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文明办网文明上网举报电话： 举报邮箱：admin1@&&&&&&&&&&&&&&&&至此，层成为数学的一个主流部分，其应用根本不局限；群（Group）是现代代数学的基本代数结构；1历史；2群的概念；3群的例子；4基本性质；5子群；6类；7同态；8同构；9表示；历史；群的概念；群是一个代数结构：它是一个非空集合S，若在集合S；,使得,其中被称为中的单位元素；；，，使得：，其中被称为的逆元素；则符合上面定义的称之为群；集合S中的元素个数称为群S
至此，层成为数学的一个主流部分，其应用根本不局限于代数拓扑。后来层范畴的逻辑被发现是直觉逻辑(该发现现在经常被称为Kripke-Joyal语义，但可能应该归功于一系列作者)。这表明层论的某些方面甚至可以追述到莱布尼兹。
群（Group）是现代代数学的基本代数结构。最早由法国数学家伽罗华提出。
2 群的概念
3 群的例子
4 基本性质
群是一个代数结构：它是一个非空集合S，若在集合S下定义一个代数运算，我们记作“”，且符合下列运算
, 使得, 其中被称为中的单位元素；
，，使得：，其中被称为的逆元素
则符合上面定义的称之为群。若除了以上几点外还有，那麽这个群称之为阿贝尔群（Abelian group）。
集合S中的元素个数称为群S的阶，记为。如果S中只有有限多个元素，S就被称为有限群；如果S中有无限多个元素，S就被称为无限群
著名的伽罗华群
群G有且只有一个单位元素
群G中的每个元素有且只有一个逆元素
对于群G中任意的元素a,b，方程ax = b和ya = b均有唯一解
群G中任意n个元素的连续乘积与运算的顺序无关，也就是说可以写成
概念：设G是一个群，若S是G的一个非空子集且同时S是一个群，则S称为G的一个子群。
陪集：设S为G的一个子群，a是G里的一个元素，那麽子集aS称为S在G中的一个左陪集，记做（这里aS的意思是）。
若,则S称为G的一个正规子群，此时子群S的陪集连同S组成了一个群（称作S对G的商群，记作G / S），事实上，此时S相当于单位元素。
关于正规子群更详细地说明见群的同构与同态。
共轭：如果同一个群中的两个元素P和Q满足关系：P = X ? 1QX，其中X也是同一个群中的元素，则称元素P和Q共轭。
共轭是相互的，如果元素P与元素Q共轭，则可证明元素Q也与元素P共轭
共轭是可以传递的，如果群中的元素P与元素Q相互共轭；而元素Q又与群中另一元素R共轭，则必有P与R共轭
类（共轭类）：在群中可以找到一个集合，这个集合中每一个元素都相互共轭，而在这个集合以外群的其他部分已经没有任何元素与他们具有共轭关系了，则称这个集合为群中的一个共轭类
同一个群的两个类之间一定没有共同的元素
群中一个元素一定属于且仅属于一个类，如果群中没有元素与该元素共轭，则该元素自成一类
若G,G'是群且φ:G →G' 是从G映射到G'的函数，
如果φ满足，且φ(ab)=φ(a)φ(b)，则称此函数φ为群同态。
若φ:G →G'是一个群同态，则
im(φ) = {φ(a)}，称为φ的image。
ker(φ) = {aG| φ(a)e'}，e'为G'的单位元素，称为φ的kernel。
表示：如果任何非零方阵的集合的乘法关系和给定群的乘法关系相同，则这个矩阵集合形成群的一个表示，这套矩阵的阶称为表示的维数。
等价表示：如果两个同维表示的矩阵以同一相似变换相关联，则称这两个表示是等价的。 可约表示和不可约：如果任何维数大于1的表示的所有矩阵都可以用相同的相似变换转换为相同的块对角矩阵结构，则称此表示为可约表示，反之称为不可约表示
特征标：在某个表示中群元素R对应的矩阵的迹称为元素R在这个表示下的特征标
沃沃斯基和动机理论
V?沃沃斯基
