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“导数无穷大等价于导数不存在”吗?还是属于包括关系?例举具体例子.
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导数无穷大不等价于导数不存在!导数无穷大是导数不存在的一种,也即是说导数无穷大包含于导数不存在中!例如:y=1/x它在0点是不可导的!但一般不说它的导数是无穷大!导数不存在还有左右导数存在但不相等,还有其它情况!如一些分段函数左导数存在,右导数不存在等!
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无穷大和无穷小-一点数学上的知识日期：
无穷小。这个概念无疑常常困扰没有受过现代数学训练的阅读者们，这是很自然的事情，因为它可以从直觉上意识得到，却又难于精确地把握：无穷小是什么？是不是可以精确定义的数学概念？它是一个数？还是一段长度？能不能对无穷小做计算？诸如此类等等。由于这个概念几乎天然的和各种哲学式的思辨联系在一起，使得甚至哲学家们也对它颇为关注，——当然，还有数之不尽的民科们。关于无穷小的讨论者，最著名的大概莫过于莱布尼茨，他花了大把的精力试图精确阐述无穷小的概念并且以此作为整个微积分学的基石。在莱布尼茨看来，无穷小是一个比任何数都小但是不等于零的量，对它可以做四则运算，尤为关键的是可以做除法：两个相关的无穷小量的比值就是一个函数的导数。以此为基本语言他开始建立微积分学的基本理论，——他基本上成功了。直至今天，数学家采用的关于微分的记号仍然来自莱布尼茨，而数学学科内部关于微积分学的专门称呼——“分析学”——也来自于莱布尼茨自己对他的理论的叫法：无穷小分析。尽管牛顿和莱布尼茨在微积分的发明权上争得不可开交，可是几个世纪过去，至少在这两件事情上莱布尼茨大获全胜。可是，也许你想不到的一件吊诡的事情是：尽管莱布尼茨在微积分学的建立过程里做出如此重要的贡献，他的思想的基石——无穷小量——却是一个在今天的数学语言里被完全抛弃了的概念。人们发现这个词汇除了带来混乱之外并没有什么特别的用处，于是作为一种语言，它被丢弃了。事实上，即使在莱布尼茨的同时期人看来，无穷小也是一个有点让人不舒服的词：比任何大于零的数都小，却不是零。我们当然可以把它仅仅作为一种人为的逻辑概念来使用，可是这样一个怪东西的存在，既使得数学的基本对象——实数的结构变得混乱，也在很多场合带来了麻烦的难于回答的问题（尽管它也确实带来了不少方便）。在分析学蓬勃发展的十八世纪，一代又一代数学大师为此争论不休，大家混乱而各行其是地使用这个词，却没人能说清楚它的精确含义。终于，从十九世纪初期开始，以柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）为代表的一大批数学家开始为分析学的严密化做出了大量的工作，他们试图在完全不采用“无穷小量”这个概念的前提下重新建立整个分析学，——他们也成功了。于是这个词就被抛弃了。时至今日，这个词尽管在很多数学书里仍然会出现，但是这时它仅仅作为一个纯粹修辞上的词汇而不是严格的数学概念，——人们通常用它来指代“极限为零的变量”（感谢十九世纪那一大批数学家，极限这个词已经是有了严密清晰的定义而不再仅仅是某种哲学性的描述），也有的时候它被用来作为对微积分运算中的某些符号的称呼，但是无论何时，人们在使用它的时候都明确的知道自己想说什么，更关键的是，人们知道自己并不需要它，而只是偶尔像借助一个比喻一样借助它罢了。那么，回到这个词最本源的意义：到底有没有这样一个量，比一切给定的正实数都小却又不是零？或者这个问题还有一系列等价的提法：在直线上存不存在两个“相邻”的点？存不存在“长度”的最小构成单位？等等等等。在今天我们已经能够确定无疑的回答这些问题了：不，不存在。事实上，这个问题的彻底解答甚至比柯西和魏尔斯特拉斯的时代还要晚：它本质上是关于实数的结构的理解的问题。即使柯西本人——尽管他奠定了现代极限理论的基础——也并不真正了解“实数是什么”这样一个简单的问题。关于严密的实数理论的最终建立，一般认为是皮亚诺（peano），康托（Cantor）和戴德金（Dedekind）这几位十九世纪下半叶的数学家的成就。所谓的“戴德金分划”仍然是今天的教科书里对“实数”这一概念所介绍的标准模型。