题目见附件。
直接看出来行吗？n趋于无穷时1/n和1/n^2都趋于0，ln1是0，极限不就是0了吗，能这样算吗？
解:(用洛必达法则)
原式=lim(x→0)ln(1+x+x^2)/x
=lim(x→0)(1+2x)/(1+x+x^2)
=(1+0)/(1+0+0)
其他答案（共1个回答）
不知道你有没有学过定积分。
详细解答见附图，如不清晰请点击
用洛必达法则可以解决，但不是证明的正途。
证：n={1+[n^(1/n)-1]}^n
=1+n[n^(1/n)-1]+[n(n-1)/2][n^(1/n)-...
个人认为：
x=0时 ，1-x=1，故ln（1-x）=0
因为他是分母，所以无意义 故1/ln(1-x)要上下求导————注意是上下分别求导，并非是分数的求...
（1）设函数f(x)x不等于零时为1，x等于零时为0，求极限lim x趋近于0 f（x） (2)lim x趋近于无限 （x+1/x+2)^x 求详解
答: 不懂[可爱][可爱]
答: 第一个华罗庚
第二个陈景润
答: 关于应用概率统计在重庆大学继续教育学院脱产本科2006级的期末考试中所涉及的考试内容！
1、参数估计2、假设检验等复习内容
答: 珠海同济数学培训班好还是创思教育的数学班好？
南京MBA培训 衍坤教育数学课是谁教的？教的怎么样呀？本人数学不好，希望找个好点...
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这个问题分类似乎错了
这个不是我熟悉的地区微积分应用题
微积分应用题
范文一：试卷第四题-------应用题（本题16分）1:欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方形开口容器，问怎样做法用料最省？
解：第一步:写出表面积所用的材料的表达式2设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由容积公式xh?108得h?1802x1804322?x?
(方法: 开口容器容积=四个侧面积+一个底面积)xx2)??(x2)??()??2x?2
第二步:对上面表达式求导数y??(x?xxx432第三步:令y??2x?2?0
解得x?6x表面积为:y?x2?4xh?x?4x?2第四步: 答话
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当
x?6,h?108?3， 用料最省。
6232 2x2．欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方形开口容器，问怎样做法用料最省？2解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知xh?32，h?2y?x?4xh
?x?4x?2321282?x?
2xx令y??2x?128?0
x232?2， 用料最省。 24因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当
x?4,h?33: 用钢板焊接一个容积为4m的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：说明:谁的表面积越小谁的费用就越低 所以先求最小表面积 ,在求最小表面积时就同题型1
解：第一步:写出表面积所用的材料的表达式2设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，由容积公式xh?4得h?4 2x则表面积为:S(x)?x?4xh?x?
第二步:对上面表达式求导数S?(x)?(x?
第三步: 令S?(x)?2x?22216,
(方法: 开口容器的表面积=四个侧面积+一个底面积) x161616)??(x2)??()??2x?2 xxx16?0，得x?2，
2x第四步: 答话
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x?2,h?1时水箱的表面积最小.
此时的费用为
S(2)?10?40?160（元）4．今欲做一体积为x?30m的圆柱形无盖的容器，其底用钢板，侧面用铝板，若已知每平方米钢板的价格为铝板的三倍，试问如何取圆柱的高和半径，才能使造价最低？12解：设容器的底半径为r，高为h (h?V) 铝板的单价为a， 总造价为y ?r22V602?3a??r2
则总造价为： y?a?2?rh?3a??r?a?rr60ay??6a?r?2r令y??0，得r??，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当r???1.47m时可使用料最省. 此时h?30?4.42m ?r25:某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时 可使用料最省
解：第一步:写出表面积所用的材料的表达式2设容器的底半径为r，高为h
表面积为S, 由体积公式?rh?V得h?22V ?r2则表面积为： S?2?r?2?rh?2?r?
第二步:对上面表达式求导数S??(2?r?22V,
(方法: 有盖容器的表面积=侧面积+两个底面积) r2V2V2V)??(2?r2)??()??4?r?2 rrr第三步: 令S??4?r?2VV?0，得，
r?r22?第四步: 答话 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，
所以，当r?V4V时可使用料最省. 此时h?
2??6．你被要求设计一个容量为1L的圆柱形油罐，什么样的尺寸用料最省1000) 2?r200022,
则表面积为：S?2?r?2?rh?2?r?r2000S??4?r??2r解：设底半径为r，高为h，(h?令S??0，得r?500?，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当r?500?时可使用料最省. 此时h?4000?7．设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解
设矩形的边长分别为x，y（厘米），则有2x?2y?120 又旋转成的圆柱体的体积为：V??xy??x(60?x)222求导得：V??3?x(40?x)令V??0得x?40因为本问题存在最大值，且函数的驻点唯一，所以以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。8．设有一块边长为30cm的正方形铁皮，从它的四角截去同样大小的正方形，做成一个无盖方盒子，问截去的小正方形为多大才能使做成的方盒子容量最大？解
解：设小正方形的边长为x，容积为V于是V?x(30?2x)2?900x?120x2?4x3
令V??900?240x?12x2?12(5?x)(15?x)?0解得x?5 （x?15舍去）因为本问题存在最大值，且函数的驻点唯一，所以，小正方形的边长为5cm，容积V最大。
9．一块矩形的农田，一边靠河，另三边用单股的电线围栏围起来，800m长的电线由你支配，你能围起来的最大矩形面积为多少：矩形的尺寸是什么？ 解：设矩形长为x，宽为800?x，矩形面积为y
?400x? 于是y?x(
22令y??400?x?0
解得x?400因为本问题存在最大值，且函数的驻点唯一，所以，当矩形长为x?400m，宽为800?x?200m时，矩形面积2m 最大。此时矩形面积为x?8000010．某农场需要围建一个面积为512m的矩形晒谷场，一边可以利用原有的石条墙，其余三边需砌石条墙，问晒谷场长和宽各为多少时，才能使石条墙材料用得最少？
解：设矩形长为x，宽为22512，共用材料为y
x5121024于是y?x?2?
?x?xx1令y??1?10242?0
解得x?32x512?16m时，石条墙材料用得32因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当矩形长为x?32m，宽为最少11．欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边为x，另一边为216，共用材料为y
x216432于是y?3x?2?
?3x?xx432令y??3?2?0
解得x?12 （x??12舍去）x3因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边为12，另一边为18时， 用料最省。原文地址：试卷第四题-------应用题（本题16分）1:欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方形开口容器，问怎样做法用料最省？
解：第一步:写出表面积所用的材料的表达式2设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由容积公式xh?108得h?1802x1804322?x?
