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第二章二体问题.ppt
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3秒自动关闭窗口平动点、不变流形及低能轨道--《南京大学》2015年博士论文
平动点、不变流形及低能轨道
【摘要】：由于平动点特殊的几何位置和复杂的动力学特征,使其一方面可作为对太阳活动和空间环境进行科学探测的理想位置,另一方面可作为太阳系行星际探测任务的中转站。近些年兴起的交叉学科-空间流形动力学在科学研究和工程应用方面受到极大的关注,为深空探测中不能简单用二体动力学近似的复杂任务轨道设计提供了理论基础,特别是应用于低能转移轨道设计方面,为任务实施节省燃料消耗,具有明显的工程应用价值。研究中采用的基本动力学模型有将主天体看作理想质点的限制性N体问题以及不规则小行星多面体模型,其中限制性N体系统包括JPL行星历表定义的真实力模型、限制性四体问题、圆或椭圆型限制性三体问题、圆或椭圆参考轨道对应的相对运动模型。圆型和椭圆型限制性三体问题统称为限制性三体问题,特别地,当主天体轨道偏心率为零时,椭圆型限制性三体系统退化为圆型限制性三体系统；当系统质量参数μ为零时,圆型限制性三体问题退化为圆参考轨道对应的相对运动模型,椭圆型限制性三体问题则退化为椭圆参考轨道对应的相对运动模型。另外,若将除两个主天体引力外的引力作用均看作是摄动的话,限制性四体问题和JPL行星历表定义的真实力模型也可看作是受摄限制性三体系统。在以上动力学模型框架下,我们就平动点动力学、不变流形转移理论、低能转移轨道设计、不规则小行星附近平动点动力学等方面进行了研究,取得一些成果。研究内容丰富了空间流形动力学理论,并为其在深空探测中的应用提供理论铺垫。以下是本论文的主要创新点：研究了椭圆参考轨道对应相对运动构型的级数解。将主星附近的周期运动展开为轨道偏心率,平面内振幅和垂直平面振幅的级数解形式。以Lawden解作为初始解,采用Lindstedt-Poincare方法构造了任意高阶的分析解,该分析解为椭圆参考轨道对应的大尺度编队构型提供了一个较为精确的数学表达式,且可直接应用到编队飞行的构型捕获、保持与重构等问题研究中。基于相对运动方程的解,提出一种新的构造圆型和椭圆型限制性三体系统下平动点轨道的方法。首先研究了椭圆参考轨道对应的相对运动模型下任意平动点附近的周期构型的高阶级数解,然后利用相对运动模型下平动点附近的周期构型为初值,结合数值连续和多点打靶法求解圆型和椭圆型限制性三体系统下平动点附近的周期或拟周期轨道。构造了圆型限制性三体系统下三角平动点附近的级数解。当μμc时,圆型限制性三体系统下三角平动点是线性稳定的,Lyapunov中心流形定理表明其附近存在三种基本运动类型,分别为长周期运动、短周期运动和垂直周期运动。三角平动点附近的一般运动为拟周期轨道,是以上基本周期运动类型的叠加。考虑到运动方程的非线性项,将三角平动点附近的拟周期轨道展开为长周期振幅、短周期振幅和垂直周期振幅的级数解形式,在计算机辅助下半分析地构造了任意高阶解。级数解的优势就在于：轨道上的任一点可由某一组参数唯一确定,这些参数可以作为轨道优化的优化参数,在实际任务轨道优化设计中特别适用。研究了小推力限制性三体系统下人工平动点附近的运动形态。与经典的圆型限制性三体系统不同的是,可以通过施加小推力推进,将空间中某些有利于实际任务的点转变为人工平动点,因此人工平动点大大增加了任务设计的灵活性,从而适应实际任务需求,比方说对主天体极区的连续观测、对太阳活动的提前预报等。构造了椭圆型限制性三体系统下共线平动点附近Lissajous和Halo轨道对应不变流形的级数解。由于太阳系中所有的太阳-行星和行星-卫星系统,主天体在轨道面内均作椭圆运动,于是椭圆型限制性三体系统比圆型限制性三体系统能够更加精确地近似太阳系中的三体系统。