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一幅扑克牌去掉大小王,52张抽二张,是9点的概率是多少!组合9点分别是：A+8、2+7、3+6、4+5、（10,J,M,K扑克牌去大小王52张抽二张，是9点的概率是多少！组合9点分别是：A+8、2+7、3+6、4+5、（10，J,M,K+9)
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52张抽两张的总抽法数是C(52,2)=52x51/2=1326A+8、2+7、3+6、4+5、（10,J,M,K+9)：每种的抽法是：C(4,1)*C(4,1)=16,共8种抽法,则总抽法是：8x16=128因此概率=128/=9.653%
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,90分时那么打家输的就是双倍，如果最后一张牌打家手里是副牌，闲家比他大那么即使本局没够相应分数也算打家输，如果闲家手里是主牌并且比打家的牌面大那么算抠，打家输双倍，基本就是这个玩法吧，详细的可加我Q
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学而思2013年春季素质123班难题汇总(共15讲)
学而思 2013 年春季素质 123 班难题汇总第一讲 勾股定理题型一：a + b ＝ c ， 小学阶段看到平方要想到:正方形面积、 平方差公式。 题型二：毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯树。 题型三：立体图形的勾股。 题型四：折纸。两步解法：设一个未知数、利用平方差求解。 题型五：圆中的勾股，寻找由弦的端点、弦的中点、圆心构成的直角△。 11、 【第二单元，折纸，补充题】将 B 点折到 AD 边上的 E 点， E 是五等分点，AE＝1，求三角形 BCF 的面积。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】此题充分体现了“设一个未知数、利用平方差 求解”的良好解题思路。 AE＝1，DE＝4，AD＝5，BC＝5，EC＝5。 在直角三角形 EDC 中，DE＝4，EC＝5，所以 DC＝3。 设 FB＝x，则在直角三角形 AEF 中，EF＝x，AF＝3-x， 1 + (3 ? x ) 2 ＝ x ，2222A EFBDC25 2 2 x - (3 ? x ) ＝1，应用平方差公式，3(2x-3)＝1，x＝ 。 3 25 1 5 三角形 BCF 的面积： × ×5＝ 。 6 2 3【答案】25 6。12、 【第三单元 3.天圆地方】在如下图的圆中，正方形 ABCD 的边长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 5，求正方形 EFGH 的面积。第 1 页/共 114 页【难度级别】★★★★★ 【解题思路】看到圆，找弦，找直角三角形。 设 HG＝2x，圆的半径为 R。 看弦 HG，找直角三角形 ONH，HN＝x，NO＝2x-5,2 x + ( 2 x ? 5) ＝ R 。如果能求出 R 就可以求出 x。22 2H NGO A E D M C B F再看弦 DC，找直角三角形 OMD，OM＝5+8＝13，DM ＝4， R ＝13 + 4 ＝185。222所以， x + ( 2 x ? 5) 2 ＝185。到此，这个方程小学生不会解，可以尝试，也2可以通过枚举进行筛选。1～13 的平方分别是：1、4、9、16、25、36、49、 64、 81、 100、 121、 144、 169， 从中找出 2 个相加＝185 的， 有： 16+169、 64+121。 对于 16+169，x＝4，2x-5＝3 不满足，对于 64+121，x＝8，2x-5＝11 满足。 因此，x＝8。 正方形 EFGH 的面积： ( 2 x) 2 ＝16 ＝256。 【答案】256。 13、 【学案 3】下图是一个长为 16，宽为 10 的长方形，沿着图中虚线的位置将 这个长方形折叠成一个等腰梯形，则这个梯形的面积是_______。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】正下方的一个直角三角形，斜102边是 10，底边的直角边是 8，所以另一条直 角边是 6。 设梯形的上底为 2x， 看正上方的一个直角16三角形，一条直角边是 x，另一条直角边是：10－6＝4，斜边是 8-x，所以：第 2 页/共 114 页2 2 x + 4 ＝ (8 ? x ) ，利用平方差公式求解，(8 ? x ) - x ＝ 4 ，8(8-2x)=16，x＝3。2222梯形的面积：(6+16)×10÷2＝110。 【答案】110。 14、 【学案 1】如图所示，直角三角形 PQR 的 直角边为 5 厘米和 9 厘米，问图中 3 个正方 形面积之和比 4 个三角形面积之和大多少？ 【难度级别】★★★★★ 【解题思路】将斜的大正方形做弦图分割。 图中所有三角形面积均相等，那么图中 3 个正方形与 4 个三角形的面积之差为 X、 Y、 Z 三 个 正 方 形 的 面 积 和 ： 5 + 9 + (9 ? 5) ＝2 2X52Y9Z122 cm 。 【答案】122 cm 。 15、 【每日一题 2】如图，直角三角形 ABC 中，两直角边长分别为 7、24，三角 形内一点 P 到各边的距离相等，则这个距离是_______。 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】设 P 到各边的距离为 X，则 由连接的两条虚线的对称性得到, 直接三 角形的斜边为：(7-X)+(24-X)＝31-2X。7-x 7-x 24-x22x x x xx7 + 24 ＝49+576 ＝625＝ 25 ，所以斜边边长为 25。31-2X＝25，X＝3。 【答案】3。22224-x第 3 页/共 114 页16、 【每日一题 3】直角三角形一直角边为 11，另两边均为自然数，则其周长 为_______。 【难度级别】★★★★★ 【解题思路】设斜边为 c，另一直角边为 a，则 c - a ＝11 。 (c+a)(c-a)＝121，121 只有两种分解：121×1、11×11，因 c+a≠c-a，所 以只有：c+a＝121，c-a＝1，解得：c＝61，a＝60。 三角形周长为：11+60+61＝132。 【答案】132。2 22第 4 页/共 114 页第二讲 完全平方数判断方法：①尾数判断法，平方数的尾数只能是：0、1、4、5、6、9。 ②偶指奇约性。 ③不等式判断法。 例如： 44 =＜2025= 45 ，所以 1976 不是完全平方数。 ④余数判断法 (1) A ÷3 余 0、1 （由 A÷3 余 0、1、2 来证明） (2) A ÷4 余 0、1 (3) A ÷8 余 0、1、4 (4) A ÷16 余 0、1、4、9 例如：P 为大于 3 的质数， P ÷24 余多少？ 24＝3×8。平方数÷3 只能余 0 和 1，而余 0 表示能整除 3，P 为大于 3 的质数，P 不能整除 3，所以 P ÷3 余 1。平方数÷8 只能 余 0、1、4，P 为大于 3 的质数，P 是奇数， P 也是奇数，奇数÷8 只能余奇数，所以 P ÷8 余 1。1×1＝1， P ÷24 余 1。 特别说明：判断一个数“是”完全平方数只有“偶指奇约性”这个方法（或 者开方） ，其它方法（尾数判断法、不等式判断法、余数判断法）都是用来判 断“不是”完全平方数的。 21、 【一单元(例 4)】求一个最小的自然数，它乘以 2 后是完全平方数，乘以 3 后是完全立方数，乘以 5 后是五次方数。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】求最小，A 至少有 2、3、5 三个质因数，设 A＝ 2 3 5 ，则 2A＝ 2x ?1 x 2 2 222222222yz3 5 ，3A＝ 2 3yzxy ?15 ，5A＝ 2 3 5zxyz ?1第 5 页/共 114 页由 2|(x+1)，3|x，5|x 得到： xmin ＝15； 由 2|y，3|(y+1)，5|y 得到： ymin ＝20； 由 2|z，3|z，5|(z+1) 得到： zmin ＝24。 最小自然数：A＝ 2 3 5 。 【答案】 2 3 5 。 22、 【一单元(例 5)】 （口述题）从乘法算式 1×2×3×?×15 中至少要删除多 少个数，才能使剩下的数的乘积为完全平方数？ 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】删除无法配对的质数。 首先，质数 13、11 无法配对，再考虑质数 7、5、3、2。 [ [ [ [15 13 15 7 15 1515 1520242024]＝1，质因数 13 是 1 次方；[ ]＝2，质因数 7 是 2 次方；[15 11]＝1，质因数 11 是 1 次方；15 5]＝3，质因数 5 是 3 次方；5 ]＝5，[ ]＝1，质因数 3 是 5+1＝6 次方； 3 3 7 3 ]＝7，[ ]＝3，[ ]＝1，质因数 2 是 7+3+1＝11 次方； 2 2 2删除奇数次方的， 2×5×11×13＝10×11×13， 删除 10、 11、 13 这 3 个数。 【答案】3。 23、 【一单元(例 6)】从 1!、2!、3!、?、100!这 100 个数中去掉一个数，使 得剩下各数的乘积是一个完全平方数，请问：被去掉的那个数是什么？ 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】变形，看指数的奇偶性。 A＝1!×2!×3!×?×100!＝1 × 2 × 3 ×?×100100 99981第 6 页/共 114 页指数为偶数的保留，指数为奇数的各提取出来一个底： 2×4×6×?×100＝(2×1)×(2×2)×(2×3)×?×(2×50) ＝(2×2×2×?×2)×(1×2×3×?×50)＝ 2 ×50!502 是完全平方数，所以去掉 50!这个数。【答案】50!。 24、 【二单元(例 3)】100 名同学，编号为 1～100，面向南站成一排，第 1 次 全体同学向后转； 第 2 次编号为 2 的倍数的同学向后转； 第 3 次编号为 3 的倍 数的同学向后转；??；第 100 次编号为 100 的倍数的同学向后转；这时，面 向南的同学有______名？ 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】转偶数次朝南，转奇数次朝北。 编号有多少个约数，此同学就转多少次。平方数有“奇约性” ，平方数有奇 数个约数，非平方数有偶数个约数。 100＝10 ，10 个有奇数个约数，100－10＝90 个有偶数个约数，所以面向 南的有 90 人。 【答案】90。 25、 【二单元(例 4)】100 名同学，编号为 1～100，面向南站成一排，第 1 次 全体同学向右转； 第 2 次编号为 2 的倍数的同学向右转； 第 3 次编号为 3 的倍 数的同学向右转；??；第 100 次编号为 100 的倍数的同学向右转；这时，面 向东的同学有______名？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】朝向与转的次数相关，转的次数与约数个数相关。第 7 页/共 114 页250平方数有奇数个约数，奇数个约数面朝东或朝西，转 4 次一圈，约数个数 ÷4 余 1 面朝西，约数个数÷4 余 3 面朝东。100＝10 ，有 10 个平方数。A22122232425262728292109 12约数个数 约数个数÷4 余 面朝东1 13 3 √3 3 √5 13 3 √9 13 3 √7 3 √5 1【答案】5。 26、 【三单元(例 3)】(1)形如 11?1(n＞1，n 个 1)的完全平方数有______个； (2)形如 1444?4(n＞1，n 个 4)的完全平方数有______个； 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】余数判断法，第(1)题用÷4 的余数，第(2)题用÷16 的余数。 (1) 11÷4 余 3，111÷4 余 3，后面每再增加 1 个 1，和前面的余数 3 可以构 成 31，31÷4＝7?3，÷4 都余 3。 但是，完全平方数÷4 的余数不能是 3（只能是：0、1） ，所以，形如 11?1 的数都不是完全平方数。 (2) 2 个 4：144＝12 ，3 个 4：1444＝ 38 。 4 个及 4 个以上的 4：14444÷16 余 12，后面每再增加 1 个 4，和前面的余 数 12 可以构成 124， 124÷16＝7?12， 所以 4 个以上 4 时， ÷16 余数都是 12， 余数尾数都是 2。但是，完全平方数÷16 的余数尾数不能是 2（只能是 0、1、 4、9） ，4 的个数大于 3 个时就没有完全平方数了。 所以，形如 1444?4 的完全平方数有 2 个：144＝12 ，1444＝ 38 。 【答案】0，2。