设A是m×n的矩阵，则A与(A的转置矩阵与其转置的乘积A的乘积)的秩的大小关系是什么

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-12-20 00:50 标签： 矩阵与其转置的乘积
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设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则（　　）A. r＞r1B. r＜r1C. r=r1D. r与r1的关系依C而定
内裤控丶200
∵C是n阶可逆矩阵∴C可以表示成若干个初等矩阵之积，即C=P1P2…Ps，其中Pi（i=1，2，…，s）均为初等矩阵．而：B=AC，∴B=AP1P2…Ps，即B是A经过s次初等列变换后得到的，又初等变换不改变矩阵的秩∴r（B）=r（AC）=r（A）=r1故选：C．
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此题考查矩阵秩的性质的运用．如果B可逆，则r（AB）=r（A）．
本题考点：
矩阵的秩的性质；可逆矩阵的性质．
考点点评：
矩阵秩的常用性质，要熟练掌握．常见的有：r（Am×n）≤minm，n；r（AB）≤min{r（A），r（B）}；r（A）=r（AT）等．
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证明：矩阵A的共轭转置矩阵与A的秩相同
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已知A是m*n的实矩阵,证明r(ATA)=r(A) AT是矩阵A的转置
构造两个齐次线性方程组： （1）Ax=0, (2)(AT A)x=0 如果这两个方程组同解,则两个方程组的系数矩阵有相同的秩,R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数.这个很好理解对吧,《线性代数》的基本内容. 现在来证明它们同 首先,如果x1是（1）的解,那么它肯定也是（2）的解,因为将其代入（2）： (AT A)x1=AT (Ax1)=AT *0=0 其次证明（2）的解也是（1）的 设x1是（2）的解,则AT A x1=0 进一步有：x1T AT A x1=0 即(Ax1)T (Ax1)=0 假设Ax1＝[a1,a2,...,an]T则(Ax1)T(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0 那么只有a1=a2=...=an=0 也就是Ax1=0 至此说明了(2)的解也是(1)的解. 于是R(A)=R(AT A)
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设A是m×n矩阵,R（A）=r,证明存在秩为r的m×n矩阵B与秩为r的r×n矩阵C,使A=BC
题目有点小错误,B的阶数是mxr,否则不能随便乘取m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使得A=PDQ,其中D=I_r 00 0取B为P的前r列,C为Q的前r行即可.
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