(方法: 开口容器容积=四个侧面积+一个底面积)xx2)??(x2)??()??2x?2
第二步:对上面表达式求导数y??(x?xxx432第三步:令y??2x?2?0
解得x?6x表面积为:y?x2?4xh?x?4x?2第四步: 答话
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当
x?6,h?108?3， 用料最省。
6232 2x2．欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方形开口容器，问怎样做法用料最省？2解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知xh?32，h?2y?x?4xh
?x?4x?2321282?x?
2xx令y??2x?128?0
x232?2， 用料最省。 24因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当
x?4,h?33: 用钢板焊接一个容积为4m的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：说明:谁的表面积越小谁的费用就越低 所以先求最小表面积 ,在求最小表面积时就同题型1
解：第一步:写出表面积所用的材料的表达式2设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，由容积公式xh?4得h?4 2x则表面积为:S(x)?x?4xh?x?
第二步:对上面表达式求导数S?(x)?(x?
第三步: 令S?(x)?2x?22216,
(方法: 开口容器的表面积=四个侧面积+一个底面积) x161616)??(x2)??()??2x?2 xxx16?0，得x?2，
2x第四步: 答话
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x?2,h?1时水箱的表面积最小.
此时的费用为
S(2)?10?40?160（元）4．今欲做一体积为x?30m的圆柱形无盖的容器，其底用钢板，侧面用铝板，若已知每平方米钢板的价格为铝板的三倍，试问如何取圆柱的高和半径，才能使造价最低？12解：设容器的底半径为r，高为h (h?V) 铝板的单价为a， 总造价为y ?r22V602?3a??r2
则总造价为： y?a?2?rh?3a??r?a?rr60ay??6a?r?2r令y??0，得r??，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当r???1.47m时可使用料最省. 此时h?30?4.42m ?r25:某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时 可使用料最省
解：第一步:写出表面积所用的材料的表达式2设容器的底半径为r，高为h
表面积为S, 由体积公式?rh?V得h?22V ?r2则表面积为： S?2?r?2?rh?2?r?
第二步:对上面表达式求导数S??(2?r?22V,
(方法: 有盖容器的表面积=侧面积+两个底面积) r2V2V2V)??(2?r2)??()??4?r?2 rrr第三步: 令S??4?r?2VV?0，得，
r?r22?第四步: 答话 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，
所以，当r?V4V时可使用料最省. 此时h?
2??6．你被要求设计一个容量为1L的圆柱形油罐，什么样的尺寸用料最省1000) 2?r200022,
则表面积为：S?2?r?2?rh?2?r?r2000S??4?r??2r解：设底半径为r，高为h，(h?令S??0，得r?500?，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当r?500?时可使用料最省. 此时h?4000?7．设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解
设矩形的边长分别为x，y（厘米），则有2x?2y?120 又旋转成的圆柱体的体积为：V??xy??x(60?x)222求导得：V??3?x(40?x)令V??0得x?40因为本问题存在最大值，且函数的驻点唯一，所以以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。8．设有一块边长为30cm的正方形铁皮，从它的四角截去同样大小的正方形，做成一个无盖方盒子，问截去的小正方形为多大才能使做成的方盒子容量最大？解
解：设小正方形的边长为x，容积为V于是V?x(30?2x)2?900x?120x2?4x3
令V??900?240x?12x2?12(5?x)(15?x)?0解得x?5 （x?15舍去）因为本问题存在最大值，且函数的驻点唯一，所以，小正方形的边长为5cm，容积V最大。
9．一块矩形的农田，一边靠河，另三边用单股的电线围栏围起来，800m长的电线由你支配，你能围起来的最大矩形面积为多少：矩形的尺寸是什么？ 解：设矩形长为x，宽为800?x，矩形面积为y
?400x? 于是y?x(
22令y??400?x?0
解得x?400因为本问题存在最大值，且函数的驻点唯一，所以，当矩形长为x?400m，宽为800?x?200m时，矩形面积2m 最大。此时矩形面积为x?8000010．某农场需要围建一个面积为512m的矩形晒谷场，一边可以利用原有的石条墙，其余三边需砌石条墙，问晒谷场长和宽各为多少时，才能使石条墙材料用得最少？
解：设矩形长为x，宽为22512，共用材料为y
x5121024于是y?x?2?
?x?xx1令y??1?10242?0
解得x?32x512?16m时，石条墙材料用得32因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当矩形长为x?32m，宽为最少11．欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边为x，另一边为216，共用材料为y
x216432于是y?3x?2?
?3x?xx432令y??3?2?0
解得x?12 （x??12舍去）x3因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边为12，另一边为18时， 用料最省。
范文二：应用题：1.设生产某种产品x个单位时的成本函数为C(x)=100+0.25x2 +6x (万元)
求:(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本;(2)当生量x为多少时,平均成本最小?解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：100 +0.25X+6,,C?
(X)=0.5X+6 X100所以C(10)=100+0.25×102+6×10=185c(10)= +0.25×10+6=18.5C?(10)=0.5×10+6=11 10C（X）=100+0.25X2+6X
c(X)=100(2)令C'=－+0.25=0,得X=20(X=－20舍去) X2因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小.2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q为需求量,p为价格).试求:(1)成本函数,收入函数;
(2)产量为多少吨时利润最大?解：（1）成本函数C（q）=60q+20001112q所以收入函数R（q）=p×q=(100－q)q=100q－ q 10101011（2）因为利润函数L(q)=R(q) －C(q)=(100q－ q2－(60q+2000)
=40q－ q2－12且L'(q)=(40q－ q－2000)’=40－0.2q 10令L'(q)=0, 即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点. 因为q=1000－10p,即p=100－所以,q=200是利润函数L（q）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数q=2000-4p,其中p为价格,q为产量,这种产品在市场上是畅销的试求:(1)价格为多少时利润最大?
(2)最大利润是多少?1、 解：（1）C（p）=q=00－4p)=0pR(p)=pq=p(2000－4p)=2000p－4p2利润函数L（p）=R(p) －C(p)=2400P－4p2－250000,且令L'(p)=得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。（2）最大利润L(300)=－400×=110000(元)4.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01q2 (元),单位销售价格为p=14-0.01q(元/件),试求:2、 解：（1）C（p）=q=00－4p)=0pR(p)=pq=p(2000－4p)=2000p－4p2利润函数L（p）=R(p) －C(p)=2400P－4p2－250000,且令L'(p)=得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。（2）最大利润L(300)=－400×=110000(元)(1)产量为多少时可使利润达到最大?
