群论 公开课_群论
中文名 群论外文名 Group Theory在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中...&
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前端时间，小编给大家介绍了（猛戳回顾），其中就提到了一位只研究了数学五年却提出了“群论”而死于决战的数学家，恩，没错，他就是伽罗华。今天小编就给大家来介绍一下这位英年早逝的数学家在决战前一晚所留下的思想。
1832年的某个清晨，革命中的法国见证了又一次决斗。在某个瞬间，某位青年被对手的枪射中腹部，随后去世。在当时狂热的政治斗争中，只有寥寥数人意识到，法国，甚至世界，又失去了另一个伟大的头脑。这位青年就是伽罗华，他的最大遗产围绕着一个数学概念：群。
在接下来的一百多年后，一群在世界各地的数学家，沿着这位青年开辟的路径，对有限群的结构进行了彻底的分析。其中的发现，可能出乎所有人的意料。
这是一个关于群的故事，这是一个关于单群的故事。
高度抽象的对称
交错群A_5的一个Cayley图（一种群的图示）
什么是群？一个数学家可能会给你这样的回答：
一个群是一个集合G以及在G上的一个运算·，满足以下三个条件：
1.存在一个G中的元素e，使得对于G中的任意元素x，有x=x·e=e·x。这样的e叫做群的单位元；
2.对于G中的任意元素x,y,z，有(x·y)·z=x·(y·z)，这是结合律；
3.对于G中的任意元素x，存在G中的一个元素y，使得e=x·y=y·x。这样的y被称为x的逆元
这样的定义，即使是对一名刚进大学的数学系学生来说也稍显抽象。但数学的力量就在于它的抽象。它什么都不是，所以它什么都是。
整数和加法就构成一个群。什么数加上0都不变，所以0是单位元；a+(b+c)=(a+b)+c，这是小学的加法结合律；一个数加上它的相反数是单位元0，所以相反数就是逆元。正实数和乘法也构成一个群，1是它的单位元，乘法有结合律，倒数是逆元。如果我们认为9点+5点相当于9点的5个小时后，也就是2点的话，就连时钟也构成一个群。宝石的晶体构造，电脑的压缩校验算法，以至于魔方的还原，无不牵涉“群”这个概念。而对于自然界的各种对称性，群也是对其最自然的描述方式。难怪有人会说，群就是对称，研究群，就是研究各种对称性。
正是由于放弃了与现实的对应，像群这样的抽象数学概念才能在现实中获得广泛的对应。我们研究群，并不关心它的具体元素是什么，是x,y,z还是姬十三、猛犸、桔子都无所谓，只要知道元素通过运算产生的关系就够了，这就是群的全部。只要符合群的公理，能应用到x,y,z上的结论就能应用到姬十三、猛犸、桔子上，这就是抽象的力量。
超越时代的孤独
伽罗华的画像
也正由于这种抽象，群的概念在一开始并没有很快地被接受。
伽罗华是在研究一元五次方程的根式解时开始触及群的概念的。对于一元二次方程来说，我们可以将方程的所有解写成有关方程系数的一个根式（允许四则运算和开常数次方运算组成的式子），这称为方程的根式解。对于三次以及四次方程，也有这样的公式，可以直接从方程的系数得到方程的所有解。然而，对于五次以及更高次的方程来说，此前阿贝尔已经证明一般的公式并不存在。伽罗华要解决的，是判断何时存在这样的根式表达。
为了解决这个问题，他首次定义了群这种代数结构，仔细地研究了群的各种性质，以及它与更高级的一种代数结构——域——的关系，并以此发展了一套理论，完整地解决了这个问题。他写下了关于这套理论与高次方程根式解的备忘录，并将其递交到法兰西科学院。
他的不幸从此开始。
这份备忘录的评审人是柯西。虽然认识到了伽罗华工作的重要性，柯西却没有接受这份备忘录，而是建议伽罗华修改这份备忘录以竞逐科学院的数学奖。
伽罗华接受了这个建议，第二次提交了备忘录。
天意弄人，评审人傅里叶之后不久就逝世了，伽罗华的备忘录不知所踪。
伽罗华决定最后一搏，但这也被泊松驳回，理由是“无法理解”。当消息传到伽罗华耳中时，他早已因为政治斗争而身陷囹圄，此时离他的决斗只有半年时间。
没有人理解他的理论，或者说没有人愿意去理解他的理论。
就是这套理论，使伽罗华的名声流芳百世。尽管他无法发表他的备忘录，但他此前发表的论文讲述了这个理论的一些基础。泊松的驳回理由，使他更认真地打磨他的理论，以冀数学界的认同。
但死神的镰刀没有给他这个时间，上天不打算给他安排生前的荣耀。日，年方二十的伽罗华，迎来了他第一次也是最后一次的决斗。这场决斗的细节已经被时间之砂打磨掩盖，什么对手，什么原因，有人说是为了爱情，有人说对手背后有政治阴谋，众家各执一词。我们只知道，在这场决斗中，伽罗华腹部中枪，不久后魂归天国。
“不要哭，阿尔弗雷德！在二十岁死去，我需要我的全部勇气。”这就是他对弟弟说的最后一句话。
而决斗前夕给他的朋友Chevalier的信，可以算是他对世界的遗言。信中密密麻麻地写着他的数学理论，他正在思考的问题，他脑中的一切。他大概冀图某天，世界能够通过这封信，理解他。
幸而，Chevalier实现了他挚友的意愿。伽罗华的理论，现在以他的名字命名：伽罗华理论。
也就是这封信，吹响了一场百年战役的号角。
构筑对称的砖块
Z/6Z的一个Cayley图，其中可以看出它可分解为两个单群
在伽罗华理论，乃至于更广泛的群的理论中，有一个很重要的概念：正规子群。
我们以下只讨论那些只有有限个元素的群，它们被称为有限群。例如，魔方操作组成的群就是有限群，因为变化的可能性是有限的。而整数与加法组成的群则不是有限群，因为整数有无限个。
