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一、微分方程的基本概念 常微分方程 （1） 十七世纪末，力学、天文学、物理 一、微分方程的基本概念 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 二、解的存在唯一性定理 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 三、一阶常微分方程的 一个或几个含有未知函数的导数的关 初等积分法 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
2 [例1] 一个质量为 m 的小球, 系在线的一端, 根据牛顿第二定律,得到 dv dθ v t
l 线的另一端系在墙上 , 线的长度等于 l .将 m ?μv ?mg sinθ 注意到 dt d t 小球拉开一个小角度 , 松手使小球摆动 . 2 θ μ θ d d
g 求小球的运动规律 . o 从而有 2 + + sinθ 0 dt
[解] v θ 当θ
1 时, sinθ ≈θ , 所以有 设小球线速度为 v
解 定 θ μ θ 切向分力 :F 1
mg sinθ ? 微分方程 2 + + θ 0 dt
μv 切向分力 初始条件
dθ θ1 重力 定解条件 t 0
含有未知函数的导数的方程 定义2: 微分方程的阶 称为微分方程. 未知函数的导数的最高阶数称为 微分方程的阶. 未知函数是一元函数,含有未知函数的导数 的微分方程称为常微分方程. d 2 d
g θ μ θ 2 例如 2 + + θ 0 二阶 θ
g + + θ 0 dt 2 m dt
l n 阶微分方程的一般形式 未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程. F
6 1 定义3: 线性与非线性 定义4: 微分方程的解 未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分 如果把函数 y y
方程称为线性微分方程
正在加载中，请稍后...数学求不定积分什么情况下用凑微分法?什么情况下用换元法?
良山伯5jQk
这个其实真的很复杂,具体问题要具体分析的,积分的难点就在于没有固定方法.这个问题笼统点回答就是：1、当我们遇到 ∫ f(g(x))g'(x)dx 时,如果发现 ∫f(u)du这个积分较简单,则将 ∫ f(g(x))g'(x)dx= ∫ f(g(x))d (g(x)),来计算,这就是凑微分法（也叫第一类换元）；2、换元法正好相反,我们遇到的是∫f(u)du,不好做,需要令u=g(x)化为∫ f(g(x))g'(x)dx,并且∫ f(g(x))g'(x)dx较为简单,这个时候用换元法（也叫第二类换元）.简单来说就是：凑微分是∫ f(g(x))g'(x)dx= ∫ f(g(x))d (g(x))换元法是倒过来：∫ f(g(x))d (g(x))=∫ f(g(x))g'(x)dx 另外理论上来说,两个方法是相通的,能用这个就一定能用另一个,当然实际当中观察会有很大困难.
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扫描下载二维码§2-3微分法?二阶导数和二阶微分；47；例11证明：d(x)?；km；?1；(x)??；km；?1；(其中k为整数，m为正整数)；1km；证令u?x，则x；?uk；?du?ku；k?1；d(x)?；km；d(uk)du；?d(x)?ku；1m；k?1；1m；1?1m；dx?；km；k?1xmdx；(xm)??；d(xm)dx；km；?1；【注】对于有
微分法?二阶导数和二阶微分
证明：d(x)?
(其中k为整数，m为正整数)。
令u?x，则x
?uk。 根据链式规则，
【注】 对于有理指数的幂函数，我们已经得到上述微分和导数的公式。它实际上对于一般幂函数x也成立，因为根据链式规则和对数函数的微分公式，
d(x?)?d(e?lnx)?e?lnxd(?lnx)?x??
于是又有导数公式
dx??x??1dx
同理，还有一般指数函数的微分公式和导数公式：
)?ed(xlna)?alnadx， (a)??
求函数y?(2x4?a2)100的微分和导数。
若不用链式规则，就要先把它按牛顿二项式公式展开成101项之和，再用四则运算规则求它的微分和导数。这显然太麻烦了! 若用链式规则的话，就能够很容易地求出它的微分和导数。令u?2x4?a2，则y?u
dy?(u100)?du?100u99d(2x4?a2)?100u99(8x3dx?0)?800x3(2x4?a2)99dx，
y???800x3(2x4?a2)99。
设函数y?(a?0为常数)。求它在点x?0的微分和导数。
先求微分或先求导数都可以。譬如先求微分，根据商的微分规则，
于是，微分dy
习题二 1.填空：
dx，而导数y?(0)?