今年8月20日，四年一度的国际数学家大会(ICM)在北京召开。本次菲尔兹奖章由两位数学家获得，他们是法国高等科学研究院的洛朗?拉佛阁(Laurent Lafforgue)和美国普林斯顿高等研究院的弗拉基米尔?沃沃斯基(Vladimir Voevodsky)。沃沃斯基的主要成就是在代数多样体上发展了一种新的上同调理论，将代数多样体和代数K-理论紧密联系起来。这种上同调理论被称为motivic theory，我将其试译为“动机理论”。
A?格罗登迪克
提到动机理论，就不能不提亚历山大?格罗登迪克(Alexander Grothendieck)这位传奇性人物，1966年的菲尔兹奖章获得者。菲尔兹奖章似乎特别优待代数几何学家，众多的得奖者的工作和代数几何有关：小平邦彦、J-P?塞尔(J-P. Serre)、A?格罗登迪克、广中平v、D?曼福德(D. Mumford)、P?德利涅(P. Deligne)、G?法尔廷斯(G. Faltings)、森重文、M?孔塞维奇(M. Kontsevich)和沃沃斯基??如果把工作和代数几何有相关部分的得奖者算上（比如本次菲尔兹奖章的另一位得主拉佛阁），那么人数可能会达到所有菲尔兹奖章获得者的三分之一甚至一半。尽管代数几何王者辈出，但在许多代数几何学家的眼中，“上帝”却只有一个，那就是格罗登迪克。他几乎是凭一人之力奠定了现代代数几何的基础，将其建立在“概型”(Schema)的语言上。他写的四卷《代数几何基础》和七卷《代数几何讲座》堪称现代代数几何学的“圣经”。在代数几何圈子里，不用提这两套书的全名，只要说EGA和SGA，大家就知道你想说什么了。
代数几何的研究对象是由多项式方程所定义的代数多样体(algebraic variety，或称代数簇)，类似于拓扑学中由连续函数所定义的流形(manifold)。流形是对曲线、曲面这些概念的推广，可以有任意的维数。多项式的一个重要特性是它的全局性。对于一个一元连续实函数来说，它在开区间(0,1)上的性质和它在远处一个开区间比如(2,3)上的性质可以没有什么关系。但是如果我们知道一个一元实多项式在开区间(0,1)上的值，那么整个数轴上这个多项式的值也就被确定了（注意到两个n次多项式相等当且仅当它们在n个不同点上的值相同，而(0,1)上有无限个点）。所以代数多样体的性质比较“坚韧”，不象流形那样可以任意变形，因为在局部的变形会引起全局的变形。在代数多样体上的拓扑被称为查理斯基(Zariski)拓扑，和一般流形上的拓扑很不相同（举一个例子，在实数轴，即一维实仿射空间上，普通拓扑下开区间(0,1)是一个开集；而在查理斯基拓扑下，(0,1)并不是开集，一维实仿射空间上的查理
斯基开集仅有空集，以及全集除去有限个点形成的集合）。这注定了拓扑和代数几何的研究方法和思路的极大不同。代数几何是一门很古老的数学分支，但是由于多项式这种“坚韧性”，在格罗登迪克之前代数多样体一直没有一个内蕴的定义。当数学家研究一个代数多样体时，总需要首先把它嵌入到仿射或射影空间中，将其作为一个子多样体来研究，然后再证明研究结果和嵌入方式无关。这种方法既不漂亮又累赘。格罗登迪克创立的概型理论是代数几何的一次革命，它建立了内蕴的代数多样体概念，使交换代数学和代数几何的联系变得极其紧密（仿射概型理论就是交换环理论），大大方便了代数工具的使用，不仅原有的代数几何成果可以被优雅地写成概型的语言，而且代数几何的研究领域也大大扩展。在这种语言下，代数几何专家终于可以象拓扑学家一样，用“粘贴”的手段来构造无穷无尽的新颖有趣的代数多样体，而原先在代数拓扑领域中使用的工具和方法也可以在代数几何中被大量借鉴。
代数几何和代数拓扑研究都将极其强大的同调（和上同调）理论作为重要工具。极其粗略地讲，在代数拓扑中流形的奇异上同调理论定义了一系列上同调群，这些上同调群用群论的语言刻画了将这个流形分割成小块子流形，以及这些子流形如何拼回这个流形的信息。上同调群的群结构允许我们使用代数工具来研究流形的性质。凸多面体的欧拉公式“面数-棱数+顶点数=2”可以看作是从这种分割和粘贴的信息中得到有用的数学结果的一个极其初级的例子，同调理论描述流形性质的能力要远远超过这个简单例子。在代数流形上也可以建立同调理论，而且可以用不同的方法建立不同的同调理论，格罗登迪克建立的代数多样体上的层(sheaf)的上同调理论就是常用的一种，另外还有诸如对于不同的素数l定义的l-adic上同调以及下面我们会提到的其它上同调理论等等，但是其中的几何意义就没有奇异上同调那样清楚了。
