习题1；已知某班级40名学生进行完全随机的排序，试求“张；解：根据式（1-1），可得1．1；I?；log；)??logP(x)；P(x)；因为张明排名10名后的概率为3/4，张明排名16；I1??log2P(x1)＝?log20.75?；I2??log2P(x2)＝?log20.125；1．2；已知某信源以不同概率发送四种符号ABCD，其中符；出现的信息量分
已知某班级40名学生进行完全随机的排序，试求“张明排名在第十名之后”的信息量是多少？“张明排名在第十六名到第二十名之间”的信息量又是多少？
解：根据式（1-1），可得 1．1
)??logP(x)
因为张明排名10名后的概率为3/4，张明排名16~20之间的概率为1/8，故两者的信息量分别为（对数以2为底，得出的信息量单位为比特）。
I1??log2P(x1)＝?log20.75?0.415(bit)
I2??log2P(x2)＝?log20.125＝3(bit)
已知某信源以不同概率发送四种符号ABCD，其中符号A出现概率为60%，B出现概率为25％，C为10％，D为5％。试计算四种符号
出现的信息量分别是多少，整个信源的平均信息量是多少？
解：由式（1-1），可知四种符号出现的信息量分别为
IA??log20.6?0.737bitIB??log20.25?2bitIC??log20.1?3.322bitID??log20.05?4.322bit
由式（1-3），信源的平均信息量为
[P(x)logH(x)= ?
＝0.737?0.6＋2?0.25＋3.322?0.1＋4.322?0.05?1.4905bit
某信源用每秒3000个的速率发送十六进制的码元。如果要保持其传输比特速率不变，改用八进制的码元，则其码元速率应达到多少？
解：因为，故每一个16进制的码元，其平均信息量为4比特。这样，信源的信息速率为4×比特/秒。改用八进制码元，每个8进制码元信息量为3比特，因此需要每秒钟传输0个码元。 1．4 某信源每秒发送2500个码元。若要求其误码元率不超过百万之分一，试求在一小时内，该信源发送的码元错误不能超过多少个？ 解：每小时信源发送的码元为＝900万个。要求误码率不超过百万分之一，故一小时中的码元错误不能超过9个。 1．5 以下两个信号，哪一个更接近基带信号，哪一个更接近带通信号？
sin20k?t?cos2M?t （2）sin90?t?sin100?t
解：sin20k?t?cos2M?t，其最高角频率为2M?，最低角频率为20k?
为1010kπ。显然，中心频率与带宽的数量级相当，这是一个基带信号。 率是带宽的接近10倍，相比前一个信号，更接近于带通信号。 1.6
，因此其单边带宽为1980kπ，而中心频率
sin90?t?sin100?t，其最高角频率为100kπ，最低角频率为90kπ，因此其单边带宽为10kπ，而中心频率为95kπ。中心频
，求当输入信号为
x(t)?cos200?t?sin300?t?cos500?t时，输出信号为多少？
f2是以周期频率为单位的。输入信号x(t)的三个分量，其周期频率分别为100，150和250解：本题须注意，频率响应函数H(f)?
赫兹。故而输出信号为
y(t)?cos200?t?H(100)?sin300?t?H(150)?cos500?t?H(250)＝
cos200?t??sin300?t??cos500?t?
＝10cos200?t?22.5sin300?t?62.5cos500?t
?(t)和f(t)对应的解析信号z(t)。
1.7 已知实信号f(t)= cos(?t??)，求f(t)的希尔伯特变换f
解：可以采用式（1-29）和（1-30）来进行计算。但也可以直接通过定义来求解 因为f(t)=
cos(?mt??)
exp[j(?mt??)]?exp[?j(?mt??)]?Re{exp[j(?mt??)]} 22
?因此，f(t)的解析信号即为exp[j(?t??)]，而其希尔伯特变换f(t)＝sin(?t??)]
