高等数学，函数连续性, 高等数学，函数连续性
高等数学，函数连续性
寒江雪等你 高等数学，函数连续性
根据表达式可知x的范围为x小于5或者大于等于2，这两个区间都是递增的
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论如何解决高等数学函数一致性连续性问题
高等数学一致连续性是一个非常重要的概念，在教学过程中属于重点内容。本文主要阐述了函数一致连续性的基本概念，以及一致连续性的价值和意义。最后，就如何解决高等数学函数一致连续性问题进行了讨论。
作者单位：
泉州医学高等专科学校 泉州 362000
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万方数据电子出版社1、函数；f?x??x2；x3?1；?x?1与函数g?x??x?1相同．；错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两；f?x??x2；x3?1；?x?1与g?x??函数关系相同，但定义域不同，；x?1；是不同的函数；2、如果f?x??M（M为一个常数），则f?x?；错误如：数列xn???1?是有界数列，但极限不存；4、n??；liman?a，liman
?x?1与函数g?x??x?1相同．
∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
?x?1与g?x??函数关系相同，但定义域不同，所以f?x?与g?x?
是不同的函数。
2、如果f?x??M（M为一个常数），则f?x?为无穷大． 错误
根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．
如：数列xn???1?是有界数列，但极限不存在
liman?a，liman?a．
如：数列an???1?，lim(?1)
?1，但lim(?1)n不存在。
5、如果limf?x??A，则f?x??A??（当x??时，?为无穷小）． 正确
根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果?～?，则????o???．
??????∴lim?lim?1???0，即???是?的高阶无穷小量。
7、当x?0时，1?cosx与x是同阶无穷小．
xx??2sin2sin?
1?cosx1???1
??lim?lim2??正确
∵limx?0x?0x?04?x?2x2x2
?limx?limsin?0．
x?0xx?0x?0x
∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
8、 limxsin
9、 lim?1???e．
∵lim?1???e
10、点x?0是函数y?的无穷间断点．
lim??1错误
lim?，lim?lim?1 x?0?0xx?0?0xx?0?0xx?0?0x
∴点x?0是函数y?的第一类间断点．
11、函数f?x??必在闭区间?a,b?内取得最大值、最小值．
∵根据连续函数在闭区间上的性质，f?x??
∴函数f?x??
在x?0处不连续 x
在闭区间?a,b?内不一定取得最大值、最小值 x
二、填空题：
1、设y?f?x?的定义域是?0,1?，则
?? （２）f?1?sinx?的定义域是（
（１）fex的定义域是（ (??,0)
（３）f?lgx?的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵0?e?1
（2）∵0?1?sinx?1
（3）∵0?lgx?1
； xx??k,?x????(?k ) Z）
?x?2?2?x?0
x?0的定义域是（
）2、函数f?x???0．
?x2?30?x?4?
3、设f?x??sinx2，??x??x2?1，则f???x???（ sinx2?1
∵limnsin?lim
n??n??xnn??1
nnx??1?1?x
5、设f?x???cos，limf?x??（ 0 ）． ?1?x?1，则limf?x??（ 2 ）
x?1?0x??1?02?
∵limf?x??lim(1?x)?2，limf?x??lim?x?1??0
4、limnsin
?1?cosx1?x?0
6、设f?x???x2，如果f?x?在x?0处连续，则a?（
1?cosx11?cosx1
x?0?lim??f?0??a ??∵lim，如果在处连续，则fx22x?0x?022xx
7、设x0是初等函数f?x?定义区间内的点，则limf?x??（ f?x0?
∵初等函数f?x?在定义区间内连续，∴limf?x??f?x0?
8、函数y? ∵lim
）时为无穷大，当x?（ ?
）时为无穷小．
x?1??，lim
?x?1?ax?b?0，则a?（ 1
），b?（ ?
?a2?x2??1?2ab?x??1?b2? x2?x?1??ax?b??lim?lim2x???x?x?1?ax?bx?x?1?ax?bx???
欲使上式成立，令
上式化简为
0，∴a??1，
??1?2ab????1?2ab?x?1?b2??1?2ab?lim?lim?lim
x???xx???1?a∴1
a?1，1?2ab?0，b??2
10、函数f?x??
的间断点是（
11、f?x??2的连续区间是（
???,1?,?1,3?,?3,???
x?4x?3ax?2sinx
?2，则a?（
）12、若lim．
∴aax?2sinxsinx??lim?lim?a?2?a?0??a?0?2??limx??x??x??xx??
）is，limxn
，lim?1???（ e ）． ?（ e?1
?lim?sinx?0
limxsin?lim
x??x??xx??xxx??1
lim?1?x??lim?1?(?x)?
lim?1???lim?(1?)x??ek
x??x??x??x??
limsin(arctanx)?（
）iclarcont(is)，m
三、选择填空：
1、如果limxn?a，则数列xn是（ b
a.单调递增数列
b．有界数列
c．发散数列
2、函数f?x??logax?
x2?1是（ a
c．非奇非偶函数 ∵
f??x??loga??x?(?x)2
??logax?x2?1??f?x?
3、当x?0时，ex
a．高阶无穷小
b．低阶无穷小
c．等价无穷小
4、如果函数f?x?在x0点的某个邻域内恒有f?x?M（M是正数），则函数f?x?在该邻域内（a．极限存在
5、函数f?x??
）条件下趋于??. a．x?1
6、设函数f?x??sinx
，则limx?0f?x??（ c
?sinxsinx?0?0xx?0?0x??xlim?0?0x
limsinxsinx0x?xlim?0?0x
?1 x?0?根据极限存在定理知：limx?0
f?x?不存在。
7、如果函数f?x?当x?x0时极限存在，则函数f?x?在x0点（ c
） a．有定义?
c．不一定有定义
∵f?x当x?x0时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。 8、数列１，１，
12，２，13，３，…，1
，n，…当n??时为（ c
） a．无穷大?
c?．发散但不是无穷大
9、函数fx?在x0点有极限是函数f?x在x0点连续的（ b
a．充分条件
b．必要条件
c．充分必要条件 10、点x?0是函数arctan
） a．连续点
b．第一类间断点
c．第二类间断点
∵1xlim?0?0
1?xlim?0?0arctanx?2
根据左右极限存在的点为第一类间断点。 11、点x?0是函数sin
c ） a．连续点
b．第一类间断点
c．第二类间断点 四、计算下列极限：
1、lim???1?n??3n
limn???1?n??3n?limn??(13?1(?1)n13?n)?3
tanx33x3li?lim? （∵x?0,sin2x～2x,tan3x～3x） 解
sinx2x?02x2
3、lim??x?
x??x?x??x?x??x??
limn2?n?1?n2
2n?1?lim?lim?1
n2?n?1?n2?nn??
x?0?0x?sinx
?xlim?lim?limx?0?0x?sinxx?0?0x?sinxx
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连续性是说明函数在某个区域内,定义域内的所有值都在这个区域呢,也就是这个函数具有意义.连续性是为了说明函数不间断.可以用来求极值,比如两个函数式子用一个花括号括起来,当然就成了一个函数,如果他们的定义域连续,且说他们连续,那么就知道在他们定义域相交的那个点,数值一定相等.如果两个式子中有未知的数字,那么这样可以列出一个方程,来解出这个未知的数字.如果未知数字求出来了,就可以进一步比较两个函数的极值情况如何,从而求出整个大区间内,函数的极值.当你进入大学后,会用到很多连续性的东西.相当有用,关键是理解,如果函数在某个点连续能说明什么,想到这点,那么他的作用就很广了.
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