在二十世纪六十年代，数学家们发现了代数拓扑中奇异上同调和现在被称为拓扑K-理论的另一类群之间的紧密联系。这种联系极其重要，因为从K-理论中我们也可以得到流形的拓扑、几何和算术方面的大量信息，其中一个例子就是流形的自同构映射群。上同调群和K-理论的这种联系特别地表现在阿蒂雅-赫兹布鲁赫谱序列(Atiyah-Hirzebruch spectral sequence)中。谱序列是同调代数学家经常使用的计算工具，可以看作是一本无穷页的书，书的第0页是很容易得到的信息，以后每页都是由前一页的行列上的值按照某种方式计算出来的结果，而最后一页（可以看作是所有这些页结果的极限）则是我们需要计算的结果。阿蒂雅-赫兹布鲁赫谱序列提供了一大组从流形的上同调群到它的K-理论上的同构。更重要的是，它们也是环同构，这就是赫赫有名的陈氏示性类，以著名华裔数学家陈省身先生的名字命名。
数学家自然希望能够在代数几何的同调理论中也有相似的理论。虽然代数K-理论很快被构造出来，但是与之相对应的上同调理论却一直只在几个十分特殊的情形下才被构造出来，这已经被看做是当时代数几何方面最基本的进展。在另一方面，代数几何中已有的上同调理论也存在着缺陷。这些上同调理论往往需要代数多样体本身以外的拓扑和解析结构来定义，如贝蒂(Betti)上同调和霍奇(Hodge)结构；而且各种上同调群之间的联系也不紧密，比如对不同的素数l，同一个代数多样体上的l-adic上同调群之间没有明显的关系。格罗登迪克在1964年给塞尔的一封信中预言了有一类由代数闭链（即代数子多样体）形成的特别的数学对象的存在，通过这些对象可以构造出一个“万能”的上同调理论，其它所有的好的上同调理论都是由它派生出来的。这个万能的上同调理论应该具有奇异上同调在代数拓扑中的作用，尤其是应该有类似的阿蒂雅-赫兹布鲁赫谱序列，将上同调理论和代数K-理论联系起来，贝林松-里赫登鲍姆猜想即与此相关。格罗登迪克把这个预言中的特别的数学对象取名为“动机”（法文为motif，英文为motive，意为主题，动机），因为有一种叫“代数联系”(algebraic
correspondance)的代数子多样体“驱动”和暗示了动机理论的构造。这个名称可能来源于著名的印象派画家塞尚(Cézanne)的用法，塞尚用此词来描写他的印象派绘画方法，他首先选定一个“motif”，也就是一件物品，一个人，或者一个引人的场景，然后直接对它进行考察，记住它在心智中引起的不断变化的情感，接下去塞尚将他心中对motif的印象描绘在画布上。格罗登迪克提出了他对动机理论发展的具体计划。
动机理论中被理解得最清楚的是“纯(pure)动机”，它构造在光滑的代数多样体之上。纯动机理论的确立将主要取决于两个现在尚未得证的“标准猜想”的解决，其中一个就是价值百万美元的所谓的“千禧年七大数学难题”之一霍奇猜想。对于有奇性的代数多样体的研究需要发展“混合(mixed)动机”理论。许多数学家为了这个传说中的美丽壮观的理论作出了重要贡献，如德利涅、贝林松(A. Beilinson)、布洛赫(S. Bloch)、里赫登鲍姆(S. Lichtenbaum)等人，但是都只得到了对特殊的代数多样体成立的结果，大量基础性的命题都只是猜想，其中包括贝林松-里赫登鲍姆猜想、布洛赫-加藤猜想、贝林松-苏尔(Beilinson-Soule)消解及刚性猜想等等等等。动机理论能否达到预言它的先知的期望？