在这套模型里，人们能够在逻辑上完全自洽的前提下回答有关实数结构的一切问题，而正如前面指出过的那样，它完全摈弃了“无穷小”的存在。（是不是数学家说无穷小量不存在，这个词就没意义了呢？）这又回到了前面我们屡次面对的那个关于数学断言的权威性的问题。如果承认无穷小是一个有关数的概念，那么，数学家的工作已经告诉我们，在实数理论中没有无穷小的位置。事实上，康托本人就曾经证明过承认无穷小是同承认实数中基本的阿基米德原理相矛盾的。（阿基米德原理是一个关于实数性质的基本原理，如果阿基米德原理是错的，整个数学大概都无法得以建立。）但是，如果把问题拉到数学的疆域以外，如果认为人们有权利不按照数学家的方式讨论数本身的性质，那么我们面对的就已经是全然另一层次的问题，——也就不可能在这里得到详尽的讨论了。----------出自《长度是怎样炼成的》作者：木遥无穷大。上一节我们谈了一些数字，其中有不少是毫不含糊的大数。但是这些巨大的数字，例如西萨、班所要求的麦子粒数，虽然大得难以令人置信，但毕竟还是有限的，也就是说，只要有足够的时间，人们总能把它们从头到尾写出来。　　然而，确实存在着一些无穷大的数，它们比我们所能写出的无论多长的数都还要大。例如，“所有整数的个数”和“一条线上所有几何点的个数”显然都是无穷大的。关于这类数字，除了说它们是无穷大之外，我们还能说什么呢？难产我们能够比较一下上面那两个无穷大的数，看看哪个“更大些”吗？　　“所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数，究竟哪个更大些？”－－这个问题有意义吗？乍一看，提这个问题可真是头脑发昏，但是，著名数学家康托尔（Georg Cantor）首先思考了这个问题。因此，他确实可被称为“无穷大数算术”的奠基人。　　当我们要比较几个无穷大的数的大小时，就会面临这样的一个问题：这些数既不能读出来，也无法写出来，该怎样比较呢？这下子，我们自己可有点像一个想要弄清自己的财物中，究竟是玻璃珠子多，还是铜币多的原始部族人了。你大概还记得，那些人只能数到三。难道他会因为数不清大数而放弃比较珠子和铜币数目的打算？根本不会如此。如果他足够聪明，他一定会通过把珠子和铜币逐个相比的办法来得出答案。他可以把一粒珠子和一枚铜币放在一起，另一粒珠子和另一枚铜币放在一起，并且一直这样做下去。如果珠子用光了，而还剩下些铜币，他就知道，铜币多于珠子；如果铜币先用光了，珠子却还有多余，他就明白，珠子多于铜币；如果两者同时用光，他就晓得，珠子和铜币数目相等。　　康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法正好与此相同：我们可以给两组无穷大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都一个不剩，这两组无穷大就是相等的；如果有一组还有些没有配出去，这一组就比另一组大些，或者说强些。　　这显然是合理的、并且实际上也是唯一可行的比较两个无穷大数的方法。但是，当你把这个方法讨诸实用时，你还得准备再吃一惊。举例来说，所有偶数和所有奇数这两个无穷大数列，你当然会直觉地感到它们的数目相等。应用上述法则也完全符合，因为这两组数间可建立如下的一一对应的关系。1 3 5 7 9……　　 2 4 6 8 10……　　　在这个表中，每一个偶数都与一个奇数相对应。看，这确实再简单，再自然不过了！　　但是，且慢。你再想一想：所有整数（奇偶数都在内）的数目和单单偶数的数目，哪个大呢？当然，你会说前者大一些，因为所有的整数不但包含了所有的偶数，还要加上所有的奇数啊。但这不过是你的印象而已。只有应用上述比较两个无穷大数的法则，才能得出正确的结果。如果你应用了这个法则，你就会吃惊地发现，你的印象是错误的。事实上，下面就是所有整数和偶数的一一对应表：1 2 3 4 5……2 4 6 8 10……　　按照上述比较无穷大数的规则，我们得承认，偶数的数目正好和所有整数的数目一样大。当然，这个结论看来是十分荒谬的，因为偶数只是所有整数的一部分。但是不要忘了，我们是在与无穷大数打交道，因而就必须做好遇到异常的性质的思想准备。　　在无穷大的世界里，部分可能等于全部！关于这一点，著名德国数学家希尔伯特（David Hilbert）有一则故事说明的再好不过了。