1.8 已知某通信系统中，信号功率为1W，信噪比为60dB，求噪声功率为多大？ 解：信噪比60dB，即信号功率为噪声的
106倍。因此，噪声功率为1/106?10?6瓦特，也就是1微瓦。
2.1 抛一骰子，出现1～6概率均等，定义随机变量X=骰子点数，试画出概率分布函数解：如图。
FX(x)的图形。
2.2 求出2.1题中变量X的概率密度函数fX(x)。
解：对习题2.1的图示概率分布函数进行微分，显然在1，2，3，4，5，6六个点处各有一个高度为1/6的冲激函数。因此其概率密度函数应
fX(x)??(x?1)??(x?2)??(x?3)??(x?4)??(x?5)??(x?6)
2.3 某连续随机变量的累积分布函数为
试求：(1)求A和B的值，并画出概率密度函数fX(x)； (2)计算P(X&5)，P(X&4)和P(2&X&8)。 解：根据概率分布函数的定义，
FX(?)＝1。因此
B＝1。又因为是连续随机变量，因此有
FX(10)?FX(10?)，即
A?103＝B＝1，因此A＝0.001
对FX(x)进行微分可得fX(x)，即：
fX(x)＝0.003x2
其他 据此可作出图（图略）
FX(5)=1-0.125=0.875
由于是连续分布，即P(X&4) ?P(X?4)?FX(4)?0.064
P(2&X&8) ≈P(2&X≤8)=P(X≤8)-P(X≤2)= FX(8)-FX(2)=0.512-0.008=0.504
P（X&5）=1-P(X≤5)=1-
2.4 X的概率密度函数fX(x)=
其他 试计算X的均值、均方差。 解：由式（2-7）可知其均值为
由式（2-8）、（2-9）可知其均方差为
xfX(x)dx??0.1xdx?0
?2X?E(X2)?[E(X)]2＝?x2fX(x)dx?02??0.1x2dx?
2.5 已知随机变量X(t)的某个样本x1(t)＝cosωmt,试求该样本的时间均值、时间方差和时间自相关函数。并求其直流功率和交流功率。 解：由式（2-12）、（2-14）、（2-17）可求这三个值。因为x1(t)是一个周期信号，故而对这三个值可以在一个周期T内求。显然，周期T＝
1T/21T/2x1(t)??x1(t)dt??cos?mtdt?0
T?T/2T?T/21T/21T/21T/21222
[x1(t)?x1(t)]dt??x1(t)dt??cos2?mtdt? ?x1??T?T/2T?T/2T?T/22
x(t)x(t??)dt?cos?tcos?(t??)dt?cos?m?11mm???T/2?T/2TT2
显然，该样本的直流分量为0，其直流功率也为0。而交流功率则为1/2。这里可见，正弦波形的功率与其频率无关。
2.6 已知某随机变量X满足一维正态分布，其均值为10，方差为4，试写出其概率密度函数表达式，并计算X&5的概率。 解：根据式（2-18），正态分布的随机变量X，其概率密度函数为
代入均值和方差，可得
fX(x)= exp[?]
又根据式（2-21），可得
P(X&5)=1-P(X&5)= 1－Q[(5-a)/σ]=1－Q（-2.5）＝Q(2.5) 查表可得Q(2.5)＝0.00621。故X&5的概率约为0.00621。
2.7 已知某高斯白噪声，功率谱密度为n0/2，均值为0。将该噪声通过下列滤波器： |H(ω)|=1，
ωL&|ω|&ωH
试求：（1）输出窄带噪声的功率；（2）输出窄带噪声的一维概率密度函数；（3）自相关函数。
n0/2，单边带宽为?H－?L，因此噪声功率为(?H－?L)n0
（2）输出窄带噪声依然为一维正态分布，其均值为0，方差即噪声功率为(?H－?L)n0，故可得其概率密度函数为
解：（1）噪声功率谱密度为
（2???)n2?（?H??L)n0HL0
（3）窄带噪声自相关函数为0。
2.8 某各态历经平稳随机过程X(t)，其均值为m，功率谱密度函数为P(ω)，有
P(ω)=0.5ω,
|ω|&200π
而通过一个线性时不变系统，其频率响应函数为H(ω)，有
|H(ω)|＝0.5cosω，
|ω|&100π
试求输出随机过程Y(t)的均值和功率谱密度。 解：根据式（2-25），可知输出随机过程Y(t)的均值为 E[Y(t)]=H(0)E[X(t)]=0.5m
根据式（2-26，可知输出随机过程Y(t)的功率谱密度函数为
Py(?)?P(?)|H(?)|2?0.25?cos2?