1987年安德烈?苏斯林(Andrei Suslin)在法国马赛郊区的吕米尼(Luminy)数学中心所作的报告中提出了使用代数闭链定义的同调理论，但是当时苏斯林同调的有用性并未立刻显现出来。直到1992年沃沃斯基才在他的哈佛大学博士论文和后续一系列论文中，利用格罗登迪克创立的范畴上的拓扑理论，由此同调理论中得到一个很好的上同调理论（同调理论的对偶），并猜想它就是长期以来被寻找的动机上同调。苏斯林和沃沃斯基又受拓扑同伦理论的启发，用仿射直线取代拓扑同伦理论中的闭区间[0,1]（正同前面所说对于开区间(0,1)的情况一样，在拓扑中性质良好的闭区间[0,1]并非代数多样体，无法直接在代数几何中运用），提出了在代数多样体上的“动机同伦”理论。这是一项极其抽象和形式化的工作，尤其是苏斯林动机上同调理论的建立，牵涉到一系列三角范畴和导出范畴的构造。这种范畴论上的抽象工作很容易陷入空对空的玄学式讨论，长篇大论却无实际结果。但是沃沃斯基在这方面处理得很好，既能发展抽象概念，又能使用这些概念解决重大的实际问题，颇有格罗登迪克之风。这些新理论带来的其中最重要的实际成果是解决了米尔诺(Milnor)猜想，这是近年来数学理论中最重要的突破之一。
米尔诺猜想正是一个前面提到的将(伽罗华)上同调理论和代数K-理论联系起来的命题，也涉及二次型理论，是代数K-理论二三十年来中最重要的问题之一。更为重要的是它的解决为贝林松-里赫登鲍姆猜想、布洛赫-加藤猜想的解决迈出了极其关键的第一步。事实上，米尔诺猜想是布洛赫-加藤猜想在素数2时的特殊情况，数学家们还需要证明此猜想对奇素数也成立。而苏斯林和沃沃斯基的工作进一步表明布洛赫-加藤猜想蕴含贝林松-里赫登鲍姆猜想。这为贝林松-里赫登鲍姆猜想的解决勾画了一个大致的方案，这个猜想的解决将是代数K-理论中革命性的进步。
虽然数学家们还未确信苏斯林和沃沃斯基的动机理论就是格罗登迪克当年想像中的那个“万能”的统一理论，但是这个理论的巨大成功使人们对此鼓起充足的信心。
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丘成桐与卡拉比猜想60年
丘成桐，汉族客家人，日生于中国广东汕头，丘镇英之子。现为哈佛大学数学系教授，清华大学数学科学中心主任。1983年获得数学界的“诺贝尔奖”——菲尔兹奖，是迄今为止仅有的两个获得该奖的华人数学家之一。图为丘成桐（右）和刘克峰先生。
陈省身先生（年）
卡拉比空间
丘成桐与卡拉比先生
刘克峰，1965年12月生，现任浙江大学数学中心执行主任兼数学系主任、光彪讲座教授、美国加州大学洛杉矶分校数学系教授。专业方向：微分几何、拓扑、数学物理。现任国际顶尖数学杂志《几何与分析通讯》主编。他荣获了全球华人数学最高奖“晨兴数学金奖”和2004年教育部十大科技进展奖。他还获得了国际上著名的谷庚海默奖、全球华人数学家大会银奖、斯隆（Sloan）奖和特曼（Terman）奖等。
演讲人：刘克峰&&时间：2月8日&&地点：美国加州大学洛杉矶分校
&&&&&&&&20世纪50年代是几何与拓扑学最辉煌的时代。一批年轻的数学家证明了一系列伟大的数学定理，开天辟地，创造了一个崭新的时代。他们与他们的定理一起，熠熠生辉，照亮了整个数学的历史。
&&&&&&&&卡拉比（Calabi）猜想在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。
&&&&&&&&1941年的霍奇（Hodge）理论刚刚由魏尔（Weyl）和小平邦彥（Kodaira）整理完成。1945年陈省身引进的陈示性类由希策布鲁赫（Hirzebruch）发扬光大，证明了拓扑中的符号差定理与代数几何中的Hirzebruch-Riemann-Roch定理。工程师出身的博特（Bott）证明了他不朽的同伦群周期性定理。这些结果很快激发出了Atiyah-Singer指标定理。塞尔（Serre）用勒雷（Leray）的谱序列计算了代数拓扑中球面的同伦群，用层论写下了代数几何名篇GAGA，将复分析系统地引入代数几何。Kodaira证明了他著名的嵌入定理，发展了复流形的形变理论。稍后，米尔诺（Milnor）发现了七维怪球，纳什（Nash）证明了黎曼（Riemann）流形的嵌入定理。这些伟大的数学家与他们的定理，如繁星闪耀在天空，令人目不暇给。