据说在他的一篇讨论无穷大的演讲中，他曾用下面的话来叙述无穷大的似非而是的性质：　　我们设想有一家旅店，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了位新客，想订个房间。“对不起，”旅店主说，“所有的房间都住满了。”现在再设想另一家旅店，内设无限个房间，所有的房间也都客满了这时也有一位新客来临，想订个房间。　　“不成问题！”旅店主说。接着，他就把一号房间里的旅客移至二号房间，二号房间的旅客移到三号房间，三号房间的旅客移到四号房间，等等，这一来，新客就住进了已被腾空的一号房间。　　我们再设想一座有无限个房间的旅店，各个房间也都住满了。这时，又来了无穷多位要求订房间的客人。　　“好的，先生们，请等一会儿。”旅店主说。　　他把一号房间的旅客移到二号房间，把二号房间的旅客移到四号房间，三号房间的旅客移到六号房间，等等，等等。　　现在，所有的单号房间都腾出来了。新来的无穷多位客人可以住进去了。　　由于希尔伯特讲这段故事时正值世界大战期间，所以，即使在华盛顿，这段话也不容易被人们所理解。但这个例子却确实举到了点子上，它使我们明白了：无穷大数的性质与我们在普通算术中所遇到的一般数字大不一样。　　按照比较两个无穷大数的康托尔法则，我们还能证明，所有的普通分数（如3/5等）的数目和所有的整数相同。把所有的分数按照下述规则排列起来：先写下分子与分母之和为2的分数，这样的分数只有一个，即1/1；然后写下两者之和为3的分数，即1/2和2/1；再往下是两者之和为4的，即1/3，2/2，3/1。这样做下去，我们可以得到一个无穷的分数数列，它包括了所有的分数(甚至有重复---雪见best注)。现在，在这个数列旁边写上整数数列，就得到了无穷分数与无穷整数的一一对应。可见，它们的数目又是相等的！　　你可能会说：“是啊，这一切都很妙，不过，这是不是就意味着，所有的无穷大数都是相等的呢？如果是这样，那还有什么可比的呢？”　　不，事情并不是这样。人们可以很容易地找出比所有整数和所有分数所构成的无穷大数还要大的无穷大数来。　　如果研究一下前面出现过的那个比较一条线段上的点数和整数的个数的多少的问题，我们就会发现，这两个数目是不一样大的。线段上的点数要比整数的个数多得多。为了证明这一点，我们先来建立一段线段（比如说1寸长）和整数数列的一一对应关系。　　这条线段上的每一点都可用这一点到这条线的一端的距离来表示，而这个距离可以写成无穷小数的形式，如　　 0.6......　　或者　　 0.......　　现在我们所要做的，就是比较一下所有整数的数目和所有可能存在的无穷小数的数目。那么，上面写出的无穷小数和，，这类分数有什么不同呢？　　大家一定还记得在算术课上学过的这样一条规则：每一个普通分数都可以分成无穷循环小数。如。我们已经证明过，所有分数的数目和所有整数的数目相等，所以，所有循环小数的数目必定与所有整数的数目相等。但是，一条线段上的点可不能完全由循环小数表示出来，绝大多数的点是由不循环的小数表示的。因此就很容易证明，在这种情况下，一一对应的关系是无法建立的。　　假定有人声称他已经建立了这种对应关系，并且，对应关系具有如下形式：N1 0.……2 0.……3 0.……4 0.……. ……. ……. ……　　当然，由于不可能把无穷多个整数和无穷多个小数一个不漏地写光，因此，上述声称只不过意味着此人发现了某种普遍规律（类似于我们用来排列分数的规律），在这种规律的指导下，他制定了上表，而且任何一个小数或迟或早都会在这张表上出现。　　不过，我们很容易证明，任何一个这类的声称都是站不住脚的，因为我们一定还能写出没有包括在这张无穷表格之中的无穷多个小数。怎么写呢？再简单不过了。让这个小数的第一小数位（十分位）不同于表中第一号小数的第一小数位，第二小数位（百分位）不同于表中第二号小数的第二小数位，等等。这个数可能就是这个样子（还可能是别的样子）：　　这个数无论如何在上表中是找不到的。如果此表的作者对你说，你的这个数在他那个表上排在第一百三十七号（或其他任何一号），你就可以立即回答说：“不，我这个数不是你的那个数，因为这个数的第一百三十七小数位和你那个数的第一百三十七小数位不同。”　　这么一来，线上的点和整数之间的一一对应关系就建立不起来了。也就是说，线上的点数所构成的无穷大数大于（或强于）所有整数或分数所构成的无穷大数。　　刚才所讨论的线段是“1寸长”。