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尔雅通识课答案数学大观(2016)
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空间曲线及其在坐标面上的投影
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空间曲线及其在坐标面上的投影
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经典的微积分习题库
习题 1―21．确定下列函数的定义域： 1 （1） y ? ； 2 x ?9 （4） y ? 3 2．求函数? 1 ?sin y?? x ? 0 ? ( x ? 0) ( x ? 0)（2） y ? loga arcsin x ；（3） y ?2 ； sin?x
1 x ?1 ? loga (2 x ? 3) ； （5） y ? arccos ? loga (4 ? x 2 ) x?2 2的定义域和值域。 3．下列各题中，函数 f (x) 和 g (x) 是否相同？ （1） f ( x) ? x, g ( x) ? x2 ；x2 ? 1 , g ( x) ? x ? 1 ； x ?1 4．设 f ( x) ? sin x 证明：（2） f ( x) ? cos x, g ( x) ? 1 ? 2 sin2 （4） f ( x) ??2；（3） f ( x ) ?x , g ( x) ? x 0 。 xf ( x ? ?x) ? f ( x) ? 2 sin?x?x ? ? cos? x ? ? 2 2 ? ?5．设 f ( x) ? ax2 ? bx ? 5 且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 8 x ? 3 ，试确定 a, b 的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？ 1 ? x2 （1） y ? x 2 (1 ? x 2 ) （2） y ? 3x 2 ? x3 ； （3） y ? ； 1 ? x2 a x ? a?x （4） y ? x( x ? 1)( x ? 1) ； （5） y ? sin x ? cos x ? 1 （6） y ? 。 2 7．设 f (x) 为定义在 (??, ? ?) 上的任意函数，证明： （1） F1 ( x) ? f ( x) ? f (? x) 偶函数； （2） F2 ( x) ? f ( x) ? f (? x) 为奇函数。 8．证明：定义在 (??, ? ?) 上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9． f (x) 定义在 (? L, L) 上的奇函数， f (x) 在 (0, L ) 上单增， 设 若 证明： f (x) 在 (? L, 0) 上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1） y ? cos(x ? 2) （2） y ? cos 4 x ； （3） y ? 1? sin?x ； （4） y ? x cos x ； （5） y ? sin2 x （6） y ? sin 3x ? tan x 。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并 指出其定义域。 （1） y ? x3 , x ? sin t （2） y ? au , u ? x 2 ； （3） y ? loga u, u ? 3x 2 ? 2 ； （6） y ? loga u, u ? x2 ? 2 。2（4） y ? u , u ? sin x ? 2 （5） y ? u , u ? x3 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1） y ? 3 (1 ? x) 2 ? 1 （2） y ? 3( x ?1) ；1（3） y ? sin 2 (3x ? 1) 13．求下列函数的反函数： （1） y ? 2 sin x ；（4） y ? 3 loga cos2 x 。 （2） y ? 1 ? loga ( x ? 2) ； （3） y ?2x 。 2x ? 1习题 1―31．利用数列极限定义证明：如果 lim un ? A ，则 lim | un |?| A | ，并举例说明反之不然。n ?? n ??习题 1―4? x 2 ( x ? 1) 1．设 f ( x) ? ? ? x ? 1 ( x ? 1) （1）作函数 y ? f (x) 的图形； （2）根据图形求极限 lim f ( x ) 与 lim f ( x ) ； ? ?x ?1 x ?1（3）当 x ? 1 时， f (x) 有极限吗？ 2．求下列函数极限： x x （1） lim ； （2） lim? 2 ； ? x?0 x ? | x | x ?0 | x | 3．下列极限是否存在？为什么？ （1） lim sin x ；x ? ??（3） lim?x?0x 。 x ?|x|2（2） lim arctan x ；x ??1 （3） lim cos ； x ?0 x（6） lim e ? x 。x ? ??（4） lim(1 ? e ? x ) ；x ??（5） limx ?1| x ?1| ； x ?1习题 1―5求下列极限 ? 1 2 n ? 1 1 ? ? 1 ? ； 2. lim? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ； ? ??? 1． lim? x ? ?? n x ? ?? 1 ? 2 2?3 n(n ? 1) ? n n ? ? ? 4． limx2 ? 2x ? 1 ； x ?1 x2 ? 1 x2 ? 5 ； x?2 x ? 33 x ?13. lim 6. lim5. lim( x ? h) 2 ? x 2 ； h?0 hx ?1 。 x ?1习题 1―61．求下列极限： sin ax （1） lim (b ? 0) ； x ?0 sin bx （4） lim （2） lim （5） limtan x ? sin x ； x ?0 x3（3） lim1 ? cos x ； x ?0 x sin xx2 x ? tan x ； x ?0 sin xtarcsin x ； x ?0 xx?3? 2? （6） lim?1 ? ? ； x ??? x?? 1? （7） lim?1 ? ? ； t ? ?? t?? 1? （8） lim ?1 ? ? x ? ?? x?2；（9） lim(1 ? tan x) cot x ；x ?0? x?a? （10） lim? ? ； x ? ?? x ? a ?x? x2 ? 2 ? ? （11） lim ? 2 x ? ?? x ? 1 ? ? ?x 2 ?11 ? ? ； （12） lim ?1 ? 2 ? 。 x ? ?? n ?n2．利用极限存在准则证明： 1 1 ? 1 ? ? 2 ??? 2 （1） lim n? 2 ? ? 1； x ?? ? n ? ? n ? 2? n ? n? ? （2）数列 2 , 2 ? 2 , 2 ? 2 ? 2 ，?的极限存在； （3） limx ? ??x2 ? 1 ?1。 x ?1习题 1―71．当 n 无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？ ( ?1) n 2n ? 1 1? cos n? 1 （1） 2 ； （2） ； （3） ； （4） 。 n ?1 n n n 2．已知函数 1 1 x sin x, 2 , , ln( ? x), e x , e? x 1 x x （1）当 x ? 0 时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （2）当 x ? ?? 时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？ 1 （3） “ 是无穷小” ，这种说法确切吗？ x 3．函数 y ? x cos x 在 (??, ? ?) 是是否有界？又当 x ? ?? 地，这个函数是否为无穷 大？为什么？ 4．求下列极限1 ? a ? a2 ? ? ? an n2 ? n !000n (| ； （2） lim ； （3）lim ； a |? 1, | b |? 1) x ?? 1 ? b ? b2 ? ? ? bn x ?? n ? 2 x ?? n 2 ? 1 x3 (?2) n ? 2 n 4x2 ? 1 （4） lim ； （5） lim ； （6） lim 2 ； n ?1 n ?1 x ? ?1 x ? 1 1 x ? ? (?2) ?3 x ? 6 x ? 5x ? 1（1） lim25．求下列极限： sin x ? ? （1） lim ? e x ? ?； x ? ?? ? x ? （4） lim1 （2） lim x ? cos ； x ?0 x（3） lim?nn ??sin n? ；e? x arctan x ； （5） lim ； x ? ? arctan x x ?? x 6．下列各题的做法是否正确？为什么？2 x 2 ? 9 lim( x ? 9) x ?9 ? ?? （1） lim x ?9 x ? 9 lim( x ? 9) x ?9（6） lim e ? x arctan x 。x ? ??1 1 1 1 （2） lim( ? 2 ) ? lim ? lim 2 ? ??? ? 0 x ?1 x ? 1 x ? 1 x ?1 x ? 1 x ?1 x ? 1 cos x 1 （3） lim ? lim cos x ? lim ? 0 。 x ?? x x ?? x ?? x37．证明：当 x ? 0 时， arcsin x ~ x ， arctan x ~ x 。 8．利用等价无穷小的性质，求下极限： sin 2x sin 2x （1） lim ； （2） lim ； x ?0 sin 3x x ?0 arctan x x sin x n （3） lim （ m, n 为正整数）（4） lim? ； 。 x ? 0 (sin x) m x?0 1 ? cos x 9．当 x ? 1 时， x3 ? 3x ? 2 是 x ? 1 是多少阶无穷小？ x ?1 1 10．当 x ? ?? 时， 4 是 是多少阶无穷小？ x ?1 x 1 1 1 11．当 x ? ? 时， sin 是 是多少阶无穷小？ x x x习题 1―81．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1） f ( x) ?? x 2 (0 ? x ? 1) （2） f ( x) ? ? ； ?2 ? x (1 ? x ? 2)x ； x? x 2 (| x |? 1) ?| x | ( x ? 0) （3） f ( x) ? ? ； （4） ? ( x) ? ? 。 ? 1 ( x ? 0) ? x (| x |? 1) 2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补 充或改变函数的定义使它连续。n x2 ?1 2 1 ； （2） y ? ； （3） y ? cos 。 2 tan x x x ? 3x ? 2 ? ex (0 ? x ? 1) 3． a 为何值时函数 f ( x) ? ? 在[0，2]上连续？ a ? x (1 ? x ? 2) ? 1 ? x 2n x 的连续性，若有间断点，判断共类型。 4．讨论函数 f ( x) ? lim n ?? 1 ? x 2 n（1） y ?习题 1―91．设 f (x) 连续，证明 | f ( x) | 也是连续的。 2．若 f (x) 在 [ a, b] 上连续，且在 [ a, b] 上 f (x) 恒为正，证明： 连续。 3．求下列极限： （1） lim x ? 2 x ? 5 ； （2） lim (sin 2 x ) ； （3） lim231 在 [ a, b] 上迹 f ( x)x ?0x??4sin 5 x ? sin 3x ； x ?0 sin x4sin x ? sin a a x ? ab (a ? 0) ； ； （5） lim x?a x ?b x ? b x?a sin x （7） lim 2 ； （8） lim th x ； x ? ?? x ?0 x ? x（4） lim （10） lim ?x ?2（6） limln(1 ? 3 x) ； x ?0 x3（9） lim ( x ? 2 x ? 1) ；x ? ??x ? 2 ? x?2x2 ? 4 ln( a ? x) ? ln a （12） lim 。 x ?0 x；（11） limx? x? x x ?1x ? ??习题 1―101．证明：方程 x ? 3x ? 1 在区间（1，2）上至少有一个根。 2．设 f (x) 在闭区间[a，b]上连续， x1 , x2 , ?, xn 是[a，b]内的 n 个点，证明：5?? ? [a, b] ，使得f (? ) ?f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n ) n习题 2―11．用导数定义求下列函数的导数： （1） y ? ax ? b （ a, b 是常数） ； （2） f ( x) ? cos x ； （3） y ?2．下列各题中假定 f ?( x0 ) 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么？ （1） lim （3） lim?x ?01 。 xf ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? A； ?x（2） limx?0f ( x) ? A ，其中， f (0) ? 0 ； xf ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? A。 h?0 h 3．利用幂函数求导数公式，求下列函数的导数：（1） y ? x 2 ? x ； （3） y ?x x2（2） y ? x1.6 ? 3 x 2 ； （4） y ?；x2 ? 3 x x5。1 ，求 f ?(1), f ?(?2) 。 x 5．已知函数 f ( x) ? x ，求 f ?(2), f ?(4) 。 1 6．自由落体运动 s ? gt 2 （g=9.8 米/秒 2） 。 2 （1）求在从 t ? 5 秒到（ t ? ?t ）秒时间区间内运动的平均速度，设 ?t ? 1 秒，?0.1 秒， 0.001 秒； （2）求落体在 5 秒末的瞬时速度； （3）求落体在任意时刻 t 的瞬时速度。4．已知函数 f ( x) ?57．函数在某点没有导数，函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线？举例说明。 ? x2 ( x ? 1) 8．设函数 f ( x) ? ? 为了使函数 f (x) 在 x ? 1 处连续可导， a ， b 应取什 ?ax ? b ( x ? 1) 么值？ 2 9．求曲线 y ? sin x 在 x ? ? 及 x ? ? 处的切线斜率。 3 10．求曲线 y ? x 3 上取横坐标为 x1 ? 1 及 x2 ? 3 的两点，作过这两点的割线。问该抛 物线上哪一点的切线平行于这条割线？ 1 ? ? x sin ( x ? 0) x ? 0 12．证明函数数 f ( x) ? ? 在 处连续，但不可导。 x ? 0 ( x ? 0) ? 13．函数 y ?