在一个群里，有些元素自己会组成一个小圈子。它们并非不与外界交流，但无疑它们喜欢抱团：小圈子内的元素经过运算得到的结果仍然在这个小圈子里，而它们的逆元也在小圈子里。简而言之，这个小圈子对于原来的运算也组成一个群。这样的小圈子，叫做群的子群。
有些子群比别的子群更特别，它们不仅自己是一个群，如果“除”原来的群，得到的也是一个群。这样的子群叫做正规子群，而它们对原来的群作“除法”得到的群叫商群。首先观察到并提出正规子群这个概念的，正是伽罗华。
通过研究更简单的正规子群和商群，我们可以得到群的很多性质。这就是数学家特别钟爱正规子群的原因。
如果我们将正规子群和商群看成群的一种分解的话，那么必定有着不能被继续分解的群，我们将之称为单群。
对于任意的有限群，我们可以将其分解成一串单群，而且这样的分解是唯一的。单群在有限群论中的地位，跟素数在中的地位，还有原子在化学中的地位一样：它们都是构建它们所在世界的砖块。通过研究这些“砖块”，我们可以知道它们组成的各种结构的性质。如果能列出所有有限单群，就能从一个侧面了解所有离散的对称性的性质。
有限单群就是这个故事的主角。
与化学家当年寻找新元素的动机一样，数学家也开始了对有限单群的寻找。他们想做的跟化学家做的差不多：列一个单群的“元素周期表”。不过数学家要做的任务多了一项：证明这个“周期表”包含了所有的单群。
这看起来不太容易，事实正是如此。
转眼百年的长征
Higman-Sims图，可导出散在单群Higman-Sims群
伽罗华是寻找有限单群当之无愧的第一人。是他首先发现所谓的交错群A_n对于所有n&=5都是单群，从而不是可解群。正是从这个结果出发，他证明了高于五次的方程一般而言没有根式解。而数学家此前对数论的研究也容易导出另一族的单群：素数阶的Z_p。它们也是唯一的交换单群，也就是说运算满足交换律（a·b=b·a）的单群。
无需太纠结为何这些群取这样的名字。对于数学家而言，群就像是宠物，给宠物取的名字可能反映了宠物的性格，也可能是纯粹的趣味。但名字毕竟只是名字，只是称呼这些群的一种方式而已。
像这样整个家族出现的单群，还有16族所谓的有限李群，它们可以看作离散域上的矩阵组成的群。对它们的系统化研究是由挪威数学家SophusLie开始的，所以后人以此命名。而其中首先被发现的是所谓的射影特殊线性群PSL_n(q)，其中q是一个素数的幂。在伽罗华生命最后的那封信上，就已经提到PSL_2(p)对于大于3的素数p是单群。后来Chevalley对其进行了更深入的研究，将其推广到一般的素数的幂。对于其余的15族有限李群，Chevalley也功不可没。
除了这一共18个有限单群家族之外，还有26个单独存在的有限单群。它们不属于任何一个家族，而它们之间也没有一个统一的联系，三三两两各自放浪于数学天地之间。数学家给他们起了个相当适合的名字：散在单群。它们是单群中自成一派的例外。成家族出现的单群结构总是相似的，而散在单群却各有各的美丽。
同时进行的则是证明这就是所有的有限单群，这就是所谓的有限单群分类定理。如果将寻找单群比作在森林里抓兔子的话，有限单群分类定理的证明则是确保森林里所有的兔子都被抓光了。这就要求数学家对森林的地形——也就是有限群的结构——有一定的了解。
从某种意义上，整个证明可以追溯到1872年的Sylow定理。这个定理不仅使数学家开始明白有限群更深层的结构，也为后来对各种群的分类讨论提供了武器。而真正明确提出对有限单群分类的，则是1892年的H02lder。他同时也证明了，每一个非交换有限单群的元素个数，是至少四个素数的乘积。
从此开始便是百年的征程，对数学家更不利的一面是，出发的时候还不知道森林里有多少兔子要抓。事实上，分类定理的证明和对有限单群的寻找，很大程度上是交错叠积的。有时是证明的途中，忽然找到了又一个新的有限单群；有时是对于已有的单群的研究启发了证明。这也是可以理解的，毕竟这是研究同一件事物的两条路径。
所以，当1983年Gorenstein宣称有限单群分类定理被证明之时，群论学界可是欢呼雀跃。整个证明散落在各期刊的500多篇论文之中，合计过万页，每篇论文都对某种特殊情况进行了处理。将这些特殊情况合起来，覆盖了绝大多数的有限群类别，而Gorenstein认为，他的新论文恰好补上了仍未处理的那些有限群，从而完成了整个分类定理的证明。
问题是，他弄错了。他以为一类名为“拟薄群”（quasi-thingroup）的类别已经被处理好了，但事实上没有。直到2004年，由Aschbacher和Smith撰写的一篇一千多页的论文才将这个情况完全处理妥当，从而填补了这个漏洞。此时，有限单群分类定理，这个有限群理论的圣杯，才正式被圆满证明。
18个有限单群家族，再加上26个散在单群，这就是所有的有限单群。从伽罗华开始历时一个多世纪，跨越两次世界大战的搜索，随着1976年最后一个散在单群被发现，2004年有限单群分类定理的最终证明，这场数学家和有限单群之间的捉迷藏游戏才告结束。这个列表，包含着数代数学家辛勤的汗水，大概还有不少的咖啡、粉笔、墨水和纸。
故事仍未结束。在所有有限单群中，那些散在单群特别令人在意。成它们的出现看似无章可循，没有什么必然的规律。但是，尽管有着“散在单群”这个名字，它们并非与世隔绝之徒。最有名的例子，莫过于那个最大的散在单群——魔群（MonsterGroup）。
至于什么才是魔群呢，等着明天小编介绍吧！！！
via：方弦（科学松鼠会）
小编&张惮纩