不过很容易证明，按照“无穷大数算术”的规则，不管多长的线段都是一样。事实上，1寸长的线段也好，1尺长的线段也好，1里长的线段也好，上面的点数都是相同的。只要看看图6即可明了，AB和AC为不同长度的两条线段，现在要比较它们的点数。过AB的每一个点做BC的平行线，都会与AC相交，这样就形成了一组点。如D与D，E与E，F与F等。对AB上的任意一点，AC上都有一个点和它相应，反之亦然。这样，就建立了一一对应的关系。可见，按照我们的规则，这两个无穷大数是相等的。　　通过这种对无穷大数的分析，还能得到一个更加令人惊异的结论：平面上所有的点数和线段上所有的点数相等。为了证明这一点，我们来考虑一条长1寸的线段AB上的点数和边长1寸的正方形CDEF上的点数。　　假定线段上某点的位置是0.7512036......。我们可以把这个数按奇分位和偶分位分开，组成两个不同的小数：　　0.7108......　　和　　0.5236......　　以这两个数分别量度正方形的水平方向和垂直方向，得出一个点，这个点就叫做原来线段上那个点的“对偶点”。反过来，对于正方形内的任意一点，比如说由0.7这两个数描述的点，我们把这两个数掺到一起，就得到了线段上的相应的“对偶点”0.。　　很清楚，这种做法可以建立那两组点的一一对应关系。线段上的每一个点在平面上都有一个对应的点，平面上的每一个点在线段上也有一个对应点，没有剩下来的点。因此，按照康托尔的标准，正方形内所有点数所构成的无穷大数与线段上点数的无穷大数相等。　　用同样的方法，我们也容易证明，立方体内所有的点数和正方形或线段上的所有点数相等，只要把代表线段上一个点的无穷小数分作三部分，并用这三个新小数在立方体内找“对偶点”就行了。和两条不同长度线段的情况一样，正方形和立方体内点数的多少与它们的大小无关。　　尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大，但数学家们还知道比它更大的数。事实上，人们已经发现，各种曲线，包括任何一种奇形怪状的样式在内，它们的样式的数目比所有几何点的数目还要大。因此，应该把它看作是第三级无穷数列。　　按照“无穷算术”的奠基者康托尔的意见，无穷大数是用希伯来字母（读作阿莱夫）表示的，在字母的右下角，再用一个小号数字表示这个无穷大数的级别。这样一来，数目字（包括无穷大数）的数列就成为　　我们说“一条线段上有个点”或曲线的样子有种“，就和我们平常说“世界有七大洲”或“一付扑克牌有五十四张”一样。　　在结束关于无穷大数的讨论时，我们要指出，无穷大数的级只要有几个，就足够把人们所能想象出的任何无穷大数都包括进去了。大家知道，表示所有整数的数目，表示所有几何点的数目，表示所有曲线的数目，但到目前为止，还没有人想得出一种能用来表示的无穷大数来。看来，头三级无穷大数就足以包括我们所能想到的一切无穷大数了。因此，我们现在的处境，正好跟我们前面的原始部族人相反：他有许多个儿子，可却数不过三；我们什么都数得清，却又没有那么多东西让我们来数！----------------出自《从一到无穷大》 作者：(美)伽莫夫本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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半径为无穷大的圆是什么？
我是一个文科生，还是艺术生。高考前在家里做数学模拟卷的时候，画圆的时候想到了一个问题，一个圆的半径越大，这个圆的弯曲度(我不知道怎么表达，大概就是这个意思)就越来越小。那半径无穷大的时候，圆的弯曲度就小到没有了不是吗。那不就是笔直的直线了。并且半径无穷大那圆的周长也变得无穷大了。那不就更是直线了吗那两直线直线平行又是什么？两个圆怎么平行？我想到这个问题第二天去问数学老师，老师笑了一下，说你先想想你高考的事情。我去问数学最好的同学，可是他完全不能理解我的意思。求教各位理科生！
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软件工程师，应用数学专业