|ω|&100π
2.9 同时抛大中小三个骰子，每个骰子点数为1～6。求（1）三个骰子点数相同的概率（2）三个骰子点数之和为6的概率（3）大骰子点
数比中骰子大，中骰子点数比小骰子大的概率。
解：（1）设大骰子点数为任意值，则中骰子取到这个点数的概率为1/6，小骰子取到这个点数的概率也是1/6。三个骰子又彼此独立，故有 P（中＝小＝大）＝P（中＝大）×P（小＝大）＝(1/6)×(1/6)＝1/36
（2）三个骰子，每个骰子有6种可能取值，故三个骰子的结果共有216种可能。这其中满足三个骰子和为6的只有411，321，312，231，213，141，114，132，123九种，因此三个骰子点数和为6的概率为9/216=1/24。 （3）显然，当大骰子取a时（3≤a≤6），则中骰子取值为b（2≤b≤a-1），小骰子取值为c(1≤c≤b-1)。又由于三个骰子彼此独立，故而满足的总概率为
P＝?216l?3
用编程可以很容易解决让计算机运算出结果。或者用数列知识，也可算出结果为20/216。
2.10 已知某通信系统，其信道带宽为1MHz，请问当传输信噪比为30dB的时候，该信道理论上每分钟最多能传输多少个四进制的码元而不
发生错误？
解：根据香农式（2-23，信道容量为
C?Blog2(1?
代入B＝1M，S/N=1000，可得信道容量C≈9.967M（比特/秒）
而每个四进制码元对应2比特的信息，故而该信道每分钟理论上无误传输四进制码元的上限为
60×9.967M/2＝2.9901 (个）
3.1．AM调制信号，已知载波为余弦波，其ωc＝20πKHz，调制信号f(t)为余弦波，ω0＝2πKHz，幅度为2。 （1） 写出当调幅指数分别为0.5，1，2三种情况的已调信号表达式。 （2） 试画出其已调信号波形图。 （3） 试画出其已调信号频谱图。 （4） 计算三种情况下，对应1
解：（1）β＝0.5时，
?电阻的边带功率、载波功率和调制效率。
sAM(t)?(2?cos2?kt)cos20?kt β＝1时，sAM(t)?(2?2cos2?kt)cos20?kt
sAM(t)?(2?4cos2?kt)cos20?kt
?A?AP?f(t)＝Am，三种情况下分别为1/4，1和4。对应的调（4）载波功率为P
＝2，边带功率为c00f
制效率分别为1/9，1/3和2/3。
3.2．有一调幅信号s(t)= (Acosωmt+1) cosωct，其中A＝10，调制信号频率fm=1KHz，载波频率fc=1MHz。画出该信号的相干解调模型框图。并说明该信号能否采用包络检波器解调？
解：图略。该信号不能采用包络检波器解调。因其调幅指数大于1。
3.3．一单边带调幅信号，已知其载波幅度A＝1，载波频率fc=2MHz，基带调制信号f(t)= cosωmt+sinωmt。其中fm＝5KHz。 （1）写出f(t)的希尔伯特变换
?(t)的时域表达式。 f
（2）写出该单边带调幅信号上边带和下边带的时域表达式。 （3）画出用相移法得到上边带和下边带调幅信号的框图 解：(1)
?(t)＝sin10kπt－cos10kπt f
Amcos(?c??m)t＋Amsin(?c??m)t 2211
sLSB(t)?Amcos(?c??m)t＋Amsin(?c??m)t
22sUSB(t)?