(2)最大利润是多少?5.某厂每天生产某产品q件的成本函数为C(q)=0.5q2 +36q+9800(元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?6.已知某厂生产q件产品的成本为C(q)=250+20q+ q2 (万元).要使平均成本最 10少,应生产多少件产品?答案：3、 解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：C（X）=100+0.25X2+6Xc(X)=100 +0.25X+6,,C? (X)=0.5X+6 X100+0.25×10+6=18.5 10所以,C(10)=100+0.25×102+6×10=185 c(10)=C?(10)=0.5×10+6=11100(2)令C'=－+0.25=0,得X=20(X=－20舍去) X2因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小.4、 解：（1）成本函数C（q）=60q+2000因为q=1000－10p,即p=100－1q 1011q)q=100q－ q210101（2）因为利润函数L(q)=R(q) －C(q)=(100q－ q2－(60q+2000) 101
=40q－ q2－2000 1012且L'(q)=(40q－ q－2000)’=40－0.2q 10所以收入函数R（q）=p×q=(100－令L'(q)=0, 即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点. 所以,q=200是利润函数L（q）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。5、 解：（1）C（p）=q=00－4p)=0pR(p)=pq=p(2000－4p)=2000p－4p2利润函数L（p）=R(p) －C(p)=2400P－4p2－250000,且令L'(p)=得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。（2）最大利润L(300)=－400×=110000(元)4、解：（1）由已知R=qp=q(14－0.04q)=14q－0.01q2利润函数L=R－C=14q－0.01q2－20－40q－0.01 q2=10q－20－0.02q2则L'=100－0.04q,令L'=10－0.04q=0，解出唯一驻点q=250因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大。（2）最大利润为L（250）=100×250－20－0.02×－20－（元）5、解：因为C(q)= C(q)q+36+(q>0) qq)’=0.5- qq2 C'(q)=(0.5q+36+令C'(q)=0 ，即0.5－9800=0，q1=140,q2=－140得
（舍去）。 q2q1=140是C'(q)在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值。 所以q1=140是平均成本函数C(q)的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量成为140件，此时的平均成本为C(140)=0.5×140+36+(元/件) 1406、解：（1）因为C(q)= C(q)250q=+20+ qq0qq+）’=－+ 10qq210C'(q)=（令C'(q)=0， 即－2501+=0，得q1=50，q2=－50（舍去）。 q210q1=50是C(q)其定义域内的唯一驻点。 所以，q1=50是C(q)最小值点，即要使平均成最小，应生产50件产品。
范文三：《微积分初步》解应用题的辅导一．本课程考核的应用主要是导数的应用，求最值。题型以几何应用为主。
求最值问题的解题步骤：（1）列出目标函数；（2）对目标函数求导，令目标函数的导数等于0，求出驻点；（3）若驻点唯一，再判定该驻点为极值点；（4）在驻点唯一的情况下，极大（小）值点即为最大（小）值点，得出结论，回答问题。二．典型例题例1．设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。分析：本题是要求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大，设矩形的边长分别为（厘米），且以边长为 的边为轴旋转一周得圆柱体，则该圆柱体的体积为　　再由已知条件，，即，代入即得圆柱体的体积为所以我们的问题就是求 为多少时，可使取得最大值。解：设矩形的边长分别为（厘米），则有若矩形以边长为 的边为轴旋转一周得圆柱体，则圆柱体的体积为。求导得令得 舍去），说明是极大值点，故当 厘米并以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。例2欲用围墙围成面积为216平方米的一个矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？分析：这是一个求用料最省的问题。用料最省实际上就是所建的围墙长度最短，当然是在围墙围成面积为216平方米的约束条件下，所要建的围墙如图，设土地一边长为，另一边长为，所建的围墙长度为，由约束条件 ，于是这样此题就转化为求边长为为多少时，函数的最小值问题。解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为于是令得到唯一驻点（舍去）因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省。例3某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分别为与时，用料最省．例4欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知令，解得是惟一驻点，易知是函数的极小值点，此时有，所以当，时用料最省．例5用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有所以令，得，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小.
此时的费用为
范文四：《微积分初步》应用题上镜率：2011年7月，2010年7月，2007年7月1、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边边长为x，高为h 108 x2108432表面积y?x2?4xh?x2?4x2?x2? xx432
y??2x?2 x因为x2h?108，所以有h?令y??0得x?6（唯一驻点） 由实际问题知，当底边长为6，高为108?3时，用料最省。 26432???2?x?432x?2x?432x?2x?【分析，（1）其中?x? ?????2xx??（2）y??2x?432432有 ?02x?x2x2两边同乘以x2得到2x3?432两边同除以2得到x3?432?216?63 2所以解得x?6（3）应用结论：实际问题中一定存在最值，唯一的驻点是极大（小）值点，也一定是最大（小）值点。（4）如果此题中的108换成其他数字如32，同理可做
】上镜率：2011年1月， 2009年1月2、欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边边长为x，高为h 32 x232128表面积y?x2?4xh?x2?4x2?x2? xx128
y??2x?2 x因为x2h?32，所以有h?令y??0得x?4（唯一驻点）由实际问题知，当底边长为4，高为108?2时，用料最省。 26上镜率：2011年1月， 2008年7月3、用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接 费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，则有高h?表面积 y?x2?4xh?x2?所以y??2x?4 x216 x16 2x令y??0得x?2（唯一驻点）有实际问题知，当底边长为2，高为1时表面积最小，费用最低此时最低费用为y?2??10?40?160（元）。上镜率：2008年1月4、设矩形周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体，试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形一边为x，则另一边旋转轴为120?2x?60?x 2圆柱体体积为y??x2?60?x???60x2?x32所以y???120x?3x ????令y??0得x?0（舍），x?40（唯一驻点）由实际问题知，当矩形一边为40，一边为20，且短边为旋转轴时圆柱体体积最大。上镜率：2007年1月5、欲用围墙围成面积为216立方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边为x，另一边为216， x2216432用料及长度为y?3x?2 ?3x?xx432y??3?2 x令y??0得x??12（舍），x?12（唯一驻点）由实际问题知，当土地一边为12，另一边为18时，用料最省