⑴d?e?x??________；
⑵d?e2x??________；
⑶d(ex)?________；
⑷d?ln(3x)??________；
⑸d(sin2x)?________；
⑹d?sin2x??________； ⑺d?sinx2??_________；
?________；
?________；
⑽d?________；
?⑾d?tan4x??________；
4x??_________；
⒁d?cot?________。 ?
答案：⑴?e?xdx；⑵2e2xdx；⑶2xexdx；⑷dx；⑸2cos2xdx；
⑹sin2xdx；⑺2xcosx2dx；⑻?sindx；⑼?
x；⑾4sec2(4x)dx；⑿4tan3x
2.求下列函数的微分或导数（根据你的习惯，先求微分或先求导数都可以）： ⑴y?x
⑵y?(1?x)； ⑶y?ax
?(x2?3)a；
⑸y?lnlnlnx；
⑹y?ln3x； ⑺y?sinmxcosmx；
⑻y?sinsinsinx ⑼y?
cosx2cosx?xsinx
⑾y?tan?cot；
⑿y?tan2x?tanx2?tan2x；
cos(tanx)y?2
⒀y?sin?；
sinx?xcosx
答案：⑴y??23；
微分法?二阶导数和二阶微分 49
⑶y??2xax⑷y??2xax
lna?2ax(x2?3)a?1； lna?(x2?3)a?ax
?2ax(x2?3)a?1；
；⑺y??msinm?1xcos(1?m)x；
xxlnxlnlnx
⑻y??cossinsinx?cossinx?cosx；
⑼y??⑽y??
sin2xcosx2?2xsinx2sin2x
(cosx?xsinx)2
⑿y??2tanxsec2x?2xsec2x2?2sec2(2x)；
?cos(tanx)sin(2tanx)tanxsecx；
⒀y???3cos???
⒁y??2ln2?sec2
3.若圆半径以2cms等速度增加，求圆半径为10cm时圆面积增加的速度。
答案：40?cm2。
3.隐函数和用参数方程表示的函数的微分和导数
x可以看成“函数方程”
y2?x?0(y?0,x?0)
的解。所谓函数方程，就是未知函数y?y(x)满足的恒等式
F[x,y(x)]?0 或简写成F(x,y)?0
由函数方程F(x,y)?0确定的函数y?y(x)称为隐函数（顾名思义，隐藏在方程中的函数）。一个方程(在实数范围内)可能无解(如x2?y2?1?0)，所以有的方程不能够确定隐函数。由方程确定的隐函数常常是多值的，例如方程x?y?1至少确定有两个函数
在这种情形下，要把它们分开来研究，因为微积分研究的是单值函数。在高等多元函数微积分中（在本书下册中），专门有这样的定理，它指出在什么条件下，一个方程(组)能够确定出可微分的隐函数(组)。这里假定方程确定有可微分的隐函数，你可按照下面的方法（口诀）求它的微分和导数：
在方程两端同时求微分或同时关于自变量求导数，然后解出隐函数的微分或导数。 例14
设方程x?y?25。 求隐函数y?y(x)分别在点(3,4)与在点(3,?4)的微分和导数。并求圆周x?y?25在点(3,4)的切线方程和法线方程(图2-12)。
在方程两端同时求微分，即2xdx?2ydy?0，则得
或者在方程两端关于自变量x同时求导数，即
2x?2yy??0(注意y是x的函数)，
y???于是，
;dy?y?dx??
dyx?3,y?4??dx,y?x?3,y?4??；
dyx?3,y??4?dx,y?x?3,y??4?。
根据直线的点斜式方程，圆周x?y?25在点(3,4)的切线方程为
y?3??(x?4)
而法线方程为
求幂指函数y?xx的微分和导数（底数和指数上都含有自变量的函数称为幂指函数）。
根据对数恒等式y?elny，则y?exlnx。 因此，
dy?d(exlnx)?exlnxd(xlnx)?exlnx?lnxdx?x?dx??xx(lnx?1)dx,
x??y??xx(lnx?1)。
在y?xx两端取对数，则得方程lny?xlnx。 把其中的y?y(x)看作由方程
lny?xlnx确定的隐函数，并在两端同时求微分，则得
dy?dx?lnx?xd(lnx)?lnxdx?x?dx?(lnx?1)dx yx
dy?y(lnx?1)dx?xx(lnx?1)dx， y??xx(lnx?1)
或在lny?xlnx两端同时关于自变量x求导数，即
因此，y??y(lnx?1)?xx(lnx?1)，dy?xx(lnx?1)dx。
在几何、物理或其他应用科学中，有时用参数方程
微分法?二阶导数和二阶微分 51
表示曲线或质点运动的轨道。为了求曲线切线的斜率或质点运动的速度，就需要y关于x的
?(t)?0，则有 导数。若x
例如，圆周?