2 222第 8 页/共 114 页27、 【三单元(例 5)】 3 + 3 +1（m、n 为自然数）能否为平方数？ 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】用余数判断法，÷8 的余数来判断。 3 的偶数次方： 3 ＝ 9 ，9÷8 余 1，若干个 1 相乘还是 1， 3 ÷8 余 1； 3 的奇数次方： 32 k ?1 2k k 2kmn＝ 9 ×3，9÷8 余 1， 3k2 k ?1÷8 余 3 。根据 m、n 的奇偶性，有 4 种组合情况： ①m 奇 n 奇， 3 ÷8 余 3， 3 ÷8 余 3，( 3 + 3 +1)÷8 余 7； ②m 奇 n 偶， 3 ÷8 余 3， 3 ÷8 余 1，( 3 + 3 +1)÷8 余 5； ③m 偶 n 奇， 3 ÷8 余 1， 3 ÷8 余 3，( 3 + 3 +1)÷8 余 5； ④m 偶 n 偶， 3 ÷8 余 1， 3 ÷8 余 1，( 3 + 3 +1)÷8 余 3。 ( 3 + 3 +1)÷8 的余数是 3、5 或 7，但是，完全平方数÷8 的余数是 0、1、 4，所以 3 + 3 +1 不是完全平方数。 【答案】不能。 28、 【学案 1】称能表示成 1+2+3+?+k 的形式的自然数为三角数。有一个四位 数 N，它既是三角数，又是完全平方数，则 N＝______。 【难度级别】★★★★★ 【解题思路】题目较难，慢慢消化。 1+2+3+?+k＝ a ，k(k+1)÷2＝ a 。因为 k 和 k+1 是两个连续的自然数必 有一个奇数，所以有：奇数×相邻偶数 22 2 m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n＝a 。 ”也互质，于是： “奇数”＝ m ，22相邻自然数互质， “奇数”与“ “相邻偶数 2相邻偶数 2”＝ n ， a ＝m×n。第 9 页/共 114 页2到这里，没有更好的办法了，只能从“N＝ a 是一个四位数”入手，缩小取值 范围。32?N?99，即：32?m×n?99。又因为 m 与 2 n 差 1（相邻） ，有：7 ?m?12 （得出这个范围有点难度，我最后采用估算的方法： m ≈2 n ，m≈ 1.4n，n≈m÷1.4，32×1.4? m ?99×1.4，45? m ?140，7?m?12） 。 当 m＝7 时， m ＝49， n ＝25， a ＝ m n ＝ (7 ? 5) 2 ＝ 35 ＝1225；2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22当 m＝9 时， m ＝81，相邻偶数为 80 和 82，22偶数 2不是平方数，无解； 不是平方数，无解。当 m＝11 时，m ＝121，相邻偶数为 120 和 122， 所以，N＝1225。 【答案】1225。偶数 229、 【学案 3】有两个两位数，它们的差是 14，将它们分别平方得到的两个平 方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是多少？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】正确理解“两个平方数的末两位数相同” ，意思就是“两个平方 数的差末两位是 00” 。 设两个两位数是 n 和 n+14，则 100| ( n ? 14) 2 - n 。2 2 2 (n ? 14) - n ＝28(n+7)＝4×7×(n+7)，所以 25|(n+7)，有三组解：n＝18 n+14＝32n＝43 n+14＝57n＝68 n+14＝82【答案】18、32；43、57；68、82。 2A、 【每日一题 6】已知 ABCA 是一个四位数，若两位数 AB 是一个质数， BC 是 一个完全平方数， CA 是一个质数与一个不为 1 的完全平方数之积，则满足条第 10 页/共 114 页件的所有四位数有哪些？ 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】题目给的 3 个条件都比较深奥，需要认真逐步分析这几个条件。 先用第 1 个条件“ AB 是一个质数” ，B 只能是 1、3、7、9。 再用第 2 个条件“ BC 是一个完全平方数” ， BC 只有 16、36。 最后用第 3 个条件“ CA 是质数与完全平方数之积” ， CA ＝ 6A ，只有可能 是：4×17＝68，9×7＝63，即：A＝3 或 8。 到这里，只要回过头来讨论一下 B＝1 和 3 就可以了： B＝1 时， ABCA ＝3163，31 是质数，16 是平方数，63＝7× 3 ，满足题意； ABCA ＝8168，81 不是质数； B＝3 时， ABCA ＝3363，33 不是质数； ABCA ＝8368，83 是质数，36 是平方数，68＝17× 2 ，满足题意。 【答案】。 2B、 【补充题】a、b c d 是 10 以下正整数， abcd 、 bcd 、a 是完全平方数， 求四位数 abcd 是多少？ 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】设 abcd ＝ x ， bcd ＝ y 。a 只能是 1、4、9。2222①当 a＝1000 时， x ＝1000+ y ， x － y ＝(x+y)(x-y)＝1000。222231＜x＜45，10＜y＜32，41＜x+y＜76。 ，x＝35,y＝15, abcd ＝ 35 ＝1225。 ②当 a＝4000 时， x ＝4000+ y ， x － y ＝(x+y)(x-y)＝4000。2222263＜x＜71，10＜y＜32，73＜x+y＜103。第 11 页/共 114 页×40，x＝70,y＝30， abcd ＝ 70 ＝4900，有 0 舍弃； ，x＝65,y＝35， abcd ＝ 65 ＝4225。 ③当 a＝9000 时， x ＝9000+ y ， x － y ＝(x+y)(x-y)＝9000。22222294＜x＜100，10＜y＜32，104＜x+y＜132。 ×75，无整数解。 【答案】。第 12 页/共 114 页第三讲 类比与猜想简单来说，本讲就是找规律，这种方法在考试中也是常用的。 知识点一(1)、奇数数列求和的通项式：1+3+5+7+?+(2n-1)＝ n3 32知识点一(2)、立方和的通项式：1 + 2 + 3 +?+ n ＝ (1 ? 2 ? 3 ? ... ? n) 23 3知识点一(3)、分数裂项：母积子和差，解释：分母是乘积，分子是分母两 数的和，或者分母两数的差。 知识点二(1)、滚圆，一个 半径为 R 的圆沿周长为 C 的任意凸图形外围滚 动一周，圆扫过的面积为：2RC+4 ? R 。2知识点二(2)、特殊位置法，俗称“任我意” ，这指是在几何图形中的应用。 如果图形中有些线段的长度没有给定，可以对图形进行变形（也包括等积变 形） ，变到“特殊位置”求解。 知识点二(3)、勾股定理的类比与猜想，二维： X ＝ a + b ，三维： X ＝S 4 ＝ S 1 + S 2 + S 3 (面 猜想四维：X ＝ a + b + c + d ， 三维面的勾股： a +b +c ，2 2 22222222222222积分别为 S1 、 S 2 、 S 3 、的相互垂直的三个直角三角形，共用直角顶点和直角 边，它们的斜边构成面积为 S 4 的斜面三角形)。 知识点三(1)、特殊值法，俗称“任我意” ，这指是在应用题中的应用。在 应用题中，如果 3 个量只知道其中 1 个量，并且求解的还是这个量，可以采用 “任我意”法进行求解。当然，再知道第二个量的关系（是知道量的关系而不 是量具体的值） ，仍然可以采用“任我意”法。 知识点三(2)、总差÷分差，在火车过桥、鸡兔同笼、牛吃草、分苹果分房 间等应用题中，存在着“总量”的差和“分量”的差，两个差相除往往就可以 求得需要的结论。 本讲学习的是“类比”的方法（即：找规律） ，学习的是“猜想”的思想，第 13 页/共 114 页同学们可以认真领会。例题、学案和作业，题目都不难，故不对题目做解析。31、 【每日一练 3】两枚一模一样的硬币，半径都是 1 厘米；把其中一枚硬币 固定在桌面上， 另一枚硬币贴住被固定的硬币， 无滑动地绕固定硬币滚动一周， 请问： （1）滚动的那枚硬币扫过的面积是多少平方厘米？ （2）滚动的那枚硬币绕固定硬币公转了一圈，自转了几圈？ （3）如果半径 1 厘米的硬币绕半径 5 厘米的圆环的外围无滑动地滚动一周， 硬币自转了几圈？如果半径 1 厘米的硬币绕半径 5 厘米的圆环的内侧无滑动地 滚动一周，硬币自转了几圈？ 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】滚动的自转，有点难。 （1）2rC+ 4?r ＝2×1×( 2? )+ 4? 1 ＝ 8?2 2也可以用：圆环＝“大圆－小圆”来求。 （2）自转了几圈，看硬币边缘滚动的距离，而硬币边缘滚动的距离和硬币圆 心走的距离相等。 这样来想象：一枚硬币在平面上滚动，圆心前进的距离就等于硬币边缘滚 动的距离，圆心前进 2?r ，边缘滚动的距离就是 2?r ，硬币就自转了一圈；硬 币绕圆滚动，可以把圆的周长想象成展开成直线，道理是一样的：硬币边缘滚 动的距离和硬币圆心走的距离相等。 硬币绕固定硬币公转了一圈，硬币圆心走的距离： 2?R ＝ 2? ? 2 ＝ 4? ，而 硬币自转一圈的距离是周长： 2?r ＝ 2? ? 1 ＝ 2? ，自转圈数： 4? ÷ 2? ＝2。 （3）外围：硬币圆心走的距离：2?R ＝ 2? ? 6 ＝12? ，而硬币自转一圈的距离第 14 页/共 114 页是周长： 2?r ＝ 2? ? 1 ＝ 2? ，自转圈数：12? ÷ 2? ＝6。 内侧：硬币圆心走的距离： 2?R ＝ 2? ? 4 ＝ 8? ，而硬币自转一圈的距离是 周长： 2?r ＝ 2? ? 1 ＝ 2? ，自转圈数： 8? ÷ 2? ＝4。 【答案】 （1） 8? ； （2）2； （3）6，4。第四讲 分数的四则混合运算本讲包括的内容：分数的四则混合运算，分数与小数、百分数的互化、繁 分数化简。常用的方法有：小数化分数（乘除中） 、主分数线当除号、提前公 因数、整体换元、放缩法等。 五六年级，分数的四则混合运算是计算题的核心，本讲内容不算很难，孩 子只要认真、仔细就没有问题。 在计算中，要多观察，掌握一些巧妙的计算方法和技巧，看是否有可以凑 整的、看是否有可以提取公因数的、看是否有可以约分的等等。 切记，不要看到数多、式子复杂就头疼就放弃，动手算一算就会有眉目的， 都是可以计算出来结果的。 计算题，无论看上去多复杂，在杯赛中都属于送分题，孩子要敢于尝试， 保持灵活的头脑。实在不行，只要有时间，就硬算。 以下仅挑一些稍微复杂的题目进行解析， 其它题目孩子自己认真去算好了。1 2? 3? 4? ... ? 1 1 1 1 200641、 【第三单元 2.(4)】计算：+1? 1? 3?1 1 1 1 4? ... ? 1 1 2006【难度级别】★★★☆☆第 15 页/共 114 页【解题思路】猜想：这 2 个繁分式相加结果可能＝1，小数点省略的地方是个 具体的数，但是不需要计算出来，可能会抵消掉。采用“整体换元”的方法。 找公共的部分，设1 3? 4? ... ? 1 1 1 2006+＝A，则原式＝1 2? A+1?1 1 1? A＝1 1? A 2? A 1 ＝ + ＝ ＝1 2? A 2? A 2? A 2? A 2? A 1? A 1【答案】1。42、 【第三单元 4.(3)】解方程： 4 ?1 3? 2? 2 3 1? 4 x＝421 73。【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】提供两种方法，方法二计算的数大一些，方法一计算的数小。 方法一，自上而下 (1)1 3? 2? 2 3 1?10 5( 2 ? 3 4 1? x )＝21 73， 3?2?2 3 4 1? x＝73 21＝3 ?10 21，2?2 3 1? 4 x＝10 21，4 x＝10 21， 5( 2 ?3 4 1? x) ＝21， 2 ?3 4 1? x＝21 5＝2 ?11 5，第 16 页/共 114 页3 1? 4 x＝11 5， 1?4 4 15 4 ＝ ， ＝ ， x ? 11。 x 11 x 11方法二，自下而上1 3? 2? 2 3 1?1 3? 2 5x ? 8 x?4＝21 73，1 3? 2? 2 3 x?4 x＝21 73，1 2 3? 3x 2? x?4＝21 73，4 x＝21 73，21 21 21 5x ? 8 1 1 ＝ ， ＝ ， ＝ ， 2 x ? 8 73 17 x ? 32 73 17 x ? 32 73 3? 5x ? 8 5x ? 873(5 x ? 8) ＝ 21(17 x ? 32) ， 8 x＝88 ， x ? 11。【答案】11。n n ＝ （ 是化简后的） ， 2014 ? 2014 ? 2012 m m 2013 ? 201343、 【2013 年华杯赛初试，第 1 题】 求 m+n＝？ 【难度级别】★★★☆☆【解题思路】有 、2012，往一个数 2013 上凑，想到可能会约分。2013 ?
? 2013 ? 2013 ? 2＝2013 ?
? 2013 ? 2014 ?
