微分方程的通解是什么解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-03-05 09:00 标签： 二阶微分方程的通解
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微分方程求通解
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微分方程求通解
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一般微分方程已知其通解，求原方程的方法：对通解求导以后（多少阶的方程求多少次导），k阶微分方程可得到k个方程，利用通解中的常数的独立性，（当然，必须验证方程的jacobi行列式不等于0）解出各常数c，然后把c代入原通解，既得原微分方程。ps：特殊微分方程由通解可以简单求原方程
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数学软件（34）
本文最初写于
于 sohu 博客，这次博客搬家一起搬到这里来。
版权所有，转载请注明出处。
含带导数符号或带微分符号的未知函数的方程称为微分方程。
如果在微分方程中未知函数是一个变元的函数，这样的微分方程称为常微分方程。
1 一阶、二阶常微分方程的通解
Maxima 可以求解很多种类的常微分方程。
对于可以给出闭式解的一阶和二阶常微分方程，Maxima 会试图求出其精确解。
下面给出三个简单的例子。
eq1:'diff(y,x)&#43;y=x;
sol1:ode2(eq1,y,x);
eq2:'diff(y,x,2)&#43;y=sin(3*x);
sol2:ode2(eq2,y,x);
eq3:'diff(y,x,3)&#43;y=0;
sol3:ode2(eq3,y,x);
上面的例子用了ode2函数来求解常微分方程。
在定义方程时，微分函数diff之前有一个单引号（‘），这表示让Maxima只给出形式上的输出，并不真的进行计算。
这是因为我们这里只要列出方程，并不想让Maxima真的求导。
sol1 中的%c 和 sol2 中的 %k1 %k2 是任意常数。
ode2函数只能求解一阶和二阶常微分方程，第三个例子给出的是一个三阶常微分方程，无法求解，因此输出 false。
2 初&#20540;问题
函数ic1 (solution, xval, yval)和ic2 (solution, xval, yval, dval)分别用来解一阶和二阶微分方程的初&#20540;问题，其中solution是用ode2解得的通解，xval和yval分别是自变量和因变
量的初&#20540;，dval是因变量一阶导数的初&#20540;。
ic1(sol1,x=0,y=1);
ic2(sol2,x=0,y=1,'diff(y,x)=-1);
3 边&#20540;问题
函数bc2 (solution, xval_1, yval_1, xval_2, yval_2)用来求解二阶微分方程的边&#20540;问题，
其中solution是ode2解得的通解，xval_1、yval_1、xval_2和yval_2分别为自变量和因变量在第一点和第二点的取&#20540;。
eq4:'diff(y,x,2)&#43;diff(y,x)/2&#43;3*y=0;
sol4:ode2(eq4,y,x);
bc2(sol4,x=0,y=1,x=5,y=-1);
4 利用Laplace变换法求解常微分方程(组)
如果待求解的常微分方程(组)是线性常系数的。则可以利用Laplace变换法来求解。
Maxima 中也提供了相应的求解函数 desolve()，desolve()函数既可以求解ODE 方程，也可以求解ODE方程组。函数的基本形式如下。
desolve (eqn, y)
desolve ([eqn_1, ..., eqn_n], [y_1, ..., y_n])
这里待解函数不能只写变量名（例如y），而需要明确写出对自变量的依赖关系（例如y(x)）。
下面是一个简单的例子：
kill(all);
eq5:'diff(y(x),x,3)&#43;y(x)=0;
desolve(eq5,y(x));
如果初&#20540;是已知的，可以使用atvalue()命令来提供初&#20540;。
如果提供了足够的初&#20540;条件，再用的desolve()函数求解时积分常数自然就可以确定了。
atvalue(y(x),x=0,1);
desolve(eq5,y(x));
atvalue('diff(y(x),x),x=0,-1);
desolve(eq5,y(x));
atvalue('diff(y(x),x,2),x=0,0);
desolve(eq5,y(x));
下面给出一个常微分方程组求解的例子。
kill(all);
eq6:'diff(f(x),x,2)&#43;'diff(g(x),x)&#43;3*f(x)=15*exp(-x);
eq7:'diff(g(x),x,2)-4*'diff(f(x),x)&#43;3*g(x)=16*sin(x);
ode_syst:[eq6,eq7];
atvalue(f(x),x=0,35);
atvalue('diff(f(x),x),x=0,-48);
atvalue(g(x),x=0,27);
atvalue('diff(g(x),x),x=0,-55);
desolve(ode_syst,[f(x),g(x)]);
下面是试验部分。
kill(all);
eq1:'diff(y(x),x)&#43;y(x)=x;
sol1:desolve(eq1,y(x));
atvalue(y(x),x=1,1);
desolve(eq1,y(x));
ic1(y=(%c&#43;1)*exp(-x)&#43;x-1,x=1,y(x)=1);
说明 desolve 函数提供的初&#20540;必须是x=0 处的。
ic1 不能用来直接求解 desolve 函数的结果。必须要人为的处理一下结果的形式。这一点上确实不方便。
参考知识库
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