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2014年寒假数学联赛集训二课程导学代数部分一、课程重点及难点概述...............................................................................................................1二、清北导学...................................................................................................................................2数列部分...............................................................................................................................2重点及难点.......................................................................................................................2知识点...............................................................................................................................2思考题...............................................................................................................................4不等式...................................................................................................................................5重点及难点.......................................................................................................................5知识点...............................................................................................................................5不等式常用证明方法.......................................................................................................7不等式证明的若干技巧...................................................................................................8利用不等式求最值...........................................................................................................8不等式的综合应用...........................................................................................................9函数.....................................................................................................................................10重点及难点.....................................................................................................................10知识点.............................................................................................................................10复数.....................................................................................................................................12重点及难点.....................................................................................................................12知识点.............................................................................................................................北京清北学堂教育科技有限公司一、课程重点及难点概述本次培训的重点为数列、函数、不等式和复数。其中数列、函数、不等式及其三者的交叉综合问题是学习的难点。其中高一上已掌握的知识为函数相关知识，有关数列、函数和复数相关的知识会在后续的高中学习中了解。集训二班以知识点传授为主，夯实学员的基本功。北京清北学堂教育科技有限公司二、清北导学数列部分重点及难点数列部分，等差数列及其性质、等比数列及其性质、数列前n项和求法、通项公式的求法、递归数列处理方法是该部分的重点数列相关不等式的证明技巧、新数列构造等问题是该部分的难点。知识点1.等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用d字母表示。1nnaadconst???。等差数列前n项和公式11122nnnaannSnad?????。常数列为公差0d?的等差数列。