高等数学有对“无穷大”有一个严格的定义。你题目里这样用“无穷大”是没有意义的。你的问题和“除数为0”很相似：是否可以说1除以0等于“无穷大”？不对，1除以0仍然是没有意义的。但我们可以说函数f(x)=1/x，“当x趋向于0时，1/x无穷大”。“无穷大”不是一个确切的值，它更应该被理解成一个过程。想象x越来越小时，1/x越来越大，只要x足够小，1/x就可以足够大以超过任何有限的数，但对于任意确切的x来说，1/x的值还是确切的，而对于x=0，1/x仍然是没有意义的。所以，某个圆的半径不能无穷大，但一系列圆或者说某个变化的圆的半径可以无穷大，例如：当一个圆的曲率趋向于0时（越来越直），那圆的半径趋向于无穷大【再次强调这是一个过程，这个过程中的任意一点都是确切的值，不存在某个点是无穷大，无穷大的只能是过程】。而直线不是半径无穷大的圆（至少在小学到大学教的数学是这样的），因为你找不到任何一个确切的点离直线上所有点距离相等，不符合圆的定义。所以你也不能问半径无穷大的圆是什么——不存在那么一个圆，那没有任何意义。高等数学上，函数 f(x) 无穷大的定义看起来是这样的：对于任意M&0，都存在一个x0，当x&x0时，|f(x)|&M。是不是觉得罗罗嗦嗦、乱七八糟？提前给你的大学生涯一个心理准备（如果你要学高等数学的话）。我们不妨用类似这种的数学语言来重新描述你的问题：半径为 r 的圆O，当 r 趋向于无穷大时，圆O是否趋向于一条直线？这将遭遇另外一个问题：如何定义一个圆趋向于一条直线？或者说如何定义一个图形趋向于另一个图形？如你所见数学非常强调严谨，这样说还是没有意义。
Obviously~
可不可以这么想呀：想象可以对应到一个挖了一个点的球面上去：可以发现，任何一个圆都能对应到球面上的一个圆上去，这是一个一一对应。因此当半径趋于无穷大的时候，这个对应的圆就越靠近最顶上的那个极点。因此我们认为，任何一个圆心在上，半径为无穷大的圆，对应球面上的极点。如果我们将加上一个理想的无穷远点，任何直线都通过这个相同的无穷远点，可以验证这样补充定义是well defined的。此时，得到一一对应（是球面的缩写），由于半径无穷大的圆对应的是球面的极点，这个球面的极点对应到就是补充定义的无穷远点。因此可以总结：圆心在上，半径为无穷大的圆是这个平面上的无穷远点。
我觉得这个问题再讨论下去的结果是：问问题的人，看不懂答案~
科学松鼠会成员，信息学硕士生
其实应该说，如果一条曲线的曲率半径处处相等而且有限的话，那么就是一个圆；如果处处相等而且无限的话，那么就是直线。这种理解应该还是可以的。
LZ同学，其实大多数人没有意识到你的描述中存在的根本问题。LZ实则在2个框架内讨论2套东西。从LZ的背景可以知道LZ所理解的平行线是欧几里德几何，其中平行是以一条公设出现的。注意，这不是公理、定理、定义。因此，LZ所理解的平行线的概念只适用于欧式几何的框架，跳出欧式几何去讨论平行线，其实是没有意义的。同样的，欧式几何中并不存在平行圆的概念，因此LZ提出的问题本身就是无效的。如果真要考虑所谓的平行圆，LZ可以想象2个圆一上一下，他们圆心的连线分别垂直于圆所在的平面。但 实际上这里是在说两个平面平行……再来说说圆。LZ的想法没有错，当圆的半斤趋向于正无穷大时，圆的曲率趋向于0。而直线的曲率为0。因此可以认为半径趋向于正无穷大的圆=直线。可以写作 但是，注意但是！由于引入了极限的概念，因此这里讨论的圆，已经不是欧式几何当中的圆了。在非欧几何框架，“平行线”是可以相交于无穷远的，直线是可以首尾相接的，过直线外一点可以做2条平行线的……所以LZ的问题在于，问题所描述的事物处于不同的框架中，不同框架内的东西无法进行比较，因此别人当然没有办法回答了。打个不恰当的比方，LZ去KFC买汉堡，却问收银员麦当劳的汉堡哪个好吃……
正如 所说，无穷大是个极限过程，取不同的极限过程看到的结果往往是不一样的。所以，不严格滴说我们可以这么看：如果你站在圆心，让圆的半径趋于无穷，圆周上的点就跑到无穷远去了，这时候，你可以认为你什么都看不见。如同 讲的，在黎曼球面上，你也可以认为他们跑到无穷远点去了。另一方面，如果你站在圆周上一点，让圆心沿着一条直线跑到无穷远去，那么你会看到你附近的圆周的“弯曲程度”（曲率，曲率半径的倒数，局部坐标上的两阶导数）趋于零了。它慢慢的越变越直，变成直线了。在这个时候，如果你观察旁边的一个同心圆，它的半径与你所在圆的半径的差在圆心运动时保持不变，比如说是一米。那么你会看到它也变直了，最后变成了一条与你所在的圆（现在是直线了）平行的直线。如果你站在其他点，或者圆心的运动规律不是那么简单的，那么还有可能这个极限过程是“发散的”，不严格的说，你越看越看不到规律，或者这个规律给不出一个简单的极限描述。为什么会这样呢？其实有一个原因是半径无穷大的圆在数学上是“不适定的”：一个圆由两个要素决定——它的圆心和半径，只给半径趋于无穷大是不够描述极限性质的。一旦你给定了圆心的运动规律，一切就明了了。