&&&&&&&&1954年的国际数学家大会，菲尔兹（Fields）奖的获奖者是小平邦彥（Kodaira）和塞尔（Serre），他们的主要获奖工作都是将复分析、微分几何与代数几何完美地结合在一起。正如魏尔（Weyl）在他的颁奖词中所说：“他们的成就远远超越了他年轻时的梦想，他们的成就代表着数学一个新时代的到来。”
&&&&&&&&也是在这届数学家大会上，31岁的意大利裔数学家卡拉比，在会议的邀请报告中用一页纸写下了他著名的猜想：令M为紧致的卡勒（Kahler）流形，那么对其第一陈类中的任何一个（1，1）形式R，都存在唯一的一个卡勒度量，其Ricci形式恰好是R。卡拉比还粗略地描述了一个他的猜想的证明方案，并证明了，如果解存在，那必是唯一的。
&&&&&&&&但3年后，在1957年的一篇关于Calabi-Yau流形的几何结构的文章中，他意识到这个证明根本行不通。这里需要求解一个极为艰深而复杂的偏微分方程，叫作复的Monge-Ampere方程。他去请教20世纪最伟大的数学家之一的魏尔（Andre&&Weil）教授。魏尔说：“当时还没有足够的数学理论来攻克它。”
&&&&&&&&众所周知，庞加莱（Poincare）著名的单值化定理告诉我们，一维复流形的万有覆盖只有简单的三种，球面、复平面和单位圆盘。如何将单值化定理推广到高维流形，这个问题几乎主导了现代几何与拓扑的发展。而即使从复一维到复二维流形，问题的复杂性已经远超想象，被数学家称作是从天堂到了地狱。或者说是上帝创造了黎曼面，简单美丽而又丰富多彩，是魔鬼制造了复曲面，内容复杂，令人眼花缭乱，头晕目眩。卡拉比猜想可以认为是单值化定理在高维不可思议的大胆推广，竟然给出了高维复流形中难得一见的一般规律。特别的是它在复卡勒流形的第一陈类大于零、等于零和小于零三个情形，指出了Kahler-Einstein度量的存在性，即此度量的第一陈形式等于其卡勒形式。这恰好对应于黎曼面三种单值化的推广。
&&&&&&&&要知道，当时人们知道的爱因斯坦流形的例子都是局部齐性的，甚至都不知道复投影空间中的超曲面，如K3曲面上，是否有爱因斯坦度量。在这样一种情况下，卡拉比竟然做出如此大胆的猜测，可见其胆识过人，也难怪此后多数几何学家都怀疑此猜想的正确性，许多人都在努力寻找反例，而不是证明它。正如庞加莱的单值化定理，霍奇定理需要经过数年，乃至数十年努力才得到完美的证明一样，卡拉比猜想也在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。
&&&&&&&&塞尔说过：“一个真正好的数学猜想，它的解决应该随之而来一系列的推论和绵延不断的影响。”
&&&&&&&&还是在1957年，5岁的丘成桐正在世界的另一端过着清贫的生活，那时的香港几乎没有人知道什么是微分几何。14岁时父亲的去世，更令他饱尝人间冷暖，也造就了他不屈不挠的性格。11年后他进入香港中文大学，1969年，大学三年级的他便负笈求学来到伯克利（Berkeley)。那一年，著名的几何学家伍鸿熙教授在给另一位著名几何学家格林（Greene）的信中，预言这个19岁的年轻人将会改变微分几何的面貌。很难知道伍鸿熙教授如何看出了一个19岁年轻人不同寻常的王者之气。
&&&&&&&&读研究生的第一年，丘成桐初试身手，便解决了微分几何中一个有关负曲率流形基本群的结构问题，事后他才知道这就是微分几何中著名的沃尔夫猜想。这一点颇像米尔诺（Milnor）把扭结理论里的猜想当成家庭作业完成一样。当遇到卡拉比猜想后，他像是见到了美丽的天使，一见钟情。此后童话般的故事人人皆知，其中的痛苦与快乐也只有丘成桐自己才能体会。后来他告诉所有人，他成功的诀窍是用苦功而非天才，他曾尝试过近五千个实验函数，来发展流形上梯度估计的技巧。所以我们知道，一只苹果掉到头上，令牛顿豁然开朗地发明了微积分，那只是个传说。为了解决卡拉比猜想，他需要系统地创建和发展流形上的非线性分析，特别是Monge-Ampere方程的理论、方法与技巧。他先与郑绍远合作，用实的Monge-Ampere方程解决了著名的闵可夫斯基（Minkowski）猜想和闵可夫斯基时空中的伯恩斯坦（Bernstein）问题，此后再将他自己发展的梯度估计技术发挥到极致，终于在1975年完全解决了卡拉比猜想。此时此刻，除了丘成桐，最高兴的应该是卡拉比，从1954年到1975年，整整21年的梦想终于成为了现实！那一年的圣诞节，他、丘成桐和尼伦伯格（Nirenberg）一起在纽约的Courant研究所度过，整天就是讨论丘成桐的证明。卡拉比猜想终于成为了Calabi-Yau定理！