任意两项间有关系式mnaamnd???等比数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示0q?。1,0nnaqconstqa???。当1q?时，数列为常数列。等比数列一般不含0元素项任意两项间有关系式mnmnaqa??等比数列前n项和公式111,11,1nnaqqSqnaq??????????北京清北学堂教育科技有限公司2.等差乘等比数列的前n项和nS的求法??11nnaaand???，??110,1nnnbbbqqq????，??nnnnccab???1111111nnnknkkkkkkScabakdbq????????????????nnkknkkqSakdbqakdbq????????????nnknnkdbqqSqSabdbqabq???????????故11121,11nnabdbqqSnNqq???????3.几种数列递推关系式求通项方法（1）11,,,nnapaqapq???已知1,111nnnqqqapaappp??????????????为一个新的等比数列故1111nnqqaappp??????（2）1112,,,,nnnapaqaaapq????已知该递推关系式对应的特征方程为2xpxq??，如果方程有不等两根12,xx，那么12nnnaAxBx??，由12,aa定得,AB，从而确定数列通项公式如果特征方程有重根12xx?，那么1nnaAnBx??，由12,aa定得,AB，从而确定数列通项公式。（3）不动点法求数列通项对于一个函数yfx?，该函数的不动点指的是方程xfx?的根，也就是yfx?与直线yx?的交点。假设1nnnaabacad????，已知1,,,,abcda令axbfxcxd???，可求函数yfx?的不动点满足axbxcxd???，即北京清北学堂教育科技有限公司20cxdaxb????，令方程的两根为12,xx1若12xx?，则有111112nncppaxaxad???????其中2若12xx?，则有nnaxaxacxqqaxaxacx??????????其中从而可以求出na的通项公式。总之，在已知数列前后项之间的递推关系时，我们首要的任务就是尝试构造新数列，使新数列满足等差或等比数列的性质，继而求得数列的通项公式。思考题已知数列??na满足11a?，前n项和为nS，12,1nnnaSnn????，求证14,1nnSan???北京清北学堂教育科技有限公司不等式重点及难点不等式部分，常用不等式、应用不等式求极值、不等式证明技巧是该部分的重点其中柯西不等式、排序不等式、不等式证明中的换元法、不等式的综合应用是不等式学习的难点。知识点1.均值不等式12,,naaaR????，有nnnnnaaaanaannaa????????????常用形式,0,2xyxyxy????2.柯西不等式若,,1,2,,iiabRin???，则222111nnniiiiiiiabab???????，等号成立当且仅当1212nnaaabbb????常用变形一???RbRaii，若i1,2,,n，则?????????????niniiniiiibaba11212注要求bi为正数常用变形二若??Rbaii，i1,2,,n，则?????????????北京清北学堂教育科技有限公司注要求ai，bi均为正数。3.排序不等式设有两个有序数组12naaa????及12nbbb????，则1122nnababab????同序和?1122jjnjnababab????乱序和?1211nnnababab?????逆序和其中12,,njjj?为1,2,,n?的任意一个排列。当且仅当12naaa????或12nbbb????时等号（对任一排列12,,njjj?）成立。4.琴生不等式如果在定义域??,ab上函数yfx?为上凸函数，则??12,,,,nxxxab???，有1212nnfxfxfxxxxfnn?????????如果在定义域??,ab上函数yfx?为下凸函数，则??12,,,,nxxxab???，有1212nnfxfxfxxxxfnn?????????。加权的琴生不等式对于定义域??,ab上的上凸函数，若11???niia，则?????????????niiiniiixfaxaf115.车比雪夫不等式若1212,nnaaabbb????????，则nnnnabababaaabbbnnn??????????????6.绝对值不等式ababab?????1212nnaaaaaa?????????北京清北学堂教育科技有限公司不等式常用证明方法1．比较法依据实数的运算性质及大小顺序之间的关系，通过两个实数的差或商的符号（范围）确定两个数的大小关系的方法。基本解题步骤是作差（商）变形判号（范围）定论。证题时常用到配方、因式分解、换元、乘方、恒等式、重要不等式、优化假设、放缩等变形技巧。2．分析综合法所谓综合指由因导果，从已知条件出发，依据不等式的性质、函数的性质、重要不等式等逐步推进，证得所要证的不等式。所谓分析指的是执果索因，从欲证不等式出发，层层推求使之成立的充分条件，直至已知事实为止。一般先用分析法分析证题思路，再用综合法书写证明过程。3．重要不等式法主要有均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。4．换元法适当引入新变量，通过代换简化原有结构，实现某种变通，给证明的成功带来新的转机。具体地讲，就是化超越式为代数式，化无理式为有理式，化分式为整式，化高次式为低次式等等。比较常见的有三角代换、均值代换、增量代换、对称代换、复数代换、局部代换、整体代换、比值代换、常量代换等。至于到底如何代换，因题而异。应用换元法时，要注意新变量的取值范围，即代换的等价性。5．放缩法要证A≤B（或A≥B）,可以先证明A≤C（或A≥C），再证明C≤B（或C≥B），由传递性得证。证明不等式的实质就是如何把不等式的一边经过适当放缩得到另一边。放缩法的常用技巧①在恒等式中舍掉或添加一些项②在分式中放大或缩小分子或分母③应用函数的性质（如单调性、有界性等）进行放缩④应用基本不等式进行放缩。运用放缩法证明不等式时，要注意目标明确和放缩适度。6．数学归纳法运用数学归纳法证明与正整数有关的不等式。对于某些较弱的不等式，可以加强命题后再作归纳法证明。7．构造法针对要证的不等式的结构特点，展开类比、联想，抓住知识间的横向联系，构造出数列、函数、图形等辅助模型，通过转化达到目的。8．反证法通过否定结论,导出矛盾,从而肯定结论.一般用于证明否定性、唯一性、存在性命题，或用于直接证明比较困难的命题。9．调整法在含有多个变元的不等式中，我们常将一个或几个变元的值适当调整（增大或减小），使它们等于定值或其他变量，从而将原不等式转化为新的更强的不等式，而新的不等式变元减少或更易证明。