爱思考的文艺青年，值得称赞。
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還是圓,地球這麼大就夠用了 ..地面不是平的..貌似是平的
你老师明显不合格。
这个问题有2种不同的视角可以回答。它们的答案都是否。1.数学的视角鉴于你是文科生，不说你表述的错误了。直接说你想要的结果：圆的半径趋于无穷大时候，其曲率是趋于无穷小的，确实越来越接近直线了。但直线的曲率却是严格的0 ！严格的0和趋于无穷小是有本质区别的，虽然它们在量上的区别却又是无穷小的。为了说明这个本质的区别，用曲率半径的概念好理解一点：你的那个圆的曲率半径是无穷大，而直线是不存在曲率半径的。2.超越数学的视角超越数学的立场来看，半径的无限放大并不改变这个圆的“之所以成为圆的关键原因（比如极坐标下某个圆的方程ρ=a）”。好比笑林广记里的一则黄色笑话：某县令升官了，喜滋滋地告诉老婆，我升官了那东西肯定也大了今晚我肯定行。结果晚上还是一败涂地，后来两人苦思良久找到原因：官太太的地位随之而高，下面那地方同样大了！明白了吧？这两人的内在主要联系在于“夫妻关系”，官职变动未并改变这个主要联系的实质内容。
你数学老师也不会。
少年，那就是二次元啊
首先，我认为你关心的是圆的半径和曲率之间的关系。所谓曲率，就是你所说的弯曲度的问题。“一个圆的半径越大，这个圆的弯曲度(我不知道怎么表达，大概就是这个意思)就越来越小。”，你观察到的就是圆在某一点的曲率和圆的半径之间的直观关系。那么，用公式表达的话，半径为r的圆的曲率K就是……………………（1）这个公式在应用的时候，要注意一个要点，就是K表示的是圆上“任意一点”的曲率，注意这个任意一点，接下来我的分析将与之有关。现在我们来想象一个过程，首先在纸上画一个圆，然后在圆上任意选取一个点A，连结点A和圆心O，我们的到了半径OA，设它的长度是r.好，现在可以轻易算出，A点处的曲率是1/r。那么随着r不断变大，A点处的曲率1/r会不断变小。当r趋向于正无穷的时候，A点处的曲率也将趋向于0。那就是A点没有弯曲度了，貌似圆要变成直线了，那么我们不妨假设一下，这条由圆变成的“直线”就是通过A点与圆相切的直线。这条相切的直线在半径r足够大的时候与圆重合了,我们在这条直线上在A点之外，任意选取一个点B，那么这条直线就叫做直线AB。现在来看这个B点，B是在直线AB上的，同时，该点也在圆O上，因为我们已经假设了在半径r足够大的时候，圆和直线重合。既然在圆上，那么线段OB的长度就应该等于圆的半径r，也就是……………………（2）三角形OAB是一个直角三角形（因为直线AB是圆O的切线，线段OA与直线AB一定是垂直的——切线定理），直角三角形中就一定存在勾股定理………………（3）根据我们推导出的式子（2），就可以把式子（3）简化为………………………………（4）好了， 根据式子（4）我们可以得到线段AB的长度是0.但是我们之前选取点B的时候，是选取的不同于A的一个点，那么线段AB的长度就不可能为0.这样，我们就推翻了那个假设：在半径r足够大的时候，圆和通过圆上一点的切线重合。结论：无论圆的半径如何变大，但是圆永远不会变成一条直线，只是圆上任意一点的曲率无限接近于0而已。说的通俗一点，半径无论怎样变大，圆还是那个圆，只是选取圆的一个部分观察的话，会发现这个部分随着半径的变大，变得越来越像一条线段了。
就像从前因为地球曲率大有人认为地面是平的一样，再大的圆也有曲率，曲率只能无限接近零但是永远不可能为零，永远有圆心和等长的半径存在，曲率再小也是个正数不会为零。
物理学本科生
我歪个楼，我一直在找楼主，不知道楼主看明白了没？
看了楼上的答案，大家解释太过理科生了。让猛哥来说两句。楼主疑问的出发点是：一个圆的半径越大，这个圆的弯曲度)就越来越小。然后推断半径无穷大的时候，弯曲度无限小，这里就是楼主问题命题错误的地方了，无限小，那也是还有弯曲度的，所以不能等同于直线。因为直线没有弯曲度。所以楼主下面的两条直线平行，应该改成两条接近于直线的曲线平行。可是接近又又有多接近呢？这里我们让他差很多，就随便花俩圆吧（多大多小都没关系在，最好画在两张透明纸上）。然后我们就想办法让两个圆的曲线平行吧。我想只要不是傻子，都能想到。就是让俩圆的圆心重合。至此可以完美解答楼主的问题：“那两直线直线平行又是什么？两个圆怎么平行？”；两个圆平行就是同心圆。至于两直线平行，可以参考数学书上的定义。