| sin x | 在 x ? 0 处的导数是否存在，为什么？ 14．讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性： 1 ? 2 ? x sin ( x ? 0) （1） f ( x) ? ? 在点 x ? 0 处； x ? 0 ( x ? 0) ? x ?1 （2） y ? 在点 x ? 1 处； x ?1 （3） y ?| x ? 2 | 在点 x ? ?2 处。习题 2―21．求下列函数的导数： （1） y ? ax 2 ? bx ? c ； （4） y ? x 2 cos x ； （7） y ? （2） y ? x 2 (2 ? x ) ； （5） ? (? ) ? ? sin? ； （8） s ? （3） f (v) ? (v ? 1) 2 (v ? 1) ； 2 （6） y ? 3a x ? ； x（9） y ? (2 ? sec t ) sin t 。 1? x ? x 2．求下列函数在指定点处的导数： （1） f ( x) ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0 ，求 f ?(0) ， f ?(1) ；21；1 ? sin t ； 1 ? sin t（2） y ? x 2 sin(x ? 2) ，求 y ?(2) 。 3．求下列函数的导数（其中 x ， t 是自变量， a, b 是大于零的常数） ： （1） y ?1 a ?x2 2；（2） y ?x2 x ?a2 2；（3） y ? 1? ln2 x ； （6） y ? cos x 2 ； （9） y ? sin2 (2 x ? 1) ； （12） y ? sinex2（4） y ? tanx ； 2（5） y ? 1? e x ；1 1? x2（7） y ? 1 ? 2 x ?； （8） y ? sin2x x cot ； 3 2（10） y ? sin 1 ? x 2 ；（11） y ? cot 3 1 ? x 2 ；? x ?2；61 （13） y ? cos2 (cos2 x) ； （14） y ? x 2 sin ； x（16） y ? 2 x / ln x ； （19） y ? e sin x ； 1 （22） y ? arccos ； x31? ? （15） y ? 1 ? tan? x ? ? ； x? ?（18） y ? ln( ? x ? 2x ? x 2 ) ； 1 （21） y ? ln[ln(lnt )] ；（17） y ? t 3 ? 3t （20） y ? ln3 ( x 2 ) ；（23） y ? arccos 1 ? 3x ； （24） y ? x arctan x ；arcsin x 1? x2（25） y ? x arccos x ? 1 ? x 2 （26） y ? （28） y ? arcsin；1? ? （27） y ? ? arccos ? e ? x ； x? ?21? x arcsin x ； （29） y ? ln(arctan 1 ? x 2 ) ； （30） y ? ； 1? x arccos xx x b? 1 ? ?a? ?b? ? x? arcsin x ?； （31） y ? cos? arccos （33） y ? ? ? ? ? ? ? ； ? arctan e x ； ? ? （32） y ? e ?b? ? x? ?a? x? ?（34） y ? e?sin 21 x；（35） y ? ch(sh x) ； （38） y ? arctan(th x)（36） y ? th(lnx) ； （39） y ? ln(ch x) ?（37） y ? sh x e ch x ；1 2 ch 2 x。4．求与曲线 y ? x 2 ? 5 相切且通过点（1，2）的直线方程。 5．求曲线 y ? x ln x 的平行于直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 的法线方程。 6．抛物线 y ? x 2 上哪一点的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 交成 45°角。 7．求过曲线 y ? e 2 x ? x 2 上横坐标 x ? 0 的点处的法线方程，并求从原点到该法线的距 离。 dy 8．设 f (x) 对 x 可导，求 ： dx （1） y ? f ( x 2 ) ； （2） y ? f (e x ) e f ( x) ； （3） y ? f [ f ( x)] （4） y ? f (sin2 x) ? f (cos 2 x) 。习题 2―31．求下列函数的二阶导数： （1） y ? x cos x ； （4） y ? tan x ； （7） y ? ln sin x ； （2） y ? a 2 ? x 2 ； （3） y ?2x3 ? x ? 4 ； xx（5） y ? (1 ? x 2 ) arctan x ； （6） y ? e；（8） y ? sin x ? sin 2 x ? sin 3x ； （9） y ? ln(x ? x 2 ? a 2 ) 。2．验证函数 y ? C1 e ?x ? C2 e ??x (?, C1 , C2 是常数）满足关系式 y?? ? ?2 y ? 0 。 3．验证函数 y ? e x sin x 满足关系式 y ?? ? 2 y ? ? 2 y ? 0 。 4．求下列函数的高阶导数： （1） y ? x 2 e 2 x ，求 y ( 20) ； （2） y ? x 2 sin 2x ，求 y (50) 。75．若 f ??(x ) 存在，求下列函数 y 的二阶导数 （1） y ? f ( x 2 )2d2 y d x2： （3） y ? ln[ f ( x)] 。（2） y ? f (sin2 x) ；6．试从dx 1 d x y ?? ? ?? 导出 。 2 ? dy y dy ( y ?) 3习题 2―4dy ： dx （1） x 2 ? y 2 ? R 2 ； （2） x 2 ? xy ? y 2 ? a 2 ；1．求下列方程所确定的隐函数 y 的导数 （4） x y ? y x （5） x cos y ? sin(x ? y) ；（3） xy ? e x? y ； y （6） arctan ? ln x 2 ? y 2 。 x12．利用对数求导法求下列函数的导数： （1） y ? 2xx；（2） y ? (ln x) x ；3x ? 2 ； (5 ? 2 x)( x ? 1)（3） y ? x x ； （6） y ? 3（4） y ? (sin x) cos x ； （5） y ?x( x 2 ? 1) ( x 2 ? 1)。3．求圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 17 过点（2，1）的切线方程。 4．设 y ? sin(x ? y ) ，求 y ?? 。 5．设 s ? 1 ? t e s ，求 st?? 。?x ? t 2 d y d2 y , 6．已知 ? ， 求 。 d x d x2 ? y ? 4t ?x ? a cos3 t d y d2 y ? , 7．已知星形线 ? ， 求 。 d x d x2 ? y ? a sin3 t ? ? x ? a(? ? sin ? ) d y d2 y , 8．已知摆线 ? ，求 。 d x d x2 ? y ? a(1 ? cos ? )9．求下列曲线在给定点处的切线和法线方程：? x ? a cos ? ? （1） ? ，在 ? ? 处； 4 ? y ? b sin?3at ? ?x ? ? 1? t2 （2） ? ，在 t ? 2 处。 2 ? y ? 3at ? 1? t2 ?? x ? 1 ? 2t ? t 2 ? 10．已知质点运动方程为 ? ? y ? 4t 2 ? （1）求质点出发时所在的位置； （2） t ? 2 秒时的水平与铅直方向的速度； （3）求水平方向加速度与铅直方向加速度。8? ? x ? e sin t 11．验证参量方程 ? ， ? y ? e t cos t ? 所确定的函数 y 满足关系式t? dy ? ( x ? y ) 2 ? 2? x ? y? 。 dx ? dx ? 12．一架直升机离开地面时，距离一观察者 120 米，它以 40 米/秒的速度垂直上飞， 求起飞后 15 秒时，飞机飞离观察者的速度？ 13．将水注入深 8 米、上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，其速率每分钟 4 立方米，当 水深为 5 米时，其表面上升的速度为多少？ d2 y214．有一长为 5 米的梯子，靠在墙上，若它的下端沿地板以 3 米/秒的速度离开墙脚滑 动，问： （1）当其下端离开墙脚多少米，梯子的上、下端滑动的速率相同？ （2）它的下端离开墙脚 1.4 米时，梯子上端下滑的速率是多少？ （3）何时它的上端下滑的速率为 4 米/秒？习题 2―51．求下列函数的微分 （1） y ? 5x 2 ? 3x ? 1 ； （2） y ? ( x 2 ? 2x)( x ? 4) ； （3） y ? arcsin(2x 2 ? 1) ； （4） y ? 2 ln 2 x ? x ； （5） y ? ln(sect ? tan t ) ； 2．求下列函数在指定点的微分： ?2 1 （1） y ? arcsin x ，在 x ? 和 x ? 时 (| ? |? 2 ) ； 2 2 x （2） y ? ，在 x ? 0 和 x ? 1 处。 1 ? x2 3．求下列函数在指定条件下的微分： （1） y ? x 2 ? x, x ? 10, ?x ? 0.1 ；2（2）y ?1 (tan x ? 1)2， x从 当? 61 ? 变到 时。 360 64．若函数 y ? x ? 1 ， （1）在 x ? 1 处， ?x ? 0.01 ，试计算 d y, ?y 及 ?y ? d y ； （2）将点 x 处的微分 d y ，增量 ?y 和 ?y ? d y 在函数图形上标出。 5．填空： 1 1 ) ? 2x d x ； （1） d( （2） d( （3） d( )? dx ) ? 2 dx； x x dx )? ) ? sin 2 x d x ；（6） d( （4） d( （5） d( ) ? e ?x d x ； 2 x （7）d() ? ex d x2 ? (2（8）d(sin x ? cos x) ? d( )d x ；) ? d(cos x) ? ()d x。9习题 3―1? ? 5? ? ? ? 5? ? 1．验证 F ( x) ? ln sin x 在 ? , ? 上满足 Rolle 定理的条件，并在 ? 6 , 6 ? 上，找出使 ?6 6 ? ? ? f ?(? ) ? 0 的 ? 。 2． 以定义在[1，3]上的函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) 为例， 说明 Rolle 定理是正确的。3．已知函数 f ( x) ? 1 ? 3 x 2 , f (?1) ? f (1) ，但在[-1，1]没有导数为零的点，这与 Rolle 定理是否矛盾？为什么？ 4．验证函数 f ( x) ? arctan x 在[0，1]上满足 Lagrange 中值定理的条件，并在区间（0， 1）内找出使 f (b) ? f (a) ? f ?(? )(b ? a) 成立的 ? 。 1 5． ab ? 0 时， 当 对于函数 f ( x) ? 在 a ，b ） （ 上能否找到满足有限增量公式的 ? 点？ x 这与 Lagrange 中值定理是否矛盾？ 6． 不用求出函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) 的导数， 说明方程 f ?( x) ? 0 有几个实 根？并指出它们所在的区间。 7．证明恒等式： arcsin x ? arccos x ?(?1 ? x ? 1) 。 2 8 ． 若 方 程 an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? 0 有 一 个 正 根 x ? x 0 ， 证 明 ： 方 程an nxn?1 ? an?1 (n ?1) x n?2 ? ?? a1 ? 0 必有一个小于 x0 的正根。 9 ． 若 函 数 f (x) 在 (a, b) 上 具 有 二 阶 导 数 ， 且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x3 ) 其 中 ， a ? x1 ? x 2 ? x3 ? b ，证明：在（ x1 , x 3 ）上至少有一点 ? ，使得 f ??(? ) ? 0 。 12．证明下列不等式： （1） | sin x2 ? sin x1 |?| x2 ? x1 | ； （2） | arctan x 2 ? arctan x1 |?| x2 ? x1 | ；（3）当 x ? 1 时， e x ? e x 。?习题 3―21．求下列各题的极限： （1） limln( ? x) 1 ； x?0 xe ?e sin xx ?x3（2） limx ?ax ?3 a x? a2(a ? 0) ；（3） lim ?x ?0ln sin 3 x ； ln sin x（4） limx ?0；（5） lim x 2 e1 / x ；x ?01? ? ln?1 ? ? x? （6） lim ? ； x ??? arc cot x1 ? ? x ? （7） lim ln x ? ln(x ? 1) ； （8） lim? ?； ? x ?1? x ? 1 ln x ? x ?1tan x（9） lim x sin x ； ?x ?0xn ? sin x ? ?1? （10） lim ? ? ； （11） lim x (a ? 1, n ? 0) ； （12） lim? ? 。 ? x ? ?? a x ?0? x ? x ?0 ? x ? x ? sin x 2．验证 lim 存在，但不能用 L?Hospital 法则计算。 x??? x ? cos xx310习题 3―31．将 x 的多项式 x 4 ? 5x 3 ? x 2 ? 3x ? 4 表为（ x ? 4 ）的多项式。 2．应用 Maclaurin 公式，将函数 f ( x) ? ( x 3 ? 3x ? 1) 3 表示为 x 的多项式。 3．当 x0 ? 4 时，求函数 y ? x 的三阶 Taylor 公式。 1 4．当 x 0 ? ?1 时，求函数 f ( x) ? 的 n 阶 Taylor 公式，并写出拉格朗日型余项。 x习题 3―41．判定函数 f ( x) ? x ? cos x (0 ? x ? 2? ) 的单调性。 2．证明： y ? x 3 ? x 单调增加。 3．判定函数 f ( x) ? arctan x ? x 的单调性。x2 ?1 在不含点 x ? 0 的任何区间都是单调增加的。 x 5．求下列函数的单调区间：4．证明： y ?（1） y ? 2x 3 ? 6x 2 ? 18x ? 7 ； 10 （3） y ? 3 ； 4x ? 9x 2 ? 6x（2） y ? ( x ? 2) 5 (2x ? 1) 4 ； （4） y ? 3 (2 x ? a)(a ? x) 2(a ? 0) ；（5） y ? 2 x 2 ? ln x ； （6） y ? ln(x ? 1 ? x 2 ) 。 6．证明下列不等式： 1 （1） 1 ? x ? 1 ? x ( x ? 0) ； （2） ? x ln(x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 2 ( x ? 