北京清北学堂教育科技有限公司不等式证明的若干技巧无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形.这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法,去发现问题的本质，找到突破口.1．变形技巧化简不等式一般是不等式证明的第一步。等量代入法是较常用的方法。2．引入参变量尤其是对于某些三角函数不等式，适当地引入参变量可以更好地化简不等式，使待证问题更为简洁明了。3．数形结合、构造（1）构造重要不等式的结构，再利用相关的重要不等式来证明不等式.（2）构造函数，利用函数性质来证明不等式.特别注意好利用二次函数。（3）构造图形，利用几何知识来证明不等式.4．递推数列中采用的递推思路同样适用于部分不等式的证明。利用数学归纳法可以证明某些递推性质的不等式。5．特殊到一般的转化6．整体与部分合理巧妙转化利用不等式求最值利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意正数、定值和相等三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件（三要素）正（各项或各因式均为正值）、定（和或积为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称一正、二定、三相等，这三条缺一不可，当然还要牢记结论积定→和最小，和定→积最大。但是在具体问题中，往往所给条件并非标准的正、定、等（或隐含于所给条件之中），所以还必须作适当地变形，通过凑、拆（拼）项、添项等技巧，对原始条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等，以保证使用该不等式。北京清北学堂教育科技有限公司不等式的综合应用不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程组的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。这类问题大致可以分为两类一类是建立不等式、解不等式另一类是建立函数式求最大值或最小值．无论是什么类型的不等式证明，熟练掌握基本不等式的应用，将复杂问题逐步化简为简单问题逐一解决，是不等式证明的基本思路。北京清北学堂教育科技有限公司函数重点及难点函数部分，单调性、周期性、常用初等函数的性质是该部分的重点可导性及导数的应用、函数极值、函数不等式是该部分的难点。知识点1.函数的基本要素及性质函数yfx?可以看做实数域A到实数域B的映射。其中A为f的定义域，B为f的值域。连续性设函数yfx?在0x的邻域内有定义（0Ux），则若00limxxfxfx??，称f在0x点连续。更进一步，有左连续和右连续的概念，不做更深介绍。单调性、奇偶性、周期性以上为较简单的基本概念，学员可查阅高中数学教材复习。初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次数四则运算或函数的复合而得的函数集合。有界性函数,yfxxD??，若存在,mMR?，使得,xDmfxM????，则称f有界，m为其下界，M为其上界。有时函数只有上界或只有下界。当函数无界时，不存在关于原点对称的确定区间可包含函数的值域。可导性函数,yfxxD??。0xD?，若000limxfxxfxx??????存在，称f在0x点可导，记为00dyfxxxdx??为f0x点的导数。北京清北学堂教育科技有限公司高阶导数如果函数yfx?的导函数可导，称fx为f的二阶导数。高阶导数类似定义。凸性yfx?在区间I上有定义，若120,1,,xxI????，有121211fxxfxfx?????????，则称yfx?为区间I上凸函数。若yfx?的二阶导数存在，则yfx?为区间I上凸函数?,0xIfx??2.函数的值域（最值）的求法配方法如果所给的函数是二次函数或可化为二次函数的形式，一般采用配方法，但在求解时，要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围。判别式法将所给函数??yfx?看作是关于x的方程。若是关于x的一元二次方程则可利用判别式大于等于0来求y的取值范围，但要注意取等号的问题。换元法将一个复杂的函数中某个式子当作整体，通过换元可化为我们熟知的表达式，这里要注意所换元的表达式的取值范围。利用函数单调性法如果所给的函数是熟悉的已知函数的形式，则可利用函数的单调性来示值域，但要注意其单调区间。反函数法若某函数存在反函数，则可利用互为反函数两个函数的定义域与值域互换，改求反函数的定义域。利用均值不等式法。构造法通过构造相应图形，数形结合求出最值。3.函数不等式对于定义域??,ab上的上凸函数，若11???niia，则?????????????niiiniiixfaxaf11利用函数的单调性证明不等式，如求证fxgx?，可证fxgxee?配方法证明函数不等式求证22,,3330xyRxyxyxy????????利用导函数及单调性证明求证0,1xxex???北京清北学堂教育科技有限公司复数重点及难点复数部分，复数的四种表示方式、复数四则运算是该部分的重点复数四则运算的几何意义、复数模及其相关运算是该部分的难点。知识点1.复数的四种表示方法复数是能写成以下形式的数2,,1zabiabRi?????代数形式,zabiabR???几何形式复平面上的点z或由原点出发的向量OZ???三角形式cossin,0,,zrirrR???????且指数形式cossin,0,,izrerirrR?????????且2.复数的四则运算充分理解复数在复平面上的幅值、幅角对应的几何意义，利用旋转、拉伸等几何变换概念来理解题目可以得到很好的效果。复数相乘，幅值相乘、幅角相加复数相除，幅值相除、幅角相减。加减法乘法abicdiacbdbcadi????????cossincossincossinririrri???????????????除法22220abiacbdbcadicdicdicdcd??????????北京清北学堂教育科技有限公司??cossincossincossinriririr????????????乘方??cossincossinnnrirninnN????????开方复数cossinri???的n次方根是22cossin0,1,,nkkriknnn?????????3.复数的模与共轭复数,zabiabR???，22zab??称为复数z的模。,zabiabR???，zabi??称为复数z的共轭复数。2zzz?，2Rezzz??，2Imzzz??,zwC?，则zwzw???