?(t)dty?(t)y
（其中dt为有限量） ?
?(t)dtx?(t)x
(0?t?2?)，则
???cott(t?0,?,2?) ??Rsintx
例16(旋轮线)
设有半径为a的圆在一直线上(无滑动地)向前滚动，P为圆周上一固定点，则点P的运动轨迹是一条曲线(称为旋轮线或摆线)。为求它的方程，需要建立坐标系；又为了使方程简化，像图2-13那样，把圆开始滚动时的点P放在坐标原点上。
设圆向Ox轴正方向滚动，圆半径O?P转过的角为t(弧度)，点P的坐标为(x,y)，则点P的运动方程为
?x?x(t)?at?asint?a(t?sint)
y?y(t)?a?acost?a(1?cost)?
图中的曲线是旋轮线的第一拱(0?t?2?)。
⑴ 对于t0?(0,2?)，记x0?x(t0),y0?y(t0)，求旋轮线上点(x0,y0)处的切线方程和法线方程；
⑵ 验证旋轮线的切线通过滚动圆的最高点，而法线通过滚动圆的最低点(由此得到画切线和法线的方法)。
⑴x?(t)?a(1?cost),y?(t)?asint，所以
sint1?cost
因此，旋轮线上点(x0,y0)处的切线方程为
y?y0?(x?x0)
其中x0?a(t0?sint0),y0?a(1?cost0)；而法线方程为
y?y0??(x?x0)(t0??)或x?a? (t0??)
包含各类专业文献、外语学习资料、行业资料、中学教育、高等教育、各类资格考试、36§2-3 微分法等内容。　
　§2-3 微分法(2) 5页 免费 常微分2.3 40页 1下载券 2-3函数的微分 23...第三节 函数的微分 复习:导数的计算,导数的公式 新授: 一、微分的概念 1、... 　35页 2财富值 §2-3 微分法(2) 5页 免费 2-3全微分及其应用 28页 5财富值 常微分2.3 40页 1财富值 2-3函数的微分 23页 免费 3-2常微分 14页 1... 　微分和微分法 第 2 章 微分和微分法导数的简单应用经典微积分大致分为微分学...(图 2-3) 其中记号 y ”“ 作为一个整体, 将表示 x 的函数.确切地说, ... 　个最基本的概念就是函数的 微分和导数, 而求函数微分或导数的方法称为微分法...y( x0 ) (图 2-3) 其中记号“ ?y ”作为一个整体,将表示 ?x 的函数... 　§4-2 关于连续函数积分的结论_理学_高等教育_教育专区。微积分今日...§2-2 微分和导数的几何... §2-3 微分法(1)1/2 相关文档推荐 ... 　§2-2 微分和导数的几何... §2-3 微分法(1) §2-3 微分法(2)1...|a| |a| 2.向量的坐标 uuu r xB x A (图 0-39),记成 AB = ( xB... 　§3-1 偏摩尔量 1、偏摩尔量的定义 2、偏摩尔量的集合公式 §3-2 化学势...微分法 3、孤立法和过量浓度法 §9-5 温度对反应速率的影响 1、阿累尼乌斯... 　x ?k (f ) x( dkx为常数) 重点例题:教材第 91 页例 7、例 11-13 §3.2 换元积分法【重点、核心】 1、 第一类换元积分法(凑微分法) 对已知积分 ... 　的微分法 及其应用 2 2 多元函数的 概念 极限 二元函 数的极 限与连 续§10-1 4 8 §10-2 1 2 8 3 §10-1 多元函数的概念 连续 §10-2 二元...