变量期望的 公式计算 E ( Z ) ? E ( X 2 ? Y 2 )略概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束29补充例题 ?2 X 求 E ( X ? e ). 例1 设 X服从参数为1的指数分布, 解：据题意有X 的概率密度为?e ? x , f ( x) ? ? ?0, x ?0; x ? 0.则E( X ? e?2 X) ? ? ( x ? e?2 x ) e? x dx? ? x e dx ? ? e?x 0 0??0 ???? ?3 xdx1 4 ? 1? ? . 3 3概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 30例2 设 X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1), X ,Y 相互独立, 求E (max(X ,Y )) .1 解 f ( x, y ) ? f X ( x ) f Y ( y ) ? e 2??? ??x2 ? y2 ? 2E (max{ X , Y }) ? ? ?? ? ?? max{ x, y} f ( x, y )dxdy? ?? max{ x, y} f ( x, y )dxdyD1D1 D2返回 结束 31? ?? max{ x, y} f ( x, y )dxdyD2概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页1 ? ?? y e 2? D1x2 ? y 2 ? 21 dxdy ? ?? x e 2? D2x2 ? y 2 ? 2dxdy1 ? 2???x ?? ? 2 ??2edx ??? xyey ? 221 dy ? 2??y2 ?? ? 2 ??edy ? xey??x2 ? 2dx?? ?1x2 ?? ? 2 ??edx ? x ye??y2 ? 2dy ??? ??其中?? ??? ?1?? ??e? x2dx?1?e? x2dx ?2? 称为 概率积分?? ??( ? e dx ) ? ?? x2 ?????e?( x 2 ? y 2 )dxdy? 4?概率论与数理统计（湘潭大学）目录?? 0??? 0e?( x 2 ? y 2 )返回dxdy结束 32上一页下一页1 ? 4? ? ? ? 2 2 ?? ? x2 所以 ? e dx ? ???? 4??? 0???? 0e?( x ? y )22dxdy ? 4 d?0?? 2??? 0e rdr?r 2一般地，若X ~ N ( ? ,? 2 ), Y ~ N ( ? ,? 2 ), X ,Y 相互独立，则? E (max{ X , Y }) ? ? ? ? ? E (min{ X , Y }) ? ? ? ?目录 上一页 下一页 返回概率论与数理统计（湘潭大学）结束33例3 设随机变量X 在区间 [?1 ,2]上服从均匀分布，令求 E (Y ) .?1 , ? Y ? ?0 , ?? 1 , ?X ?0; X ? 0; X ? 0.易知 X 的概率密度为 解：? 1, ? f ( x) ? ? 3 ? ?0 , ?1 ? x ? 2 ; 其它.概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束34于是 01 P(Y ? ?1) ? P( X ? 0) ? ??1 dx ?3?1 , ? Y ? ?0 , ?? 1 , 1 ; ?X ?0; X ? 0; X ? 0.P(Y ? 0) ? P( X ? 0) ? 0 ; 21 2 P(Y ? 1) ? P( X ? 0) ? ?0 dx ? . 3 33从而1 2 1 E (Y ) ? (?1) ? ? 0 ? 0 ? 1 ? ? . 3 3 3概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束35例4 已知X ,Y 相互独立, 且都服从N (0,0.5), 求 E( | X C Y | ). 解X ~ N (0,0.5), Y ~ N (0,0.5) E ( X ? Y ) ? 0, D( X ? Y ) ? 12故X ? Y ~ N (0,1) z ? ?? 1 E (| X ? Y |) ? ? ?? | z | e 2 dz 2? z ? 2 ?? 2 2 ? z e dz ? ? 2? 0 ?2目录 上一页 下一页 返回 结束 36概率论与数理统计（湘潭大学）四. 数学期望的性质 性质1 设 C 为一常数，则E (C ) ? C.证明 常数 C 看作一个随机变量，它只可能 取一个值 , C P( X ? C ) ? 1. 即所以E(C ) ? C ?1 ? C.概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束37C 为一常数，则 性质2 设 X 为随机变量，E (CX ) ? CE ( X ).证明 设离散随机变量 X 有 P( X ? xi ) ? pi , i ? 1, 2,?. 则 E (CX ) ? ? Cxi pi ? C ? xi pi ? CE ( X ).i设连续随机变量 X 有概率密度 f ( x), 我们有E (CX ) ? ??? Cxf ( x)dx??i? C?????xf ( x)dx? CE ( X ).概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束38性质3 设 X , Y 为任意两个随机变量，则E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y ).证明 对于离散随机变量，E ( X ? Y ) ? ?? ( xi ? y j ) p ( xi , y j )i j? ?? xi p ( xi , y j ) ? ?? y j p ( xi , y j )i j i j? E ( X ) ? E (Y ).概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束39设连续随机变量的联合概率密度为 f ( x , y ), 则E ( X ? Y ) ? ??? ??? ( x ? y ) f ( x , y )dxdy?? xf ( x , y )dxdy ? ? ? yf ( x , y )dxdy ? ?? ?? ?? ???? ???? ???? ???? ????xf X ( x)dx ? ??? y fY ( y)dyE (? X i ) ? ? E ( X i ).i ?1 i ?1 n n??? E ( X ) ? E (Y ).该性质推广:概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束40结合性质1,2, 3可得数学期望的线性性质E(C1 X ? C2Y ? C3 ) ? C1E( X ) ? C2 E(Y ) ? C3 ,其中 C1, C2 , C3 为常数. 