研究中,我们将Lissajous和Halo轨道对应的不变流形展开为五个参数的级数解形式,他们分别为轨道偏心率、不稳定流形振幅、稳定流形振幅、平面内振幅和垂直平面振幅。利用构造的级数解,可以描述椭圆型限制性三体系统下共线平动点附近的稳定流形、不稳定流形、穿越轨道、非穿越轨道、Lissajous轨道、Halo轨道。特别地,当轨道偏心率为零时,级数解可退化描述圆型限制性三体系统下共线平动点附近的中心流形和双曲流形。构造了椭圆型限制性三体系统下三角平动点附近拟周期轨道的级数解。研究中,将椭圆型限制性三体系统下三角平动点附近的运动展开为关于轨道偏心率、长周期振幅、短周期振幅和垂直周期振幅的级数解的形式,并构造了任意阶数的级数解。为了验证所构造级数解的正确性,我们计算了不同阶数级数解对应的收敛域。类似于地月弱稳定轨道(WSB轨道)思想,求解了从近地停泊轨道出发,到地-月系三角平动点附近的短周期轨道的两脉冲和小推力低能转移轨道。相较于传统的Hohmann转移轨道,这里计算的低能轨道可节省大量的燃料消耗。在圆型限制性三体系统下,提出基于Jacobi常数C的地月轨道设计方法,结合微分修正获得转移轨道参数之间的关系,包括转移时间、速度脉冲和轨道能量,其中转移时间和速度脉冲间的关系非常重要,可为实际探月转移轨道设计提供参考。考虑到粒子群算法和微分进化算法各自在求解优化问题时表现出的优点和缺点,本文提出一种改进的协作进化算法,并在后续的全局优化中得到成功应用。以圆型限制性三体系统下的低能轨道作为初值,建立了真实力学模型下求解低能转移轨道的优化问题,利用改进协作进化算法和序列二次规划算法,求解了真实力模型下多条地月低能转移轨道。并得出,相对于圆型限制性三体问题,充分利用月球轨道偏心率摄动和其他大天体引力摄动,可使得燃料消耗(速度脉冲)进一步减小。利用不变流形,研究了日-地系Li(i=1,2)点轨道与地-月系Li(i=3,4,5)点轨道之间的单脉冲和小推力转移。该研究进一步证明了日-地系Li(i=1,2)作为深空中转站的潜能,有助于日-地系Li(i=1,2)点航天器的拓展任务设计,同时,为将航天器发射到地-月系Li(i=3,4,5)点附近提供了一种选择方式：首先将航天器发射到日-地系平动点,然后通过其不稳定流形过渡到地-月系Li(i=3,4,5)点附近,最终施加脉冲机动入轨。利用不变流形级数解对目标轨道对应的不变流形进行参数化,结合全局和局部优化算法求解了从地球到日-火系平动点轨道(Lissajous轨道和Halo轨道)的小推力转移轨道。以日-地+月系三角平动点任务为例,研究了两种轨道保持策略：1)多点打靶轨道控制法；2)重构目标轨道方案。研究中,将轨道控制问题转化为非线性规划问题,并以优化方法求解。仿真表明优化方法在轨道保持问题求解方面非常有效。最后研究了棒状小行星附近的平动点动力学性质。首先利用多面体模型,建立了棒状小行星附近的引力场,计算了小行星附近的平动点位置、平动点线性稳定性与系统参数(棒长度和旋转角速度)的关系,然后计算了平动点附近的平面Lyapunov轨道和垂直Lyapunov轨道族,对不稳定平动点,计算了附近的不变流形,并讨论了其在小行星俘获与逃逸任务中的应用。
【关键词】：
【学位授予单位】：南京大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2015【分类号】：V412.41【目录】：
摘要4-7英文摘要7-34第一章 绪论34-68 1.1 背景与意义34-35 1.2 平动点任务介绍35-43
1.2.1 ISEE-3任务35-37
1.2.2 WIND任务37-38
1.2.3 SOHO任务38-39
1.2.4 ACE任务39-40
1.2.5 MAP任务40
1.2.6 Genesis任务40-41