如果我没有理解错的话,在黎曼几何当中,直线就是一个"大圆"我也不是学数学的，讲不太清楚，大概就是像沐浴冬日暖阳所说的那样无线延伸的直线绕宇宙转了一圈，就首尾相接了。
好比当X为无穷小的时候，X&0 是绝对的，X只是不断地在向0靠近。。可以从1到0.1到0.01到0.001到0.一直下去，反正就是比0大。你随便说出一个比0大的数字，例如1*10^(-999)，那么X可以是1*10^(-1000),只要你能说一个确切的比0大的数字，X就可以比它小。。所以你说的问题里当半径无穷大的时候，弯曲度为无穷小，表面的弯曲度还在，比0大又比任何一个确切的大于零的数字都小。这种感觉，就像是追妹子的时候不断靠近不断靠近不断靠近不断靠近，却始终追不到的感觉。。这种感觉你们懂咩T.T
半径无穷大的圆，这个让我想到了天球（半径无穷大的球）。没有无穷大这个数字，无穷大是一个过程。
这个在高等数学中有过解释楼上的朋友也提到了一条曲线的弯曲程度用曲率表示曲率是曲线上任取2点做切线有个交点，这个交点处会和两切线形成一个夹角记为Δα这2点所对应的弧长即为Δs那么曲率k=Δa/Δs，用这个公式可以得到对于任意一个圆它的曲率k=1/R也就是半径的倒数直线处处不存在转角所以Δα=0高数书上称作：“直线不弯”这里问题就很好解决了通过高数极限的定义就有当R趋向于无穷大有k等于0简单的来说就是楼主说的直线可以看作半径为无穷大的圆周长肯定无穷大，直线不存在长度因为可以两端无限延伸。两直线平行也就是两条直线同时无限延伸始终没有交点（狭义上来说没交点广义上交与无穷远这个可以不用管）平行一般只相对于直线来说圆不存在平行
无穷大 是一个相对的概念，实际中，一般大于10倍 基本就可以视作很大，试想下，现在周围只有你一个人，你感觉人很少，突然你周围围了10个人，这是人就很多，当圆半径无穷大 是相对一定程度的情况，这是可以认为你所见到圆的边缘是直线，但是当你人也是无穷大的时候，你就看到的是个圆。工程情况的近似 是可以的。
作为一个文科生，从题目的字面来看，我不得不说一个半径无穷大＂的圆＂仍然是个圆
我记得初中还是高中物理课上，有提到，匀速直线运动，相当于半径无限大的匀速圆周运动。所以我赞成你的观点，如果一个圆半径无限大，那么它确实和一个直线一样。不过，最终还要听那帮学数学的怎么说！
我倒是在想题主去问数学老师时，一定是个很萌的样子。。。。。
在高中阶段的话，我觉得这个很好解释啊。当圆的半径R无穷大时，曲率是趋近于零而永远不等于零，也就是说在取一段圆弧时，这段圆弧是无限趋近于直线但是永远不是一条直线的。
天中心理学烈士。天文学爱好者。建筑学菜鸟。
直线=直径无穷大的圆。正解。两直线平行，相交于无穷远的一点。模型是抽象的存在。看你自己的理性思维了。
你的想法里两个概念都是弄混了，你想的圆，其实是“弧”，你想的直线，其实是线段。你问的“半径为无穷大的圆是什么？”其实是“半径为无穷大的弧是什么？”看你想的内容，其实你是想了一个很短的线段（注意，是“线段”，不是直线）和圆的一部分比较，所以当圆越来越越大时，圆上的一小部分就越发接近这个短线段而已。而直线本来就是无限长的，所以无论圆多大，也一点都不像直线。而半径为无穷大的弧，也可以说是线段。
你纠结神马，作为一个艺术生来说，没有那么大的纸，怎么画那么大的圆。
为科学之美着迷 又贪恋人间灯红酒绿
这样说LZ明白不，在欧式几何中，当圆半径趋向于正无穷时，圆周的曲率趋向于零。但圆周曲率趋向于零依旧是个圆周，直线的曲率是等于零的，两者不等。
U3D开发工程师
首先为你点个赞！爱思考！然后就是你问错人了，文科班就算数学最好的人应该对数学也没有真正的理解，他们只是会做题而已（无意冒犯数学好的文科生），你应该找理科班数学好的人。回归正题，其实楼上其他人的说法已经可以回答你的问题了——本来就是半径越大的话曲率越小，很直接的一个例子就是地球，地球的半径已经相当大了，所以我们生活在地球上几乎感觉大地是平的。
和一个还在念高中的文科生讲极限的概念会不会太抽象了
我想到了包络面