0) ； 1 2 ?? ? （3） sin x ? tan x ? 2 x ? 0 ? x ? ? ； （4） arctan x ? x ( x ? 0) 。 2? ? 7．试证方程 sin x ? x 只有一个实根。 8．试确定方程 x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 2 ? 0 的实根个数，并指出这些根所在范围。 9．单调函数的导函数是否必为单调函数？（研究： f ( x) ? x ? sin x ）习题 3―51．求下列函数的极值： （1） y ? 2 x 3 ? 3x 2 ；1 xx（2） y ?1 ? 3x 4 ? 5x2；（3） y ? x ? ln( ? x 2 ) ； 1 （6） y ? x ? tan x 。（4） y ? ； （5） y ? 2 e x ? e ? x ； 2．求下列函数在指定区间上的最大值和最小值： [?1, 2] ； （1） y ? x 5 ? 5x 4 ? 5x 3 ? 1 ， （2） y ?1 ? x ? x2 1 ? x ? x2 ,[0, 1] ；11（3） y ?a2 b2 ? ， x 1? x(0, 1), (a ? b ? 0) ； [?5, 1] ；（4） y ? x ? 1 ? x ， （5） y ? sin 2 x ? x ，? ? ?? ?? 2 , 2 ? ； ? ?[0, 1] ；[?10, 10] 。1? x ， 1? x （7） f ( x) ?| x 2 ? 3x ? 2 | ，（6） y ? arctan3．将 8 分为两部分，怎样分才使它们的立方之和为最小？ 4．设一球的半径为 R ，内接于此球的圆柱体的最高 为 h ，问 h 为多大时圆柱的体积最大？ 5．过平面上一已知点 P(1, 4) 引一条直线，要使它在 二坐标轴上的截距都为正， 且它们之和为最小， 求此直线 的方程。 6 ． 对某个量 x 进行 n 次测量，得到 n 个测量值 x1 , x 2 , ?, x n ， 试 证 ： 当 x 取 这 n 上 数 的 算 术 平 均 值 x1 ? x2 ? ? ? xn 时，所产生的误差的平方和： n ( x ? x1 ) 2 ? ( x ? x2 ) 2 ? ? ? ( x ? xn ) 2 为最小。 7．有一杠杆，支点在它的一端，在距支点 0.1m 处挂 一重量为 49kg 的物体，加力于杠杆的另一端，使杠杆保 持水平（图 3.5.3） ，如果杠杆本身每米的重量为 5kg，求 最省力的杆长？ 8．从一块半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一 个漏斗（图 3.5.4） 。问留下的扇形的中心角 ? 为多大时， 做成的漏斗的容积最大？习题 3―61．求下列各函数的凹凸区间及拐点： （1） y ? x 3 ? 5x 2 ? 3x ? 5 ； （3） y ? x 5 ； （5） y ? e arctanx ； （7） y ? x 4 (12 ln x ? 7) ； （2） y ?x3 x 2 ? 3a 2（a 为任意正数） ；（4） y ? ( x ? 1) 4 ? e x ； （6） y ? ln(x 2 ? 1) ； （8） y ? x e ? x 。2．问 a 和 b 为何值时，点（1，3）为曲线 y ? ax3 ? bx 2 的拐点？?x ? t 2 ? 3．求曲线 ? 的拐点。 ? y ? 3t ? t 3 ?124．试确定 y ? k ( x 2 ? 3) 2 中的 k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。习题 3―7求下列曲线的渐近线： 1 1． y ? 2 ； x ? 4x ? 5 x 2． y ? ； (1 ? x)(1 ? x) 2 3． y ? 4． y ?x4 (1 ? x) 3； ；x2 x2 ?15． y ? 2 x ? arctanx 。 2习题 3―8描绘下列函数的图形： 1 1． y ? ( x 4 ? 6 x 2 ? 8x ? 7) 。 5 1 2． y ? ? 4 x 2 。 x 3． y ? e ?( x?1) 。24． y ? ln(x 2 ? 1) 。 5． y ?9a 3 x2 ? a2 (a ? 0) 。6． y ? e ? x sin x ( x ? 0) 。习题 3―91．求抛物线 y ? x 2 ? 4 x ? 3 在顶点处的曲率及曲率半径。 2．计算曲线 y ? ch x 上点（0，1）处的曲率。?x ? a cos3 t ? 3．求曲线 ? 在 t ? t 0 处的曲率。 ? y ? a sin3 t ? ? x ? a(cos t ? t sin t ) ? 4．求曲线 ? 在 t ? 处的曲率。 y ? a(sin t ? t cos t ) 2 ?5．证明曲线 y ? a chy2 x 在任何一点处的曲率半径为 。 a a13习题 3―101．试证明方程 x 5 ? 5x ? 1 ? 0 在区间（ ?1, 0 ）内有惟一的实根，并用切线法求这个根 的近似值，使误差不超过 0.01。 2．求方程 x lg x ? 1 的近似根，使误差不超过 0.01。习题 4―11． 定积分?b a介于曲线 y ? f (x) ，x 轴与 x ? a, x ? b 之 f ( x) d x 的几何意义可否解释为：间的曲边梯形的面积？ 2．设物体沿 x 轴，在变力 F ? F (x) 的作用上，由点 a 移到点 b(a ? b) ，试用定积分概 念（积分和式的极限）来表示变力 F 所作的功 W 3．利用定积分的几何意义，说明下列等式： （1） （3）?1 02 x d x ? 1； sin x d x ? 0 ；（2） （4）??1 01 ? x2 d x ??4；??????2 ?? cos x d x ? 22?2 0cos x d x 。4．把下列定积分写成积分和式的极限： 1 ? 1 （1） （2） sin x d x 。 dx； 2 0 01? x 5．根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大？?? ??（1） （3）1 0 2 1x2 d x 与?1 0x3 d x ；2（2） （4）??2x2 d x 与x1?1 ? 1 ??2x2 d x ；1ln x d x 与y 02?(ln x) d x ；x21? ? dx与 ?2 ? 3 ???1 ?23x d x 。 dy 。 dx6．求由?e ?t d t ??0cos(t 2 ) d t ? 0 确定的隐函数 y 对 x 的导数7．计算下列各导数： d x sin t （1） dt ； dx 1 t d 0 1 ? x4 d x ； （3） dy y 8．计算下列各定积分：??d dx d （4） dx（2） （2）?ln xet d t ；221?x2 xe ?t d t 。（1） （3） （5）?3x3 d x ；1??9 43x (1 ? x ) d x ；dx 1 ? x2??1 2 1 ? 21 0dx 1 ? x2；（4） （6）；1/ 3e ?x d x??4 0tan 2 ? d ? ；14（7）?2? 0| sin x | d x ；? 2x （8）设 f ( x) ? ? 2 ?3x( x ? 1) ( x ? 1)，求?2 0f ( x) d x 。9．求下列极限1 （1） lim x?0 x?0 sin xcos(t 2 ) d t ；(0 ? x ? 1) ， (1 ? x ? 2)? （2） limx ???2x 0(arctan t ) 2 d t x2 ?1?x 2 10．设 f ( x) ? ? ?x求 ? ( x) ??x 0f (t ) d t 在[0，2]上的表达式，并讨论 ? (x) 在（0，2）内的连续性。3 211．求极限n ??lim (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n )n?。习题 4―21．求下列不定积分（其中，a，m，n，g 为常数） ： dx （1） x x d x ； （2） ； x2 x???（3） （6）?mxn d x ；2（4） （7）? 1 1? 3? u ?0.6 ? ? ? d u ； （5） ? ? u u? ??dh 2 gh；? ( x ? 2)?dx；dx；?( x 2 ? 1) 2 d x ；（8）??（9） ( x ? 1)( x 3 ? 1) d x ；3x 4 ? 3x 2 ? 1 x2 ? 110x 3 ? 3 x4（10） （13） （16） （19）?(1 ? x) 2 xdx；（11）? 3 2 d x； （12） ? ? ?1 ? x2 1 ? x2 ??? ?d x ； ? ??? e?x e x ?1 ? 2 ? x ?? ? d x ； （14） ? ?? ?a t ? et d t ；2（15） （18）?2 ? 3x ? 5 ? 2 x 3xdx；（17） ? tan ? sec x(sec x ? tan x) d x ；xd x ；? 1 ? cos 2x ；dx? cos2x dx； 2（20）cos 2x d x ； （21） cos x ? sin x?cos 2x cos x ? sin2 x2dx。1 2． e 2 x , e x sh x 和 e x ch x 是否都是 e 2 x 的原函数？ 2 3．已知曲线上任意一点的切线的斜率为切点横坐标的二倍，求满足上述条件的所有 曲线方程，并求出过点（0，1）的曲线方程。4．一物体由静止开始运动，经 t 和后的速度是 3t 2 （米/秒） ，问： （1）在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完 360 米需要多少时间？15习题 4―31．计算下列不定积分： （1） e 5t d t ； （4） （7）?（2） （5） （8）? (1 ? 2x)?sin t tdx5dx；（3）? 3 ? 2x ；?xdx?8 ? 2x d x ；dt ；（6） e x ? e d x ； （9） tan10 x sec 2 x d x ； （12） x cos(x 2 ) d x ； （15）?a?x dx； a?x? x ln x ln ln x ；?（10） （13） （16）? sin x ? cos x ；?4? xx26dx（11）?e??dxx? e ?x；?d x；（14） x 2 1 ? x 3 d x ；dx； 1 ? e 2x 2x ? 1 d x； （19） 1 ? x2 dx （22） ； 4 ? x2??e x (1 ? e x )dx； 1? 4x cos x ? sin x （17） cos 4 x ? sin3 x d x ； （18） dx； 1 ? cos 2 x?2x??（20） （23）?9? xdx22x32dx；（21）? （25） ? cos（28） （31）2xd x ；? 2x （26） ? cos??1；dx； ? 2x 2 ? 5 dx （24） ； ( x ? 1)( x ? 2)4?x?x( wt ? ? ) d t ； （27） tan 3 x ? sec x d x ；? ??102 arccos x1? x2dx；2（29） cos 3x ? cos 5 x d x ； （30） （32）? (arcsin x)dx21 ? x2；x2 d x a ?x2；?x?1?0 ?2dx x ?12；（33）?dx ( x 2 ? 1) 3dx 1 ? x2；（34）x2 ? 9 dx； x（35）dx 2x；（36）?1?4 1。2．计算下列定积分 1 dx （1） ； ? 2 1 ? sin 2 x??（2） （5）??dx x ? 2x ? 22；（3） （6） （9）?dx 1? x；?4 0（4） （7）dx 1 ? sin x2；??? /2/6cos 2 u d u ；??1 02x 1? x d x；1 ? x22a 0?2 ? 28 ? 2 y 2 d y ； （8）dx x2 1 ? x2? t2 ta 0x2 a2 ? x2 d x31/ 2（10）?3 1；（11）??dx x (1 ? x)dx 1 ? ln x16；（12）0e2 1?dx； x2 xd x ； 3a 2 ? x 2（13）?1te0dt ；（14）；（15）? ? cos x cos 2x d x ；2 ? 2?（16）??2 ? 2?（17） cos x ? cos 3 x d x ；??0（18） 1 ? cos 2 x d x ；?1 0dx ex ?1。3．利用函数的奇偶性计算下列积分 （1）? ?x??4sin x d x ；dx；（2）? ? 4 cos2 ? 2?4? d? ；d x。（3）1 ? x2 4．设 f (x) 为连续函数，证明：?1 2 1 ? 2(arcsin x) 2（4）?5 ?5x 3 sin 2 x x 4 ? 2x 2 ? 11 0 2 5．设 f (x) 在 [?b, b] 上连续，证明：?ax 3 f (x 2 ) d x ??a2xf ( x) d x0(a ? 0) 。? ?7．证明： 8．证明： 9．证明：b ?bf ( x) d x ??0b ?bf (? x) d x 。6．对于任意常数 a ，证明：a 0f ( x) d x ??af ( a ? x) d x 。?1dx x2x1???1 x 1dx 1 ? x2( x ? 0) 。1??1 0x m (1 ? x) n d x ?sin x d z ? 2n?x n (1 ? x) m d x 。0?0??2 0sin n x d x 。10．设 f (x) 是以 2l 为周期的连续函数，证明： 11．若 f (x) 是连续函数且为奇函数，证明： 若 f (x) 连续函数且为偶函数，证明：?a ?l a ?lf ( x) d x 的值与 a 无关。?xx 0f (t ) d t 是偶函数；?f (t ) d t 是奇函数。0习题 4―41．计算下列不定积分：? （4） ? x ln( x ? 1) d x ； （7） ? x tan x d x ；（1） x cos mx d x ；2? （5） ? x （8） ? x??2 t （2） t e d t ；2 2ln x d x ； cos x d x ；? （6） ? x arctan x d x ； （9） ? (ln x) d x ；（3） arcsin t d t ；2 2（10）? (1 ? x)ln x2dx；2 （11） ( x ? 1) sin 2 x d x ； （12） x sin x ? cos x d x ；?17（13）(ln x 2 ) ? x 2 dx ；2 x ?1（14） e??2 xsinx d x； 2ax （15） e sin nx d x ；?d x； ? ln(x ? 1) （19） ? dx； x ?1（16） e 2．计算下列定积分： （1）2 （17） x cos x d x ；?2 （18） (arcsin x) dx ；?（20） x??2x2 ? a2 d x ； （21） ? arctanx d x。?e11x ln x d x ；（2） （5） （8）? ? sin3 4x2xd x；2（3）??0( x sin x) 2 d x ；?ln(1 ? x) （4） ? d x； 0 (2 ? x) 2（7）?212x （6） ? 2 e cos x d x ； arctan x ? 1 d x ； 0?e 1sin(ln x) d x ；?4 0exd x ；（9）?e e ?1| ln x | d x 。习题 4―51．求下列不定积分： x5 ? x4 ? 8 2x ? 