范文五：微积《初步》分应用解的题导辅一．本课考程核的应用要主导数是的应，求用值。题型以最何应用几主为求最。值题问的题步解骤：（　）1出目列函标数；（2）对目函数求导标，令目函标的导数数于0等，出驻求；点（3）　驻点唯一，若再判该定驻为极点值点；4）在（点唯一驻情况下，极大（小）值点即为最大的（）值点小得出结论，，回答问题。二．典型　例题1例设矩形的．长为周12厘米0以矩形的，一边为轴旋一转得一周圆体。试求矩柱的边长形多为时少才，能使圆柱的体体最积大。析分：本是题要求矩形的边为多少长时，能才圆柱体使的体积最，设矩形的边长分大为别厘（）米，以边且为长 的为轴边转一旋周得圆体，则该圆柱体的柱体为积再由已　条件，知即，代入，得即　　圆体柱的体为积所以们的问题我是就求为多 时，少可取使最得值大。解：设形矩边的分别为（厘米），长则有矩形若以长为 的边为边旋转一轴得周圆柱，则体柱圆的体积体为。求得导令　 舍得）去，说明是极值点大，故当 厘米并以矩短形为旋边轴转可时使圆柱的体积最。大例欲2用墙围成面积围为126方平的米个一矩形土地的，在正并中一堵用墙其将成两块，隔问块这地的长和宽选取多大土寸尺，能使所才建用筑材料省最？分析：　这一个求是料最用的省问题。用最料省实上际就是建所围的墙长最短，度当是在围墙然围成积面216平为米的方约条件下，束所要的建围如墙，图土地设边一长为另一边，为长所建，围墙的长度，为约由束件条 ，是于样此这就转题化求边为为长多为时，少函的数最值问小题。解　：土地设一长边，另一边长为，共为材料为用于是令到唯得一点驻（去舍 ）为因本题问存在最小值且函数，驻的点一唯，所以当土地一，边为长另，边长为18一时所，材料用省最。3某例制厂罐生要一种体积为V产有盖的圆柱容器形，问容器底的径半与高各为多时少使用可最料省？：解设容的底半径为，高器，为则其表积为面由得，一唯点驻，由实际问题知可，当可时用料最使，省时，此即当容器底的半与高径别分为与时用，最料省．例欲做4一底个正为形，方积为容23立米方的方长体开口器容，样做怎用法最料省？：设解底边的边为，高为长用材，为，由已料知令解得，惟是驻一点，易知是数的极小值函点，此有时所，以当，时料最省．用5例钢用焊接板一个容积4的为为正底形方的无盖水箱，已知钢每平方板10元，米焊费40接元，水问箱尺寸的如何择选，使可总费低？最最总低费是多？少解：水箱设底的长边为，为，高面表积，为且有所
以，令得，因本问为题在存小值最且函，的驻数唯一，点所，当以水箱的面积时小.
最此的费时为用
范文六：第2章
极限、导数与微分
例20设y?ex?lncosx，求dy．y??ex?解：因为1(?sinx)?ex?tanxcosx所以
dy例21设?(ex?tanx)dxy?esinx?cos5x，求dy．esinxcosx?5cos4xsinx?(esinxcosx?5cos4xsinx)dx解：因为
y??esinx(sinx)??5cos4x(cosx)?
dy例22设y?解：因为所以lnx?e?2x，求dy．x)??2e?2x2e?2xy?dy?
2e?2x)dx例23（设解：y?cosx?ln2x，求dy．1y???sinx?2lnx()x2dy?(lnx?sinx)dxx例24 ()设y?3x?cos5x，求dy． 解： dy?d(3xx?cos5x)?d(3x)?d(cos5x)4=3xln3dx?5sinxcos4例25）设xdx=(3ln3?5sinxcosx)dxy?e?5x?tanx，求y?．?5x )?)?(txy??(ea?n?e?5x(?5x)??解：由导数四则运算法则和导数基本公式得1 1??5e?5x?2cosxcos2x第3章
导数应用例31（设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)?100?0.25q2?6q（万元）,求：（1）当q?10时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q为多少时，平均成本最小？解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， C(q)?100?0.25q2?6q，100C(q)??0.25q?6qC?(q)?0.5q?6．
所以，C(10)?100?0.25?102?6?10?185，C(10)?100?0.25?10?6?18.5， 10?0.25?0（2）令因为qC(q)??C?(10)?0.5?10?6?11．，得q?20（q??20舍去）．
?100q2?20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当q?20时，平均成本最小．例32某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求： （1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？ 解：（1）由已知R?qp?q(14?0.01q)?14q?0.01q2
利润函数 L?R?C?14q?0.01q2?20?4q?0.01q2?10q?20?0.02q2
L??10?0.04q， 令L??10?0.04q?0，解出唯一驻点q?250．因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大．（2）最大利润为L(250)?10?250?20?0.02??（元）12第2章
极限、导数与微分
例20设y?ex?lncosx，求dy．y??ex?解：因为1(?sinx)?ex?tanxcosx所以
dy例21设?(ex?tanx)dxy?esinx?cos5x，求dy．esinxcosx?5cos4xsinx?(esinxcosx?5cos4xsinx)dx解：因为
y??esinx(sinx)??5cos4x(cosx)?
dy例22设y?解：因为所以lnx?e?2x，求dy．x)??2e?2x2e?2xy?dy?
2e?2x)dx例23（设解：y?cosx?ln2x，求dy．1y???sinx?2lnx()x2dy?(lnx?sinx)dxx例24 ()设y?3x?cos5x，求dy． 解： dy?d(3xx?cos5x)?d(3x)?d(cos5x)4=3xln3dx?5sinxcos4例25）设xdx=(3ln3?5sinxcosx)dxy?e?5x?tanx，求y?．?5x )?)?(txy??(ea?n?e?5x(?5x)??解：由导数四则运算法则和导数基本公式得1 1??5e?5x?2cosxcos2x第3章
导数应用例31（设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)?100?0.25q2?6q（万元）,求：（1）当q?10时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q为多少时，平均成本最小？解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， C(q)?100?0.25q2?6q，100C(q)??0.25q?6qC?(q)?0.5q?6．
所以，C(10)?100?0.25?102?6?10?185，C(10)?100?0.25?10?6?18.5， 10?0.25?0（2）令因为qC(q)??C?(10)?0.5?10?6?11．，得q?20（q??20舍去）．
?100q2?20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当q?20时，平均成本最小．例32某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求： （1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？ 解：（1）由已知R?qp?q(14?0.01q)?14q?0.01q2
利润函数 L?R?C?14q?0.01q2?20?4q?0.01q2?10q?20?0.02q2