1.2.7 NGST/JWST任务41
1.2.8 HERSCHEL & PLANK任务41-42
1.2.9 ARTEMIS任务42-43 1.3 采用低能转移轨道的航天任务介绍43-46
1.3.1 HITEN航天任务43-45
1.3.2 GRAIL航天任务45-46 1.4 流形转移理论在太阳系动力学中的应用46-52
1.4.1 木星彗星的共振跃迁与俘获现象46-48
1.4.2 太阳系中特洛伊天体的Jumping现象48-52 1.5 研究综述52-65
1.5.1 限制性三体系统下平动点动力学52-55
1.5.2 编队飞行构型设计55-56
1.5.3 限制性四体系统下的平动点动力学研究56-58
1.5.4 人工平动点动力学研究58-59
1.5.5 地月低能转移轨道59-60
1.5.6 平动点任务转移轨道设计60-62
1.5.7 平动点轨道保持62-63
1.5.8 小行星引力场建模63-65 1.6 文章结构65-68第二章 基本动力学68-114 2.1 引言68-69 2.2 限制性三体问题69-80
2.2.1 椭圆型限制性三体系统69-73
2.2.2 退化情形一：圆型限制性三体系统73-76
2.2.3 退化情形二：椭圆参考轨道对应的相对运动76-77
2.2.4 化情形三：圆参考轨道对应的相对运动77-80 2.3 圆型限制性三体系统下平动点附近的运动80-91
2.3.1 平动点附近线性化动力学性质80-86
2.3.2 共线平动点附近的运动方程86-87
2.3.3 共线平动点附近的运动87-91 2.4 Lagrange型限制性四体问题91-95 2.5 真实力模型95-100 2.6 真实力模型下的拟周期轨道100-110
2.6.1 多点打靶法100-102
2.6.2 拟周期轨道计算实例(多点打靶法)102-103
2.6.3 两层微分修正103-110
2.6.4 拟周期轨道计算实例(两层微分修正法)110 2.7 本章小结110-112 附录112-114第三章 椭圆参考轨道对应的编队构型研究114-124 3.1 引言114 3.2 椭圆相对运动方程114-117 3.3 椭圆相对运动方程的高阶分析解117-121 3.4 结果121-122 3.5 本章小结122-124第四章 二体系统下的解延拓到三体系统下的似)周期轨道124-139 4.1 引言124 4.2 椭圆参考轨道对应的相对运动方程124-133
4.2.1 任意平动点附近的运动126-129
4.2.2 任意平动点附近周期构型129-130
4.2.3 结果130-133 4.3 延拓到三体系统下的周期轨道133-138
4.3.1 多点打靶法133-134
4.3.2 从相对运动模型到圆型限制性三体问题134-135
4.3.3 从相对运动模型到椭圆型限制性三体问题135-138 4.4 本章小结138-139第五章 圆型限制性三体系统下三角平动点附近的运动139-155 5.1 引言139 5.2 动力学模型139-142 5.3 三角平动点附近运动的级数展开142-147 5.4 结果147-154 5.5 本章小结154-155第六章 小推力限制性三体系统下平动点附近的运动研究155-182 6.1 引言155 6.2 动力学模型155-159 6.3 人工平动点动力学159-162 6.4 稳定人工平动点附近的级数解162-165 6.5 不稳定人工平动点附近不变流形级数解165-170 6.6 结果170-180 6.7 本章小结180-182第七章 椭圆型限制性三体系统下共线平动点附近的不变流形182-220 7.1 引言182 7.2 椭圆型限制性三体问题182-184 7.3 Lissajous轨道对应不变流形分析解184-193 7.4 Halo轨道对应不变流形分析解193-200 7.5 结果200-217 7.6 本章小结217-220第八章 椭圆型限制性三体系统下三角平动点附近的运动220-237 8.1 引言220 8.2 椭圆型限制性三体系统220-222 8.3 椭圆型限制性三体系统下三角平动点附近运动的级数解222-228 8.4 结果228-236 8.5 本章小结236-237第九章 转移至地-月系三角平动点附近的低能轨道237-253 9.1 引言237 9.2 任务描述237-238 9.3 两脉冲低能转移轨道238-244