3 dx； （1） d x ； （2） x3 ? x x 2 ? 3x ? 10 xd x x2 ?1 dx； （4） ； （5） ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ( x ? 1) 2 ( x ? 1) dx dx （7） ； （8） 4 2 2 ( x ? 1)( x ? x) x ?1???（3）???（10） （13） （16）? 1 ? tan x ；??( x )3 ? 1 x ?1 dx；1? x d x； 1? xdx（11） （14） （17）? 1 ? sin x ? cos x ；? ?x ?1 ?1 x ?1 ?1 1 x(1 ? x) d x； dx；dxdx ?1 dx （6） ； x( x 2 ? 1) 1 （9） dx； 4 x ?1 dx （12） ； 3 1? x ?13?x?3??（15） （18）?1 x ?4 xdx ；?x1 x 2 ? 2x ? 2dx。2．用学过的方法求下列不定积分 x x11 dx； dx； （1） （2） (1 ? x) 3 (6 ? x 6 ) 3 ln ln x dx （4） （5） ； dx； 2 x (a ? x 2 ) 5 / 2???（3） （6）? x ? sin x d x ；?x141 ? cos x?（7）?x sin x d x ；（8） ln(1 ? x 2 ) d x ； （11）?（10）?1 ? cos x dx； sin x? (1 ? x18x38 2)dx；dx； 1 ? x2 x cos x （9） dx； sin3 x x 11 dx； （12） 8 x ? 3x 4 ? 2??（13）?1? xx224dx；（14）（16） e sin sin 2 x d x ； （19）?dx； x ?3 x ln x dx； （17） [ln(x ? 1 ? x 2 )] 2 d x ； （18） (1 ? x 2 ) 3 / 2?x cos 4?（15）2 dx； sin3 x? x(3x??1? x 1 2 ? sin x （22） d x ； （23） dx ； 4 4 2 ? cos x sin x cos x2?1 ? x 2 arcsin x d x ； （20）?x 2 arccos xd x ； （21）?1 ? tan x d x； sin 2 x sin x cos x??（24）? sin x ? cos x d x 。习题 5―21．求由下列各曲线所围图形的面积： （1） y ? ln x, y ? e? 1 ? x 及直线 y ? 0 ； （2） y ? e x , y ? e ? x 及直线 x ? 1 ； （3）y ? ln x, y 轴与直线 y ? ln a, y ? ln b (0 ? a ? b) ； y ? x 2 与直线 y ? x 及 y ? 2 x 。 （4） 2．求由下列曲线所围图形的面积： （1） r ? 2a cos ? ； （2） x ? a cos3 t , y ? a sin3 t ； （3） r ? 2a(2 ? cos? ) 。 3．求下列各曲线所围图形的公共部分的面积： （1） r ? 1及 r ? 1 ? sin? ； （2） r ? 2 sin? 及 r 2 ? cos 2? 。习题 5―31． D 曲线 y ? 1 ? sin x 与三角直线 x ? 0, x ? ? , y ? 0 围成的曲边梯形， D 绕 x 轴旋 设 求 转一周所成的旋转体积。 2．求 y ? x 2 与 y ? x 3 围成的图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积。1 2 x2 x ,y? ? 1 与直线 y ? 10 围成的图形绕 y 轴旋转而 10 10 成的旋转体。试算出其质量（长度单位是 10-2m，铸件密度 7.8×103kg/m3） 。 4． 求下列曲线围成的图形沿给定轴旋转产生的旋转体之 体积：3．有一铸件，系由抛物线 y ?（1） y ? x 2 ， x ? y 2 ，绕 y 轴；（2）x ? ( y ? 5) ? 16 ，绕 x 轴。2 25．设有截锥体，高为 h 上、下底为椭圆，椭圆的轴长分 别为 2 a ， 2b 和 2 A ， 2B ，求截锥体的体积。 6． 计算底面是半径为 R 的圆， 而垂直于底而上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的体积（图 5.3.5） 。习题 5―41．计算曲线 y ? ln x 上相应于 3 ? x ? 8 的一段弧的长度。192．计算曲线 y ? 3．求曲线 y ?x (3 ? x) 上相应于 1 ? x ? 3 的一段弧的长度。 3x???cos x d x 的弧长。24．计算星形线 x ? a cos3 t , y ? a sin3 t 的全长。 5． 计算渐伸线 x ? a(cos t ? t sin t ), y ? a(sin t ? t cos t ) 上相应于 t 从 0 到 ? 的一段弧的长 度。 6．求对数螺线 r ? e a? 自 ? ? 0 到 ? ? ? 的一段弧长。3 4 到 ? ? 的一段弧长。 4 3 8．求心形线 r ? a(1 ? cos? ) 的全长。 1 9．计算曲线 x ? arctan t , y ? ln( ? t 2 ) 从 t ? 0 到 t ? 1 的弧长。 1 27．求曲线 r? ? 1 自 ? ?习题 5―61．直径为 20 厘米，高为 80 厘米的圆柱体内充满压强为 10Newton/厘米 2 的蒸气，设 温度保持不变，要使蒸气体积缩小一半，问需要做多少功?? 2．一物体按规律 x ? ct 3 作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体在 由 x ? 0 移至 x ? a 时，克服媒质阻力所做的功。 3．洒水车上的水箱是一个横向的椭圆柱体，尺寸如图 5.6.5 所示，当水箱装满水时， 计算水箱的一个端面所受的压力。 4．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10 米和 6 米，高为 20 米，较长的底边与 水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。 5．一高为 5 米的圆柱形贮水桶，其底半径为 3 米，桶内装满了水，问把桶内的水全 部吸收需要做多少功?? 6．一底为 8 厘米，高为 6 厘米的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在 下且与水面平行，而顶离水面 3 厘米，试求它每面所受的压力。 7．边长为 a 和 b ( a ? b )的矩形薄板，与液面成 ? 角斜沉于液体内，长边平行于液面而 位于深ｈ处， 试求薄板每面所受的压力(假设液体比重为 ? 重 力加速度为ｇ)。 8．设有长为 l ，线密度为 ? 的均匀细棒，在与棒的一端 垂直距离为 a 单位处有一质量为 m 的质点 M ， 试求细棒对质 点 M 的吸引力。 9．设有一半径为 R，中心角为 ? 的圆弧形细棒，其线密 度为常数 ? ，在圆心处有一质量为 m 的质点 M ，试求这细 棒对质点 M 的引力 F 。20习题 5―71．一物体以速度 v ? 3t 2 ? 2t （米/秒）作直线运动，算出它在 t ? 0 到 t ? 3 秒这段时间 内的平均速度。 2．求函数 y ? a 2 ? x 2 在区间 [?a, a] 上的平均值。习题 6―1判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值。 ?? d x ?? d x 1． ； 2. 。 4 1 1 x x??习题 6―2判别下列广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值。 1．???? 2?? 0dx ； x ? x?222.???? 1?? 0dx x x2 ?1dx (1 ? x) 2；3．e ?ax d x(a ? 0) ；4.；习题 7―11．在空间直角坐标系中，画出下列各点：(0, 0, ? 4), (0, 3, 4), ( 2 , 1, 2) 。2．求点 (a, b, c) 关于（1）各坐标面， （2）各坐标轴， （3）坐标原点的对称点的坐标。 3．自点 P0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。 4．一边长为 a 的立方体放置在 xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在 x 轴和 y 轴上，求它各顶点的坐标。 5．求点 P(4, ? 3, 5) 到各坐标轴的距离。 6．在 yOz 面上，求与三个已知点 A(3, 1, 2) ， B(4, ? 2, ? 2) 和 C (0, 5, 1) 等距离的点。 7．证明：以三点 A(4, 1, 9) ， B(10, ? 1, 6) ， C (2, 4, 3) 为顶点的三角形是等腰三角形。习题 7―21．设向量 a 与 x 同和 y 轴的夹角相等，而与 z 同的夹角是前者的两倍，求向量 a 的方 向余弦。 2．设向量的方向余弦分别满足下列条件，试问这些向量与坐标轴、坐标面的关系如21何？ （1） cos ? ? 0 ； （2） cos ? ? 1 ； （3） cos? ? cos ? ? 0 3 ． 分 别 求出 向 量 a ? (1, 1, 1), b ? (2, ? 3, 5) 及 c ? (?2, ? 1, 2) 的 模 ， 并 写 出单 位 向量a 0 , b0 , c 0 。4．设向量 i ? (1, 0, 0), j ? (0, 1, 0), k ? (0, 0, 1) ，证明 i , j , k 两两正交。习题 7―31．设 a, b 为非零向量，问它们分别满足什么条件时，下列等式成立？ a b ? （1） | a ? b |?| a ? b | ； （2） 。 |a| |b| 2．设 u ? a ? b ? 2c, v ? a ? 3b ? c ，试用 a , b, c 表示 2 u ? 3v 。 3． ?A C 中， M ，N ，P 分别为 BC ，CA AB 的中点， 在 B 设 试用 a ? BC, b ? CA, c ? AB 表示向量 AM ， BN ， CP 。1 (OA ? OB) 。 2 5．已知两点 M 1 (0, 1, 2) 和 M 2 (1, ? 1, 0) ，用坐标表示式表示向量 M 1 M 2 及 ? 2M1M 2 。4．设 AM ? MB ，证明：对任意一点 O ，有 OM ? 6．向量 a ? 4i ? 4 j ? 7k 的终点 B 的坐标为（2，-1，7） ，求它的始点 A 的坐标，并求a 的模及其方向余弦。7． 已知三力 F1 ? (1, 2, 3), F2 ? (?2, 3, ? 4), F3 ? (3, ? 4, 5) 同时作用于一点， 求合力 F 的 大小和方向余弦。 8．求平行于向量 a ? (6, 7, ? 6) 的单位向量。习题 7―41．判别下列结论是否成立，为什么？ （1）若 a ? b ? 0 ，则 a ? O 或 b ? O ； （2） (a ? b)c ? a (b ? c) ； （3） (a ? b) 2 ?| a | 2 | b | 2 。 2．设 a ? 3i ? j ? 2k , b ? i ? 2 j ? k ，求 （1） a ? b 及 a ? b ； （2） a ? b 的夹角的余弦。2 3．设向量 a 和 b 的夹角 ? ? ? ，又 | a |? 3 ， | b |? 4 ，试计算 (3a ? 2b) ? (a ? 2b) 。 3 4．已知 a , b, c 为单位向量，且满足 a ? b ? c ? O ，计算 a ? b ? b ? c ? c ? a 。 5．已知向量 a , b, c 满足条件 a ? b ? c ? O ，证明 a ? b ? b ? c ? c ? a 。 6．求与 a ? 3i ? 6 j ? 8k 及 x 轴都垂直的单位向量，这样的向量共有几个？7．设质量为 100 千克的物体从点 M 1 (3, 1, 8) 沿直线移动到 M 2 (1, 4, 2) ，计算重力所作 的功（长度单位为米，重力的方向为 z 轴负方向） 。 8．已知 | a |? 3, | b |? 26, | a ? b |? 72 ，计算 a ? b 。 9．已知 | a |? 3, | b |? 5 ，问 ? 为何值时 a ? ?b 与 a ? ?b 互相垂直？2210．已知向量 a ? 2i ? 3 j ? k , b ? i ? j ? 3k 和 c ? i ? 3 j ，计算 （1） (a ? b)c ? (a ? c)b ； （2） (a ? b) ? (b ? c ) ； 11．已知 OA ? i ? 3 j, OB ? j ? 3k ，求 ?OAB 的面积。（3） (a ? b) ? c 。习题 8―11．一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，求这动点的轨迹方程。 2．动点到点 F1 (?a, 0, 0) 与到点 F2 (a, 0, 0) 距离的平方和等于常量 4a 2 ，求动点轨迹方 程。 3．方程 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2x ? 4 y ? 2z ? 0 表示什么曲面？ 4．动点到点（2，0，0）的距离为到点（-4，0，0）的距离的一半，求动点的轨迹方 程。习题 8―21．平面 A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 与平面 A2 x ? B2 y ? C 2 z ? D2 ? 0 平行（但不重合）的 条件是什么？ 2．指出下列平面的特殊位置，并画出各平面： （1） x ? 0 ； （2） 3 y ? 1 ? 0 ；（3） 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ；（4） x ? 3 y ? 0 ； （5） y ? z ? 1 ； （6） 6 x ? 5 y ? z ? 0 3．求过点（3，0，-1）且与平面 3x ? 7 y ? 5 z ? 12 ? 0 平行的平面方程。 4．求过点 M （2，9，-6）且与连接坐标原点的线段 OM 垂直的平面方程。 5．求过（1，1，-1）（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。 ， 6．一平面过 z 轴且与 2x ? y ? 5z ? 0 的夹角为? ，求它的方程。 37．一平面过点（1，0，-1）且平行于向量 a ? (2, 1, 1) 和 b ? (1, ? 1, 0) ，求平面方程。 8．分别按下列条件求平面方程 （1）平行于 xOz 而且经过点（2，-5，3） ； （2）通过 z 轴和点（-3，1，-2） ； （3）平行于 x 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7） 。习题 8―31．求点（1，2，1）到平面 x ? 2 y ? 2 z ? 10 ? 0 的距离。x?3 z ?1 的直线方程。 ?y? 2 5 3．确定下列各组中的直线和平面间的位置关系： y x?3 y?4 z x z （1） ? ? 和 4 x ? 2 y ? 2 z ? 3 ； （2） ? ? 和 3x ? 2 y ? 7 z ? 8 ； ?2 ?7 3 3 ?2 72．求过点（4，-1，3）且平行于直线23（3）x?2 y ?2 z ?3 和 x ? y ? z ?3。 ? ? 3 1 ?44．求过两点 M 1 （3，-2，1）和 M 2 （-1，0，2）的直线方程。?x ? y ? z ? 1 5．用对称式方程及参数方程表示直线 ? 。 ?2 x ? y ? z ? 4 ? x ? y ? 3z ? 0 6．求直线 ? 和平面 x ? y ? z ? 1 ? 0 间的夹角。 ?x ? y ? z ? 0? x ? ?t ? 2 ? 7．求过点 M （1，2，-1）且与直线 ? y ? 3t ? 4 垂直的平面方程。 ?z ? t ? 1 ??5 x ? 3 y ? 3z ? 9 ? 0 ?2 x ? 2 y ? z ? 23 ? 0 8．求二直线 L1 : ? 和 L2 : ? 的夹角的余弦。 ?3x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 ?3x ? 8 y ? z ? 18 ? 0 ?5 x ? 3 y ? 2 z ? 5 9．直线 ? 在平面 15x ? 9 y ? 5z ? 12 内吗？ ?5 x ? 3 y ? z ? 210．求过点（0，2，4）且与两平面 x ? 2 z ? 1 和 y ? 3z ? 2 平行的直线方程。 11．求过点（3，1，-2）且通过直线x?4 y?3 z ? ? 的平面方程。 5 2 1?x ? 1 x ?1 y ? 2 z ?1 ? 12．求与直线 ? y ? ?1 ? t 及 都平行且过原点的平面方程。 ? ? 1 2 1 ?z ? 2 ? t ?13．求点（-1，2，0）在平面 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 上的投影。?x ? y ? z ? 1 ? 0 14．求点 P （3，-1，2）到直线 ? 距离。 ?2 x ? y ? z ? 4 ? 0 ?2 x ? 4 y ? z ? 0 15．求直线 ? 在平面 4 x ? y ? z ? 1 上的投影直线的方程。 ?2 x ? y ? 2 z ? 9 ? 0习题 9―11．指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ （1） x ? 2 ； （2） y ? x ? 1 ；24（3） x 2 ? y 2 ? 4 ；（4） x 2 ? y 2 ? 1 ；2．指出下列方程在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形？? y ? 5x ? 1 （1） ? ； ? y ? 2x ? 3? x2 y2 ? ?1 ? （2） ? 4 9 ?y ? 3 ?3．将 xOz 坐标面上的抛物线 z 2 ? 5 x 绕 x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 4．将 xOz 坐标面上的圆 x 2 ? z 2 ? 9 绕 z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 5．将 xOy 坐标面上的双曲线 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成的 旋转曲面的方程。习题 9―21．画出下列方程所表示的曲面：a? ? ?a? （1） ? x ? ? ? y 2 ? ? ? ； 2? ? ?2? 2 2 y x ? ?1； （3） 9 4 2．说明下列旋转曲面是怎样形成的？2（2） ?x2 y2 ? ?1； 4 9（4） y 2 ? z ? 0（1）y2 z2 x2 ? ? ? 1； 4 9 9（2） x 2 ?y2 ? z2 ?1 4（3） x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ； 3．画出下列方程表示的曲面： （1）x2 y2 ? ? z 2 ?1； 9 4（4） ( z ? a) 2 ? x 2 ? y 2z x2 y2 ? ? ； 3 4 9（2）（3） 16x 2 ? 4 y 2 ? z 2 ? 64 。习题 9―31．画出下列曲线在第一卦限内的图形?x ? 1 （1） ? ； ?y ? 2?z ? 4 ? x 2 ? y 2 ? （2） ? ； ?x ? y ? 0 ??x 2 ? y 2 ? a 2 ? （3） ? 。 ?x 2 ? z 2 ? a 2 ? 2．分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线2 2 ? 2 ?2 x ? y ? z ? 16 ? 2 ?x ? z 2 ? y 2 ? 0 ?的柱面方程。 3． 求在 yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程 （任写出三种不同形式的方程） 。 4．将下面曲线的一般方程化为参数方程25?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 0 （1） ? ； ?y ? x 5．求螺旋线?( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( z ? 1) ? 4 （2） ? ?z ? 0? x ? a cos ? ? ? y ? a sin? ? z ? b? ?在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。 6．求曲线? x 2 ? y 2 ? 3 yz ? 2 x ? 3z ? 3 ? 0 ? ?y ? z ? 1 ? 0在 zOx 面上的投影曲线的方程。 7．指出下列方程所表示的曲线? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 25 （1） ? ?x ? 3 ? x 2 ? 4 y 2 ? z 2 ? 25 （3） ? ； ? x ? ?3 ? y2 z2 ? ?1 ? （5） ? 9 。 4 ?x ? 2 ? 0 ?? x 2 ? 4 y 2 ? 9 z 2 ? 30 （2） ? ； ?z ? 1 ? y 2 ? z 2 ? 4x ? 8 ? 0 （4） ? ； ?y ? 4习题 10―11．已知函数 f ( x, y ) ? x 2 ? y 2 ? xy tanx ，试求 f (tx, ty) 。 y2．已知函数 f (u, v, w) ? u w ? wu ?v 。试求 f ( x ? y, x ? y, xy ) 。 3．求下列各函数的定义域： 1 1 1 ? ? （1） u ? ； x y z （2） u ? R 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4．函数 z ?y 2 ? 2x y 2 ? 2x1 x2 ? y2 ? z2 ? r 2( R ? r ? 0) 。在何上是间断的？习题 10―21．设函数 z ? x 2 ? xy ? y ， （1）求函数在点 ( x 0 , y 0 ) 处的偏增量 ? x z, ? y z 和全增量 ?x ；26（2）当 x 从 2 变到 2.1， y 从 2 变到 1.9 时，求 ? x z, ? y z 与 ?z 的值各为多少？ 2．设 z ? (1 ? xy) y ，求?z ?xx ?1 y ?1及?z ?yx ?1 y ?13．设 f ( x, y) ? x ? y ? x 2 ? y 2 ，求 f x (2,4) 。y ? ?z ? 4．设 z ? ln? x ? ? ，求 ?y 2x ? ?x ?1 y ?0。? ?? ? ?? 5．设 f ( x, y) ? e ? x sin(x ? 2 y) ，求 f x ? 0, ? 及 f y ? 0, ? 。 ? 4? ? 4?6．设 u ? ln( ? x ? y 2 ? z 3 ) ，当 x ? y ? z ? 1时，求 u x ? u y ? u z 。 1 7．求下列函数的偏导数 x （1） z ? ln tan ； （2） z ? arcsin(y x ) ； y?1? （4） z ? ? ? ? 3??y / x（3） z ? siny x ? cos ； y x；（5） z ? xy e sin ?xy ；（6） z ? ln(x ? ln y) ；（7） z ? x siny ； （8） u ? ? e t? ? e ?? ? t ； （9） u ? e? ?? cos(? ? ? ) x?z ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 8．求曲线 ? 在点 (1,1, 3 ) 处的切线与纵轴正向所成的角度。 ?x ? 1 ?9．求下列函数的全微分： （1） z ? e xy ? ln(x ? y) ； （2） z ? arctan （4） z ?x2 ? y2 x ?y2 2x? y 1 ? xy（3） z ? sin(xy) （6） u ? e x( x2；（5） z ? 2x e ? y ? 3x ? ln 3 ； （8） u ? ln(3x ? 2 y ? z ) ；? y2 ? z2 )；（7） u ? x yx ；（9） u ? arctan(x ? y) 2 。10．求下列函数在给定点处的全微分： （1） z ? x 4 ? y 4 ? 4x 2 y 2 ， （1，1） ；?? ? ? （2） z ? x sin(x ? y ) ? e x ? y , ? , ? 。 ?4 4?11．试示当 x ? 2 ， y ? ?1 ， ?x ? 0.02 ， ?y ? ?0.01 时，函数 z ? x 2 y 3 的全微分及全增 量的值。习题 10―31．设 z ? u 2 v ? uv 2 , u ? x cos y, v ? x sin y, 求 2．设 z ? u 2 ln v, u ? 3．设 z ? arctan?z ?z , 。 ?x ?yx ?z ?z , v ? 3 x ? 2 y ，求 , 。 y ?x ?yx , x ? u ? v, y ? u ? v ，证明 y27?z ?z u?v 。 ? ? ?u ?v u 2 ? v 24．设 z ?x2 ?z ?z , x ? u ? 2v, y ? v ? 2u ，求 , 。 y ?u ?v?z ?z , 。 ?x ?y5．设 z ? (2x ? y) 2 x? y ，求 6．设 z ?y f (x 2 ? y 2 )，其中 f 可微函数，验证1 ?z 1 ?z z ? ? 2 。 x ?x y ?y y7．设 z ? F ( x, y), x ? r cos? , y ? r sin? ，求 8．设 z ??z ?z 。 , ?r ??y dz 。 , x ? e t , y ? 1 ? e 2t ，求 x dt dz 。 dt dz 。 dt9．设 z ? e x?2 y , x ? sin t, y ? t 3 ，求10．设 z ? arcsin(x ? y), x ? 3t, y ? 4t 3 ，求 11．设 z ? arctan(xy), y ? e x ，求dz 。 dx1 dz 12．设 z ? tan(3t ? 2x 2 ? y), x ? , y ? t ，求 。 t dt13．设 u ?e ax ( y ? z ) a2 ?1 , y ? a sin x, z ? cos x ，求du 。 dx14．设 z ? ln 15．设 z ?x ? x2 ? y2 y， x ? cos t , y ? sin t ，在 t ??2处，求全导数的值。1 x? y ln , x ? sec t , ? 2 sin t ，在 t ? ? 处，求全导数的值。 2 x? y16．设 z ? arctany ?z d z 。 , y ? x 2 ，求 , x ?x d x ?z d z 。 , ?x d x17．设 z ? x y , y ? ? ( x) ，求习题 10―41．设x2 a2?y2 b2? 1 ，求dy 。 dx282．设 sin(xy) ? e xy ? x 2 y ? 0 ，求 3．设 ln x 2 ? y 2 ? arctandy 。 dxy dy ，求 。 x dx ?z ?z 4．设 x ? 2 y ? z ? 2 xyz ? 0 ，求 , 。 ?x ?y5．设 e z ? xyz ? 0 ，求?z ?z 和 。 ?y ?x ?z ?z 和 。 ?y ?x6．设 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2axyz ? 0 ，求 7．设x z ?z ?z ? ln ，求 和 。 z y ?y ?x 8．求由方程 2 xz ? 2 xyz ? ln(xyz ) ? 0 所确定的函数 z ? z ( x, y) 的全微分。9．求由方程组2 2 ? ?z ? x ? y ? 2 ?x ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 20 ?所确定的隐函数的导数 10．地由方程组dy dz 和 。 dx dx? xu ? yv ? 0 ? ? yu ? xv ? 1所确定的隐函数的偏导数?u ?u ?v ?v , 和 , 。 ?x ?y ?x ?y习题 10―51．求下列函数的二阶偏导数： （1） z ? sin(ax ? by) （4） z ? y ln x ； （2） z ? arcsin(xy ) ； （5） z 3 ? 3xyz ? a 3 ；?2z ?2z ? 。 ?x?y ?y?x（3） z ? x 2 y ； （6） x ? y ? z ? e ?( x? y ? z ) 。2．设 z ? e x (cos y ? x sin y) ，验证3．设 f ( x, y, z) ? xy 2 ? yz 2 ? zx 2 ，求 f xx (0,0,1), f xx (1,0,2) ，及 f zxy (2,0,1) 。 4．设 u ? f ( x, xy, xyz ) ，求? 2u ? 2u ? 2u , , 。 ?y?x ?z?y ?x?z? 2u ?x 25．设 u ? f ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ，求。296．设 u ? f ( s) ? g (t ), s ? x ? y, t ? x ? y ，验证? 2u ?x 2?? 2u ?y 2。习题 10―61．求函数 z ? x 2 ? xy ? 2y 2 在点（1，2）沿着与 x 轴正向构成 60?角的方向导数。 2．求函数 z ? x 2 ? 2x 2 y ? xy 2 ? 1 在点（1，2）沿着从该点到点（4，6）的方向导数。 3．求函数 z ? ln x 2 ? y 2 在点（1，1）沿着第一象限角平分线的方向导数。 4．求函数 u ? xy ? yz ? zx 在点（2，1，3）沿着从该点到点（5，5，15）的方向导数。习题 11―1t ?? ? 1．求曲线 x ? t ? sint , y ? 1 ? cost , z ? 4 sin 在点 ? ? 1,1,2 2 ? 处的切线及法平面方 2 2 ? ?程。1? t , z ? t 2 在点 t ? 1 处的切线及法平面方程。 t 1? t ? 3．求曲线 x ? a cos t , y ? a sin t , z ? bt 在 t ? 处的切线及法平面方程。 4 2 3 4．在曲线 x ? t , y ? t , z ? t 上求一点，使在该点的切线平行于平面 x ? 2 y ? z ? 4 。2．求曲线 x ?t2,y?5．求曲面 e z ? z ? xy ? 3 在点（2，1，0）处的切平面及法线方程。 6．