L??10?0.04q， 令L??10?0.04q?0，解出唯一驻点q?250．因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大．（2）最大利润为L(250)?10?250?20?0.02??（元）12
范文七：微积分论文微积分学是微分学和积分学的总称。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具. 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为《九间算术》作注时提出了 “ 割圆术 ” ，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。
积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家要基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是 “ 有限 ” 开工的穷竭法。但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。 微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各自独立创立了微积分。 1605 年 5 月 20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有 “ 流数术 ” 的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 1676 年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。牛顿于 1642 年出生于一个贫穷的农民家庭，艰苦的成长环境造就了人类历史上的一位伟大的科学天才，他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。尽管取得无数成就，他仍保持谦逊的美德。 如果说牛顿从力学导致 “ 流数术 ” ，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。他的第一篇论文刊登于 1684 年的《都市期刊》上，这比牛顿公开发表微积分著作早 3 年，这篇文章给一阶微分以明确的定义。莱布尼茨 1646 年生于莱比锡。 15 岁进入莱比锡大学攻读法律，勤奋地学习各门科学，不到 20 岁就熟练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学知识。莱布尼茨对数学有超人的直觉，并且对于设计符号很第三。他的微积分符号 “dx\" 和 ”∫” 已被证明是很发用的。 牛顿和莱布尼茨总结了前人的工作，经过各自独立的研究，掌握了微分法和积分法，并洞悉了二者之间的联系。因而将他们两人并列为微积分的创始人是完全正确的，尽管牛顿的研究比莱布尼茨早 10 年，但论文的发表要晚 3 年，由于彼此都是独立发现的，曾经长期争论谁是最早的发明者就毫无意义。牛顿和莱尼茨的晚年就是在这场不幸的争论中度过的。由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景.到了17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作.笛卡尔1637年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系。此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立着的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。不幸的是牛顿和莱布尼茨各自创立了微积分之后，历史上发生了优先权的争论，从而使数学家分为两派，欧洲大陆数学家两派，欧洲大陆的数学家，尤其是瑞士数学家雅科布?贝努利（）和约翰?贝努利（）兄弟支持莱布尼茨，而英国数学家捍卫牛顿，两派争吵激烈，甚至尖锐到互相敌对、嘲笑。牛顿死后，经过调查核实，事实上，他们各自独立地创立了微积分。这件事的结果致使英国和欧洲大陆的数学家停止了思想交流，使英国人在数学上落后了一百多年，因为牛顿在《自然哲学的数学原理》中使用的是几何方法，英国人差不多在一百多年中照旧使用几何工具，而大陆的数学家继续使用莱布尼茨的分析方法，并使微积分更加完善，在这100年中英国甚至连大陆通用的微积分都不认识。虽然如此，科学家对待科学谨慎和刻苦的精神还是值得我们学习的。总之，微积分在数学史方面作为一个专题出现在了课本中,我觉得这是一个很值得庆兴的一件事,因为我发现微积分的学习对学生来讲本来就是枯燥的学习，所以在某些方面来说它可以激发学生兴趣，启发学生的思维，增强学生的爱国情操，活跃课堂气氛，增进师生间的共同了解，也让学生了解数学，了解数学的美.......所以我们把数学微积分的一些辉煌的成就和一些感人的事例，以一种精神的力量融入到我们的教学中，会使我们的数学课变得非常的丰富。
范文八：如何学好微积分初等数学和高等数学的不同。初等数学主要研究离散的量，而高等数学则是连续的量。正因为如此，高等数学才很难学习。在此，而高等数学中微积分是其他数学知识的基础，故结合诸多高校学习微积分以及我本人亲身学习，在此浅谈下微积分学习的方法。首先我们应该肯定微积分的伟大，微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。它的出现并不偶然，它有一个漫长的成长过程。早在古希腊时代，阿基米德等人的著作就已含有积分学的萌芽。以后经过一千多年的沉寂，欧洲在文艺复兴以后对阿基米德的学说重新掀起研究的热潮，涌现出许多先驱者。而微积分真正的确立是在17世纪，从笛卡儿的解析几何开始，接着是微积分的创建，它将数学的历史带入一个新的时期——变量数学时期。欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分在数学发展史上可以认为是一个伟大的成就，由于微积分的创立不仅解决了当时的一些重要的科学问题，而且由此产生了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等。微积分解决了一些重要问题：①求瞬时速度②求曲线的切线③求函数的最值④求曲线长。这些问题对天文学、物理学等学科的发展有重要的促进作用。因为它的重要也赋予了其难学的特性，是大一理科学子头疼的主要数学问题。预习十分重要。预习并不是自学，而是浏览式地看书，找到书中的重点难点，以便“集中式的听课”。 如果时间不多，你可以浏览一下教师将要将要讲的主要内容，获得一个大概的印象，这可以在一定程度上帮助你在课堂上跟上教师的思路，如果时间比较充裕，除了浏览之外，还可以进一步细致地阅读部分内容，并且准备好问题，看一下自己的理解与教师讲解的有什么区别，有哪些问题需要与教师讨论。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。不要急于做题，而要先对教材进行深入的思考。做题时不要轻易去翻答案，而是应该反复思考、与同学讨论。一道题做不出来，比做出来的收获大。学习的信心也十分重要。提高信心，培养良好的心理素质，勇于克服各种困难；不要因为一时的没有兴趣而放弃，兴趣不是与生俱来的，而是靠后天慢慢培养的。良好的学习传统，刻苦勤奋，实现自己人生的辉煌，这才是当代大学生应有的素质。上课要就预习中的难点重点集中听讲，针对重点难点可向老师直接提问，在大学的课堂上老师更期望学生能“打断”他的讲课，老师更希望与学生好好交流探讨课堂知识，课堂上提问既能得到老师特别的讲解也能就题论题。课堂上要勇于发问。上课时，如果你有任何疑问，应该立即发问。因为你的问题，有可能正好就是其他同学不敢问的问题；也有可能是在座所有的人(包括老师)都还没考虑到的问题。课堂上发问，不仅能对自己也是对全班同学的莫大帮助。一个活泼生动的学习环境，不单是只靠老师来营造，也需要同学们的参与，老师们都很希望也很重视同学们在课堂上能够有更主动的表现。相信这样互动的学习过程，一定能让你在学习微积分上有更多的收获。微积分学习中会遇到许多积分公式，记住并熟练的运用一些积分公式可减缩做题时间并对今后的学习有很大的帮助作用，而积分公式多而又繁琐，需要特别的记忆。多次推导公式提高对公式的理解，这也是变相的熟练运用其他公式，数学学习中公式的推导需要其他公式的辅助，基本积分公式对复杂的积分公式具有很大的推导作用微积分的学习必须先通过大量的习题锻炼手感。初学者做微积分习题，一是要多“练”，吉米多维奇习题集是不错的选择，此习题集中了诸多类型的积分习题，从中可看到积分习题中的所有类型，并且有详细的解析过程，是不可或缺的习题集。