9.3.1 限制性四体问题238-239
9.3.2 初始转移轨道239-241
9.3.3 轨道优化241-242
9.3.4 结果和讨论242-244 9.4 小推力低能转移轨道244-252
9.4.1 初始转移轨道245-247
9.4.2 轨道优化247-249
9.4.3 结果与讨论249-252 9.5 本章小结252-253第十章 实际力模型下的地月低能量轨道253-271 10.1 引言253 10.2 限制性三体系统下的低能转移轨道253-257
10.2.1 地月转移轨道的能量分析253-256
10.2.2 基于Jacobi常数的轨道设计256-257 10.3 实际力学模型257-259 10.4 轨道优化问题259-261 10.5 改进的协作进化算法261-264
10.5.1 粒子群优化算法261-263
10.5.2 微分进化算法263
10.5.3 改进的协作进化算法263-264 10.6 结果264-269 10.7 本章小结269-271第十一章 日-地与地-月系平动点轨道间的低能转移271-293 11.1 引言271-272 11.2 日-地和地-月系统间的单脉冲转移272-278
11.2.1 双圆限制性四体力学模型273
11.2.2 初始单脉冲转移轨道273-275
11.2.3 单脉冲转移轨道优化275-277
11.2.4 结果277-278 11.3 日-地和地-月系统间的小推力转移278-291
11.3.1 含有小推力的双圆限制性四体问题281-282
11.3.2 燃耗最优问题求解282-284
11.3.3 初始小推力转移轨道284-287
11.3.4 小推力轨道优化287-289
11.3.5 结果289-291 11.4 本章小结291-293第十二章 日-火系平动点轨道的小推力转移293-303 12.1 引言293 12.2 轨道转移方案293-294 12.3 动力学模型及约束条件294-296
12.3.1 双圆四体动力学模型294-295
12.3.2 转移轨道约束条件295-296 12.4 初始小推力转移轨道296-298
12.4.1 转移至Lissajous轨道的初始小推力轨道优化问题296-297
12.4.2 转移至Halo轨道的初始小推力轨道优化问题297-298 12.5 轨道优化298-299 12.6 结果299-301 12.7 本章小结301-303第十三章 日-地系三角平动点轨道保持303-311 13.1 引言303 13.2 目标轨道高阶分析解303-305 13.3 实际力学模型305-306 13.4 基于高阶分析解的三角平动点轨道控制306-310
13.4.1 多点打靶轨道保持307-309
13.4.2 在实际力学模型下重构目标轨道309-310 13.5 本章小结310-311第十四章 棒状小行星附近平动点动力学311-337 14.1 引力场建模311-313 14.2 棒状小行星附近的平动点及其稳定性分析313-319 14.3 平动点附近的周期轨道319-323 14.4 平动点附近的不变流形及其应用323-334 14.5 本章小结334-337第十五章 总结337-344参考文献344-365致谢365-367简历与科研成果367-369