求曲面 3x 2 ? y 2 ? z 2 ? 27 在点（3，1，1）处的切平面及法线方程。 7．求曲面 x 2 ? xy ? 8x ? z ? 5 ? 0 在点（2，-3，1）处的切平面及法线方程。 8．求曲面 z ? ax 2 ? by 2 在点（ x0 , y 0 , z 0 ）处的切平面及法线方程。 9．求椭球面 3x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16 上点（?1，?2，3）处的切平面与平面 z ? 0 的夹角。习题 11―21．求函数 f ( x, y) ? 4( x ? y) ? x 2 ? y 2 的极值。 2．求函数 f ( x, y) ? (2ax ? x 2 )(2by ? y 2 ) 的极值，其中， ab ? 0 。 3．求函数 f ( x, y) ? e 2 x ( x ? y 2 ? 2 y) 的极值。 4．求下列已知函数在指定条件下的极值： （1） z ? xy ，若 x ? y ? 1 ； （3） u ? x ? y ? z ，若 （2） z ? x 2 ? y 2 ，若x y ? ? 1， a b1 1 1 ? ? ， x ? 0, y ? 0, z ? 0 。 x y z5．从斜边长为 l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。 6．在半径为 a 的半球内求一个体积最大的内接长方体。30习题 12―11．证明 Riemann 积分中值定得。习题 12―21．求 2．求 3．求?? x eDxy?0 ? x ? 1 d x d y 的值，其中， D : ? 。 ?? 1 ? y ? 02?? ( x ? y)Dd xd y?1 ? x ? 2 的值，其中， D : ? 。 ?3 ? y ? 4?? eDx? y?0 ? x ? 1 d x d y 的值，其中， D : ? 。 ?0 ? y ? 14．求??D? ? ?0 ? x ? x 2 y cos(xy 2 ) d x d y 的值，其中， D : ? 2。 ?0 ? y ? 2 ?5．按照下列指定的区域 D 将二重积分?? f ( x, y) d x d y 化为累次积分：D（1） D : x ? y ? 1, x ? y ? 1, x ? 0 所围成的区域； （2） D : y ? x, y ? 3x, x ? 1, x ? 3 所围成的区域； （3） D : y ? 2 x ? 0,2 y ? x ? 0, xy ? 2 在第一象限中所围成的区域； （4） D : x ? 3, x ? 5,3x ? 2 y ? 4 ? 0,3x ? 2 y ? 1 ? 0 所围成的区域； （5） D : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 所围成的区域。 6．改变下列累次积分的积分次序： （1） （3） （5）? d y?01yf ( x, y)y1? x 2 0（2）??edx11?ln x 0x2f ( x, y) d y ；?1 ?1dx?f ( x, y ) d y ； （4）dx0?f ( x, y ) d y ?2ax 2ax ? x 20?3dx1?1 ( 3? x ) 2 0f ( x, y ) d y ；?1 ?1dx?1? x 2 ? 1? x2f ( x, y) d y ； （6）?2adx0?f ( x, y) d y 。7．计算下列二重积分： （1） （2） （3） （4）?? ( x ? 6 y) d x d y, D : y ? x, y ? 5 x, x ? 1所围成的区域；D?? x d x d y, D : y ? 2x, y ? x, x ? 4, x ? 2 所围成的区域；Dy?? x d x d y, D : y ? 2, y ? x, xy ? 1 所围成的区域；Dy?? ( xD2? y 2 ) d x d y, D : y ? x, y ? x ? a, y ? a, y ? 3a (a ? 0) 所围成的区域。8．把下列直角坐标形式的累次积分变为极坐标形式的累次积分：31（1） （3）?2Rdy0?2 Ry ? y 2 0f ( x, y ) d x ；（2）dx?Rdx0?R2 ? x2 0f (x 2 ? y 2 ) d y ；?R 1? R 2 0dx?Rx 0? y? f ? ?d y ? ?x??R R 1? R 2?R2 ? x2 0? y? f ? ?d y 。 ?x?9．将下列二重积分变成极坐标形式，并计算共值： （1） （2） （3）?? ln(1 ? xD2? y 2 ) d x d y ， D 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 所围在第一象限中的区域；??DR 2 ? x 2 ? y 2 d x d y ， D 为圆 x 2 ? y 2 ? Rx 所围在第一象限中的区域；?? arctan x d x d y ，D 为圆 xDy2? y 2 ? 4, x 2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x, y ? 0 围成的第一象限内的区域； （4）?? sinDx 2 ? y 2 d x d y, D : x 2 ? y 3 ? 4? 2 , x 2 ? y 2 ? ? 2 。习题 12―31．利用下列给出的积分区域，把2 2??? f ( x, y, z ) d x d y d z 化为三次积分：V（1）由曲面 z ? x ? y 及平面 z ? 1 所围成的区域 V ； （2）由曲面 z ? x 2 ? 2y 2 及 z ? 2 ? x 2 所围成的区域 V 。 2．计算下列三重积分：（1）???V（2）???VV?? 1 ? x ? 1 ? ，其中， V : ?1 ? y ? 2 ； 3 ( x ? y ? z) ?1 ? z ? 2 ? d xd yd z ，其中， V : x ? 0, y ? 0, z ? 0, x ? y ? z ? 1 所围成的四面体。 (1 ? x ? y ? z ) 3d xd yd z3．利用柱面坐标计算下列三重积分： （1）??? zx2 ? y2 d x d y d z ， 其中，V ： 柱面 y ? 2x ? x 2 及平面 z ? 0, z ? a(a ? 0) ，y ? 0 所围成的区域； d xd yd z （2） ，其中， V ：锥面 x 2 ? y 2 ? z 2 及平面 z ? 1 所围成的区域。 x2 ? y2 ?1 V???V4．利用球面坐标计算下列三重积分： （1）??? ( xV2? y2)d xd y d z ， 其中，V ： 半球面 z ? A 2 ? x 2 ? y 2 , z ? a 2 ? x 2 ? y 2（ A ? a ? 0 ）及平面 z ? 0 所围成的区域； （2）??? ( x2? y 2 ? z 2 ) d x d y d z ，其中， V ：球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 围成的区域。325．适当选择坐标计算下列三重积分： （1）??? xy d x d y d z ，其中， V ：柱面 xV2? y 2 ? 1 及平原 z ? 1, z ? 0, x ? 0, y ? 0 所围成的在第一卦限内的区域； z ln(x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1) （2） d x d y d z ，其中， V ：球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 所围成的 x2 ? y2 ? z2 ?1 V???区域。习题 12―41．求锥面 z ? x 2 ? y 2 被柱面 z 2 ? 2 x 所截下部分的曲面面积。 2．求球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 为平面 z ? 3．计算平面a a , z ? 所夹部分的曲面面积。 4 2x y z ? ? ? 1 被三个坐标面所割出部分的面积。 a b c 4．求直线 y ? x 上，由 x ? 0 至 x ? 4 的一段线段绕 x 轴旋转所得的旋转曲面的面积。5．求抛物柱面 y ? x , y ? 2 x 及平面 z ? 0, z ? x ? 6 所围成的物体（密度为 1）的质 量。 6．求由球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 围成的，密度为 ? ? x 2 ? y 2 的球面的质量。 7．求旋转抛物面 z ? x 2 ? y 2 及平面 z ? 1( x ? 0, y ? 0) 所围成的物体的质量（密度为 ? ?x? y） 。 8．求由圆锥面 z ? 1 ? x 2 ? y 2 与平面 z ? 0 所围立体的重心（密度 ? ? 1 ） 。 9．求由旋转抛物面 z ? x 2 ? y 2 与平面 z ? 1 所围立体的重心（密度 ? ? 1 ） 。 10．求半径为 R ，高为 h ，密度 ? ? 1 的均匀圆柱体，绕过中心而平行于母线的轴的转 动惯量。 11．求半径为 R ，高为 h ，密度 ? ? 1 的均匀圆柱体，绕过中心而垂直于母线的轴转动 时的转动惯量。 12．一个物体是由两个半径各为 R 和 r (0 ? r ? 1 ? R) 的同心球面围成的，已知材料的 密度与到球心的距离成反比，且在距离等于 1 处时，密度为 r ，求物体的全部质量。 13． 球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2Rz 上任一点的密度在数量上等于此点到坐标原点的距离的平 方，试求球体的重心。习题 12―51．求 2．求 3．求?Ldl ，其中， L 是点 A （0，?2）到点 B （4，0）的直线段。 x? y? ?Lxy d l ，其中， L 是由 x ? 0, y ? 0, x ? 4, y ? 2 所围成的矩形路线。? x ? a cos t (0 ? t ? 2? ) 。 ( x 2 ? y 2 ) n d l ，其中， L 为圆周 ? L ? y ? a sin t334．求 5．求 6．求??? x ? a(cos t ? t sin t ) (0 ? t ? 2? ) 。 ( x 2 ? y 2 ) d l ，其中， L 为曲线 ? L ? y ? a(sin t ? t cos t )L( x ? y) d l ，其中， L 为以 O(0,0), A(1,0), B(0,1) 为顶点的三角形的边。?Ly d l ，其中， L 为抛物线 y 2 ? 2 px 由点 O(0,0) 到点 A( x 0 , y 0 ) 的一段弧。? x ? t cos t ? 7．求 z d l ，其中， ? 为有界的螺线 ? y ? t sin t (0 ? t ? t 0 ) 。 ? ?z ? t ? ? x ? a cos t z2 ? 8．求 d l ，其中， ? 为螺线 ? y ? a sin t (0 ? t ? 2? ) 。 ? x2 ? y2 ? z ? at ???习题 12―61．求?? f ( x, y, z ) d S ，其中， S 为抛物面 z ? 2 ? (xS2? y 2 ) ，在 xOy 平面上的部分，f ( x, y, z ) 分别如下：（1） f ( x, y, z ) ? 1 ； 2．求 3． 求? 4 ?（2） f ( x, y, z) ? x 2 ? y 2 ；（3） f ( x, y, z ) ? 3z 。?? ? z ? 2x ? 3 y ? d S ，其中， S 为平面 2 ? 3 ? 4 =1 在第一卦限中的部分。 ? ?Sxyz?? (1 ? x ? y)SSdS2， 其中，S 为平面 x ? y ? z ? 1 及三个坐标所围成的四面体的表面。4．求?? ( x ? y ? z ) d S ，其中， S 为上半球面 z ?习题 13―1a2 ? x2 ? y2 。1．求曲线 r (t ) ? ti ? t 2 j ? t 3 k 上的点，使该点的切线平行于平面 x ? 2 y ? z ? 4 。 2．求曲线 r (t ) ? e t cos ti ? e t sin tj ? e t k 在 t ? 0 处的切线和法平面方程。? ( P sin t ? Q cos t ) ? R ，其中， P , Q , R 均为常向量，求函数 X (t ) 。 dt2 4．一质点以常角速度在圆周 r ? ae(t ) 上运动，其中 e (t ) 为圆函数。证明其加速度为 d2 X3．已知w??v2 a2r，2? 0其中， v 为速度 v 的模。 5．设 r ? ?a sin?i ? a cos?j ? bk ，求 S ?1 2?(r ? r ?) d ? 。34习题 13―21．指出下列数量场所在的空间区域，并指出其等值面： （1） u ?1 ； Ax ? By ? Cz ? D（2） u ? arcsinz x ? y22。2．求数量场 u ?x2 ? y2 经过点 M (1,1,2) 的等值面方程。 z1 3．求数量场 u ? ln 对应于 u ? 1 的等值面，其中， rr ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? ( z ? c) 2 。习题 13―31．求 一段弧。 2．求??L( x 2 ? y 2 ) d x ，其中， L 是抛物线 y ? x 2 上从点 O （0，0）到点 A （2，4）的Ly d x ，其中， L 是由直线 x ? 0, y ? 0, x ? 2, y ? 4 围成的按逆时针方向绕行的矩形回路。 3．求? ?(1,1) ( 0,0)xy d x ? ( y ? x) d y ，沿曲线：（2） y ? x 2 ； （3） y 2 ? x ； （4） y ? x3 。（1） y ? x ； 4．求 5．求Ly d x ? x d y ，其中， L 为圆周 x ? R cos t , y ? R sin t 由 t1 ? 0 到 t 2 ??2的弧段。?Ly d x ? z d y ? x d z ，其中， ? 为曲线 x ? a cos t , y ? a sin t , z ? bt 上从 t1 ? 0 到t 2 ? 2? 的曲线弧段。6．求?? ( y2? z 2 ) d x ? 2 yz d y ? x 2 d z ，其中， ? 为曲线 x ? t , y ? t 2 , z ? t 3 上从 t1 ? 0到 t 2 ? 1 的曲线弧段。 7．求?? x d x ? y d y ? (x ? y ? 1) d z ，其中， ? 是从点（1，1，1）到点（2，3，4） ?L的直线段。 8．把第二类曲线积分P( x, y) d x ? Q( x, y) d y 化成第一类曲线积分，其中， L 为沿35抛物线 y ? x 2 从点（0，0）到点（1，1）的曲线弧段。 9．把第二类曲线积分?? P d x ? Q d y ? R d z 化为第一类曲线积分，其中， ? 为曲线x ? t , y ? t 2 , z ? t 3 上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧段。习题 13―41．应用 Green 公式将曲线积分?x 2 ? y 2 d x ? y[ xy ? ln(x ? x 2 ? y 2 ) ] d yL化为边界线 L 所围成区域 D 上的二重积分，其中， L 依逆时针方向，且域 D 不包含原点。 2．应用 Green 公式计算曲线积分?其中， L 为按逆时针方向绕椭圆 3．