高数极限计算经典题目 高数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-11-19 12:12 标签： 高数极限计算器
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高等数学中函数极限计算方法
（无锡职业技术学院，江苏无锡214000）
［摘要］极限理论是微积分学的理论基础，极限思想贯穿于整个高等数学，而极限的计算是极限理论的重要组成部分。因此掌握计算极限
的方法是学好高等数学的前提条件。本文对函数极限常用的计算方法进行了总结。［关键词］极限；连续；导数；方法
极限理论是微积分学的理论基础,极限思想贯穿于整个高等数学，高等数学中大部分的主要概念都是建立在极限理论基础上的，例如导数、定积分、级数等等。极限的计算是极限理论的重要组成部分。因此掌握计算极限的方法是学好高等数学的前提条件。本文总结了函数极限常用的计算方法以及在计算过程中要注意的问题。
一、利用左、右极限求极限
左、右极限常用来求分段函数在分段点处的极限，需要注意的是左、右极限也可以用来求含有绝对值表达式的函数的极限。
例1求limx→0tanx2+21
解：limx→0+tanx2+21|x|+1+2?=limx→0+
tanx2·2-2+2-1+?=1+0=1
-tanx1|x|+2+21+2?=limtanx1+2+2x→0
1所以xlim→0+
tanx+2+2?=limtanx+2+2x→0
?=1即limtanx1+2+2x→0
=1二、利用极限运算法则求极限
定理已知limf（x），limg（x）都存在，极限值分别为A，B，则1）lim[f（x）±g（x）]=A±B2）limf（x）·g（x）=A·B
3）limf（x）=A，（此时需B≠0成立）
注意极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，常常要对函数进行恒等变形或化简。常用的方法有分式的约分或通分、分式有理化、三角函数的恒等变形等。
例2求limx→4
解：原式=limx→4
（x-4）（+3）（姨-3）（姨+3）
=limx→4（x-4）（+3）=limx→4（姨+3）=limx→4姨+3=6。例3求lim2x2-x+5x→∞
。2-1解：原式=lim+5
=0x=0。3--三、利用两个重要极限求极限
（1）limx→0sinx=1；（2）limx→0（1+x1
=e；lim（1+1x→∞x=e.不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应注意运用它们的变形形式：
limsinf（x）=1；lim（1+f1
1f（x）→0
（x）；limf（x）→∞
例4limx→0
2sin2x2sin2x
解：原式=lim
x→0=limx→0=1。
例5limx→0（
解：原式=lim-6sinx
1-3sinx）=lim1
-6sinxx→0[（
1-3sinx）]=e-6
四、利用无穷小求极限
定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小。
定理当x→0时，下列函数都是无穷小且相互等价，即有：x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（1+x）～ex-1。需要注意当上面每个函数中的自变量x换成g（x）时（g（x）→0），上面的价关系成立。
定理若x→x0时f（x）～f1（x），g（x）～g1（x），则当limx→x
1存在时，有limx→x（fx）0
。1例6求limx→x2
。解：当x→0时，sin1的极限不存在，不能直接用法则。但因为
当x→0时，x2是无穷小，而sin11
是有界函数，sin
≤1，因此，
x2sin1=0。
例7limx→0x1n（1+3x）解：∵x→0时，1n（
1+3x）～3x，arctan（x）2
~x2，∴原式=limx→0
x·3x=3。例8limexx→0
解：原式=limx→0esinx（ex-sinx-1）=limx→0
esinx（x-sinx）=1。注：下面的解法是错误的：
原式=limx→0（ex-1）-（esinx-1）=limx→0
x-sinx=1。要注意对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用等价无穷小代换。
五、利用连续性求极限
定理一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f（x）的定义去间内的一点，则有limx→x0
x）=f（x）0。注意利用连续函数求极限时，对于复合函数f（u）在u=a处连续，
且limx→x0
φ（x）=a则limx→x0
f[φ（x）]=f[limx→x0
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高等数学极限计算练习题
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