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,所以文中一些例子的叙述方式很可能并不能让没学过群论的人看懂。(当我写科普的时候我会努力表述清楚的=w=) 我第一次接触群论是在初三的时候(班上还有初二的...&&普通
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日&-&大学时在图书馆翻书玩,翻到那本马中麒的群论,有位愤怒的师兄(显然是师兄)在扉页上用二号字写满了他的个人感受,诸如群论是一群无聊的数学家为了显示他...&&普通
在数学和抽象代数中,群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位:许多代数结构,包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而...&&普通
书评:作为中文群论书，我认为韩其智的书写得还是很流畅很紧致的。这本书不是面面俱到但是基本概念都涉及了，而且可操作性比较强，对称群部分介绍得比较详细，李...1篇书评&&&&评分&结构化
最佳答案: 我们知道群论是数学的一个重要分支,它在很多学科都有重要的应用,例如在物理中的应用,群论是量子力学的基础.本课程的目的是为了使学生对群论的基本理论有...&&专业问答网站
日&-&第18集群论(十八) 第19集群论(十九) 第20集群论(二十) 第21集群论(二十一) 第22集群论(二十二) 第23集群论(二十三) 第24集群论(二十四) ...&&普通
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群论与魔方：群论基础知识
要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。
群的基本定义
设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「o」。如果G的元素和「o」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, o)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, o)」径直称为「群G」)：
1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a o b ∈ G。
2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a o b) o c = a o (b o c)。
3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e o a = a o e = a。
4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a-1 (称为a的「逆元」)，使得a o a-1 = a-1 o a = e。
请注意由于「o」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a o b o c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a o a o a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0 = e，a-n = (a-1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a-1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a o b)也是G的元素，因此我们也可以谈论(a o b)的逆元，而且这个逆元满足
(a o b)-1 = b-1 o a-1
如果(G, o)还满足「交换性」(Commutativity)，即对G中任何两个元素a、b而言，a o b = b o a，我们便说(G, o)是「交换群」(Commutative Group)或「阿贝尔群」(Abelian Group)。
此外，如果在G中存在一个元素g使得对G中任何元素a，都有a = gn，其中n为0、正整数或负整数，我们便说(G, o)是「循环群」(Cyclic Group)。在此情况下，我们说G由g生成，记作G = & g &，其中& g &称为g的「生成集合」(Span)，其定义为& g & = {gn: n是整数}，我们也说g是G的「生成元」(Generator)。
举例说，如果我们把G定为整数集Z，把「o」定为整数的加法「+」，那么容易验证(Z, +)构成一个交换群，这个群的「单位元」是0，对每个整数n而言，其「逆元」就是其负数-n。而且(Z, +)也是一个循环群，其生成元就是1，因为Z中的元素要么是0，要么是正整数，要么是负整数，而对任何正整数n而言，我们有n = 1 + 1 + ... 1 (共n个1)，以及-n = (-1) + (-1) + ... (-1) (共n个-1)。由此我们有Z = & 1 &。
类似地，如果我们把G定为非零实数集R*，把「o」定为实数的乘法「×」，那么容易验证(R*, ×)也构成一个交换群，这个群的「单位元」是
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