计算曲线积分( x ? y) d x ? ( x ? y) d y ，Lx2 a2?y2 b2? 1 一周的路径。I??? (e ANOxsin y ? my) d x ? (e x cos y ? m) d y ，? 其中， ANO 为由点 A(a,0) 到点 O(0,0) 的上半圆周 x 2 ? y 2 ? ax 。4．利用曲线积分计算星形线 x ? a cos3 t , y ? a sin3 t (0 ? t ? 2? ) 所围成的图形的面积。 5．验证沿分段光滑的任意闭路的曲线积分?其中， ? ( x), ? ( y) 为连续函数。L? ( x) d x ? ? ( y ) d y ? 0 ，6．验证沿分段光滑的任意闭路的曲线积分?7．证明f ( xy)( y d x ? x d y) ? 0 ，L其中， f (xy ) 关于中间变量 u ? xy 有一阶连续偏导数。?yd x ? xd yLx2只与 L 的起止点有关而与所取的路径无关，其中， L 不经过 y轴，并求曲线积分I?的值。?(1, 2) y d x ( 2,1)? xd y x2368．证明?L( x 4 ? 4 xy 3 ) d x ? (6 x 2 y 2 ? 5 y 4 ) d y 只与 L 的起止点有关而与所取的路径无关，并求曲线积分I?的值。?(3,0) ( ?2, ?1)( x 4 ? 4 xy 3 ) d x ? (6 x 2 y 2 ? 5 y 4 ) d y9．力 F 在坐标轴上的投影为 X ? x ? y 2 , Y ? 2xy ? 8 ，由该力构成力场，证明质点在 此场内移动时，场力所做的功与路径无关。 k 10． 设在半平面 x ? 0 中有力 F ? ? 2 ( xi ? yj ) 构成力场， 其中 k 为常数， ? x 2 ? y 2 。 r r 证明在此力场中力所做的功与所取路径无关，而只与起止点有关。 11．验证下列 P( x, y ) d x ? Q( x, y ) d y 在整个 xOy 平面内是某一函数 u ( x, y ) 的全微分， 并求出这样的一个函数 u ( x, y ) ： （1） ( x ? 2 y ) d x ? (2 x ? y ) d y ； （2） 2 xy d x ? x 2 d y ；（3） 4 sin x sin 3 y cos x d x ? 3 cos 3 y cos 2 x d y ； （4） (3x 2 y ? 8xy 2 ) d x ? ( x 3 ? 8x 2 y ? 12y e y ) d y ； （5） (2x cos y ? y 2 cos x) d x ? (2 y sin x ? x 2 sin y) d y 。习题 13―51．计算 外侧为正。 2．计算 3． 计算??S Sx 3 d y d z ，其中， S 为椭球面x2 a2?y2 b2?z2 c2? 1( x ? 0) 的部分，取椭球面的?? xS2y 2 z d x d y ，其中， S 为球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 的下半部的下侧。其中， ?? ( x ? y ? z) d x d y ? ( y ? z) d y d z ， S 为三个坐标面及平面 x ? 1 ，y ? 1 ，z ? 1 围成的正方体表面的外侧。4． 把第二类曲面积分?? P( x, y, z ) d y d z ? Q( x, y, z ) d z d x ? R( x, y, z) d x d y 化为第一类S曲面积分： （1） S 是平面 3x ? 2 y ? 2 3z ? 6 在第一卦限的部分的上侧； （2） S 是抛物面 z ? 8 ? ( x 2 ? y 2 ) 在 xOy 平面上方的部分的上侧。习题 13―61．应用 Stokes 公式计算下列曲线积分：37（1）? ? ( y ? z ) d z ? ( z ? x) d y ? ( x ? y ) d z ， 其 中 ， ?2为 椭 圆 x2 ? z 2 ? a2 ,x y ? a b? 1(a ? 0, b ? 0) ，若从 x 轴正向看去时，该椭圆取逆时针方向；（2）? ? 2 y d x ? 3x d y ? zd z ，其中， ? 是圆周 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 9, z ? 0 ，若从 z 轴正向看去，取逆时针方向。 2．应用 O―G 公式计算下列曲面积分： （1） ( x 2 ? yz ) d y d z ? 2 x 2 y d z d x ? z d x d y ， 其中，S 是由平面 x ? a, y ? a, z ? a 及S??三个坐标面围成的正方体表面外侧 (a ? 0) ； （2） （3）?? x d y d z ? y d z d x ? z d x d y ，其中， S 为球面 xS2? y 2 ? z 2 ? R 2 的外侧；?? xS3d y d z ? y 3 d z d x ? z 3 d x d y ，其中， S 为球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 的外侧。习题 13―71 ．直接 应用方 向导数公式 和作为梯 度在该 方向上 的 投影这 两种方 法求数 量场 u ? xy ? yz ? zx 在点 M (1, 2, 3) 处沿其向径方向的方向导数。 2． 求数量场 u ? x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? xy ? 3x ? 2 y ? 6z 在点 Ml1 (0, 0, 0) 与 M 2 (1, 1, 1) 处梯度 的模和方向余弦。在哪些点处的梯度为零？ 3．证明： u 是线性函数 u ? ax ? by ? cz ? d 的充分必要条件是 grad u 是常向量。 4．证明：数量场 u ? u (M ) 沿等值面上任一曲线的方向导数都等于零。习题 13―81．设向量场A ? yzi ? zxj ? xyk ，求（1）求过圆柱 x 2 ? y 2 ? a 2（ 0 ? z ? h ）的侧表面的通量；（2）穿过此圆柱体全表面的通量。 2．求 divA 在给定点处的值： （1） A ? x 3 i ? y 3 j ? z 3 k 在 M (1,0,?1) 处； （2） A ? 4xi ? 2xyj ? z 2 k 在 M (1, 1, 3) 处； （3） A ? xyz ( xi ? yj ? zk ) 在 M (1, 3, 2) 处。习题 13―91．求向量场 A ? ? yi ? xj ? ck 沿下列曲线正向的环量：38（1）圆周： x 2 ? y 2 ? R 2 , z ? 0 ；（2）圆周： ( x ? 2) 2 ? y 2 ? R 2 , z ? 0 。2．求向量场 A ? xyz (i ? j ? k ) 在点 M (1, 3, 2) 处的旋度。 3．已知向量 A ? P( x, y )i ? Q( x, y) j ，求 rot A 。习题 14―1根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的敛散性： 1． 3．?n ?1 ??( n ? 1 ? n) 。2. 3.? (2n ? 1)(2n ? 1) 。1?? n(n ? 1)(n ? 2) 。1n ?1? sinn ?1n ?1 ?n? 。 6习题 14―21．判定下列级数的敛散性：8 8 2 83 ? ? ??； 9 9 2 93 1 1 1 1 ? ? ??； （3） ? 3 4 3 3 3 3（1） ?（2）1 1 1 1 ? ? ? ? ?； 3 6 9 12（4） 1 !?2 !?3 !?4 !? ? ；?1 1? ?1 1 ? ?1 1 ? （5） ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ； ?2 e? ?3 e ? ?4 e ?2 3 ?1 8? ? 1 8 ? ? 1 8 ? （6） ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 。 9 ? ?6 9 ? ?6 9? ?6 ? ? ? ?? ? ?2．证明：如果函数?n ?1u n 收敛，?n ?1v n 发散，那么级数? (un ?1n? v n ) 发散。习题 14―31．利用比较判别法，判定下列级数的敛散性： （1）?n ?1 ? n ?1?1 ； 2n ? 1 ? 1?（2）?? n ?11 ； (n ? 1)(n ? 4) n ?1 1 (a ? 0) ；?（3）?nn ?1 ? n ?2?n!n；（4）? ?1 ? cos n ? ； ? ?（5）?1? a39n（6）? ln n 。12．利用比值判别法，判定下列级数的敛散性：（1）?n ?1 ??n?2 2n；（2）?5n ； n! n ?1?（3）?n ?1 ??2 n ? n! nn；（4）?? 2 ? 5 ? ? ? (3n ? 1) ? ； （5） n tan n ； 1 ? 5 ? ? ? (4n ? 3) 2 n ?1 n ?1??（6）?n ?1x 2n 。 n!3．用根值判别法判定下列级数的敛散性：? n ? （1） ? ? ； 2n ? 1 ? n ?1 ??? n ?1?n（2）? (ln(n ? 1))1n ?1n；（3）?? n ? ? ? 3n ? 1 ? n ?1 ??2 n ?1；（4）??n2n1? ?n ? ? n? ?n；（5）??? b ? ?a n ?1 ? n?? ? ，其中 a n ? a(n ? ?), a n , b, a 均为正数，且 b ? a 。 ? ?4．用适当的方法判定下列级数的敛散性： （1）? na ? b (a ? 0, b ? 0) ；1n ?1 ?（2）?n ?1 ? n ?1?3 n ? n! n nn n；（3）?n ?1?n ?1 ； n（4）?n ?12 n sin?3n；（5）?2cos 2n? 。 3习题 14―4判别下列级数的敛散性，如果是收敛的，指出是条件收敛还是绝对收敛： 1． 1 ?1 2 ? 1 3 ? 1 4 ??? (?1) n ?1 n ??。2．(?1) n ?1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ?。 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln(n ? 1)1 sin3．?2?2?1?3sin?3?1?4sin?4???(?1) n ?1?n ?1sin?n ?1??。4．?(?1) n ?1 n 2 2 。 n! n ?140?5．?n ?1?(?1)n ( n ?1) 2n10 2n。习题 15―21．求下列级数的收敛域： （1）? nxn ?1 ? n ?1 ??n；（2）?n ?1 ??n! x n ；（3）?n ?1 ??(?1) n n2xn ；（4）? n?3 ?n ?1 ?xnn；（5）?n ?1( x ? 5) n n；（6）?n ?1(?1) n ?1( x ? 1) n 5n（7）(ln x) n ；（8）x x2 x3 xn ? ? ??? ? ?。 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n2．求下列级数的和函数 （1）? 4n ? 1 ；n ?1x 4 n ?1（2）? nxn ?1?n ?1；（3）?n ?1?n(n ? 1) n ?1 x 。 23．求幂级数?n ?1?? x 2 n ?1 1 的和函数，并求级数 的和。 n 2n ? 1 n ?1 (2n ? 1)2?习题 15―31．将下列函数展开成 Maclaurin 级数。 （1） e ? x ；2（2） cos 2 x ； （5）（3） cos x 2 ； ； （6） （9）（4） （7）x 10 ； 1? xx 1 ? x ? 2x2x x ? 5x ? 62；?x arctan t 0td t ； （8）?x 0dt 1? t4；1? x 。 1? x?? ? 2．将函数 f ( x) ? cos x 展开成 ? x ? ? 的幂级数。 3? ? 1 3．将函数 f ( x) ? 展开成 ( x ? 4) 的幂级数。 1? x 1 4．将函数 f ( x) ? 2 展开成 ( x ? 2) 的幂级数。 x ? 4x ? 841习题 15―4利用函数的幂级数展开式计算下列各数的近似值，使误差不超过 0.0001。 0.5 1 ? 1． 4 245 。 2. sin 。 3. d x。 0 1 ? x4 20?4．1? ?1 2 0e ?x d x2（这里取1?? 0.56419 ） 。习题 16―11． （1）将函数?0 (?? ? x ? 0) f ( x) ? ? ?1 (0 ? x ? x)展开成 Fourier 级数； （2）求级数 1 ? 2．将函数?0 (?? ? x ? 0) f ( x) ? ? ? x (0 ? x ? x)1 1 1 ? ? ? ?的和。 3 5 7展开成 Fourier 级数。 3．利用? ( 2n) ?1n ?1 2??? ? 1 ?2 1 1 1 ，求级数 的和 S 。 ? 2与 ? 2 2 8 4 n n ?1 (2n ? 1) n ?1 n ?1 n???习题 16―21．将函数?? 1 (?? ? x ? 0) ? f ( x) ? ? 0 ( x ? 0) ?1 (0 ? x ? x ) ?展开成 Fourier 级数。 2．将函数f ( x) ?| x | (?? ? x ? ? )展开成 Fourier 级数。习题 16―31．展开 f ( x) ? e 2 x(0 ? x ? ? ) 为余弦级数。422．展开 f ( x) ? ? sinx ?1 2（ 0 ? x ? ? ）为正弦级数。习题 16―41．将下列各周期函数展开成 Fourier 级数（下面给出函数在一个周期内的表达式） 1 1 （1） f ( x) ? 1 ? x 2 , (? ? x ? ) ； 2 2 ? ? x (?1 ? x ? 0) ? 1 ? （2） f ( x) ? ? 1 (0 ? x ? ) ； 2 ? ?? 1 ( 1 ? x ? 1) ? 2 ? ?2 x ? 1 (?3 ? x ? 0) （3） f ( x) ? ? (0 ? x ? 3) ? 1 2．将下列函数分别展开成正弦级数及余弦级数： 1 ? (0 ? x ? ) ? x 2 ； （1） f ( x) ? ? （2） f ( x) ? x 2 l ?l ? x ( ? x ? l ) 2 ? 3．将函数 ? ? ? (? ? x ? ) ? x 2 2 f ( x) ? ? ? 3? ?? ? x ( ? x ? ) 2 2 ? 展开成 Fourier 级数。(0 ? x ? 2) 。习题 16―51． f (x) 是周期为 2 的周期函数， 设 它在区间[?1， 1?上的表达式为 f ( x) ? e ? x 。 试将 f (x) 展开成指数形式的 Fourier 级数。 2．设 u (t ) 是周期为 T 的周期函数。已知它的 Fourier 级数的指数形式为u (t ) ?h? h ? T ?1 n?? i sin e n T n ? ????2 n?t T(?? ? t ? ??) 。试与出 u (t ) 的 Fourier 级数的实数形式。习题 17―11．指出下列微分方程的阶： dy （1） ? y3 ? x3 ； dx （3） ( y ?) 2 ? ( y ??) 3 ? y ??? ? x 8 ； （2） 3x 2 d y ? 2 y 4 d x ? 0 ； （4） y ??y ? ? x n y ?? ? y 。