《微积分学教程》（菲赫金哥尔茨著），第一卷两本，第二、三卷各三本，共八本。例如，定积分sin x / x（方波在频域里形式）是如何计算出来的，给出了好几种经典、历史的方法。二是要多“看”（看有一定技巧性的题解，从中学习做题方法）。从习题中看门道，看解题方法，并总结归纳 。学数学唯一的好方法是由「做」中学。由于解题时，你必须把学过的理论再重新思考过一次，这个过程会让你学到如何从不同的角度来看这些理论，也会帮助你发现先前所忽略的东西。所以，尽可能多试着先由自己来解题。和其他同学或老师一起讨论课程内容。每个人都有自己习惯的看事情方式，往往一不小心就会落入盲点而不自知。所以，即便你认为你已经了解课程内容，建议你还是应该多和其他同学或是老师共同讨论；这样一来，你才能察觉你忽略的小细节，或者一些你根本没有考虑到的层面。学习后的复习是不可或缺的，复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某个定理的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，不清楚之处再对照教材或笔记。另外，复习时的思路不应当教师讲课或者教科书的翻版，一个可供参考的方法是采用倒叙式。从定理的结论倒推，为了得到定理的结论，是怎样进行推理的，定理的条件用在何处。这样倒臵思维方式，更加接近这个定理的发现的思路，是一种创造性的思维活动。如何复习概念？首先对于重要的定义，要大家能够用自己的语言正确地进行复述。这是理解和应用它们的前提条件。其次，尽可能用具体形象的例子解释或者表现抽象概念，你能举出越多的实际例子说明某个概念，那么你对这个概念的理解就越加生动和深入。学习微积分后需要运用到后面的定积分和不定积分中，真正的做到学以致用。学习时我们要考虑学到“面面俱到”学后好明白为什么要学好微积分，对我们的意义是什么？数学训练逻辑思考！逻辑思考的能力不管它是不是与生俱有的，但很确定的一点是，它是可以被训练的，方法之一就是透过学习数学。数学解题会教你如何接近问题、学到如何抽丝剥茧地看出问题的关键、问出适切的问题、从不同的角度来思考问题等等。逻辑思考的能力比数学有用太多，例如它对学新的语言、组织与计画等也很有帮助。总而言之，每位学生都应该而且可以为微积分找到学习动机。你不必认同“微积分是人类最伟大的成就之一，这个理论之美让人目眩神迷”但至少把微积分看作是掌握学科的重要工具，而且是教你学习如何有系统地进攻与解决问题的重要理论。
范文九：有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）?a0?b0????0?????n?mn?m
（系数不为0的情况） n?m一、lima0x?a1xb0x?b1xmnn?1m?1???an???bmx??二、重要公式（1）lim（4）limn??sinxxx?0?1
（2）lim?1?x?x?e
（3）limx?01n??a?o)?1?1
（5）limarctanx?x???2（6）limarctanx??x????2（7）limarccotx?0
（8）limarccotx??
（9）lime?0x??x???xx???（10）lime??
（11）lim?x?1x???x?0xx三、下列常用等价无穷小关系（x?0）sinx?x
1?coxs?12x2?ln?1?x??x
?1?x??1??x四、导数的四则运算法则??v?u?v???u??v?
?uv???u?u?v?u?v?u??u v
??? 2vv??五、基本导数公式???1⑴?c???0
⑶?sinx???cosx⑷?cosx????sinx
⑸?tanx???secx
⑹?cotx????cscx22⑺?secx???secx?tanx
⑻?cscx????cscx?cotx ⑼?ex???ex⑽?ax???axlna
⑾?lnx???1x⑿?logax???1xlna1⒀?arcsinx???11?x2⒁?arccosx????⒂?arctanx???1?x2⒃?arccotx????⒄?x???1⒅??n???1六、高阶导数的运算法则 （1）??u?x??v?x???（3）??u?ax?b???七、基本初等函数的n阶导数公式 （1）?xn??n??n??u?x?n?n??v?x??n?（2）??cu?x????n??cun?n??x??n??au?n??ax?b?
（4）??u?x??v?x?????ck?0knu?n?k??x?v(k)?x??n!
（2）?e?n?ax?b??n??a?enax?b(3)?ax??n??alnaxn(4)??sin?ax?b??????n?asin?ax?b?n??2??(5) ??cos?ax?b????1?(6)???ax?b??n??n????n?acos?ax?b?n??2??n???1?a?n!n?ax?b?n?1(7) ??ln?ax?b????n????1?n?1a??n?1?!n?ax?b?n八、微分公式与微分运算法则⑴d?c??0
⑵d?x????x??1dx
⑶d?sinx??cosxdx ⑷d?cosx???sinxdx
⑸d?tanx??secxdx
⑹d?cotx???cscxdx22⑺d?secx??secx?tanxdx
⑻d?cscx???cscx?cotxdx ⑼d?ex??exdx
⑽d?ax??axlnadx
⑾d?lnx??⑿d?logax1xdx??1xlna1dx
⒀d?arcsinx??⒁d?arccosx???11?x2⒂d?arctanx??1?x2dx
⒃d?arccotx???dx九、微分运算法则⑴d?u?v??du?dv
⑵d?cu??cdu⑶d?uv??vdu?udv
⑷d?十、基本积分公式⑴?kdx?kx?c
⑵?xdx?ax?u?vdu?udv??2v?v??x??1??1?c
⑶?dxx?lnx?c⑷?adx?xlnaxx?c
⑸?edx?e?c
⑹?cosxdx?sinx?c⑺?sinxdx??cosx?c
⑻?⑼?⑾?1sinx21cosx11?x22dx??secxdx?tanx?c2??cscxdx??cotx?c
⑽??arcsinx?c2dx?arctanx?c十一、下列常用凑微分公式十二、补充下面几个积分公式cxo?t c?tanxdx??lncosx?c?c?cotxdx??cscxdx?12lnsix?nlncsx?c?secxdx?lnsecx?tanx?a12?x2dx?1aarctanxa?c?x??a2dx?12alnx?ax?a?c?dx?arcsinxa?c?lnx??c十三、分部积分法公式⑴形如?xneaxdx，令u?xn，dv?eaxdx 形如?xnsinxdx令u?xn，dv?sinxdx 形如?xncosxdx令u?xn，dv?cosxdx
⑵形如?xnarctanxdx，令u?arctanx，dv?xndx 形如?xnlnxdx，令u?lnx，dv?xndx⑶形如?eaxsinxdx，?eaxcosxdx令u?eax,sinx,cosx均可。十四、第二换元积分法中的三角换元公式x?asint(2)x?atantx?asect【特殊角的三角函数值】
（1）sin0?0
（2）sin?6?12（3）sin?3?212（4）sin?2?1）
（5）sin??0（1）cos0?1
（2）cos?6?23（3）cos?3? （4）cos?2?0）
（5）cos???1（1）tan0?0
（2）tan?6?tan （3）?3?（4）tan?2tan??0 不存在
（5）（1）cot0不存在 （2）cot在?6?（3）cot?3?3（4）cot?2?0（5）cot?不存十五、三角函数公式1.两角和公式sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB
sinA(?B?)cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB
cosA(?B?)tan(A?B)?cot(A?B)?tanA?tanB1?tanAtanBcotB?cotAsiAncoAstanA?1?tanAcotB?cBo?scBo?staBncAos BAsin BtanA(?B?)taBncoAt1cotA?cotB?1cotA(?B?)cotA?coBt?2.二倍角公式sin2A?2sinAcosA
cosA2?tan2A?2tanA1?tanA2coAs?22siAn??122Asi?n2os2Ac?13.半角公式sinA2A2?Aco?2sinAtan??Aco?1?cosA2?siAn?1cAos4.和差化积公式sina?sinb?2sina?b22?cosa?b22a?