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京公网安备75号二体与多体运动模型下的深空探测轨道计算误差分析；华鹏，南英，李鑫；（南京航空航天大学航天学院，江苏南京210016；摘要：二体运动模型是天体力学的理论基础，方法简单；关键词：二体运动；多体运动；深空探测；轨道力学；；引言；在发射人造地球卫星、载人航天之后，深空探测是中国；日美国发射第一个月球探测器“先；表1世界主要航天国家深空探测数据对比；
二体与多体运动模型下的深空探测轨道计算误差分析
华鹏，南英，李鑫
（南京航空航天大学 航天学院，江苏 南京
摘要：二体运动模型是天体力学的理论基础，方法简单可靠易行，不足之处是精度较低，而多体运动模型理论复杂，求解复杂。本文根据深空探测轨迹优化的文献中多采用二体运动模型而提出，对二体与多体运动深空探测轨道设计中的误差进行了分析。仿真的结果表明，两者轨道参数相差巨大，航天器运动轨迹明显不同，二体运动模型下的轨道存在较大误差，且误差会随着时间累积而增长，表明二体运动模型在深空探测器的轨道设计中是不精确的。
关键词：二体运动；多体运动；深空探测；轨道力学；误差分析。
在发射人造地球卫星、载人航天之后，深空探测是中国航天活动的第三大领域。广义的深空探测是指对地球以外天体和行星际开展的空间探测活动；狭义的深空探测指航天器在飞行过程中，其所处的主引力场是地球以外的天体，或处于多体引力平衡点附近的空间探测活动。日，“嫦娥一号”工程取得了圆满成功，标志着中国迈出了深空探测的第一步。深空探测活动主要包括月球探测、大行星及其卫星探测、小行星探测、彗星探测、太阳探测以及行星际探测等。
日美国发射第一个月球探测器“先锋0号”为起点，人类的深空探测活动至今已有50多年的历史。各国近年来开始重新重视深空探测活动，截止日，人类一共发射深空探测器238颗。不同国家或地区深空探测发射任务的次数统计见表1。从表1可以看出我国深空探测起步晚，发展快，起点高，但与美国相比仍有很大差距。
世界主要航天国家深空探测数据对比
国家 深空探测器数
量（含失败）
苏联-俄罗斯
美国 约112颗 约105颗 最远飞行距离（万公里）约5500 约1721653 月球、金星、火星 太阳及太阳系八大行星、大行星卫星、
矮行星、太阳、彗星、太阳系边缘 欧洲颗 日本 中国
印度 约120000 约30000 约38 约38 月球、太阳、金星、火星、土星彗星 月球、太阳、小行星、彗星 月球 月球 探测过的天体 采样返回情况 月球 月球、彗星[1] 小行星 8颗 2颗 1颗
在深空探测任务中，传统的轨道设计主要包括发射入轨阶段，轨道转移阶段、行星际轨道阶段和目标入轨阶段。由于推进技术的发展，电推进因其比冲高、消耗燃料少在新的探测器上不断尝试，现已逐步成熟。轨道设计中通常采用二体运动模型，航天器的运动轨迹为圆锥曲线，因探测质量太小而
简化为中心天体问题。二体问题根据天体的引力作用范围而确定影响球，在该天体的影响球范围内，只考虑该天体对航天器的引力，而在影响球之外，则只考虑太阳对航天器的引力，由此得到轨道拼接。通用的方法是采用能量等高线图进行圆锥曲线拼接，由此完成整个轨道设计 [2]。
实际情况是航天器与太阳系中的天体构成多体问题。航天器在多心引力场中的运动轨迹均为非开普勒轨道。多体问题是个很古老的问题，在牛顿发现运动三大定律和万有引力以后，行星运动方程已经得到，包括多体运动方程组。但是多体运动方程组的解析解虽经过一个世纪却仍没有得到。目前更多的研究是针对三体问题，美国天文学家和数学家Hill提出了圆形限制性三体问题，但仍然没有得到通解。随后法国大数学家庞加莱证明Hill的简化方程是无法得到解析解的。他找不到定量解以后，转向定性的方法，研究了常微分方程定性理论，是后来动力系统理论的重要基础。