&&&&&&&&卡拉比后来回忆，那是他一生中唯一的一次在圣诞节开会，而那个猜想的证明就是最好的圣诞礼物。1991年当他获得了美国数学会终身成就奖时，他动情地说，我特别要感谢丘成桐，因为他，今天我才能站在这个领奖台上。
&&&&&&&&塞尔说过：“一个真正好的数学猜想，它的解决应该随之而来一系列的推论和绵延不断的影响。”卡拉比猜想就是如此，这里我仅举几个例子。
&&&&&&&&首先，对于第一陈类小于和等于零的紧卡勒流形，卡拉比猜想告诉我们，Kahler-Einstein度量总是存在。其中对小于零的情形，其简单的推论就解决了长期悬而未决的Severi猜想，复二维投影空间的复结构是唯一的，甚至任意维数复投影空间的卡勒复结构也是唯一的。
&&&&&&&&另一个匪夷所思的推论是，在任意维数的这类复流形上，存在一个奇妙的陈示性数不等式，而此前代数几何学家却只能得到复二维的情形。第一陈类等于零的二维复流形是有名的K3曲面，托尔罗夫（Todorov）用Calabi-Yau定理证明了其周期映射是满射，萧荫堂利用Calabi-Yau度量证明了所有的K3曲面都是卡勒曲面。而高维数的第一陈类为零的复流形的基本结构定理也随之而来。这些都是复几何与代数几何中著名的猜想，在卡拉比猜想证明之前，人们毫无办法，望而却步。
&&&&&&&&最令人惊奇的是上世纪80年代初，超弦学家们认识到第一陈类等于零的三维复流形，恰好是他们的大统一理论所需要的十维时空中的一个六维空间，这神秘的六维空间，在我们看不到的尺度里主宰着我们大千世界的千变万化。这个发现引发了物理学的一场革命。物理学家们兴奋地把这类流形称为Calabi-Yau空间，Yau便是丘成桐的英文姓氏。有兴趣的朋友如果在Google中输入Calabi-Yau，就会发现近40万个条目。以至于不少物理学家都以为Calabi是丘成桐的名字。正如威滕（Witten）所言，在这场物理学的革命中，每一个有重要贡献的人都会名扬千古。Calabi-Yau也在数学中引发了一系列重大的进展，如超弦学家Candelas等人通过研究不同的Calabi-Yau流形给出的相同的超对称共形场论所发现的镜对称猜想。这个猜想由丘成桐、连文豪与我以及Givental独立证明，它解决了代数几何中遗留了上百年的舒伯特（Schubert）计数问题。基于Calabi-Yau流形的基本结构，著名超弦学家威滕、瓦法（Vafa）等人发展的Chern-Simons与拓扑弦对偶理论给出了黎曼面模空间中许多奇妙的公式，如Marino-Vafa公式给出了无穷多个模空间积分的组合闭公式，此猜想由刘秋菊、周坚与我一起证明。可以说Calabi-Yau流形早已成为弦论学家们必不可少的魔匣，利用它，他们不断地变换出令人炫目的猜想，这已经成为数学与理论物理发展的潮流，至今方兴未艾。
&&&&&&&&卡拉比猜想的证明，也标志着微分几何一个新时代的到来。
&&&&&&&&霍奇理论、小平邦彥嵌入定理、Calabi-Yau定理是复几何发展史上的三个最伟大的里程碑，也是整个数学中屈指可数的最美妙的定理。它们有许多异曲同工的地方。它们都是用微分几何证明的，都是连接几何与其他领域必不可少的桥梁，如代数几何等。它们所需要的条件都简单而容易验证，都包含代数几何与微分几何中最有意义的一大类流形。它们的应用都给出源源不断的重要推论，都成为复几何教科书中必不可少的篇章。这是数学中所有伟大定理的共同特征。