? 16 671 672＝＝＝＝m+n＝672+671＝1343。 【答案】1343。第 17 页/共 114 页44、 【学案 4.(5)】若 A＝ 3 ?7? 7?1 1 1 1 7 ? ... 1 .......... .. 7 7?（100 个 7） ，那么 A 的前两位小数（十分位和百分位）是多少？ 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】放缩法。3? 1 7? 1 7＜A＜ 3 ?1 7oo，即：3.14＜A＜3.142857，故 A 的前两位小数是 1、4。【答案】1、4。第五讲 带余除法(1) a ÷b＝q?r（r＜b） ，化除为乘： a ＝bq+r。a r a (2) 高思记号[]、{}，x＝[x]+{x}，[ ]＝q，{ }＝ 。 b b b51、 【补充 1】1979 年,诺贝尔奖获得者李政道教授到中国科技大学讲学,他给 少年班的同学出了这样一道算术题：有 5 只猴子在海边发现一堆桃子,决定第 二天来平分.第二天清晨,第一只猴子最早来到,它吃掉一个,恰好可以分成 5 份,它拿上自己的一份走了。 第 2,3,4,5 只猴子也遇到同样的问题,采用了同样 的方法,都是吃掉 1 个,恰好可以分成 5 份，自己拿走一份，剩余 4 份，第 5 个猴子拿走后剩余 4 堆。问这堆桃子至少有多少个。 【难度级别】★★★★★ 【解题思路】N＝5a+1，4a＝5b+1，4b＝5c+1，4c＝5d+1，4d＝5e+1，求 A。第 18 页/共 114 页5 5 4d＝5e+1＝5e+5-4＝5(e+1)-4，d＝ (e+1)-1，d+1＝ (e+1)，其它类推。 4 4 5 5 5 a+1＝ (b+1)，b+1＝ (c+1) ，c+1＝ (d+1)。 4 4 4 5 5 5 N＝5a+1＝5(a+1)-4＝5× (b+1)-4＝5× × (c+1)-4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 ＝5× × × (d+1)-4＝5× × × × (e+1)－4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 (e+1)至少是 256， N 的最小值为： 5× × × × ×256-4＝ 5 -4＝3121。 4 4 4 4【答案】3121。 52、 【第二单元 6】一个数除以 8 得到的商和余数的和为 13，求所有满足条件 的自然数。 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】令 N＝8q+r，根据题目条件，q+r＝13。 N＝8×(13-r)+r＝104－7r。 由于 0?r?7，所以 N＝104-7r 有 8 个解：55、62、69、76、83、90、97、104。 【答案】8 个：55、62、69、76、83、90、97、104。 53、 【第二单元 7】一个数除以 8 得到的商加上这个数除以 9 的余数，其和是 13.求所有满足条件的自然数。 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】令 N＝8a+r1＝9b+r2，明显 a＞b。根据题目条件，a+r2＝13。如 果不会做，大不了对 r2 从 0～8 进行枚举，枚举过程中发现总是 r1＝4。 r2＝13-a，8a+r1＝9b+(13-a)，r1＝13－9(a-b)，因为 0?r1?7，所以 a-b第 19 页/共 114 页＝1，r1＝13－9×1＝4。 从 a+r2＝13 和 0?r2?8 得到，5?a?13，所以 N＝8a+r1＝8a+4 有 9 个解：44、52、60、68、76、84、92、100、108。 【答案】9 个：44、52、60、68、76、84、92、100、108。 54、 【第三单元 5】请用高思记号表示：在 1～1000 中 即不是 5 的倍数也不是 7 的倍数的数的数量。 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】5 的倍数的个数：[ 35 的倍数的个数：[0 535 5的倍数 倍数 7的倍数]，7 的倍数的个数：[1000 7]。]，35 的倍数既是 5 的倍数也是 7 的倍数。即不是 5 的倍数也不是 7 的倍数的个数： 1000-[1000 5]-[1000 7]+[1000 35]＝+28＝686。 ]。【答案】1000-[1000 5]-[1000 7]+[1000 3555、 【第三单元 7】用[x]表示不大于 x 的最大整数，如[4.1]＝4，[2.5]＝2， 则方程 6x-3[x]-7＝0 的解是_______。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】设{x}表示 x 的小数，则 x＝[x]+{x}，原方程变为： 6([x]+{x}x-3[x]-7＝0 3[x]+6{x}＝7，{x}＜1，6{x}＜6，所以[x]?1，3[x]?7，[x]?2。2 2 2 当[x]＝1 时，3+6{x}＝7，{x}＝ ，x＝[x]+{x}＝1+ ＝1 ； 3 3 3第 20 页/共 114 页1 1 1 当[x]＝2 时，3×2+6{x}＝7，{x}＝ ，x＝[x]+{x}＝2+ ＝2 ； 6 6 6 2 1 【答案】1 ，2 。 3 6 1
0 3 56、 【学案 3】A＝ B＝1 2011([]+[]+[]+?+[])([2011 1]+[2011 2]+[2011 3]+?+[])，请判断 A、B 的大小。【难度级别】★★★★★ 【解题思路】注意到 2011 是质数。 对于 2?k?2010，比较[2010 k]和[2011 k]的大小。2011＝kq+r，2010＝kq+(r-1)，r＜k，因为 2011 是质数，所以 2011 不能 整除 k，所以 r＞0，有 k＞r－1?0，得到： [2010 k]＝q，[ ]+[1 12011 k]＝q，[2010 k]＝[2011 k]，2?k?2010。 ]+[M 2010 M ?1 2011 M 令[2010 2]+?+[]＝M，则[2011 2]+?+[]＝M，A＝ B＝ 比较([ ([]+M)＝ ]+M+[2010(2010+M)＝1+1 2011])＝(2011+M+1)＝1+M 2010和M ?1 2011，2010 与 2011 互质，同时乘以()，变为 2011M，M ?1 2011变为 2010(M+1)，再同时减 2010M，2011M 变为 M，2010(M+1)M 2010变为 2010，很明显 M＞2010，所以＞M ?1 2011。这与“糖水浓度原理”判断的结果相反，原因是： “糖水浓度原理”适用的条件是“分子小于分母” （糖第 21 页/共 114 页水浓度一定小于 100%） 。本题分子明显大于分母，从上面的比较过程中也可以 看出，如果 M＜2010，则左＜右， “糖水浓度原理”就成立了。 所以，1+M 2010＞1+M ?1 2011，即：A＞B。X Y解释一下“糖水浓度原理” ，原糖水浓度为：(X＜Y)，往水里加 a 份的X X ?a X ?a 糖， 浓度变为： ， 因为糖水变甜了， 浓度肯定变大了， 所以： ＜ 。 Y Y ?a Y ?a【答案】A＞B。 57、 【作业 1】有三个自然数 a、b、c，已知 b 除以 a 得商 3 余 3；c 除以 a 得 商 9 余 11；则 c 除以 b，得到的余数是______。 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】b＝3a+3（a＞3） ，c＝9a+11（a＞11） 。 c＝9a+11＝3×（3a）+11＝3×（b-3）+11＝3b-9+11＝3b+2 所以，c 除以 b 商 3 余 2（b＝3a+3?3＞2） 。 【答案】2。 58、 【作业 3】一个两位数除 351，余数是 21，这个两位数最小是多少？ 【难度级别】★☆☆☆☆ 【解题思路】设这个两位数为 b、商为 q，则 351＝bq+21(b＞21)。 bq＝351-21＝330＝2×3×5×11，因为 b＞21，所以 b 最小为 2×11＝22。 【答案】22。 59、 【作业 4】在算式 2013÷□＝△?11 填上合适的除法算式，一共可以组成 _____个正确的除法算式。第 22 页/共 114 页【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】2013＝bq+11（b＞11） ，bq＝02＝2×7×11×13。 2002 有 2×2×2×2＝16 个约数，b 为 2002 大于 11 的约数。 其中：1、2、7、11 四个不大于 11，其它 16-4＝12 个约数都＞11，所以 b 有 12 个取值，对应的 q 唯一确定(q＝2002÷b)。 【答案】12。125A、 【作业 5】在[ 互不相同的数？2011] 、[222011]、[322011]、?、[201122011]中共出现多少个【难度级别】★★★★★ 【解题思路】先要寻找“分子增加”的规律。 从 n 变到 ( n ? 1) 2 ，增加了： ( n ? 1) 2 - n ＝2n+1 ＝n+(n+1) ，增加的就是 n2 2与(n+1)的和。孩子不会，可以采用找规律，从1 到 2 、从 2 到 3 ?。 再找 “分子增加” 与分母相同这个分界点。 从1005 到1006 增加
＝2011。 可见， 从1005 到 2011 依次增加不小于 2011， 则商依次增加不小于 1。 因此[10052222222222011],[100622011],?, [201122011]的整数部分均不相同，共有 ＝1007 个。 从1 到1005 依次增加不大于 2011，则商依次增加不大于 1。[ [1004222122011]＝0，2011]＝501，[100522011]＝502，可见从 0 到 501 均会出现，共 502 个。综上，合计 09 个。 【答案】1509。第 23 页/共 114 页5B 、 【作业 6 】用 [x] 表示不大于 x 的最大整数，记 {x} ＝ x-[x] ，则算式 [12 5]+[13 5]+[14 5]+?+[2012 5]的值为_______。【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】[15 5]＝3，[2010 5]＝402，则404 ? 399 2原式＝2×3+(3+4+5+?+401)×5+402×3＝6+ ＝9×5＝404202。 【答案】404202。×5+1206第六讲 同余本讲要学会用数学语言表示同余， “a 和 b 除以 m 余数相同”表示为：a≡ b(mod m)，m≠0。重要知识点如下： (1)“和的余数”与“余数的和”同余； “差的余数”与“余数的差”同余； “积的余数”与“余数的积”同余； (2)同余方程 常用“同余做差能整除” ，a≡b(mod m)，m≠0，m|(a-b)，对(a-b)进行 分解，一般就可以得到需要求解的结果。 (3)一个数与其数字和(mod 9)同余 2013 年华杯赛决赛最后一题，考的就是这个知识点。 (4)剩余系 剩余系就是按照除以 n 的余数从 0 到 n-1 分成 n 类，利用抽屉原理。 601、 【第一单元 1】 【答案】75≡57(mod 9)，9|75-57。第 24 页/共 114 页602、 【第一单元 2】 【答案】(1)2，(2)3。 603、 【第一单元 3】 【答案】(1)3，(2)1 或 7。604、 【第一单元 4】(1)求()÷9 的余数。 (2)求 22013÷9 的余数；(3)有一只猴子摘了一大堆香蕉，他把香蕉平分成 3 小堆，不多不少。又把其 中一小堆再平分成 5 份，发现多了一根。如果他一开始就把香蕉平分成 5 堆， 会多出几根？ (4)有一只猴子摘了一大堆香蕉，他把香蕉平分成 6 小堆，多了 2 根。又把其 中一小堆再平分成 5 份，发现多了 4 根。如果他一开始就把香蕉平分成 5 堆， 会多出几根？ 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】 （1） “积的余数”与“余数的积”同余 +1+2≡1+2≡3(mod 9)，852≡8+5+2≡15≡6(mod 9)， ≡3×6≡0(mod 9)。 (2)找规律x2 的 x 次方÷9 余1 2 7 22 4 8 43 8 9 84 7 10 75 5 11 56 1 12 1x2 的 x 次方÷9 余x可见， 2 ÷9 的余数以“2、4、8、7、5、1”6 个为一周期循环的，2013 ÷6＝335?3， 22013÷9 的余数为周期内的第 3 个数，余数是 8。(3)3a＝3(5b+1)＝15b+3，3a≡15b+3(mod 5)≡3(mod 5)，多出 3 根。第 25 页/共 114 页(4)6a+2＝6(5b+4)+2＝30b+26，6a≡30b+26≡26≡1(mod 5)，多出 1 根。 【答案】(1)0，(2)8，(3)3，(4)1。 605、 【第一单元 5】 (1)小明按顺序写出了从 1 开始的完全平方数 1、 4、 9、 ?? 除以 7 的余数，请猜测 2013 除以 7 的余数是多少？ (2)求 482013 2(mod 5)。【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】 “和的余数”与“余数的和”同余。 (1)除以 7，三位一段差系，≡11≡4 (mod 7)。2013 相当于 2 个 2013 的和， 2013 ≡ 4 ≡16≡2 (mod 7)。