cossibn?cobs??a?b2?2a?b2?2a?b 2a?b 2cosa?cosb?2cosa?b?cosa?btana?tanb?sin?a?b?cosa?cosb5.积化和差公式sinasinb??sinacobs?1212????cos?a?b??cos?a?b???s?ian??b?cosacosb?sibn?1212??cos?a?b??cos?a?b???
??s?ian??b??sian???b
cosa??sian???b ?6.万能公式2tansina?1?tana21?tana22atana?a2cosa?1?tan2a2ta1?tan2a27.平方关系sinx?cosx?1
secx?tanx?1
cscx?cotx?12222228.倒数关系tanx?cotx?1
secx?coxs?
cscx9.商数关系tanx?sinxcosxcotx?cosxsinx十六、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：dydydx?f?x?g?y? ， f1?x?g1?y?dx?f2?x?g2?y?dy?02.齐次微分方程：?y??f?? dx?x?dydx?p?x?y?Q?x?
解为：3.一阶线性非齐次微分方程：?p?x?dx??p?x?dxdx?c? y?e?Qxe???????
范文十：微积分入门一.微商（导数）1.用来分析变化的工具
2.斜率=dy/dx3.极限：一个值无限接近另一个值的状态。表示：lim(x→0)f(x)=b
4.正向接近（+∞）与负向接近（-∞）。当从两侧接近的结果不同时，不存在极限5.极限的模式：?lim(x→a)f(x) 不存在（如lim(x→a)1/x)
?lim(x→a)f(x)存在，但不
是f(a)(如lim(x→1)（x^2-3*x+2)/(x-1))
?lim(x→a)f(x)存在，是f(a).
6.求导公式：lim(h→0)( f(x+h) -f(x))/h 二．导函数1对f(x)求导得到的导函数也是函数。f ’(x)=lim(h→0)( f(x+h) -f(x))/h=lim(dx→0)dy/dx
2.导数表示的两种方式:A.如上
B.(莱布尼茨法）dy/dx
F’’(x)=(d/dx)*(d/dx)*y
3.求导基本公式：?p=C
p’=0(p为常数）?(px)’=p
?{f(x)+g(x)}’=f’(x)+g’(x)
4.常用求导公式：?（x^n)’=lim(h→0)((x+h) ^n-x^n)/h=n*x^(n-1)
?{f(x)*g(x)}’=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x)
y’= y=cosx
y’=1/x⑤{f(x)/g(x)}’=(f ‘(x)*g(x)-f(x）*g’(x))/g^2(x)
5.y=f(x)的一阶微商f’(x)=dy/dx=lim(dx→0)(f(x+dx)-f(x))/dx
二阶微商f’’(x)=df ‘(x)/dx?d^2*y/d*x^2
n阶微商?f(n)（x)=df?(n?1)(x)/dx=d^n*y/d*x^n??vx=dx/dt= ax=dvx/dt=v=d^2x/dt^2=x 三．求导规则和公式
df?1?1(x)是y=f(x)的反函数，由x和y的互反关系，易得(x)/dx=dy/df(y）=1/（df(y）/dy)=1/f ‘(y)2.如果y=f(u),u=g(x），则复合函数y=f(g(x))的导数为
dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=f ‘(u)*g’(x)3.如果y与x的函数关系由参数方程y=y(t),x=x(t)给出，则有：
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y/x4.对于两个函数u(x),v(x)的和与差的导数，则由d(u+&-v)=du+&-dv得
的d[u(x)+&-v(x)] / dx=du(x)/d(x)+&-dv(x)/d(x)5.对于两个函数u(x),v(x)的积的导数，则由d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu得
d[u(x)v(x)]/dx=u(x)dv(x)/dx+v(x)/dx=u(x)v ‘(x)+v(x)u ‘(x) 四．导函数的基本性质1.[af(x)] ‘ =af ‘(x)
2.[f(x)+g(x)] ’ =f ‘(x)+g’(x)1&2?[af(x)+bg(x)] ’ =af ‘(x)+bg ‘(x)
(a,b为常数）
3.[f(x)*g(x)] ‘=f ‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)??函数积求导的方法推导：[f(x)*g(x)] ‘=f ‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)
?推导：[f(x)*g(x)] ‘=lim(h→0)[{f(x+h)g(x+h)}-{f(x)g(x)}]/h
=lim(h→0)[{f(x+h)-f(x)}*g(x+h)+f(x)*{g(x+h)-g(x)}] /h
=f ‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)4.[(x+b)^n]’=n(x+b)^(n-1)
5.[(ax+b)^n]’=an(ax+b)^(n-1) 五.二项式定理（展开(x+h)^n)
1.(x+h)^n=x+C1nxnn?1nxh+C2n?2nh2+.......+Cnhn?.nCk表示“从n个数中挑选k个数的组合数”（有几种组合方式）如 nC1=n.
2.(x+h)^1=x+h
1(x+h)^2=x^2+2xh+h^2
(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3 →
(x+h)^4=x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4→ 1
1（系数）杨辉三角
3.(x?1)?=?(?!/(k!(x?k)!)xk?(1?x)?1=1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+......11/2(1/2?1)1/2==1+x+x^2+...... ?x(1?x)?21*2系数?(??1)...(??k?1)1*2...k函数x的导数：(x?o)??x???x??1o?...??x?/?x??x??1?...（最初比）
令o=0,得最末比（流数）?导数?x??1 & 反流数（1/?+1）x六．使用导数绘制图形例1：绘制y=2x^3+3x^2-12x+6的图像
y ’ =6x^2+6x-12=0X1=-2 →ymax=26
x2=1 →ymin=-1??1?要点：?求导找到极值点
?求极值点间的增减趋势例1图例2：判断曲线凹凸的方法→求二次微分f ’’(x)的正负
下凸→切线斜率增大→f ‘(x)为增函数→f ‘’(x)>0
上凸→切线斜率减小→f ‘(x)为减函数→f ‘’(x)增加上凸
增加下凸例2图由上凸→下凸拐点坐标（0 , 0）拐点处切线:y= - 3xf(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f ’(x)=3ax^2+2bx+c
七．积分（面积）与导数（斜率）的关系
1.积分是导数的逆向运算，即f(x)=(d/dx)
导数(x^n)’=?