&&&&&&&&卡拉比猜想的证明也标志着微分几何一个新时代的到来。一个新的学科随之产生，称为几何分析。它的定义就是用非线性微分方程的方法来系统地解决几何与拓扑中的难题，反过来也用几何的直观与想法来理解偏微分方程的结构。
&&&&&&&&丘成桐在1978年的国际数学家大会的大会报告中系统而清晰地描绘了几何分析与高维单值化理论的发展前景。由此方法，一系列著名的问题得到解决，特别是唐纳森（Donaldson）为代表的规范场理论与低维拓扑的结合，汉密尔顿（Hamilton）的Ricci流与庞加莱猜想的历史性进展，将几何分析的发展带到了一个高峰。
&&&&&&&&另一方面，早在1983年，丘成桐的学生曹怀东、坂东（Bando）便在他的指导下，首先用Ricci流的方法开始研究卡勒流形上标准度量的存在性，使Kahler-Ricci流成为复流形研究中重要的工具之一。
&&&&&&&&另一个与卡拉比猜想密切相关的问题是代数几何中全纯向量丛的稳定性与其上的Hermitian-Einstein度量的对应问题，这个问题约化成一个与规范场理论相关的极为困难的非线性方程解的存在性问题。1986年丘成桐与乌伦贝克（Uhlenbeck）合作，在卡勒流形上完全解决了这个问题。稍后，唐纳森也在投影流形上用不同的方法将这个问题解决。1988年，辛普森（Simpson）将这些结果推广并与霍奇变分理论相结合，发展成为代数几何中一个极为有效的工具。
&&&&&&&&对于复流形的切丛，Kahler-Einstein度量可以认为是没有挠率的Hermitian-Einstein度量，所以Kahler-Eienstein度量意味着流形的切丛在代数几何意义下是稳定的，但要更细致更深刻。多年来，丘成桐一直考虑什么样的代数稳定性对应着Kahler-Einstein度量的存在。从我1988年来到哈佛成为丘成桐的学生，他的讨论班里最多的话题就是代数几何中各种稳定性的概念与相关的度量和分析问题。丘成桐的几个学生，如田刚、李骏、梁乃聪和罗华章等人的博士论文都是讨论这方面的题目。他的一些想法记录在他1990年所发表的100个几何问题集里，这个问题集是为陈省身79岁生日而整理的。第65个问题就猜测Kahler-Einstein度量的存在性应该等价于代数几何中几何不变量意义下的稳定性。在第一陈类大于零的复流形上，这个猜想首次给出了Kahler-Einstein度量存在的充分必要条件，建立了标准度量与代数几何的密切关系。他当时的不少学生，包括田刚在内，都感觉到丘成桐猜想指出了新的研究方向，非常漂亮，也很有意义，开始努力研究丘成桐猜想。在此之前丘成桐也考虑了如何用伯格曼核的想法来逼近Kahler-Einstein度量，如何将卡拉比猜想推广到开流形与有奇点的流形上，并在几篇著名的综述文章中予以详细的阐述。这些都成为今后复几何发展的重要纲领，并引领了日后唐纳森、田刚等人关于Kahler-Einstein度量方面的工作。基于他的一部分想法，丘成桐与郑绍远、莫毅明和田刚整理并发表了一系列的文章，其中一部分组成了田刚的博士论文。众所周知，田刚的博士论文以及日后的主要工作大都从丘成桐的这些想法和猜想引发而来。
&&&&&&&&“落花人独立，微雨燕双飞”，这是丘成桐描述自己证明了卡拉比猜想时的心情所用的诗句。
&&&&&&&&与第一陈类小于和等于零的情况相反，直到丘成桐提出他的猜想前，第一陈类大于零的情况一直显得颇为迷离。首先这类流形有不存在Kahler-Einstein度量的例子。在20世纪60年代，松岛（Matsushima）证明了Kahler-Einstein流形的自同构群必须可约。80年代初，福复（Futaki）引进了此类流形上存在Khler-Einstein度量的障碍函数，被称之为福复不变量。事实上，很多学者，如卡拉比、福复等都误以为没有全纯向量场应该是Kahler-Einstein度量存在的唯一必要条件，并没有意识到流形本身稳定的重要性。在较特殊的复二维情形，有一些存在性结果，但萧荫堂一直认为，这些结果并不完备，至今也还没有完整的结果。