方法二、找规律xx 平方÷7 余222xx 平方÷7 余21 1 8 12 4 9 43 2 10 24 2 11 25 4 12 46 1 13 17 0 14 0可见， x ÷7 的余数以“1、4、2、2、4、1、0”7 个一周期循环，2013÷ 7＝287?4， 2013 ÷7 的余数为周期内的第 4 个数，余数是 2。 (2)48≡3(mod 5)， 48x3 的 x 次方÷5 余2013 2相当于 2013 个 48 的和， 481 3 5 3 2 4 6 4 3 2 7 22013≡32013(mod 5)。x3 的 x 次方÷5 余x4 1 8 1可见，3 ÷5 的余数以 “3、 4、 2、 1” 4 个为一周期循环， 3?1，32013÷5 的余数为周期内的第 1 个数，余数是 3，即： 3 (mod 5)＝3。2013(mod 5)＝3,所以482013【答案】(1)2，(2)3。 606、 【第一单元 6】(1)求 30 × 31 (mod 13)；第 26 页/共 114 页31 30(2)已知 A＝3（2013 个 2013） ，求 A 除以 13 的余数。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】(1)“和的余数”与“余数的和”同余， “积的余数”与“余数的 积”同余。 30≡4(mod 13)，30 相当于 31 个 30 的和，4 相当于 31 个 4 的和，30 ≡3131314 (mod 13)。x4 的 x 次方÷13 余311 4 7 42 3 8 33 12 9 124 9 10 95 10 11 106 1 12 1x4 的 x 次方÷13 余x可见， 4 ÷13 的余数以“4、3、12、9、10、1”6 个为一周期循环的，31 ÷6＝5?1， 4 ÷13 的余数为周期内的第 1 个数，余数是 4，即： 4 (mod 13) ＝4，所以 30 (mod 13)＝4。 31≡5(mod 13)，31 相当于 30 个 31 的和，5 相当于 30 个 5 的和，31 ≡30 30 30 3131 315 (mod 13)。x5 的 x 次方÷13 余301 5 5 52 12 6 123 8 7 84 1 8 1x5 的 x 次方÷13 余x可见，5 ÷13 的余数以 “5 、 12、 8、 1” 4 个为一周期循环的， 30÷4＝7?2，5 ÷13 的余数为周期内的第 2 个数，余数是 12，即： 5 (mod 13)＝12，所以 31 (mod 13)＝12。30303030 × 31 ≡4×12≡48≡9(mod 13)。(2)根据 13 的整除特性，三位一段差系，2013 四位，3×4＝12，取 3 个 2013 即 12 位为一个周期，，按三位一段做差，13+320-(132+201)＝ 333-333＝0，所以每 12 位都可以整除 13。 1，3|2013，正好是整周期，都可以整除，A 除以 13 余 0。第 27 页/共 114 页3130如果 B 有 2014 个 2013，求 B 除以 13 的余数： 1?1，就会剩余 1 个 2013， B＝2013×1012?671+3（2013 个 2013）＝2013×1012?671+A1012?671有 12×671 个 0，三位一段，12×671＝3×4×671，有偶数段，就剩12?671余那个 1，所以10 B≡2013×10÷13 余 1。12?671+A≡11×1+0＝11 (mod 13)，其实就是剩余的那一个 2013÷13 的余数，上面只是验证了一下：1 后面一堆 0 除以 13 的余数是 1。 【答案】(1)9，(2)0。 607、 【第二单元 1】 【答案】(1)1 或 5，(2)7。 608、 【第二单元 2】(1)用 412、133、257 除以一个相同的自然数，所得余数 相同，这个数最大是几？ (2)有三个吉利数 888、518、666，用他们分别除以同一个自然数，所得的余 数分别是 a、a+7、a+10，则这个自然数是多少？ (3)有一个整数去除 70、110、160 所得的 3 个余数之和为 50，那么这个整数 是多少？ (4) 有一个自然数，分别去除 63、90、130 都有余数，并且 3 个余数之和为 25，求最大那个余数是多少？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】同余做差能整除。 (1)m|412-133＝279，m|257-133＝124， m max ＝(279,124)＝(279-124,124)＝ (155,124)＝(5×31,2×2×31)＝31。 (2)先变成同余，888、518-7＝511、666-10＝656 除以这个自然数都余 a。第 28 页/共 114 页m|888-656＝232，m|656-511＝145，232＝8×29，145＝5×29，232 和 145 的公因数有 1、29，显然 1 舍弃，所求自然数为 29。 (3)70≡a (mod m) a＜m，110≡b (mod m)，b＜m，160≡c (mod m)，c＜m。 a+b+c＝50，3m＞a+b+c＝50，m＞[50 3]＝16。70+110+160≡a+b+c (mod m)，340≡50 (mod m)，m|340-50，m|290，分解 290，290＝2×5×29，m|2×5×29。 因为 m＞16，所以 m＝29、58、145、290，但是需要保证 a+b+c＝50。 m＝58 时，110≡52 (mod 58)，b＝52＞50，舍弃； m＝145 时，70≡70(mod 145)，a＝70＞50，舍弃； m＝290 时，70≡70(mod 290)，a＝70＞50，舍弃； m＝29 时， 70≡12(mod 29)，110≡23(mod 29)，160≡15(mod 29)，a+b+c ＝12+23+15＝50，满足。 所以，这个整数只有唯一解，m＝29。 (4)63≡a (mod m) a＜m，90≡b (mod m)，b＜m，130≡c (mod m)，c＜m。 a+b+c＝25，3m＞a+b+c＝25，m＞[25 3]＝8。63+90+130≡a+b+c (mod m)，283≡25 (mod m)，m|283-25，m|258，分解 258，258＝2×3×43，m|2×3×43。 因为 m＞8，所以 m＝43、86、129、258，但是需要保证 a+b+c＝25。 m＝86 时，63≡63 (mod 86)，a＝63＞25，舍弃； m＝129 时，63≡63 (mod 129)，a＝63＞25，舍弃； m＝258 时，63≡63 (mod 258)，a＝63＞25，舍弃； m＝43 时， 63≡20(mod 43)，90≡4(mod 43)，130≡1(mod 43)，a+b+c＝第 29 页/共 114 页20+4+1＝25，满足。此时，最大那个余数是 20。 【答案】(1)31，(2)29，(3)29，(4)20。609、 【第二单元 3】(1)求 2013 【难度级别】★★★★☆2013的末位数字；(2)求证：10| a2013－a1989。【解题思路】末位数字就是(mod 10)。 (1)2013≡3 (mod 10)，根据“和的余数”与“余数的和”同余，有：20132013≡32013(mod 10)（ 20132013表示 2013 个 2013 相加， 32013表示 2013个 3 相加） 。3 ≡3(mod 10)， 3 ≡9(mod 10)， 3 ≡7(mod 10)， 3 ≡1(mod 10)， 3 除以 10 的余数以“3、9、7、1”4 个为一周期循环。 4?1，所以 320131234i除以 10 的余数为周期内的第 1 个数“3” ，2 0 1 33102≡32013≡3(mod 10)。(2)设 a 的个位数字为 x（0?x?9） ，则a2013≡x2013(mod 10)， ai1989≡x1989(mod 10)。ix＝0、1、5、6 时， x 的个位数字是不变的， x 的个位数字 1 个为一周期 循环； x＝4、9 时， x 的个位数字以(4、6)、(9、1)循序， x 的个位数字 2 个为 一周期循环； x＝2、3、7、8 时， x 的个位数字 4 个为一周期循环，例如： 2 的个位数 字以(2、4、8、6)循环， 7 的个位数字以(7、9、3、1)循环； 统一看出 4 个为一周期循环， 3?1， 7?1，x2013 i iiii≡x (mod 10)， x11989≡ x (mod 10)， x12013≡x ≡x11989(mod 10)。第 30 页/共 114 页x2013≡x1989(mod 10)， a2013≡a1989(mod 10)，10| a2013－a1989。【答案】(1)3，(2)见上。610、 【第二单元 4】 （口述题） 将 1 到 2000 的自然数写成一排： 00， 这个数除以 9 的余数是多少？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】用到“一个数与其数字和(mod 9)同余” 。 12345≡(1+2+3+4+5) (mod 9)； ≡(1+2+3+4+5+6+7+8+9)≡45≡0 (mod 9)。 根据“和的余数”与“余数的和”同余，有： ＝100?0+110?0+120?0+??+0+18； 100?0≡10(mod 9)，110?0≡11(mod 9)，120?0≡12(mod 9)，?，160000 ≡16(mod 9)，1700≡17(mod 9)； ≡(10+11+12+?+16+17+18) (mod 9)； 再根据 “差的余数” 与 “余数的差” 同余， 10-9＝1， 11-9＝2， 12-9＝3， ?， 17-9＝8，18-9＝9； (10+11+12+?+16+17+18)≡(1+2+3+?+8+9) (mod 9)； 得到：≡(1+2+3+?+8+9) (mod 9)。 同理， 从前往后每 9 个连续数都与(1+2+3+?+8+9)(mod 9)同余， 余数为 0， 即可以整除 9。 9|1998，所以
都可以整除 9，剩余 。 ≡(1+2)≡3 (mod 9)，所以整个数 00 除以 9 的余 数是 3。第 31 页/共 114 页【答案】3。611、 【第二单元 5】(1)一个三位数是它数字和的 33 倍，求此数； (2)一个五位数是它数字和的 2013 倍，求此数； (3)一个五位数是它数字和的 2008 倍，求此数； 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】看到数字和，想到 mod 9。 (1)设此数为 abc ，则 abc ＝33(a+b+c)， abc ≡(a+b+c) (mod 9)。 9| abc -(a+b+c)，9|33(a+b+c)-(a+b+c)，9|32(a+b+c)，因为(9,32)＝1， 所以：9|(a+b+c)，a+b+c＝9k，k＝1、2、3。 k＝1 时，a+b+c＝9， abc ＝33(a+b+c)＝33×9＝297，但是 2+9+7＝18 与 a+b+c＝9 矛盾，舍弃； k＝2 时， a+b+c＝18，abc ＝33(a+b+c)＝33×18＝594， 5+9+4＝18 与 a+b+c ＝18 吻合，是解； k＝3 时，a+b+c＝27， abc ＝33(a+b+c)＝33×27＝891，但是 8+9+1＝18 与 a+b+c＝27 矛盾，舍弃。当然也可以：a+b+c＝27， abc ＝999≠33×27。 (2) 设此数为 abcde ，则 abcde ＝ 2013(a+b+c+d+e) ， abcde ≡ (a+b+c+d+e) (mod 9)，9| abcde -(a+b+c+d+e)，9|2013(a+b+c+d+e)-(a+b+c+d+e)， 9|2012(a+b+c+d+e) ，因为 (9,2012) ＝ 1 ，所以： 9|(a+b+c+d+e) ， a+b+c+d+e ＝9k，k＝1、2、3、4、5。 k＝1 时，a+b+c+d+e＝9， abcde ＝2013(a+b+c)＝117，但是 1+8+1+1+7＝18 与 a+b+c+d+e＝9 矛盾，舍弃；第 32 页/共 114 页k＝2 时，a+b+c+d+e＝18， abcde ＝234，3+6+2+3+4＝18 与 a+b+c+d+e＝18 吻合，是解； k＝3 时，a+b+c+d+e＝27， abcde ＝351，但是 5+4+3+5+1＝ 18 与 a+b+c+d+e＝27 矛盾，舍弃； k＝4 时，a+b+c+d+e＝36， abcde ＝468，但是 7+2+4+6+8＝ 27 与 a+b+c+d+e＝36 矛盾，舍弃； k＝5 时，a+b+c+d+e＝45， abcde ＝585≠99999，舍弃。 综上，此五位数为 36234。 (3) 设此数为 abcde ，则 abcde ＝ 2008(a+b+c+d+e) ， abcde ≡ (a+b+c+d+e) (mod 9)，9| abcde -(a+b+c+d+e)，9|2008(a+b+c+d+e)-(a+b+c+d+e)， 9|2007(a+b+c+d+e)，因为 9|2007，所以(a+b+c+d+e)为 a≠0 的任意值，又因 为 a?1，所以 1?a+b+c+d+e?45。假设数字和 (a+b+c+d+e) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数字和 2008 倍 24