1912年，美国数学家伯克霍夫开始以三体问题为模型，开展了动力系统的研究。到目前为止三体问题还没有完全的解析解，只得到总系统的动量守恒、动量矩守恒和能量守恒等十个积分，而有限的解析解仅限于限制性三体问题。限制性三体问题是指航天器的质量与两个天体的质量相比非常小，航天器在这两个天体的引力场的运动。对限制性三体问题和多体问题的深入研究，可为航天器的姿轨控开辟新途径。多体问题通常采用图解法、近似解析法、半解析法和数值计算来得到结果。近代计算机技术的飞速发展使得数值计算速度越来越快，多体问题精确的数值解已经不存在问题，然而对多体问题的理论研究仍能极大促进天体力学和数学的发展。
轨道误差会给一次深空探测任务带来致命影响。如果真实轨道离设计轨道相隔太远，探测器将与预定目标失之交臂，或者直接撞到目标，如果中途有行星借力，误差会使借力后的轨道与设计轨道相差过大而无法成功借力。设计带来的误差只能依靠探测器导航过程中进行修正，使得任务成本加大、风险增加。轨道设计与控制越精确，深空探测活动的成功率就越高。因此，精确的轨道设计对于远距离的深空探测是非常必要的
从目前国际国内深空探测轨道设计的竞赛和文献可以统计出，绝大部分的轨道设计问题都采用二体运动模型，有部分文献在把多体问题中的除太阳以外的天体引力按摄动力处理，这样的数学模型虽能减少轨迹优化所带来的难度，但是与真实情况却可能相差甚远。针对这种数学建模所带来的误差，本文通过一系列深空探测器的轨道仿真，通过仿真结果定量的比较二体问题和多体运动下航天器的轨道设计误差，只为更好地促进我国深空探测事业的发展。 [5][4][3]
1 二体与多体运动的数学模型
采用经典的轨道元素与飞行器质量描述，小推力（电推进 EP, Electric propulsion）控制的飞行器运动方程为：
?????????x=f(t,x,u)
式中，x=[r,v]， u为控制矢量。
1.1 在太阳系（绕太阳飞行）的运动方程
在J2000日心黄道惯性参照系中，航天器的位置和速度的三轴分量可由如下公式计算：
x=r[cos(θ+ω)cosΩ?sin(θ+ω)cosisinΩ]
y=r[cos(θ+ω)sinΩ+sin(θ+ω)cosicosΩ]
z=r[sin(θ+ω)sini]??????T??
vx=v[?sin(θ+ω?γ)cosΩ?cos(θ+ω?γ)cosisinΩ]
vy=v[?sin(θ+ω?γ)sinΩ+cos(θ+ω?γ)cosicosΩ]
vz=v[cos(θ+ω?γ)sini] (3)
a(1?e2),vr=1+
ecosθ=（4） tanγ=esinθ1+ecosθ
其中，a, , ei, Ω, ω, θ依次为半长轴、偏心率、倾角、升交点赤经、近日点幅角、真近点角；γ为航迹角，μs为太阳引力常数，r为位置矢量，v为速度矢量。
1.2 二体动力学方程
围绕太阳作二体轨道运动，在J2000 日心黄道惯性系, 其动力学方程如下：
d2xdvxxTx==?+μSdt2dtr3m
d2ydvyyTyμ==?S3+（5） dt2dtrm
==?μS3+dt2dtrm
dmT=?dtIspg0
1.3 多体动力学方程
多体动力学并不复杂，在J2000 日心黄道惯性系, 航天器围绕太阳作多体轨道运动，其动力学方程如下：
nS?Δxixi?Txdvxx=?μS?∑μi?+?+Δdtrrri?mi=1?i
dvy?Δyiyi?TyynS=?μS3?∑μi?3+3?+dtrri?mi=1?Δri（6）
?Δzizi?Tzdvzz=?μS3?∑μi?3+3?+dtrrri?mΔi=1?i
dmT=?dtIspg0nS
式中，共有nS颗行星作用在航天器上，μS为太阳的引力常数，μi为第i颗行星的引力常数， (xi,yi,zi)是第i颗行星在J2000日心黄道坐标系中的坐标，(x,y,z)是飞行器在J2000日心黄道坐标系中的坐标，