此后近30年，田刚一直沿着丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力，试图理解正曲率条件下，稳定性与Kahler-Einstein度量的存在性如何相关，他用福复不变量定义了一个解析稳定性的概念，称为K-稳定性，并取得了一些进展。然而这个问题的真正突破来自于唐纳森，他在2001年证明了如果卡勒流形上的卡勒类中存在一个常数量曲率的度量，并且其自同构群是离散的，那么这个流形就是在代数几何意义下是稳定的。唐纳森所用的关健工具恰好是丘成桐考虑过的伯格曼核的逼近方法，他敏锐地观察到伯格曼核渐进展开的第二项正是数量曲率，如果它为常数，则相应的偏微分方程便可解。此后唐纳森引进了适合研究丘成桐猜想的代数几何意义下的K-稳定性概念，并在2010年公布了证明K-稳定性与Kahler-Einstein度量存在等价性的丘成桐猜想的纲领，最近陈秀雄－唐纳森-孙菘在网上发表了三篇文章实现了这些想法，而田刚在唐纳森纲领的基础上也宣称完成了这个猜想的证明。由于这些文章都相当复杂，如唐纳森等人写了三篇长文，田刚在贴出自己的文章后还在不断地做出修改，所以这些证明的正确性还有待专家们详细验证。
&&&&&&&&第一陈类大于零的复流形也叫作法诺流形，这类流形比第一陈类小于零的流形相对来得少，其内容也远不如后者丰富，例如复一维情形只有一个球面，而复二维的流形从拓扑来看也只是复投影空间吹大几个点。更有意思的是代数几何中研究这类流形的工具也远比微分几何的方法强大，特别是1979年森重文（Mori）在法诺流形上用有限域的技巧发现的有理曲线存在性，这是迄今为止微分几何方法一直无法超越的天才发明。以此为工具，代数几何学家对法诺流形几何的了解走在了微分几何研究的前面。
&&&&&&&&这种情况与第一陈类小于和等于零的情形形成了鲜明的对比，这两类流形包含比法诺流形丰富得多的例子，而由于丘成桐证明的卡拉比猜想，在这些流形的研究中，微分几何的方法和工具更强大也更有效。这里我们还要注意到，正如唐纳森等人在他们的文章中所阐述的，K-稳定性并不是一个容易验证的条件，其实用性也与丘成桐所证明的卡拉比猜想相差甚远。目前他们所证明的丘成桐猜想唯一有意思的推论还是丘成桐所指出的，K-稳定形可以推出切丛的稳定性。所以即使K-稳定性等价于Kahler-Einstein度量的存在性的猜想得到证明，其重要性也需要在日后的应用中才能得到检验。而丘成桐本人则在勾画了他的猜想的证明纲领后，便将题目交给了他的学生和朋友，一方面他认为他的猜想虽然重要，但与他证明的卡拉比猜想相比还是有很大的距离，另一方面他认为弦理论引发的数学问题要比他自己的猜想更具挑战性，也有更大的潜力。事实上，他和他的学生与博士后在Calabi-Yau流形上的工作已经在近代数学中开创了一个新的重要研究方向。至于丘成桐猜想证明的正确性和其在几何学中的前景，只有他这个开创者和专家才有资格来评判了。
&&&&&&&&当然，卡拉比猜想只是丘成桐众多数学成就的一部分。1978年受邀在国际数学家大会作大会报告时，他29岁。1983年获得数学界最高奖，菲尔兹奖时，他34岁。特别要说明的是那个时候他持香港护照，还是中国公民。他也一直以此为豪。日，当时的中共中央总书记胡耀邦在中南海亲切会见了为祖国争得荣誉的丘成桐教授。此后他几乎囊括了这个世界上一个数学家所能得到最高荣誉，包括沃尔夫奖、克拉福德奖和美国国家科学奖章。然而卡拉比猜想的证明毫无疑问是他数学事业中最为绚丽的篇章，它承载了无数数学家60年的光荣与梦想，造就了几何分析40载的传奇与辉煌。
&&&&&&&&“落花人独立，微雨燕双飞”，这是丘成桐描述自己证明了卡拉比猜想时的心情所用的诗句。从那一刻起，丘成桐一跃而成为一个伟大的数学领袖，领导了几何学近四十年的辉煌，他代表了数学与超弦理论的一个时代。正如《纽约时报》所言：他是当之无愧的数学皇帝。
文章来源：《光明日报》（日05
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