积分（?)’=nx^(n-1)?xf(t)dt(关于t求f(t)积分）?为积分符号（Summation合计)22.对f(x)求不定积分得到的函数为原函数，如xdx=(1/3)x^3+C(C为积分常数）?求导函数（导数算式）+初始条件（信息）? 基础函数（原函数）
3.??af(x)?bg(x)?dx?a?f(x)dx?b?g(x)dx?aF(x)?bG(x)??af(x)?bg(x)?dx?a?f(x)dx?b?g(x)dx?aF(x)?bG(x)证明：设F’(x)=f(x) , G’(x)=g(x)[aF(x)+bG(x)] ’=aF’(x)+bG’(x)=af(x)+bg(x)?32(ax?bx?cx?d)dx
例：?32=axdx?bxdx?cxdx?ddx????=(a/4)x^4+(b/3)x^3+(c/2)x^2+dx+K(K为积分常数）
4.不定积分的原函数有无数个证明：F(x)和G(x)均为f(x)的不定积分F’(x)=f(x)
g’(x)=f(x)?(F(x)-G(x))’=F’(x)-G’(x)=0?F(x)-G(x)=C 八．1.定积分?babf(x)dx?F(x)?F(b)?F(a)（从a到b )a?.?.定积分的结果不是函数，而是常数??x与dx的最大区别在于是否引入了极限的概念
2.定积分的性质
④???f(x)??g(x)?dx???abbaf(x)dx???g(x)dxab?aabf(x)dx?0
f(x)dx???f(x)ba?a?bacbcbbf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??F(x)??F(x)??F(c)?F(a)???F(b)?F(c)??F(x)acacann?1⑤(ax?b)dx?(1/a(n?1))(ax?b)?C?3.常用初等函数积分公式nn?1?xdx?(1/n?1)x?C(n??1)??sinxdx??cosx?C
?cosxdx?sinx?Cxx④edx?e?C???⑤(dx/x)?Inx?C 九．?lim(n→0)长方形1+长方形2+...+长方形n
=lim(n→0)宽*（长1+长2+...+长n）=lim(n→0)宽*?长(n)=lim(n→0)((b-a)/n){f(x1)+f(x2)+...+f(xn)} 1..S1S1=lim(n→0)((b-a)/n)S2?f(xk?0n?1k)
S2=lim(n→0)((b-a)/n)?f(xk)k?1n如果长方形宽无限缩小，那么S1?S2?f(k)?f(a)?f(a?1)?...?f(b)k?a2(k/n)(1/n)?(1/n^3)lim(n?0)k??2k?0k?0n?1n-1b2.例：求函数f(x)=x^2在[0 ，1]之间，函数图象与x轴围成的图形面积
S=lim(n→0)=lim(n→0)(1/n^3)((n-1)n(2n-1)/6)=lim(n→0)(1/6)(1-1/n)(2-1/n)=1/3
公式：?k2?k?0n?1(n?1)n(2n?1)
f(xk)=f(a+k(b-a)/n)=(k/n)^26十．定积分的推导S?lim(?x?0)?f(xk)?xk?0n?1?f(x)?lim(?x?0)F(x??x)?F(x)?xS=lim(?x→0)[(F(xn)-F(xn-1))+(F(xn-1)-F(xn-2))+...+(F(x1)-F(xo))] =F(b)-F(a) =F(xn)-F(x0)?S=S(x+?x)-S(x) & ?S=f(x)?x?S’(x)=f(x) 对S(x),由S’(x)=f(x)得：S(x)=?f(x)dx=F(x)+C当x=a时：S(a)=0
S(a)=F(a)+C=0
S(x)=F(x)-F(a) 当x=b时:S=F(b)-F(a)面积函数：F(x)=?f(t)dt?x微积分的基本定理：f(x)=(d/dx)?f(t)dtx证明：设f(x)和其产生面积S(x)
dS(x)=f(x)dx
?(d/dx)S(x)?f(x)
??xf(t)dtdxf(t)dt?f(x) ?0dx十一．积分所求面积为负：?f(x)值为负
?积分方向相反（F(x)与F(x)）
例1：若f(x)=(x-1)(x+1),求函数y=f(x)与x轴围成的部分面积baab?1?1(x?1)(x?1)dx（负）→??f(x)dx?11S??F(x)141?(?x3?x)?
?1?1331例2：求y=(x-1)(x-2)(x-3)和x轴围成的图形面积
S??(x?1)(x?2)(x?3)dx???(x?1)(x?2)(x?3)dx1223=1/4+1/4=1/2十二．1. 二次函数图象与x轴所围面积公式（y?(x??)(x??))
S???f(x)dx?????x??2?(???)x???dx?=??x3??(???)?x2?????x??3???2???1?1??????=1(???)3?1(???)?2?2????266??2. S????f(x)?g(x)?dx?2例：求f(x)=x^2, g(x)= - x^2+2x+4所围成的图形面积22S??(x?(?x?2x?4))dx?9 ??1??十三．1.换元积分若x=g(u) , 则dx=g ‘(u)du ,则
2.分步积分由d(uv)=udv+vdu可得：udv?uv?vdu?f(x)dx??f(g(u))g'(u)du??十四.1.微商在函数逼近中的应用：泰勒级数和小量展开在x=xo附近可以把函数y=f(x)展开为泰勒级数f(x)??1(n)1f(xo)(x?xo)n?f(xo)?f'(xo)(x?xo)?f''(xo)(x?xo)2?...2!n?0n!?(1?x)n?1?nx?n(n?1)2!x2?...
(x133!?...
cosx?1?2!?...tanx?x?3!x?...
ex?1?x?122!x?...(x?F=ma→F?md2xdt2(位移二次求导得a）g?md2
?mxdxdt2(加速度）
→(关于t求积分） mdt（速度）?mgt?C?mgt
mx(位移）=(1/2)mgt^2+D设t=0时，x=0, 则：mx=(1/2)mgt^2
→ x=(1/2)gt^2
?以初速度Vo将球斜向上抛出水平方向（x）:
x=vxt?D?vxt
x?v1xt?y??2gt2?v?1xxyt?y?2g(v)2?vy(v) xx
=?12ax2?bx(运行轨迹）
vdx?x?dt?xadvxx?dt?v?d2x??x?dt2?x