飞行器距日心的距离r=
颗星与飞行器的距离Δri=，第i
颗星距日心的距离ri=，第Tx,Ty,Tz分别为推力矢量在J2000日心黄道坐标系中的三轴坐标分量，g0为地球海平面重力加速度，Isp为发动机比冲。
计算二体与多体运动模型下的探测器轨道，设推力值为0，这样得到的动力学方程无控制矢量，仅依靠
初始速度，故轨道不需要优化，只需要求解其无动力自由飞行轨迹，从而消除不同优化方法对轨道设计误差的影响。由于太阳系小行星太多（目前已知约27万颗），且质量都很小，故多体运动中小行星的引力不考虑，只考虑八大行星的引力。八大行星的引力常数μi与半径见表2。 表2
大行星引力常数与半径
引力常数μi
（km3/s2）
半径（km） 水星 地球
木星 土星 天王星 海王星 28.41.13e7 5.. 400
2 仿真过程
同时选取了两组算例，共4组数据。4组数据分类依据见表3，其中多体运动均只考虑八大行星的引力，为了更好的对比二体问题和多体问题的精度，把推力设置为0，避免了因轨道优化方法不同带来的误差。航天器一共飞行20年，从日00:00（MJD：57023）到日24:00（MJD : 64327）。图1给出了这20年时间里八大行星的飞行轨迹。 表3
4种仿真类型详细参数
仿真算例1 二体运动模型 多体运动模型
（八大行星）
施加引力的天体 太阳 太阳，八大行星太阳 二体运动模型 仿真算例2 多体运动模型（八大行星） 太阳，八大行星
出发时间（MJD）初始条件
57023 距地心1万km，距地心1万km，距地心154万km，距地心154万km，
Δv=3km/s 推力大小结束时间（MJD） 64327 Δv=3km/s 0 Δv=10km/s 0 Δv=10km/s 0
航天器飞行时段内的八大行星轨道
根据二体与多体运动的动力学方程，在无推力飞行时动力学方程为常微分方程，采用非常成熟的龙格库塔法进行数值求解。该方法在已知方程导数和初值信息时，进行数值求解时具有速度快，精度高的特点，初值问题描述为：
??????????=f(t,xx), x(t0)=x0
该问题的RK4由如下方程给出：
????Δtxn+1=xn+(k1+2k2+2k3+k4)6??k1=f(tn, xn)
Δt??Δt, xn+k1)22
Δt??Δtk3=f(tn+, xn+k2)22??k4=f(tn+Δt, xn+Δtk3)k2=f(tn+
3 仿真结果与分析
图2-图9为第一组算例的轨道仿真图。航天器在日00:00（MJD：57023）时刻从距离地心1万 km处以速度增量Δv=3km/s离开地球向行星际空间飞去，至日24:00（MJD :64327）任务结束，共飞行20年。
由图2可知，二体运动中航天器的轨道是重合的，多体运动中的航天器运动在每个轨道周期不重合，且在z轴方向与二体运动中的航天器轨迹相距越来越远，这一关系在图3中体现了出来，图3中的dz-day图中dz震荡幅值越来越大。图3与图4中的dr与dv呈现出周期性，周期长约2650天（约
7.25年）。图5给出了两种模型下的太阳引力对比图，二体运动模型的太阳引力为周期性变化，而多体运动模型的太阳引力变化无规律。图6和图7是多体运动模型中行星引力与太阳引力的对比，行星引力只在几个特殊时间段里超过太阳引力，行星引力表现出不明显的周期性。图8给出了行星引力较大时段的主要施加引力的行星，从图上可以看到，木星、地球和金星对探测器的引力影响显著。 、
二体与多体运动模型下的航天器轨道（算例1）
二体与多体运动模型下的位置误差（算例1）
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　探测的深空位置就应该为其设定运动轨道分 析其运动...、条件简化、设定初始条 件、误差分析、验证模型。对于航天器绕地球运动的二体运动方程基于两个假设:1...