是否 五位数 × × × × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 实际数字和 (a+b+c+d+e) 10 11 12 13 5 15 16 17 18 10 20 21 13 14 6 16 17 18 19 数字和 是否相等 × × × × √ × × × × √ × × √ √ × √ √ √ √第 33 页/共 114 页假设数字和 (a+b+c+d+e) 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45数字和 2008 倍
是否 五位数 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √实际数字和 (a+b+c+d+e) 11 21 22 23 24 7 17 18 19 20 12 22 23 24 25 17 27 28 20 21 13 23 24 25 26 18数字和 是否相等 × √ √ √ √ × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×因此， 满足条件的， 是其数字和的 2008 倍的五位数共有 12 个： 10040、 20080、 2、3、3、4、4。 【答案】(1)594，(2)36234，(3)有 12 个。 612、 【第三单元 1】袁世凯于 1916 年 1 月 1 日星期六称帝，只当了 82 天就被 逼退位，问他退位那天是星期几？ 【难度级别】★☆☆☆☆ 【解题思路】82÷7＝11?5，数学表示：82≡5 (mod 7)。 一个周期里的第 5 天，第 1 天是星期六，第 5 天就是星期三。第 34 页/共 114 页百度了一下，袁世凯于 1916 年 3 月 22 日被逼退位，那天确实是星期三。 【答案】三。613、 【第三单元 2】小明说，任意 6 个整数里，一定有某两个数的差是 5 的倍 数，他说的对吗？ 【难度级别】★☆☆☆☆ 【解题思路】剩余系。除以 5 最多有 0、1、2、3、4 共 5 种不同的余数。 任意 6 个整数里，必有两数除以 5 的余数相同，同余做差能整除，这两数 差是 5 的倍数。 这是同余与抽屉原理的结合，5 个抽屉，6 个苹果。 【答案】说的对。 614、 【第三单元 3】求证：1、11、111、、??这若干个数里面 一定有 2013 的倍数。 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】剩余系。除以 2013 最多有 0、1、2、?、2012 共 2013 种不同的 余数。 从 1 到 11??1 取 2014 个数，必有两数除以 2013 的余数相同，差是 2013 的倍数，假设这个两个数为 a 和 b（a＞b） ，a 有 i 个 1，b 有 j 个 1，i＞j， 则 2013|a-b。 a-b＝11?100?0＝11?1×100?0（有 j 个 0，有 i-j 个 1） ×100?0，但是（）＝1，所以 （i-j 个 1） ，11?1（i-j 个 1）就是 2014 个数中能整除 2013 的那个数，存在性证 明完毕。第 35 页/共 114 页证明： （2013,10 ）＝1k10 ＝ 2 5 ，×61，没有公因数，所以最大公因数是 1。【答案】一定有，见上。 615、 【第三单元 4】求证：20、?里面一定有 2012 的倍数。 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】剩余系。3，除以 503 最多有 0、1、2、?、502 共 503 种不同的余数。 从 20 到 2020?20 取 504 个数，必有两数除以 503 的余数相同，差是 503 的倍数，假设这个两个数为 a 和 b（a＞b） ，a 有 i 个 20，b 有 j 个 20，i＞j， 则 503|a-b。 a-b＝?0＝0?0（100?0 有 2j 个 0，2020?20 有 i-j 个 20） 503|0?0， 但是 （503, 100?0） ＝1， 所以 503|2020?20 （i-j 个 20） ，2020?20（i-j 个 20）就是 504 个数中能整除 503 的那个数。 又因为 2020?20 末两位是 20， 所以 2020?20 能整除 4， 所以 2020?20 （i-j 个 20）能整除 503×4＝2012。 证明： （503,10 ）＝1kkkk10 ＝ 2 5 ，503 是质数，没有公因数，所以最大公因数是 1。【答案】一定有，见上。 616、 【第三单元 5】M、N 均为非零自然数，且( 2007 + 2008 )能被 7 整除， 求(M+N)的最小值。 【难度级别】★★★★☆第 36 页/共 114 页M Nkkk【解题思路】根据 7 的整除特性，三位一段差系，007-2＝5，008-2＝6，2007 ≡5(mod 7)，2008≡6(mod 7)。 根据“和的余数”与“余数的和”同余，有：2007 ≡ 5 (mod 7)， 2008 ≡ 6 (mod 7)。M2007 的 M 次方÷7 余MMNN1 5 1 62 4 2 13 6 3 64 2 4 15 3 5 66 1 6 1NN2008 的 N 次方÷7 余M2007 除以 7 的余数以“5、4、6、2、3、1”为周期，周期为 6。 2008 除以 7 的余数以“6、1”为周期，周期为 2。 若取 2008 ÷7 的余数 6（N 最小＝1） ，则 2007 ÷7 的余数需要取 1（M 最 小＝6） ，才能保证 2007 + 2008 整除 7，M+N 最小值为：6+1＝7。 若取 2008 ÷7 的余数 1（N 最小＝2） ，则 2007 ÷7 的余数需要取 6（M 最 小＝3） ，才能保证 2007 + 2008 整除 7，M+N 最小值为：3+2＝5。 【答案】5。 617、 【第三单元 6】求 1～2013 的所有自然数中，有多少个整数 x 使得 2 和 x 被 7 除的余数相同。 【难度级别】★★★★★ 【解题思路】 提供两种方法： 一、 根据除以 3 的余数分三类情况推导计算， 二、 列表找规律。 方法一、理论推导计算 先分析 2 除以 7。 2 除以 7 的余数是：2、4、1、2、?，说明余数以“2、 4、1”三个为一周期循环，将 x 分为 3 类： ①x＝3k，k?1， 2 除以 7 余数为 1；第 37 页/共 114 页x x x xNMMNNMMN2②x＝3k+1，k?0， 2 除以 7 余数为 2； ③x＝3k+2，k?0， 2 除以 7 余数为 4。 ①x＝3k，k?1, 2 除以 7 余数为 1 要求 x 同余， x ＝7m+1(m?1)， 9k ＝7m+1，9|(7m+1)，但是(7m+1)除以 9 的余数为：8、6、4、2、0、7、5、3、1、8、?，9 个一循环，m＝9a+5（a ?0）时，9|(7m+1)， 9k ＝7m+1＝7（9a+5）+1＝63a+36， k ＝7a+4。 7a＝ k -4＝(k+2)(k-2)， 得到： 7|(k+2)或 7|(k-2)， k+2＝7b(b?1)或 k-2 ＝7c(c?0)，k＝7b-2(b?1)或 k＝7c+2(c?0)。 1?x?2013，x＝3k＝3(7b-2)＝21b-6，1?21b-6?2013，1?b?96，有 96 个；x＝3k＝3(7c+2)＝21c+6，1?21c+6?2013，0?c?95，有 96 个。 验证几个看看： x＝21b-6，1?b?96： b＝1，x＝15，3|15， 2 除以 7 余 1，15 除以 7 余 1×1＝1，满足； b＝2，x＝36，3|36， 2 除以 7 余 1， 36 除以 7 余 1×1＝1，满足； b＝96， x＝2010， 3|2010，2 x＝21c+6，0?c?95： c＝0，x＝6，3|6， 2 ≡ 2 ≡1(mod 7)， 6 ≡1(mod 7)，满足； c＝1，x＝27，3|27， 2 ≡ 2 ≡1(mod 7)， 27 ≡ 6 ≡1(mod 7)，满足； c＝2，x＝48，3|48， 2 ≡ 2 ≡1(mod 7)， 48 ≡ 6 ≡1(mod 7)，满足； c＝95，x＝2001， 3|2001, 2x
27 3 6 3 2010xxx222222152362除以 7 余 1, 2010 除以 7 余 1×1＝1， 满足。222222≡ 2 ≡1(mod7), 2001 ≡ 6 ≡1(mod7),满足。322②x＝3k+1，k?0, 2 除以 7 余数为 2 要求 x 同余， x ＝7m+2(m?0)，(3k ? 1) ＝7m+2，7m= (3k ? 1) -2= 9k +6k-12 2222＝ 7k +7k+ 2k -k-1＝7( k +k)+( 2k -k-1)，7|( 2k -k-1)＝(2k+1)(k-1)，得第 38 页/共 114 页222221 到：7|(2k+1)或 7|(k-1)，2k+1＝7b(b?1)或 k-1＝7c(c?0)，k＝ (7b-1)(b 2?1)或 k＝7c+1(c?0)。 1 ? x ? 2013 ， x ＝ 3k+1 ＝3 2(7b-1)+1 ＝21 2(b-1)+10 ， 1 ?21 2(b-1)+10 ?2013，0?b-1?190，1?b?191，且 b 为奇数（因为需要 b-1 为偶数） ，有 96 个；x＝3k+1＝3(7c+1)+1＝21c+4，1?21c+4?2013，0?c?95，有 96 个。 验证几个看看： x＝21 2(b-1)+10，1?b?191，且 b 为奇数：10 1b＝1，x＝10， 2 ≡ 2 ≡2(mod 7)，10 除以 7 余 2，满足； b＝3，x＝31， 2 ≡ 2 ≡2(mod 7)， 31 ≡ 3 ≡2(mod 7)，满足； b＝191，x＝2005， 2222≡ 2 ≡2(mod 7)， 2005 ≡ 3 ≡2(mod 7)，满足。122x＝21c+4，0?c?95： c＝0，x＝4， 2 ≡2(mod 7)， 4 除以 7 余 2，满足； c＝1，x＝25， 2 ≡ 2 ≡2(mod 7)， 25 ≡ 4 ≡2(mod 7)，满足； c＝2，x＝46， 2 ≡ 2 ≡2(mod 7)， 46 ≡ 4 ≡2(mod 7)，满足； c＝95，x＝1999， 2x
25 1422222≡ 2 ≡2(mod 7)，1999 ≡ 4 ≡2(mod 7)，满足。122③x＝3k+2，k?0, 2 除以 7 余数为 4 要求 x 同余， x ＝7m+4(m?0)，(3k ? 2) ＝7m+4，7m= (3k ? 2) -4= 9k +12k2 2222＝7( k +k)+( 2k +5k)， 7|( 2k -k)＝k(2k+5)， 得到： 7|k 或 7|(2k+5)， k＝7b(b1 ?0)或 2k+5＝7c(c?1)，k＝ (7c-5)(c?1)或 k＝7b(b?0)。 2 21 21 3 1?x?2013，x＝3k+2＝ (7c-5)+2＝ (c-1)+5，1? (c-1)+5?2013， 2 2 22220?c-1?191，1?c?192，且 c 为奇数（因为需要 c-1 为偶数） ，有 96 个；x第 39 页/共 114 页＝3k+2＝3×7b+2＝21b+2，1?21b+2?2013，0?b?95，有 96 个。 验证几个看看： x＝21 2(c-1)+5，1?c?192，且 c 为奇数：5c＝1，x＝5， 2 ≡4(mod 7)， 5 除以 7 余 4，满足； c＝3，x＝26， 2 ≡ 2 ≡4(mod 7)， 26 ≡ 5 ≡4(mod 7)，满足； c＝191，x＝2000， 2222≡ 2 ≡4(mod 7)， 2000 ≡ 5 ≡4(mod 7)，满足。222x＝21b+2，0?b?95： b＝0，x＝2， 2 ≡4(mod 7)， 2 除以 7 余 4，满足； b＝1，x＝23， 2 ≡ 2 ≡4(mod 7)， 23 ≡ 2 ≡4(mod 7)，满足； b＝2，x＝44， 2 ≡ 2 ≡4(mod 7)， 44 ≡ 2 ≡4(mod 7)，满足； b＝95，x＝1997， 2 综上所述的三种情况： ①x＝3k，k?1 x＝21b-6，1?b?96； x＝21c+6，0?c?95； ②x＝3k+1，k?0 x＝21 2 2 2 23 2 4 222≡ 2 ≡4(mod 7)，1997 ≡ 2 ≡4(mod 7)，满足。222(b-1)+10，1?b?191，且 b 为奇数；x＝21c+4，0?c?95； ③x＝3k+2，k?0 x＝21 2(c-1)+5，1?c?192，且 c 为奇数；x＝21b+2，0?b?95。 所以， 2 和 x 被 7 除余数相同的数共有：96×6＝576 个。第 40 页/共 114 页x2整理一下以上计算和验算的一些数，按从小到大排列： 2、4、5、6、10、15； 23、25、26、27、31、36；44、46、47、48、??； 、、。 发现周期为 21，每个周期内有 6 个数，第一个周期内的 6 个数是：2、4、 5、6、10、15，还是有规律可循的。 方法二、列表找规律 根据 2 和 x 除以 7 的余数找规律。x2 的 x 次方÷7 余x x21 22 43 14 25 46 12 除以 7 的余数以“2、4、1”3 个为一周期循环。xx 的平方÷7 余21 12 43 24 25 46 17 08 19 410 11 12 13 14 2 2 4 1 0x 除以 7 的余数以“1、4、2、2、4、1、0”7 个为一周期循环。要想 2 个余数相同，周期为：3×7＝21，在一个周期内余数相同的有 6 个：x2 的 x 次方 ÷7 余 x 的平方 ÷7 余1 2 12 4 4 √3 1 24 2 25 4 46 1 17 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2 4 1 0 1 4 2 2 √ 4 2 1 4 2 1 4 0 1 1 √ 2 4 4 2 1 2 2 4 4 1 1 0同余√ √ √21 以内的 6 个是：2、4、5、6、10、15。 ?18，15＜18，共有 6×96＝576 个。 【答案】576。 618、 【学案 1】(南京第二届“兴趣杯”)甲乙两个代表团去参观中山陵，每辆 车可以乘 36 人， 两代表团坐满若干辆车后， 甲代表团剩下的 11 人和乙代表团 剩下的人恰好又能坐满一辆车。 参观完之后甲代表团的每个成员都与乙代表团第 41 页/共 114 页的每个成员拍了一张两人合影。如果一个胶卷可以拍 36 张照片，那么拍完最 后一张照片后，相机里的胶卷还能拍几张？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】设甲有 a 人、乙有 b 人，先用数学符号表示出来： a≡11 (mod 36)，36-11＝25，b≡25 (mod 36)。 甲与乙相互两人都合影，照片总数为：a×b，a×b 除以 36 的余数就是最 后一个胶卷已拍的张数：a×b≡11×25≡275≡23 (mod 36)，已拍 23 张，剩 36－23＝13 张。 【答案】13。 619、 【学案 2】我们把拥有 0～9 所有数码的数称为十全数，求证：对于任意 一个 n，必能找到一个十全数是 n 的倍数。 【难度级别】★★★★★ 【解题思路】抽屉原理的构造。肯定要构造 n+1 个数，但是怎么构造呢？这是 本题思考的关键。 思路如下：n+1 个数，为的就是有 n+1 个余数，必有 2 个同余，同余做差 能整除， 但是做差后的数希望也是个十全数， 所以就考虑用十全数重叠来构造。 任意构造一个与 n 互质的十全数 a， a 作为第 1 个数， 把 a 的数字从左往右 写 2 遍(从左往右，写完一遍，再写一遍)aa 构成第 2 个数，写 3 遍 aaa 构成 第 3 个数，?，写 n+1 遍 aa?a 构成第 n+1 个数。 这 n+1 个数，必有 2 个关于 n 同余，假设这 2 个数是 X(有 i 个 a)、Y(有 j 个 a),i＞j，则它们的差是 n 的倍数，n|X-Y，而 X-Y＝aa?a00?0(j 组 0，每 组 0 的位数＝a 的位数，i-j 个 a)，因为每个 a 是十全数，所以 X-Y 也是十全 数(有 i-j 个 a)，存在性得以证明。第 42 页/共 114 页【答案】见上。 620、 【学案 3】任取 n 个数，求证里面一定能选出若干个数之和是 n 的倍数。 【难度级别】★★★★★ 【解题思路】抽屉原理的构造。 “若干个数之和”肯定要用和来构造。 此题与上题的不同是：上题 n 个抽屉构造 n+1 个苹果，本题 n 个抽屉只能 构造 n 个苹果。 （1）n 个抽屉 n+1 个苹果，好求解，有 2 个苹果放一个抽屉里； （2）n 个抽屉 n 个苹果，也是可求解的， “花开两朵各表一枝” ， “一枝”有一 个抽屉是要求解的结果，恰有 1 个苹果满足，结论得证， “另一枝”否则剩余 n－1 个抽屉，还是 n 个苹果，必有 2 个苹果放一个抽屉里。 设 n 个数为：a1、a2、??、an，则构造 n 个和：S1＝a1、S2＝a1+a2、S3＝ a1+a2+a3、??、Sn＝a1+a2+?+an。 (1)若有 S 是 n 的倍数，则结论成立。 (2)若没有任意一个 S 能整除 n，则必有 2 个 S 除以 n 同余。原因是：除以 n 有 1、2、3、?、n-1 共 n-1 种余数（余数为 0 即整除那种情况在上一个假 设中，已经去掉了） ，有 n 个数，所以必有 2 个数同余。 同余做差能整除， n|Sj-Si ＝ (a1+a2+?+aj)-(a1+a2+?+ai) ＝ ai+1+?+aj ，而 ai+1+?+aj 是满足题目要求的“若干个数之和” 。 【答案】见上。621、 【作业 1】 20132013的末两位数是多少？【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】末两位就是除以 100 的余数。第 43 页/共 114 页2013x3 的 x 次方 ÷100 余2013≡1332013≡1353?671≡ 2197 ≡ 97 ≡ (?3) 671 ≡ ? 3 (mod 100)。671 671 6711 324678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7 21 63 89 676719 27 81 43 29 87 61 83 49 47 41 23 69x1可见，3 ÷100 的余数 20 个为一周期循环，671÷20＝33?11，? 3 ÷100 的余数为周期内的第 11 个数，余数是 47。20132013≡ ? 3 ≡ ? 3 ≡-47(mod 100)，100-47＝53。671 11【答案】53。 622、 【作业 2】 【答案】3。 623、 【作业 3】请证明不存在三个完全平方数之和为 641607。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】观察 x + y 2 + z ，641607，考察÷8 的余数。 完全平方数÷8 的余数只有 0、1、4， “和的余数”与“余数的和”同余， 三个余数都只能是“0、1、4” ，三个余数之和可能是：0、1、2、3、4、5、6、 8、9、12，(mod 8)后只能是：0、1、2、3、4、5、6。 但是， (mod 8)，所以 x + y 2 + z 和 641607 除以 8 的余数不可能 相同，故 x + y 2 + z ≠641607。 【答案】见上。 624、 【作业 4】请说明任意 6 个正整数中必然可以选出 4 个，用这四个数进行 四则运算后（各用一次）可以得到 15 的倍数。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】15＝5×3。选 4 个数，可以分拆成：先选 2 个，再选 2 个。 选 2 个？？？考虑到：两数做差能整除，必然是同余，6 个数(mod 5)有 2第 44 页/共 114 页222222个同余，剩余 4 个数，4 个数(mod 3)有 2 个同余，正好是 5×3＝15。 根据抽屉原理，6 个数中一定可以找到 2 个数(mod 5)同余，这两个数的差 是 5 的倍数，剩下 4 个数，4 个数中一定可以找到 2 个数(mod 3)同余，这两 个数的差是 3 的倍数，两个差相乘是 15 的倍数。 【答案】见上。 625、 【作业 5】 【答案】4。 626、 【作业 6】黑板上写有 2000 个 5、2001 个 7、2002 个 8 和 2003 个 9。现 在可以进行如下操作：擦去某 3 个不同的数，再把没有擦掉的那个数多写 2 个。比如擦掉一个 5、1 个 7、1 个 8，然后写上 2 个 9。最后黑板上剩下少于 3 种数时便无法继续操作。 已知黑板最后只剩下 3 个数字， 求这 3 个数字的积。 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】两个不同的数字，要么同时(-1)，要么一个(-1)另一个(+2)，说 明不同数字的数量除以 3 的余数，差值不会发生变化。 5 的数量：2000≡2 (mod 3)，7 的数量：2001≡0 (mod 3)， 8 的数量：2002≡1 (mod 3)，9 的数量：2003≡2 (mod 3)。 说明：剩余 8 的个数比 7 多 1 个，剩余 5 的个数与 9 的个数一样多，5 和 9 可能同时没有了，也可能都比 8 多 1 个。 如果 7 是 0 个，8 就是 1 个，5 和 9 就是各 2 个，与“只剩 3 个”不符； 如果 7 是 1 个，8 就是 2 个，5 和 9 同时没有了【2+1＝3, mod 3 为 0】 ，正 好剩 3 个，3 个数的乘积为：7×8×8＝448； 如果 7 是 2 个，8 就是 0 个【2+1＝3, mod 3 为 0】 ，5 和 9 都是 1 个，总数 4 个与“只剩 3 个”不符。第 45 页/共 114 页【答案】448。 627、 【补充 1,2013 年华杯赛决赛最后一题第 14 题】不为零的自然数 n 既是 2010 个数字和相同的自然数之和，也是 2012 个数字和相同的自然数之和，还 是 2013 个数字和相同的自然数之和，那么 n 最小是多少？ 【难度级别】★★★★★★ 【解题思路】首先题目读着有点绕嘴，要好好理解一下，n 是 2010 个自然数 之和，每个自然数的数字和相同，其它 2 个也是这样理解；其次看到了数字和 应该想到是 9 的同余问题。此题难度较大，第一，从 mod 9 同余思考是一个难 点，第二，求三个数字和从 3 的整除性考虑也是难点，第三，构造也是难点。 假设题目中给出的三个数字和分别是 a、b、c，则 根据“和的余数”与“余数的和”同余，有： “n 除以 9 的余数”与“2010 个自然数除以 9 的余数之和”同余，而“每个自然数除以 9 的余数”＝“这个 自然数的数字和除以 9 的余数” ＝ “a 除以 9 的余数” ， 所以 “n 除以 9 的余数” 与“a 除以 9 的余数”×2010 同余。 同样因为“余数的和”与“和的余数”同余，有： “a 除以 9 的余数”×2010 与“2010a 除以 9 的余数”同余，所以“n 除以 9 的余数”与“2010a 除以 9 的余数”同余，即：n≡2010a (mod 9)。 同理，n≡2012b (mod 9)，n≡2013c (mod 9)。 所以，2010a≡2012b≡2013c (mod 9)。 由于
都是 3 的倍数，2012 不是 3 的倍数，所以 b 一定是 3 的 倍数，可得 b 最小值为 3，n 的最小值为 36，此时，2010a≡2013c ≡6036≡6 (mod 9)，2010÷9 余 3，a 最小为 2，2013÷9 余 6，c 最小为 1， 即：a＝2，b＝3，c＝1。第 46 页/共 114 页bmin＝3，这样证明：9|(b?3|(b),因为 3|2010a， 所以 3|2012b，而(3,2012)=1，故 3|b。 amin＝2，cmin＝1，这样证明：根据“除以 9 的余数”＝“数字和除以 9 的 余数” 有： 2010a≡+3+6 (mod 9)， 2010a≡15 (mod 9)， 2010a≡6 (mod 9)；2010≡3 (mod 9)，再根据“积的余数”与“余数的积”同余，2010a≡3a (mod 9)，3a≡6 (mod 9)，a＝2。同理，2013c≡+3+6 (mod 9)，2013c ≡15 (mod 9)，2013c≡6 (mod 9)；2013≡6 (mod 9)，2013c≡6c (mod 9)， 6c≡6 (mod 9)，c＝1。 对 n 最小值 6036 构造如下： 2010 个数字和为 2 的数是：2000、20 和 2008 个 2； 2012 个数字和为 3 的数是：2012 个 3； 2013 个数字和为 1 的数是：4 个 1000、3 个 10 和 2006 个 1。 构造思路：构造只是找到一个例子即可，不是找全部，所以可以考虑一些 容易构造的数，例如 20 也可以有 11（看数字和） ，200 也可以有 110、101（看 数字和）等等，但是这些数构造起来就复杂一些。 2010 个数的和＝6036，每个数数字和为 2，数字和为 2 的数有 2、20、200、 2000，应该大都是 2 这个数，估算：00，＝2036，所 以需要有 1 个 －，还缺 －1＝9 个数，9 个数之和＝36，需要 1 个 20 和 8 个 2，36＝20×1+2×8，总计： ×1+20×1+2×2008。 2012 个数的和＝6036，每个数数字和为 3，数字和为 3 的数有 3、30、300、 3000， 但是 3×， 所以直接用 2012 个 3 就可以了， 12。 2013 个数的和＝6036，每个数数字和为 1，数字和为 1 的数有 1、10、100、第 47 页/共 114 页1000，应该大都是 1 这个数，估算：00，＝4036，所 以需要有 4 个 －，还缺 －4＝9 个数，9 个数之和＝36，需要 3 个 10 和 6 个 1，36＝10×3+1×6，总计： ×4+10×3+1×2006。 综上，构造结果如下： ×1+20×1+2×12＝×3+1×2006。 【答案】3036。第七讲 不定方程定义： 当未知数的个数多于有效方程的个数时， 这样的方程称为不定方程。 解不定方程的方法： 1、奇偶分析法 2、整除分析法 3、枚举分析法 4、同余分析法 同余分析法的步骤：(1)先求其中一个系数的余数，得到同余方程，(2)再 求出第一个解， 之后进行枚举， 一般一个未知数的多个解是按照另外一个系数 递增/递减的。37 x y 701、 【第一单元 4】已知 x 和 y 分别表示两个自然数，且 + ＝ ，求 x+y。 5 11 55【难度级别】★☆☆☆☆ 【解题思路】由分数方程化成整数方程，左右都×55，得到：11x+5y＝37 ÷5 余：□+0＝2，□＝2，11x≡2(mod 5)，x＝2，y＝3，x+y＝5。第 48 页/共 114 页【答案】5。 702、 【第一单元 5】求不定方程 7x+11y＝1288 的正整数解有多少组？ 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】÷7 余：0+□＝0，□＝0，11x≡0(mod75)，即：7|11x，(7,11) ＝1，所以：7|x。 0＜y＜1288 11＝1171 11，117÷7＝16??5，7 的倍数有 16 个，x 有 16 个解，x 和 y 就有 16 组整数解。 【答案】16。?5 x ? 7 y ? 9 z ? 52 703、 【第一单元 7】求方程组 ? 