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清枫琥靶椒
仔细看一下哟,只是把右边的x移项到了左边了哟~
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移向，从不等号一侧移到另一侧，变成相反数即可。
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（1）原式（2） 解：因为若不等式的解集是，所以；2是的两根，可求出a=-2，不等式变成&0，其解集为（）当前位置：
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先化简，再求值：(x+2x-x-1x-2)÷x-4x2-4x+4，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．
题型：解答题难度：中档来源：重庆
原式=[(x+2)(x-2)x(x-2)-x(x-1)x(x-2)]×(x-2)2x-4，=x2-4-x2+xx(x-2)×(x-2)2x-4，=x-4x(x-2)×(x-2)2x-4，=x-2x，3x+7＞1，3x＞-6，x＞-2，∵x是不等式3x+7＞1的负整数解，∴x=-1，把x=-1代入x-2x中得：-1-2-1=3．
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据魔方格专家权威分析，试题“先化简，再求值：(x+2x-x-1x-2)÷x-4x2-4x+4，其中x是不等式3x+7＞1..”主要考查你对&&一元一次不等式的解法，分式的加减乘除混合运算及分式的化简&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一元一次不等式的解法分式的加减乘除混合运算及分式的化简
一元一次不等式的解集：一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如﹕不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x﹥0的解集是所有正实数。求不等式解集的过程叫做解不等式。将不等式化为ax&b的形式(1)若a&0，则解集为x&b/a(2)若a&0，则解集为x&b/a
一元一次不等式的特殊解：不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特殊解，如求正数解、整数解、最大整数解等，解答这类问题关键是明确解的特征。 不等式的解与解集：不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如x=1是x+2&1的解①不等式的解是指某一范围内的某个数，用它来代替不等式中的未知数，不等式成立。②要判断某个未知数的值是不是不等式的解，可直接将该值代入等式的左、右两边，看不等式是否成立，若成立，则是；否则不是。③一般地，一个不等式的解不止一个，往往有无数个，如所有大于3的数都是x&3的解，但也存在特殊情况，如|x|≦0，就只有一个解，为x=0不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。①不等式的解集一般是一个取值范围，在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解，不等式一般有无数个解。②不等式的解集包含两方面的意思：解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；解集外的任何一个数值，都不能使不等式成立。（即不等式不成立）③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，如不等式x-1&2的解集是x&3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点。一元一次不等式的解法：解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似，只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时，要改变不等式的符号。有两种解题思路：（1）可以利用不等式的基本性质，设法将未知数保留在不等式的一边，其他项在另一边；（2）采用解一元一次方程的解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。&解一元一次不等式的一般顺序： （1）去分母 （运用不等式性质2、3） 　　（2）去括号 　　（3）移项 （运用不等式性质1） 　　（4）合并同类项。 　　（5）将未知数的系数化为1 （运用不等式性质2、3） 　　（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集&不等式解集的表示方法： （1） 用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来。例如：x-1≤2的解集是x≤3。 　　（2） 用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解。用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。分式的加减乘除混合运算： 分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。 分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。 分式的混合运算：在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；注意分式乘除法法则的灵活应用。
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