一般地, 设 n 个随机变量 X1, X 2 ,?, X n , 则E{? (Ci X i ? Di )} ? ? Ci E ( X i ) ? ? Di ,i ?1 i ?1 i ?1 n n n其中 Ci , Di (i ? 1, 2,?, n) 为常数.概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束41性质4 设随机变量 X , Y 相互独立，则E ( X Y ) ? E ( X ) E (Y ).证明 设离散随机变量 X , Y 相互独立，则P( X ? xi , Y ? y j ) ? P( X ? xi ) P(Y ? y j ),从而 E( XY ) ? ?? xi y j P( X ? xi , Y ? y j )i j? ?? xi y j P( X ? xi ) P(Y ? y j )i j? ? xi P( X ? xi )? y j P(Y ? y j ) ? E ( X ) E (Y ).i j概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束42设连续随机变量 X , Y 相互独立，则f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y),从而 E ( XY ) ? ??? ??? x y f ( x, y)dxdy???? ???????????x y f X ( x) fY ( y)dxdy?? ????????xf X ( x)dx ?y fY ( y)dy? E ( X ) E (Y ).概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束43注: 由 E ( X Y ) ? E ( X ) E (Y ), 不一定能推出 X , Y 独立. 利用数学归纳法可以把这个性质推广到 有限多个相互独立的随机变量情形一般地, 设 X1 , X 2 ,?, X n 相互独立, 则E( X1 X 2 ? X n ) ? E( X1 ) E( X 2 )?E( X n ).概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束44反例pij X Y -1 0 1pi?-101p? j181801838 28 3818 1838目录18 1838下一页 返回 结束1828上一页概率论与数理统计（湘潭大学）45XY P-101284828E ( X ) ? E (Y ) ? 0; E ( XY ) ? E ( X ) E (Y )E ( XY ) ? 0;但1 P( X ? ?1, Y ? ?1) ? 83? ? ? P( X ? ?1) P(Y ? ?1) ? ? ? ?8?2概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束46五. 数学期望性质的应用例11 随机变量 X ? B(n, p), 求 E ( X ). 解 因为 X ? B(n, p),则X表示n重贝努利试验中的“成功” 次数.?1 如第i次试验成功 i=1,2，…，n 若设 X i ? ? ?0 如第i次试验失败则 且X= X1+X2+…+XnE(Xi)= 1 ? p ? 0 ? (1 ? p)= pn i ?1所以 E(X)= ? E ( X i )= np概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 47例12 把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果 数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个 巧合，求巧合个数的数学期望. 解: 设巧合个数为X, 引入?1, 数字k恰好出现在第k个位置上 k=1,2, …,n Xk ? ? 否则 ? 0， n则( n ? 1)! 1 ? 由于 E(Xk)=P(Xk =1) ? n n 1 n! 故 E ( X ) ? ? E ( X k )? n ? ? 1 n k ?1k ?1概率论与数理统计（湘潭大学）目录 上一页 下一页 返回 结束 48X ? ? Xk概率论与数理统计（湘潭大学）目录上一页下一页返回结束49 中级计量经济学讲义_第二章第一节分布函数(Distribution function),数学期望(Expectation...? x ? f ( x ) dX ,f(x)称为随机变量的(分布)密度函数(density ...第四章 随机变量的数字特征_研究生入学考试_高等教育_教育专区。北大燕园强化班内部讲义 第四章 随机变量的数字特征第一节 随机变量的数学期望一、 内容精要(一)...第一节 随机变量的数学期望 随机变量的数字特征 一、离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量数学期望的概念,0-1分布、二项分布、泊松分布的数学期望。 二、连续...随机变量的数学期望 一、数学期望的概念 二、数学期望的定义 三、数学期望的性质 第三节:随机变量的方差与标准差 一、方差与标准差的定义 二、方差的性质 三、...关键词:离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT: 第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义,即定义法 [1] ...摘要 摘 要 数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个重要的数字特征。在...j ? ? 第二节 连续型随机变量数学期望的计算方法 连续型随机变量的数学期望的...随机变量的条件数学期望... 2页 免费 第一节 数学期望 48页 1下载券 第一...?x k ?1 ? k p k 不绝对收敛, 因此 X 的数学期望不存 例 5 在一个...概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率 第一节 基本概念 随机实验:将一切...由边缘分布确定联合分布 第四章 随机变量的数字特征 离散型随机变量数学期望的...并能在已知其分布的条件下计算其数学 期望、方差及随机变量间的协方差和相关系数...教学内容: 第一节 第二节 随机变量的概念 随机变量的分布 1.离散型随机变量...教学重点:数学期望和方差 教学难点:大数定理与中心极限定理 第一节 数学期望 离散型随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望,随机 变量函数的数学期望,数学... All rights reserved Powered by copyright ©right 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。