432．指出下列各题中的函数是否为所给方程的解，若是解，是否是通解？ （1） ( x ? y ) d x ? x d y ? 0, y ? （3） y ?? ? x 2 ? y 2 , y ?c2 ? x2 ； 2x（2） y ?? ? y ? 0 ， y ? 3 sin x ? 4 cos x ；1 ； x （4） y ?? ? (?1 ? ?2 ) y ? ? ?1?2 y ? 0, y ? C1 e ?1x ? C2 e ?2 x 。习题 17―21．求下列微分方程的通解： （1） x sec y d x ? ( x ? 1) d y ? 0 ； （3） y ? ? y ln y ；dy ? 10 z ? y ； dx （4） tan y d x ? cot x d y ? 0 。（2）2．求下列微分方程满足给定初始条件的解 （1） y 2 d x ? ( x ? 1) d y ? 0, y(0) ? 1 ； （2） y ? ? y( y ? 1), y(0) ? 1 ； yd y x ? dx? ? 0, y (0) ? 1 ； （3） （4） y cos x d y ? cos y sin x d x, y(0) ? ； sin 1? y 1? x 4 （5） ( y 2 ? xy 2 ) d x ? ( x 2 ? yx 2 ) d x ? 0, y(1) ? ?1。 3．一曲线通过点（2，3） ，它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点平分，求该曲线 的方程。 4．设将质量为 m 的物体在空气中以速度 v 0 竖直上抛，空气阻力为 k 2 v 2 ，这里 k 为常 数， v 为运动速度，求速度 v 与时间 t 的函数关系。习题 17―31．求下列微分方程的解：y? y ? （2） ? x ? y cos ? d x ? x cos d y ? 0 ； x? x ? x? y y （3） xy? ? y ? x tan ； （4） xy ? ? y ? ( x ? y) ln 。 x x 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： x y dy （1） y ? ? ? , y (1) ? 2 ； （2） ( x 2 ? y 2 ) ? 2 xy, y(0) ? 1； y x dx（1） x 2 y d x ? ( x 3 ? y 3 ) d y ? 0（3） xy ? ? x 2 ? y 2 ? y, y(1) ? 1 ； 3．求下列微分方程的通解：（4） x(ln x ? ln y) y ? ? y, y(1) ? 1y?x?2 ； x? y?4? y?2 ? （1） y ? ? 2? ? x ? y ? 1? ； ? ? ?2（2） y ? ?（3） (3 y ? 7 x ? 7) d x ? (7 y ? 3x ? 3) d y ? 0 ； （4）dy 1 ? 。 d x x ? y ?144习题 17―41．求下列微分方程的通解： dy （1） cos 2 x ? y ? tan x ； dxx? 1（2） xy ? ? y ?x ； ln x（3） x 2 y ? ? y ? x 2 e x ； （4） xy ? ? y ? sin x 。 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： d y 2 ? 3x 2 dy ? y ? 1, y (1) ? 0 ； （1） （2） ? y tan x ? sec x, y(0) ? 0 ； dx dx x3 1 dI 1 （3） y ? ? （4） y ? 2( x ? 2) 2 , y(1) ? ?2 ； ? 6I ? ?10 sin 2t , I (0) ? 。 x?2 dt 2 3．一曲线的切线在纵轴上的截距总等于切点的横坐标，求此平面曲线的方程。 dy dy （1） （2） ? y ? y 2 (cos x ? sin x) ； ? 3xy ? xy 2 ； dx dx dy 1 ? （3） y ? ? 2xy ? xy 4 ? 0 ； （4） 。 d x xy ? x 2 y 3 5．常数变易法是推导一些微分方程的解的常用方法之一。该方法是我们已知一阶线 性齐次主程（2）的通解后，则猜想一阶线性非齐次方程（1）的解可以把（2）的通解中 的常数 C 换成待定未知函数 C (x) 而得到，即（1）有形如y ? C ( x) e??p( x) d x的解。试用这种方法推导出一阶线性非齐次方程（1）的解。习题 17―51．解下列微分方程： （1） 2xy d x ? ( x 2 ? y 2 ) d y ? 0 ； （2） 2 x(1 ? x 2 ? y ) d x ? x 2 ? y d y ? 0 ；（3） e ? y d x ? (2 y ? x e ? y ) d y ? 0 ； （4） (1 ? y 2 sin 2x) d x ? y cos 2x d y ? 0 ； y （5） d x ? ( y 3 ? ln x) d y ? 0 ； x ? 1? 1? ? m （6） ? x ? 2 xy 2 ? ? d x ? ? y n ? 2 x 2 y ? ? d y ? 0 (m, n ? ?1) ； ? x? y? ? ? ? xd y ? yd x ?0； （7） x d x ? y d y ? （8） ( x cos y ? cos x) y ? ? y sin x ? sin y ? 0 。 x2 ? y2 2．试用观察的方法，找出下列方程的一个积分因子，然后求解方程： （1） ( x ? y)(d x ? d y) ? d x ? d y ； （3） a( x d y ? 2 y d x) ? xy d y （2） ( x 2 ? y 2 ? 2x) d x ? 2 y d y ? 0 ；(a ? 0) ； （4） y(2xy ? e x ) d x ? e x d y ? 0 。45习题 17―61．求下列微分方程的通解： 1 （1） y ?? ? y ? ； （2） y ?? ? y ? ? x ； x （3） yy ?? ? ( y ?) 2 ? y 2 y ? ? 0 ； （4） y 3 y ?? ? 1 ? 0 。 2．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1） y ?? ? a( y ?) 2 ? 0, y(0) ? 0, y ?(0) ? ?1 (a ? 0) ； （2） y ?? ? ( y ?) 2 ? 1, y(0) ? 0, y ?(0) ? 0 ； （3） (1 ? x 2 ) y ?? ? 2xy ?, y(0) ? 1, y ?(0) ? 3 。 3．设有一质量为 m 的物体，在空气中由静止开始下落，如果空气阻力为 R ? k 2 v 2 ， 其中 v 为物体运动速度， k 为一常数，试求物体下落的距离 s 与时间 t 的函数关系。习题 17―81．求下列各微分方程的通解： （1） y ?? ? 9 y ? ? 20 y ? 0 ； （3） y ?? ? 7 y ? ? 12 y ? 5 ； （5） y ?? ? a 2 y ? e x ； （7） y ?? ? 3 y ? ? 2 y ? 3x e ? x ； （2） y ??? ? y ? 0 ； （4） 2 y ?? ? y ? ? y ? 2 e x ； （6） 2 y ?? ? 5 y ? ? 5x 2 ? 2x ? 1 ； （8） y ?? ? 2 y ? ? 5 y ? e x sin 2x ；（9） y ?? ? y ? e x ? cos x ； （10） y ?? ? y ? (2x 2 ? 3) ? 4 sin x 。 2．求下列各微分方程满足已给定初始条件的特解： （1） y ?? ? 2 y ? ? y ? e ? x ， y(0) ? 0, y ?(0) ? 0 ； （2） y ?? ? 3 y ? ? 2 y ? e 3x , y(0) ? 1, y ?(0) ? 0 ； （3） y ?? ? y ? ? sin 2 x, y(? ) ? 1, y ?(? ) ? 1 ； （4） y ??? ? 3 y ?? ? 3 y ? ? y ? 1, y(0) ? y ?(0) ? y ??(0) ? 0 。习题 17―9求下列 Euler 方程的通解： 1． x 2 y ?? ? xy ? ? y ? 0 ； 3． x 2 y ?? ? xy ? ? 2 y ? x ln x ； 2. x 2 y ?? ? 4xy ? ? 6 y ? x 4. x 3 y ??? ? 2xy ? ? 2 y ? x 2 ln x ? 3x 。习题 18―11．用数列极限的定义证明： ( ?1) n ?1 1 ?0； （1） lim （2） lim(1 ? n ) ? 1 ； n?? n?? n 103n 2 n2 ? 4 ?3；（3） limn ??46（4） limn2 3n9n ? 7 n 2．用数列极限的定义证明数列 {( ?1) } 发散。n ???0；（5） limn??2n ? 13?0；（6） lim q n ? 0 (| q |? 1) 。n ??3．设 a ? 0 ，用数列极限的定义证明极限 lim n a ? 1 。n ??4．用数列极限的定义证明数列极限的夹逼准则。 5．下述几种说法与数列 {u n } 极限是 A 的定义是否等价，并说明理由。 （1）对于任意给定的 ? ? 0 ，存在正整数 N ，使得当 n ? N 时，有 | u n ? A |? ? ； （2）存在正整数 N ，对任意给定的 ? ? 0 ，使得当 n ? N 时，有 | u n ? A |? ? ； （3）对于任意给定 ? ? 0 ，存在实数 M ，使得当 n ? M 时，有 | u n ? A |? ? ； （4）对于 0 ? ? ? 1 ，存在正整数 N ，使得当 n ? N 时，有 | u n ? A |? ? ； （5）对于任意给定的 ? ? 0 ，有正整数 N 使得当 n ? N 时，有 | u n ? A |? K ? ? ，其中 K 是与 ? 无关的常数； 1 （6）对于任意给定的正整数 m ，都有正整数 N ，使得当 n ? N 时，有 | u n ? A |? 。 m习题 18―21．用 ? ? X , ? ? ? 语言表述函数极限或无穷大的定义。填写下表：f ( x) ? A f (x) ? ? f (x) ? ?? f (x) ? ???? ? 0, ?? ? 0 ，使得当 0 ?| x ? x0 |? ? 时，有 | f ( x) ? A |? ?x ? x0? x ? x0 ? x ? x0x ?? x ? ?? x ? ?? 2．用函数极限的定义证明：?M ? 0, ?X ? 0 使得当 | x |? X 时，有 | f ( x) |? M（3） lim x ? a (a ? 0) ； ? 1； x ?a x2 ?1 4 x ?1 ?4； （4） lim cos x ? cos? ； （5） lim （6） lim e x ? 0 。 x ?1 x ? 1 x ? ?? x ?? 3．用函数极限的定义证明下列命题： （1）如果 lim f ( x) ? A, lim g ( x) ? B ，则 lim [ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B ； （1） lim （2） limx ??x ? x0 x ? x0 x ? x02x ? 1 2 ? ； x?? 3x ? 1 3x2 ?1（2）如果 lim f ( x) ? A, lim g ( x) ? B, ( B ? 0) ，则x?? x ??47x??limf ( x) A ? 。 g ( x) B4．用 H ine 定理证明函数极限的四则运算法则。 5．证明极限 lim x sin x 不存在。x ???习题 19―11．写出以下各数集的上、下确界： （1） E ? {x | a ? x ? b} ；? 1 ? . ? ? ? x ? ?? ? ； （2） E ? ? 2 ?1 ? x ?? ? n? n ? 1,2, ?? ； （4） E ? {正无理数}。 （3） E ? ?1 ? n sin 2 ? ? 2．设函数 f (x) 在 D 上有界，证明：sup{? f ( x)} ? ? inf{ f ( x)}x?D x?D3．若 {x n } 是一个无界数列，证明：存在子列 {x nk } ，使得 xnk ? ?(k ? ?) 。 4．设 {x n } 是发散的有界数列，证明：存在两个子列 {x nk } 与 {x mk } ，分别收敛于不同 的极限。 5．用有限覆盖定理证明区间套定理。 6．用区间套定理证明上确界存在原理。 7．证明单调有界函数的间断点是第一类间断点。习题 19―21．若 f (x) 在 [a,??) 上连续，且 lim f ( x) 存在，证明： f (x) 在 [a,??) 上有界。x ? ??2．设 f (x) 在 (a, b) 上连续，又 lim f ( x) ? A, lim f ( x) ? B ，且 A ? B ，则 ?? ? ( A, B) ， ? ?x ?a x?b?x 0 ? (a, b) ，使得 f ( x0 ) ? ? 。3．设 f (x) 在 [a, b] 上连续，如果 x n ? [a, b] ，数列 {x n } 收敛，且 lim f ( x n ) ? ? ，证明：x ????x 0 ? (a, b) ，使得 f ( x0 ) ? ? 。4．用一致连续定义验证 （1） y ? x 2 在 [0, 2] 上一致连续； （2） y ? x ? sin x 在 (??, ? ?) 上一致连续。 5．若 f (x) 在 [a, ? ? ) 上连续， lim f ( x) ? A ，证明： f (x) 在 (a, ? ? ) 上一致连续。x ???48习题 20―1? 1 ( x为有理数 ) f ( x) ? ? ?? 1 ( x为无理数 ) 证明： | f ( x) | 在任意区间 [a, b] 上可积，而 f (x) 在 [a, b] 上不可积。1．设2．讨论下面的函数在相应区间上是否可积。 x ?[a, b] ； （1） f ( x) ? [ x]?0 ? （2） f ( x) ? ? 1 ?n ? ( x ? 0) 1 1 ( ?x? ) n ?1 n x ? [0, 1] ；（3） f (x) 在 [?2, 2] 上有界，它的不连续点是1 （n=1，2，?） n?1 1 ? ? [ ] (0 ? x ? 1) 3．已知 f ( x) ? ? x ，证明： f (x) 在[0，1]上可积。 x ? 0 ( x ? 0) ?习题 20―21．下列函数在指定的区间上是否可只？（1） f ( x) ?1 x(| x |? 1) ；1 ? ( ? x ? 1) ? x 2 ? 1 1 ? （2） f ( x) ? ?1 ? x (? ? x ? ) ； 2 2 ? 1 ? 1 (?1 ? x ? ? ) ? 2 ?( x ? 0) ? 0 ? （3） f ( x) ? ? 1 ； （4） f ( x) ? sgn (sin x) (0 ? x ? ? ) ； (0 ? x ? 1) ? x ? （5） f ( x) ? max{ ? ( x),? ( x)}, a ? x ? b ，其中 ? (x) 和 ? (x) 都是 [a, b] 上的连续函数；（6） f ? ( x) ? max{ f ( x), 0}, f ? ( x) ? ? min{ f ( x),0}, a ? x ? b ，其中 f (x) 是 [a, b] 上的 连续函数。 2．设