3.5．已知基带信号频率范围为100～1000Hz，欲用载波频率fc＝1GHz进行单边带调制，并保留调制信号的下边带。试设计采用滤波器的调制方法，
并画出方框图。
解：基带信号最低频率100Hz，故需要进行单边带滤波时其上下边带间隔为200Hz。而工作频率为1GHz，其归一化值为
2?10－7，远远小于
10－3。此时滤波器实现难度较大。为此采用多次滤波。经过观察选择三次滤波。
第一次混频、滤波，边带频率间隔200Hz，选择工作频率f1=100KHz。此时归一化值为0.002&带。
10－3，滤波器容易实现。用上边带滤波器保留上边
第二次混频、滤波，边带频率间隔约为200kHz，选择工作频率f2=100MHz。此时归一化值为0.002&，滤波器容易实现。用上边带滤波器保留上边带。
第三次混频、滤波，边带频率间隔约为200MHz，选择工作频率f3=1GHz。此时归一化值为0.2，滤波器容易实现。用下边带滤波器保留下边带即可。 方框图略
3.6.设信号的发射功率相同，抑制载波双边带调幅信号和指数为1的完全调幅信号，两者的边带功率之比为多少？ 解：由式（3-10），完全调幅信号的调制效率为
代入β＝1可知其效率为1/3。而抑制载波双边带调幅信号的调制效率为1。故在信号发射功率相同时，两者的边带功率之比为3：1。
4.1 考虑一种情况，当基带信号f(t)为一直流信号f(t)=A时，用该信号去对载波c(t)=cosωct进行频率调制。其中频率偏移常数为K1。
试写出此时的已调制信号s1(t)的时域表达式，并计算其瞬时频率偏移和瞬时相位偏移的表达式。
解：根据式（4-2），有 s(t)=cos[ωct+ KFMf(t)t]= cos[ωct+ AK1t]= cos(ωc+ AK1)t 其瞬时相位偏移为AK1t，瞬时频率偏移为AK1。
4.2 同上题，用同一基带信号f(t)去对同一载波进行相位调制，相位偏移常数为K2。试写出此时的已调制信号s2（t）的表达式，并计算
瞬时频率偏移和瞬时相位偏移。
解：根据式（4-6），有 s(t)= cos[ωct+ KPMf(t)]＝cos[ωct+ AK2] 其瞬时相位偏移为AK2，瞬时频率偏移为0。
4.3 已知某FM信号，其载波功率为20W，载波频率为50Hz。基带信号f(t)为正弦波，其频率为5Hz，调制指数为5，求其已调制信号的表
解：载波功率为20W，可知载波的幅度为
，调频指数为 2。由式（4-5）
βFM= KFMAm/ωm＝5，可知KFMAm=5ωm=50π。故可得
s(t)=Acos[ωct+ KFMf(t)t]=
4.5 用10KHz的正弦信号调制10MHz的载波，最大频偏为200kHz。试确定此时FM波的近似带宽。如果在载波和频率偏移常数都不变的情况
下，信号f(t)频率加倍，此时FM信号近似带宽为多少？如果f(t)信号的振幅再加倍，近似带宽又是多少？
解：根据卡森公式（4-19），
2cos(100??50?cos10?t)t
BFM=2(1+βFM)fm。其中fm?10k
由于最大周期频率偏移为200kHz，故而最大角频率偏移为而
βFM= KFMAm/ωm＝可计算出
?ωmax＝400π
BFM=420kHz
载波和KFM都不变时，f(t)频率加倍，则βFM= KFMAm/ωm减半变成10，而
fm加倍为20k，故而近似带宽BFM=2(1+
βFM)fm为440kHz。
如果在此基础上信号振幅再加倍，则βFM= KFMAm/ωm加倍成为20，此时近似带宽为840kHz。 4.6已知有一窄带调频信号，其载频为1MHz，调制信号为1kHz的单频余弦信号，其最大频率偏移
（1）试求其调制指数β?fmax为10Hz。
FM ；(2)若要得到一最大频率偏移为200KHz的调频信号，试求需要使用多少倍的倍频器？此时的载波频率为多少？
解：由式（4-5），调频指数βFM= ωmax/ωm＝0.01
N=200kHz/10Hz=20000倍，故须用20000倍的倍频器。 此时载波频率为20GHz。
4.7在题4.6中，若欲保持载波频率不变，可以采用怎样的一次混频器？