只能说是无限接近于直线，曲率无限接近于直线的曲率。所谓极限，本来就是永远也到不了的
半径无穷大的圆在射影几何中就是直线
你看到了宇宙边界
无法讨论吧？欧式几何对圆的定义对半径的描述是用线段的，而若趋向于无穷大，那么半径不就变成射线了？直接就超出了欧式几何的讨论范围。
汽车见习工程师
你的得到的啥都没有。圆能够首尾相接，直线可以么？
1+1=2是绝对公理一样0不能当除数也是公理。曲率公式：ρ=1/K。无穷大是一个概念，它的倒数为无穷小即0.曲率半径无穷大曲率为零，ρ=1/K=0，直线曲率为零。不存在某个数是无穷大，也就不存在具体的半径无穷大的圆。理解认为零就是无穷小，零不能当除数，这个圆就不存在，这也与它就是直线相符。
无穷大只是研究数学的一个手段，不要当成真实了。正如网游中的角色，虽然荡气回肠一番，其实只是虚幻。
曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。这就是你所谓的弯曲度，曲率的公式略复杂，不知道怎么写，不写了，你可以自行查一下。但是，直线的曲率K=0，而圆的曲率为1/r,当r→∞时，K→0，那么我认为此时趋近于直线。实话说我不知道该怎么回答LZ的问题，数学上，直线本来是一种特殊的曲线。而往往当我们要提出一个命题，你可以设法证明之，而你的问题：“圆周就是直线”，把它当成一个命题的话貌似不太严格，怎样定义“就是”这个词？所以你的问题本身并不严谨。同样，你的第二个问题，“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”，这是平行线的定义，也是作为一条公理存在的（数学上“公理”这个词意思是大家都认可的东西，是不需要证明的，整个数学都建立在有限的几条公理之上，其他的各种定理都是基于公理推导出来的）稍微扯远了，回到你的问题，如何定义“两个圆平行”？没有给出严格的定义，接下来的各种推导和证明都是没有意义的。最后，LZ居然是文科生，这么有数学天赋~~早生几百年说不定是一个改写历史的人物！
混挨踢的硬科幻死宅
这无疑是一个哲学问题。
我是个不合格的体育生、艺术生、文科生。。。好吧我是学城市规划的前体育生。。。以上是我那个学生物工程的媳妇儿笑话我的时候说的所以，我就不扯那些数学的事儿了，反正我不懂。但是我倒是愿意站在这样一个科学门外汉的位置上去和楼主讨论这个问题。并不是讨论这个问题的答案，而是讨论楼主何以出此一问。楼主观察到半径越大的时候圆的“弯度”越小，那么这个事儿的讨论范围，其实是一个相对固定的尺度上去观察这个圆，而非始终作为一个整体去观察这个圆。楼主感到这个圆变大的时候越来越“直”了，只是因为自己的观察尺度相对这个圆越来越小了，而观察尺度内的一小段圆弧就会看起来越来越直，以至于直到让楼主认为它是直线，想要对这个圆弧套用直线的属性。如果始终把一个圆作为整体来看，那么它就始终只是一个圆，多大都是圆。那么楼主那些想要解决的“无穷大圆如何套用直线的性质”的问题也就不存在了。
机械工程师
你可以把圆定义为 一个人从一点出发 按有限固定的曲率走出来的一个轨迹特点是可以走回起点 但如果你按为零的曲率走 最后走不回起点 就是一个直线所以半径无穷大的圆不是圆 是直线 既然是直线 平行又何妨最后最重要的一点 数学吧 你可以看成一种游戏 有时候游戏规则吧 自己定也可以自己理解就成了
如果你的假设不存在，那么答案也不存在。
无穷大的圆无限接近于直线但是取任意两点作切线还是会相交的，举个栗子就是地球，大家都知道地球是圆的但是自己总觉得和周围的人是一条直线上的，其实大家都不在一条线上，作为文科生你此刻应该猛然觉得人参很寂寞了。
虽然不知道你们在说什么，但是好NB的样子
你可以把它想象成宇宙
我觉得这有点像宏观上的弦理论。具体我也不知道怎么讲弦理论用一段段“能量弦线”作最基本单位以说明宇宙里所有微观粒子如电子、质子及夸克都由这一维的“能量线”所组成。
我只能说，圆必须闭合的。直线怎么闭合？平行。。。没懂
还是回到最原始的定义看一下吧! 圆是在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合。按照这个定义，半径是多少的圆都不是直线，因为平面上不存在一点到直线上各点的距离都相等。
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