的正整数解。 ?3x ? 5 y ? 7 z ? 36【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】先消元变成有 2 个未知数的一个方程。 可以正常消元，本题也可以采用一点点技巧：①－②得：2x+2y+2z＝16， 化简后：x+y+z＝8 ??③②－③×3，得：2y+4z＝12，化简后：y+2z＝6。?y ? 2 ? 奇偶分校，y 为偶数，y 和 z 求出代入③可以求出 x， ? z ? 2 ?x ? 4 ?【答案】2 组解，见上。?y ? 4 ? ?z ? 1 ?x ? 3 ?704、 【第一单元 8(1)】解三元一次不定方程的正整数解：3x+2y+8z＝40。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】 有 3 个未知数只有 1 个方程， 先根据取值范围枚举其中一个未知第 49 页/共 114 页数，一般找系数大的未知数，系数大取值少好枚举。0＜z＜5。 当 z＝1 时，3x+2y＝32， ? 当 z＝2 时，3x+2y＝24， ? 当 z＝3 时，3x+2y＝16， ??x ? 2 ? y ? 13 ?x ? 2 ?y ? 9 ?x ? 2，??x ? 4 ? y ? 10，??x ? 6 ?y ? 7，??x ? 8 ?y ? 4，?? x ? 10 ?y ? 1；，? ，??x ? 4 ?y ? 6 ?x ? 4，? ；?x ? 6 ?y ? 3；?y ? 5 ?y ? 2 ?x ? 2 当 z＝4 时，3x+2y＝8， ? 。 y ? 1 ?【答案】11 组解，见上。705、 【第二单元 2】小丽计划用 31 元买每支 2 元、3 元、4 元三种不同价格的 圆珠笔，每种至少买 1 支。问她最多能买多少支？最少能买多少支？ 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】2x+3y+4z＝31 最多：x 尽可能多，z 和 y 尽可能少，0＜x＜15， x＝14，3y+4z＝3，y 和 z 无解；x＝13，3y+4z＝5，y 和 z 无解； x＝12，3y+4z＝7，y＝1，z＝1，x+y+z＝12+1+1＝14。 最少：z 尽可能多，x 和 y 尽可能少，0＜z＜7， z＝6，2x+3y＝7，x＝2，y＝1，x+y+z＝6+2+1＝9。 【答案】14，9。 706、 【第二单元 3】要把 1 米长的优质铜管锯成 38 毫米和 90 毫米的两种规格 的小铜管，每锯一次都损耗 1 毫米铜管，那么，只有当锯得的两种小铜管各为 多少段时，所损耗的铜管才能最少？ 【难度级别】★★★☆☆第 50 页/共 114 页【解题思路】 设锯成 38 毫米的铜管 x 段、 90 毫米的铜管 y 段， 则铜管损耗为： x+y-1，就是要求 x+y-1 的最小值。 38x+90y+(x+y-1)＝1000，合并后：39x+91y＝1001 左右除以 13 化简，得：3x+7y＝77 全部解： ??x ? 0? y ? 11 ? y ? 8，??x ? 7，?? x ? 14 ?y ? 5，??x ? 21 ?y ? 2x+y-1 最小值为：7+8-1＝14。x＝0 的不符合题意（38 毫米和 90 毫米） 。 【答案】14。2 5 707、 【第二单元 4】 有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为 a 、b 、 3 6 7 c 。已知 a、b、c 都小于 10，a、b、c 依次为___、___、___。 8【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】3a+2＝6b+5＝8c+7，0＜a＜10，0＜b＜10，0＜c＜10。 3a＝6b+3，a＝2b+1。?b ? 3 ?b ? 7 6b＝8c+2，3b＝4c+1，3b≡1(mod 4)， ? ，? 。 ?c ? 2 ?c ? 5b＝7 代入“a＝2b+1”得到 a＝15，大于 10，舍弃； b＝3 代入“a＝2b+1”得到 a＝7，满足；a＝7，b＝3，c＝2。 【答案】7，3，2。 708、 【第三单元 1】在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛。如图，飞镖 的靶子分为三块区域， 分别对应 17 分、 11 分和 4 分。 每人可以仍若干次飞镖， 脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数。若恰好投在两块（或三块）区 域的交界线上，则得到两块（或三块）区域中分数最高区域的分数。如果比赛第 51 页/共 114 页规定恰好投中 120 分才能获奖，要想获奖至少需要投中_______次飞镖。 【难度级别】★★★☆☆11 17【解题思路】三元一次不定方程，4x+11y+17z＝120。 0?z?120 17＝71 174，0?z?7。要想次数最少，分值高的尽可能多，z 从大到小尝试： 当 z＝7 时，4x+11y＝1，无解； 当 z＝6 时，4x+11y＝18，无解； 当 z＝5 时，4x+11y＝35，y＝1，x＝6，x+y+z＝6+1+5＝12； 当 z＝4 时， 4x+11y＝52， y 尽可能大， y＝4， x＝2(x＝13,y＝0 舍弃)， x+y+z ＝2+4+4＝10； 当 z＝3 时，4x+11y＝69，y 尽可能大，y＝3，x＝9，x+y+z＝9+3+3＝15； 当 z＝2 时，4x+11y＝86，y 尽可能大，y＝6，x＝5，x+y+z＝5+6+2＝13； 当 z＝1 时，4x+11y＝103，y 尽可能大，y＝9，x＝1，x+y+z＝1+9+1＝11； 当 z＝0 时，4x+11y＝120，y 尽可能大，y＝8，x＝8，x+y+z＝8+8+0＝16。 综上，最少投中 10 次飞镖，4 分的 2 镖，11 分的 4 镖，17 的 4 镖。 【答案】10。 709、 【第三单元 2】设 n 是正整数，记 1×2×?×n＝n！若存在整数 a2 、 a3 、a4 、a5 、a 6 满足2231 36＝2a2a a a a + 3 + 4 + 5 + 6 ，这里 0? ai ＜ i ，i =2、3、4、5、6。 2！ 3！ 4！ 5！ 6！求 a22 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 。2【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】求解五元一次不定方程，mod 6，mod 5，mod 4。第 52 页/共 114 页(1)×6！去分母，360 a2 +120 a3 +30 a4 +6 a5 + a 6 ＝620 360、120、30、6 都能整除 6，620≡2(mod 6)，所以 a 6 ≡2(mod 6), a 6 ＝2。 (2)360 a2 +120 a3 +30 a4 +6 a5 ＝620－ a 6 ＝620－2＝618，÷6 化简，得： 60 a2 +20 a3 +5 a4 + a5 ＝103 60、20、5 都能整除 5，103≡3(mod 5)，所以 a5 ≡3(mod 5), a5 ＝3。 (3)60 a2 +20 a3 +5 a4 ＝103－ a5 ＝103－3＝100，÷5 化简，得： 12 a2 +4 a3 + a4 ＝20 12、4 都能整除 4，20≡0(mod 4)，所以 a4 ≡0(mod 4),即：4| a4 ，因为 0 ? a4 ＜4，所以 a4 ＝0。 (4)12 a2 +4 a3 ＝20，3 a2 + a3 ＝5， a2 ＝1， a3 ＝2。 (5) a22 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ＝1 + 2 + 0 + 3 + 2 ＝18。222222222【答案】18。 710、 【学案 1】某地收取电费的标准是：每月用户不超过 50 度，每度收 5 角； 如果超过 50 度，超出部分按每度 8 角收费。某月甲用户比乙用户多交了 3 元 3 角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】设这个月甲用了 x 度、乙用了 y 度电，需要分段考虑。 (1) x?50，y?505x-5y＝33，5(x-y)＝33，因 5 不能整除 33，无解。 (2) x?50，y?50[5×50+8(x-50)]-[5×50+8(y-50)]＝33，化简后得到：8(x-y)＝33， 因 8 不能整除 33，无解。 (3) x?50，y?50第 53 页/共 114 页[5×50+8(x-50)]-5y＝33，化简后得到：8x＝5y+183。 8x≡3(mod 5)，x＝51，y＝45。 【答案】51，45。 711、 【学案 2】小王用 50 元买 40 个水果招待五位朋友，水果有苹果、梨子和 杏子三种，每个的价格分别为 200 分、80 分、30 分。小王希望他和五位朋友 都能分到苹果， 且各人得到苹果数目互不相同， 试问他能否实现自己的愿望？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】设苹果、梨子和杏子的数目分别是 x、y、z，则?x ? y ? z ? 40 ?x ? y ? z ? 40 ，化简后， ? ? ?200 x ? 80 y ? 30 z ? 5000 ?20 x ? 8 y ? 3z ? 500消元 z，17x+5y＝380 x＜380 17 6 17＝ 22，5|17x，x 最大值为 20，此时 y＝8，z＝12。但是 6 个互不相同的数，最小是：1+2+3+4+5+6＝21，x 不满足。 【答案】不能。 712、 【学案 3】王老师家的电话号码是七位数，将前四位组成的数与后三位组 成的数相加得 9063；将前三位组成的数与后四位组成的数相加得 2529。王老 师家的电话号码是多少？ 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】根据 9063 知道首位是 8 或 9，根据 2529 知道中间第 4 位是 1 或 2，利用 2 个加法竖式，数字迷，可以求解的。 此处采用不定方程。 设前三位为 x，后三位为 y，第四位为 a，则第 54 页/共 114 页?10 x ? a ? y ? 9063 ，相减化简得：x＝111a+726 ? x ? 1000 a ? y ? 2529 ?a＝0，x＝726，y＝1803 与 y 是三位数不符； a＝1，x＝837，y＝692，电话号码：8371692； a?2，x?948，y＜0，不合题意。 【答案】8371692。 713、 【作业】作业题都不难，孩子通过不定方程都可以求解出来。 【作业 1】87； 【作业 2】41； 【作业 3】2003 年 1 月 16 日； 【作业 4】27； 【作业 5】2； 【作业 6】117，156，195。第八讲 圆与扇形进阶圆的面积＝ ? r ；扇形的面积＝ ? r ×2 2n 360 n； 。圆的周长＝2 ? r ；扇形的弧长＝2 ? r × 常见圆中图形的面积：360弓形＝扇形－△，往往求解△面积是难点； 弯角＝正方形－扇形； 谷子＝2×扇形－正方形。 常用方法： 1、直接求解； 2、整体－空白； 3、容斥原理，重叠＝未覆盖； 4、差不变（同增同减差不变） 。 补充：(1)切线性质：圆心与切点连线垂直于切线；第 55 页/共 114 页(2)直径所对的圆周角等于 90 度。 例题、学案和作业我都做了一遍，虽然个别题目偏难（如：第二单元的第 5 题） ，但是采用上面说的方法都可以求解，故不对具体题目做解析了。 作业大多都是采用“整体－空白”的思路， ，请孩子们认真思考，一定都能 做出来的。如个别有困难，请在 QQ 群里咨询我好了。1181、 【第二单元 5】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟 楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10 平方米。每当 太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如图)。那么，阴 影部分的面积是_______平方米。 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】整体－空白。 方法一：求一条阴影 一条阴影＝弓形 AEB-弓形 CED ＝(扇形 OAB-△OAB)-(扇形 OCD-△OCD)1 1 1 1 ＝( 圆-△OAB)-( 圆-△OCD)＝( 圆- 圆)+(△OCD-△OAB) 3 6 3 6 1 1 ＝ 圆+(△OCD-△OAB)＝ 圆 6 6 1 1 全部阴影＝一条阴影×3＝ 圆×3＝ 圆＝5。 6 2121 2 310 9 8 7 6 A 5C4EOBD证明：△OCD＝△OAB1 OAEB 是菱形，△OAB＝ 菱形 OAEB＝△OAE＝△OCD。 2方法二：求整体阴影 阴影＝圆-中间大三角形-3 小空白弓形第 56 页/共 114 页＝圆- 正六边形-3×(扇形 OCD-△OCD) 21 1 1 ＝圆- 正六边形-3×( 圆- 正六边形) 2 6 6 1 1 1 ＝圆- 正六边形- 圆+ 正六边形 2 2 2 1 ＝ 圆 ＝5 2112 10 2O8 6 4【答案】5。5 82、 【作业 1】8； 【作业 2】 ? ； 【作业 3】12； 【作业 4】7.125； 6【作业 5】1.14； 【作业 6】129。第九讲 比较与估算本讲按照知识点为线索进行总结，方法较多，请认真领会。 