解：经过倍频之后，载波由1MHz变成了20000MHz。若欲通过混频将载波恢复到1MHz，则可以通过用19999MHz的频率进行下变频。 4.8 已知一调频信号，其载波平均功率为1瓦特，调频指数为0.01，求其FM信号各次边带的平均功率分别约为多少？
解：由贝塞尔函数的第三条性质，当指数β&&1时，
J0(?)?1；J1(?)??/2，J?1(?)???/2。其余各阶函
=0.000025瓦特，而载波功率为0,99995瓦特。 （?/2）
数近似0。由此可得调频信号1次和－1次边带的平均功率近似值都是
5.1 已知某通信系统，输出的信号为单频正弦信号，其最大瞬时电平为2伏特。输出的噪声功率为0.1mW，试计算其输出信噪比为多大？如果将信号的电平扩大为原先的10倍，此时输出信噪比为多大？ 解：输出信号为单频正弦信号，故其平均功率为
A0=2瓦特。 2
输出信噪比为
S2??20000?43dB N0.0001
如果信号电平扩大为10倍，则信号功率扩大为100倍，而噪声功率不变，此时输出信噪比为2000000，约等于63dB
5.2 已知某通信系统中的接收机，输入信号功率为3mW，噪声功率为0.001mW；输出信号功率为50mW，噪声功率为0.015mW，求该接收机的信噪比增益为多大？ 解：G=
SNRoSo/No50?0.001
SNRiSi/Ni3?0.015
5.3 某通信系统，发射功率为20W，在信道传输的功率衰减为80dB，接收机接收到的噪声功率为0.01uW（uW＝微瓦，瓦特的百万分之一），求此时
接收机的输入信噪比为多大？
??20。输入信噪比为20，或大约13dB 解：SNR?
N0.01?10?6
5.4 某接收机，当接收基带信号f(t)进行的双边带调制信号时，其输出噪声功率为0.001uW，为了有效通信，要求输出信噪比为30dB。已知从发射机到接收机的功率损耗为90dB，若分别采用双边带和单边带调幅系统进行调制－解调，问发射的功率分别应为多少？ 解：对双边带调幅系统，由式（5-15）调系统的输入噪声功率）为
GDSB?2。输出信噪比为30dB，故输入信噪比应为5×102。再根据接收机的输出噪声功率（即解
10?9W，可知接收机得到的信号功率应为。再由发射到接收机的功率损耗为90dB即109，因此发射功率应为500W。
对于单边带调幅系统，GSSB＝1，因此要求解调系统的输入信噪比也是10。同时，由于同样的信号f(t)，其单边带调制信号占用带宽只及双边带
信号带宽的一半，因此其接收机输出的噪声功率也只有0.0005uW。可知接收机得到的信号功率也是5×10W。故而发射功率为500W。
5.5 采用相干解调法，分别解调双边带调幅信号和单边带调幅信号。已知基带信号f(t)最高频率fm=1KHz，载波频率fc为1MHz。接收到的已调制信号功率为0.01W，信道噪声的双边功率谱密度为5×解：基带信号单边带宽为1kHz。
W/Hz。试计算并比较对两种调制信号解调器的输入信噪比、输出信噪比和信噪比增益。
n0/2＝5?10?9W/Hz
对双边带调幅而言，s(t)单边带宽为2kHz，因此有： 解调器输入噪声为
Ni?Bs?n0＝2kHz?2?5?10?9W/Hz＝2?10?5W
Si10?2解调器输入信噪比为SNRi???500
因为GDSB?2，故输出信噪比为1000（30dB）。
对单边带调幅而言，s(t)的单边带宽为1kHz，因此有
Ni?Bs?n0＝1kHz?2?5?10?9W/Hz＝10?5W Si10?2SNRi???1000
因为GSSB?1，故输出信噪比为1000（30dB）。
可见两者的输出信噪比是一样的。
5.6 一调频接收机，当采用单频正弦信号f(t)进行调制，输入信噪比为30dB。设调制指数为10，求输出信噪比为多少？ 解：由式（5-52），在大信噪比情况下，对于调制指数
?FM＝10，信噪比增益为3000。故输出信噪比为3?106（约65dB）
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