怎样证明四点共的四点共圆判定定理理

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-02-01 07:14 标签： 线面平行判定定理证明
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如何证明四点共圆
舞动之神丶kz
如何证明平面上A、B、C、D四点共圆：1、证明四边形ABCD有一组对角互补；2、证明四边形ABCD有一个外角等于它的内对角；3、找到一点O,证明AO=BO=CO=DO；4、若AC与BD相交于P,证明PA*PC=PB*PD；5、若AB与DC延长后相交于P,证明PA*PB=PD*PC；6、若∠ABD=∠ACD.则A、B、C、D四点共圆.
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平面几何中圆的等式的证明方法
2012年12期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　高中课标数学选修4—1《几何证明选讲》，将现初中数学中删去的与圆有关的一些定理，如弦切角、切割线、相交弦等又增补进来而各省市课标高考题中的平面几何题，几乎都与圆有关因此，掌握与圆有关问题的解题方法非常重要本文就圆中乘积式与比例式的有关问题，归纳其解法，供学习参考 中国论文网 /9/view-5074044.htm　　一、利用相似三角形 　　相似三角形是推导比例线段的重要途径，因此，找出比例式中各线段分属哪个三角形，再通过相似三角形而获得证明 　　例1如图1，AB是圆O的直径，弦AD与BC交于E求证：AE·AD+BE·BC=AB2 　　分析：由直径AB构造圆周角（直角），由E向AB作垂线，从而构造出若干相似的直角三角形 　　证明：连结AC、BD，由E作EF⊥AB于F 　　由AB是直径，知∠C=∠D=90°在 　　例2如图2，△ABC内接于 　　圆O，弦AB的垂直平分线OD与AB、BC分别相交于M、N，与AC的延长线相交于P，与AB相交于D求证： 　　，可找到相关的△OBN与△CPN，证明相似对于（2）改写为 　　OBON=OPOB，连结BP，利用△BOP与△NOB相似 　　证明： （1）作直径BE，连结EC，则 　　∠E=∠A，∠NBO+∠E=90°，即∠NBO+∠A=90° 　　又MP是弦AB的垂直平分线，则 　　（2）连结BP 　　，由PD是AB的垂直平分线，可知 　　∠OPB=∠CPN而由（1）知 　　∠CPN=∠OBN，故有 　　∠OPB=∠OBN易见△BOP∽△NOB以下略 　　二、利用射影定理 　　由直角三角形的射影定理，可以得到形如 　　p2=m2+n2的乘积式因此，构建直角三角形是常用方法之一，特别是有直径时，更应注意 　　例3如图3，AB是圆O的直径，MN切圆O于C，AM⊥MN于M， BN⊥ 　　分析：由求证式，结合图形，联想到射影定理连结AC、BC，那么由Rt△ABC知CD2=AD·BD 　　再证AD=AM、BD=BN，只要证 　　Rt△ACD≌Rt△ACM由弦切角知 　　∠ABC=∠ACM， 　　再由余角关系，可得 　　∠CAD=∠CAM 　　证明过程从略 　　三、利用切割线定理 　　圆的切割线定理是以乘积式给出的，因此，与圆相交、相切的条件，应注意寻找割线、切线的影子 　　例4如图4，两个同心圆O，P、Q在大圆上，B、D在小圆上，PB交小圆于A，QD交小圆于C求证： 　　PA·PB=QC·QD 　　证明：作大圆的弦PF、QH，分别切小圆于E、G，连结OE、OG，则OE垂直平分PF，OG垂直平分QH又OE=OG，所以PE=QG由切割线定理， 　　PE2=PA·PB，QG2=QC·QD 　　，从而 　　PA·PB=QC·QD 　　点评：本例巧作两条切线，既有弦心距相等，又构造出切割线的模型这是解答本题的关键所在 　　四、利用相交弦 　　圆内有两弦相交，就构成了相交弦定理的模型由所证结论与该模型比较，常会豁然开朗 　　例5如图5，过相交两圆公共弦AB上一点C引一条直线，分别于一个圆交于D、E，与另一个圆交于F、G求证： 　　五、用好圆内接四边形 　　圆内接四边形定理的运用，通常是先用判定定理，然后用性质定理因此，判定四点共圆是关键除了课本上介绍的对角互补法外，还有：两点在一线段的同旁张等角；相交弦、割线定理的逆定理 　　例6 如图6，△ABC中，AD⊥BC， 　　DE⊥AB，DF⊥AC，AD与EF相交于G求证： 　　（1）∠BDE=∠DFE；（2）AGGF 　　证明： （1）由 　　DE⊥AB， 　　DF⊥AC，知 　　∠AED与∠AFD互补，故四点A、E、D、F共圆，且AD是该圆的直径因此 　　∠BDE是弦切角，则 　　∠BDE=∠DFE 　　（2）由圆内相交弦定理知AG·GD=EG·GF，从而 　　例7如图7，由圆O外一点P引两条切线，切点是A、B，过AB与OP的交点E引弦CD求证： 　　分析：要证 　　∠CPO=∠DPO，只要证P、C、O、D共圆可用相交弦的逆定理 　　证明：连结OA、OB由A、B是切点，知 　　OA⊥PA，OB⊥PB，则四点O、A、P、B共圆，所以 　　而在圆O内EA·EB=EC·ED，故有 　　由相交弦的逆定理，P、C、O、D四点共圆 　　六、利用三角形的内角平分线 　　由三角形的内角平分线来获得比例式，是很自然的这是一个简单而有用的定理，在平面向量、解析几何中也有应用 　　例8如图8，由弦AB延长线上一点P引圆的切线，切点为E， 　　∠APE的平分线分别交EB、EA于C、D求证： 　　证明：由PCD是角平分线，得 　　所以得EC2=DA·CB 　　点评：本题以三角形内角平分线为主，另外还用到了切割线、弦切角、三角形外角等定理这是一个综合性较强的题目 　　下面是一组练习题 　　1如图9，AB是直径，AC、AF是弦，弦CF与AB交于E， 　　CD⊥AB于D，CD交AF于G求证： 　　AC2=AG·AF 　　2 如图10，由直径BA延长线上一点E引圆的割线ECD，弦 　　FA⊥ED，延长后交ED于G求证： 　　（1）∠BAD=∠CAG；（2）AC·AD=AE·AF 　　3 如图11，PT切圆O于T， PC⊥直径AB于C，交圆O于D设AB=6，PC=5，当点C在半径OA上移动时，求PT长的最小值 　　提示与答案 　　1延长CG构成垂径；或连BC、BF，构直角三角形 　　2用内接四边形ACDB 　　3延长PC，构成弦和割线用切割线、射影定理，将PT用 　　AC=x来表示，求二次函数最小值答：4 　　黑龙江省实验中学 （150001）
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