目录如下： 一、大小比较 1、通分（通分母、通分子） 2、化成小数 3、倒数法 4、参考值法 5、交叉相乘 6、糖水原理－结论 1，b a＜b?d a?c＜d cb b?m 7、糖水原理－结论 2， ＜ a a?m第 57 页/共 114 页二、估算 1、整体放缩（首尾放缩） 2、部分放缩（分段放缩、二分法） 3、中项放缩 4、分组放缩，这一项是我自己起的名字。 详细内容见下，其中按照知识点给出了例题和补充题的解析。 学案 2 和 3 难度较大，书后有解析，不再赘述；作业题，除了第 4 题用“分 组放缩”简单一点外，其它题目难度都较大，详见书后解析。 一、大小比较 本讲提供了多种比较大小的方法，尤其糖水原理难度较大。 1、通分 通分包括通分母、通分子。当分子具有倍数关系时，可以通分子，分子相 同时，分母小的分数大，分母大的分数小。2 3 5 15 901、 【第一单元 1(2)】把 、 、 、 按照从小到大的顺序排列。 3 5 7 19【难度级别】★☆☆☆☆ 【解题思路】分子 2、3、5、15 有倍数关系，通分子。2 3＝303 30 5 30 15 30 、 ＝ 、 ＝ 、 ＝ ， 45 5 50 7 42 19 38 30 4530 50＜＜30 42＜30 38，2 5 15 ＜ ＜ ＜ 。 5 3 7 19 33 2 5 15 【答案】 ＜ ＜ ＜ 。 5 3 7 192、化成小数第 58 页/共 114 页化成小数比较简单时，可以用小数对比。 902、 【第一单元 2】将 个数是_______。 【难度级别】★☆☆☆☆ 【解题思路】o131 250、21 40oooo、0.523、0.523、0.52 从小到大排列，第三131 250o o＝131 ? 4 250 ? 4o＝524 1000＝0.524，21 40＝0.525o0.52＜0.523＜0.523＜0.524＜0.525，第三个数是：0.523。o【答案】0.523。 3、倒数法 倒数好比较时，可以用倒数比较，倒数大的分数小，倒数小的分数大。 903、 【第一单元 3】比较大小： 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】 13 13 27和28 57；111 1111和。＝21 13，57 28＝21 28，1 13＞1 28，27 13＞57 28，13 27＜28 57。＝10 1
111 1111 ， ＝10 ， ＞ ， ＞ ， ＜ 。 111 1 1 1也可以用“糖水原理” ：111 1111＝， , 111＝1110 ? 1 11110 ? 1，＜1110 ? 1 11110 ? 1，111 1111＜。【答案】13 27＜2857 1111＜。4、参考值法 都与某数接近，分别与此数相减，通过判断差的大小来判断原分数大小。第 59 页/共 114 页904、 【第二单元 6】将8 17、13 24、18 35、31 59按从小到大的顺序排列。【难度级别】★★★★☆8 1 1 1 1 1 1 【解题思路】 ＜ ， 其它三个都＞ ， 与 接近， 都减去 得到差： 、 、 17 2 2 2 2 24 70 3 118。1 24＝83 72，1 70＝3 210，有：18 353 72＜3 118＜3 210，即：1 24＜3 118＜1 70。因此，17＜13 24＜31 59＜。【答案】见上。 5、交叉相乘b d 若 ＞ (a、b、c、d 为正整数)，则 bc＞ad。 a c905、 【第一单元 5】下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些 分母的和最小是多少？ 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】采用“交叉相乘” 。 要想最小，第一个分母填 2。根据“交叉相乘” ，2×2＝4，第二个分母最 小填 5；3×5＝15，15÷2＝7.5，第三个分母最小填 8。2 3 4×8＝32， 32÷3＝10 ， 第四个分母最小填 11； 5×11＝55， 55÷4＝13 ， 3 41 (__)＞2 (__)＞3 (__)＞4 (__)＞5 (__)第五个分母最小填 14。如果继续，第六个分数应该是： 2+5+8+11+14＝40。 【答案】40。6 17。第 60 页/共 114 页6、糖水原理－结论 1b d b b?d d b d 若 0＜ ＜ ＜1，则 ＜ ＜ （证明很简单：将浓度为 和 的糖水 a c a a?c c a c混合后，混合后的浓度介于两者之间） 。1 3 906、 【导问 4】如果一个班的女生人数占全班人数的 和 之间，这个班至少 3 8有多少人？ 【难度级别】★★★☆☆1 8 3 9 8 9 【解题思路】通分， ＝ ， ＝ ，但是在 和 之间分子不存在整数， 3 24 8 24 24 24 16 18 1 16 3 18 于是有人想到扩倍， ＝ ， ＝ ，在 和 之间分子正好有 17，因此 48 48 3 48 8 48最少人数为 48 人。这个答案是错误的，正确答案如下：1 1? 3 3 1? 3 4 根据糖水原理， ＜ ＜ ， ＝ ，所以最少人数为 11 人。 3 3 ? 8 8 3 ? 8 11【答案】11。4 25 5 907、 【补充题】 ＜ ＜ ? 5 6【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】找到 25 与 4、5 的关系，25＝20+5＝4×5+5，4 20 20 20 ? 5 5 20 ? 5 25 将 扩大 5 倍变成 ， ＜ ＜ ， ＝ 。 5 25 25 25 ? 6 6 25 ? 6 31【答案】31。 7、糖水原理－结论 2第 61 页/共 114 页b b b?m b 若 0＜ ＜1，m＞0，则 ＜ （证明很简单：往浓度为 的糖水中加 a a a?m a入 m 份糖，显然加糖后的糖水变甜了，浓度变大了） 。 原理解读：(1)横向看：分子分母同时“+”一个常数，分数值变大；(2) 纵向看：每个分数的“分母－分子”差是相同的，也就是说这个糖水原理的应 用条件是： 分数的“分母－分子”差相同，这个应用条件， 在做题时比较有用。 如果“分母－分子”差不同，可以通过扩倍变成差相同，之后就可以应用 糖水原理了。5 20 29 149 908、 【第二单元 2(2)】比较 、 、 、 的大小。 7 23 33 161【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】 如果不采用方法， 而是两两比较， 就显得很麻烦。 采用糖水原理。5 20 29 149 “分母－分子”的差： 为 2， 为 3， 为 4， 为 12；扩倍让差都 7 23 33 161 5 5 ? 6 30 20 20 ? 4 80 29 29 ? 3 87 变成 12， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ 。 7 7 ? 6 42 23 23 ? 4 92 33 33 ? 3 99根据“糖水原理”有：30 42＜80 92＜87 99＜1495 20 29 149 ，所以： ＜ ＜ ＜ 。 161 7 23 33 1615 20 29 149 【答案】 ＜ ＜ ＜ 。 7 23 33 161 3? 5 7?9 11 ? 13 15 ? 17 19 ? 21 23 ? 25909、 【第二单元 4(1)】比较大小： 【难度级别】★★★☆☆，，。【解题思路】此题不采用方法，也不知道如何下手。采用糖水原理。3 11 19 5 13 21 根据“糖水原理”有： ＜ ＜ ， ＜ ＜ 。 7 15 23 9 17 25第 62 页/共 114 页21 3 5 11 13 19 3 ? 5 11 ? 13 19 ? 21 相乘得到： × ＜ × ＜ × ，即： ＜ ＜ 。 15 17 23 25 23 ? 25 7 9 7 ? 9 15 ? 17【答案】见上。 二、估算 本讲估算用到 4 种方法：整体放缩（首尾放缩） 、部分放缩（分段放缩、二 分法） 、中项放缩、分组放缩。 估算项数比较多的算式时，先考虑整体放缩，如果范围太大，再考虑部分 放缩。放缩过程中，分数的分母是等差数量的，可以考虑用到中项放缩，算式 中有+、-号交错的可以采用分组放缩。 1、整体放缩（首尾放缩） 整体放缩指的是所有项都参与放缩，每一项都按照最大项估算，算式得到 最大值；每一项都按照最小项估算，算式得到最小值；最小值与最大值之间就 是算式估算的范围。题目一般是求：整数部分。2、部分放缩（分段放缩、二分法） 部分放缩指的是：不是所有项都参与放缩，留一部分差别比较大的项参与 计算，其它项再进行放缩，放缩也是找最大值和最小值。题目一般也是求：整 数部分。1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 910、 【第三单元 4】 1+ + + + + + + + + + + + + + 的整数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15部分是多少？ 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】最大值用“分段放缩” （二分法） ，最小值用“部分放缩” （也可 以采用“中项放缩” ） 。第 63 页/共 114 页设此算式为 A，则1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A＜1+( + )+( + + + )+( + + + + + + + )＝1+1+1+1＝4。 2 2 4 4 4 4 8 8 8 8 8 8 8 8 1 1 1 注意到 + + ＝1，所以 A＞2，但是，显然要证明 A＞3 整数部分才能确 2 3 6 1 定，先尝试保留到 ，剩余的 10 项进行“部分放缩” 。 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A＝(1+ + + + )+( + + + + + + + + + ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15＞22 191760 15+1? 10 ＝ 219 201 还是比 3 小， 所以需要再扩大范围多保留一个 ， 剩余的 9 项进行 “部 20 6分放缩” 。1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A＝(1+ + + + + )+( + + + + + + + + ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15＞22760 15+1? 9 ＝31 20＞3。最小值也可以采用“中项放缩” ：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A＝1+( + + )+( + + + + + + + + + + ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 11 1 1 1 ＞1+( + + )+ ×11＝1+1+ ＞3 10 2 3 6 10所以，3＜A＜4，A 的整数部分是 3。 【答案】3。3、中项放缩 算式中的两项，找两项的中间数来表示，这种放缩方法叫作中项放缩。例第 64 页/共 114 页如： 明：1 107 +1 1+1 2＝( 。1+1)+1 2005＞2+1＝3 2005，下面证+＞2005A＝+1＝2007 ?
? 2007＝2005 ? 2 2003 ?
? 2 2005 ? 2005，根据“和一定差小积大”， ＝2 2005＜，所以 A＞ 当然也可以如下证明： A＝2005 ? 2 2003 ? 2007。＝2005 ? 2 (2005 ? 2) ? (2005 ? 2)1 30 ? 1 31 ? 1 32＝2005 ? 2 2005 ? 22 2＞2005 ? 2
?2＝2 2005。911、 【第一单元 7】设 a ?，b ?1 48?1 49?1 50?1 52，则在 a与 b 中，较大的数是______。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】b 用中项放缩。 b＝ ＝ a＝1 48 1 50 1 30 ? 1 49 ? 1 50 ? 1 51 ? 1 52＝(1 48?1 52)?(1 49?1 51)?1 50＞2 50?2 50?1 50?5＝ ? 1 311 10。 ＜1 30 ?3＝ 1 10?1 32。 a＜1 10＜b，较大的数是 b。【答案】b。1 1 ? ? ... ? 49 30 31 32 1 1 1912、 【第三单元 3】(1)的整数部分是_______。第 65 页/共 114 页(2)1 1 ? ? ... ? 28 10 11 12 1 1 1的整数部分是_______。【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】(1)设 A＝ A＝ A＜3 2 1 30 1 30 1 A ?( 1 31 ? 1 32 2 3 1 A 1 A ... ? 1 30 ? 1 31 ? 1 32 ... ? 1 ，则 491 1 1 19 1 1 )＞ ? ? 19 ＞ ? ＝ 49 30 40 40 40 2×20＝＜＜2，1.5＜1 10 ? 1 ? 1＜2 ，整数部分是 1。(2)设 B＝ B＞10 19 1 1911 12... ? 1 101 ，则 28? 19 ＝1，B＜×19＝19 10＜1 B＜1，1 B整数部分是 0。【答案】1，0。 4、分组放缩