第七章微分方程；§1微分方程的基本概念一.基本概念:；1.微分方程;凡表示未知函数,未知函数的导数与自；5.微分方程的解;将某个已知函数代入到微分方程的；7.微分方程的初始条件与特解.；8.微分方程的积分曲线:微分方程的解的图象是一条；P263．5．写出由下列条件所确定的曲线所满足的；y)；的切.；解：设该曲线的方程为；y?f(x),则由题意得:y'
第七章 微分方程
§1 微分方程的基本概念 一.基本概念:
1.微分方程; 凡表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系式称为微分方程． 2.常微分方程; 如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称此类方程为常微分方程． 3.偏微分方程;
如果微分方程中的未知函数是多元函数，则称此类方程为偏微分方程． 4.微分方程的阶; 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，就称为此微分方程的阶．
5.微分方程的解; 将某个已知函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式，那么就称此已知函数为此微分方程的解． 6.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则这样的解就称为此微分方程的通解．
7.微分方程的初始条件与特解.
8.微分方程的积分曲线: 微分方程的解的图象是一条平面曲线，称此曲线为微分方程的积分曲线． 二．例题分析
P263．5．写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程: 例1．曲线在点处(x,
解：设该曲线的方程为
y?f(x),则由题意得: y'?x2.--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．
例2．曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被
解：设该曲线的方程为
y?f(x),且设曲线在点P处的法线记为L，则其斜率为?1/y'；设法线Ｌ与Ｙ轴的交点为点Ａ，
?y?k(X?x)且k??1/y'
再设法线Ｌ上任意一点Ｍ的坐标为M(X,Y)，进而得法线Ｌ的方程为：Y即Y
?y??(X?x)/y'；则易求得：XQ?x?y?y'且YA?y?x/y'．．．．．．．．①
．．．．．．．．．② XQ?XP?2XA且YQ?YP?2YA．
由题意知点Ａ为线段PQ的中点知：由上述①，②两式最终可得：2x
?y?y'--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．
§2．可分离变量的一阶微分方程
（注：它是一类最易求解的微分方程！） 一．一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式：
一般形式：F(x,y,y')
?0?对称形式：P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
二．何为可分离变量的一阶微分方程？
如果某一阶微分方程由对称式：P(x,y)dx?Q(x,y)dy可等价地转化为
f(x)dx?g(y)dy?0的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程．
三．可分离变量的一阶微分方程的基本解法：（可由如下两步来完成求解过程）
第一步：进行自变量x，dx与因变量
y，dy的左右分离；
第二步：方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解．
§３．一阶齐次微分方程
（注：它是一类经变量代换之后，可转化为＂变量左右分离的一阶微分方程！） 一．一阶齐次微分方程的定义：
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dyy?f(x,y)中，如果方程右边的函数f(x,y)可写成dxxdyy
??()，则称此微分方程为一阶齐次微分方程． 也即原方程形如：dxx
在某个一阶微分方程
二．一阶齐次微分方程的基本解法：
转化求解法DDD即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程；然后再按变量分离方程的解法去求解即可！具体地说， 第一步，作变量代换令u
的函数式即
f(x,y)??()，
dydu?u?xdxdx
，代入原一阶齐次微分方程
??()得：u?x??(u)； dxxdx
第二步，进行变量u与x的左右分离得：
第三步，两边求不定积分即可得其解．．．． 三．例题分析
参见Ｐ271．例１． 又如．Ｐ276．１．（4）．求方程(x
?y3)dx?3xy2dy?0的通解．
，作变量代换令u
dyx3?y3x2y解：原方程可转化为3??2?2
则原方程转化为：3(u?x
dydu?u?x； dxdx
)?2?u（注意：齐次方程在进行变量代换之后，一定是可以进行变量分离的！） dxu
??2u??．最后两边作不定积分即可．紧接着就进行自变量与因变量的左右分离?x．． dxu21?2ux
§４．一阶线性微分方程 一．一阶线性微分方程的定义： 称形如：
?P(x)y?Q(x)的方程为一阶线性微分方程． dx
y及其导数y'来说是一次线性组合的形式，所以称上述方程为＂线性＂方程！）
（注：因为方程的左边对未知函数（i）.当Q(x)
?P(x)y?0为一阶线性齐次微分方程． dxdy
?P(x)y?Q(x)为一阶线性非齐次微分方程． （ii）.当Q(x)?0时，则称dx
?0时，则称
二．一阶线性微分方程的解法（常数变易法是求解线性非齐次方程的基本方法）
１．所谓的＂常数变易法＂：就是为了求解某一阶线性非齐次方程，可先去求解与其所对应的齐次方程；然后在所得齐次方程的通解中，将任意常数Ｃ代换成一个待定的未知函数u(x)来构造生成非齐次方程的解；最后再将由此法构造生成的解，代回原非齐次方程中去确定那个待定函数u(x)的表达式．DDD整个这样的求解过程就称为非齐次方程的常数变易法．（可参考Ｐ278．例１）
２．一阶线性微分方程：
?p(x)dxp(x)dxdy
?P(x)y?Q(x)的通解公式如下：y?e??[?Q(x)?e?dx?c]DDD请牢记！ dx
三．伯努利方程（注：它是一类经变量代换之后可转化为可分离变量的一阶微分方程！） １．伯努利方程的定义
……………………………..高数下册辅导材料------徐松林版………………………………… 2
我们称形如：
?P(x)y?Q(x)?yn．．．．（＊）的方程为＂伯努利方程＂（或称＂n级伯努利方程＂）． dx
?(1?n)y1?n?，将其代入原n级伯努利方程（＊）可得 dxdx
２．伯努利方程的解法（变量代换转化法）
?(1?n)p(x)?z?(1?n)?Q(x)-----这是一个一阶线性非齐次方程! dx
进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解,这样也就求出原伯努利方程（＊）的解! ３．变量代换法在求解微分方程中的运用
利用变量代换（包括自变量的变量代换和因变量的变量代换），把一个微分方程转化为可分离变量方程，或转化为一个已知其求解步骤的方程，这是解微分方程的常用方法． 例１．解方程．Ｐ282．9．（1）．
?(x?y)2 dx
dydududu??1?u2??u2?1?2?dx两边积分就可得其解．解：可令u?x?y，则原方程转化为．．．． dxdxdxu?1
例２．Ｐ282.9.（3）解方程xy'?解：可令u
y?y(lnx?lny)
代入原方程得： dx
?lnx?lny?lnxy?xy?eu两边关于自变量Ｘ求导得?y?xy'?eu?
ueux?1?eu?
dududx??两边积分就可得其解．．．．． dxux
§６．可降阶的高阶微分方程 （本节着重掌握三种容易降阶的高阶微分方程的解法） 一．二．
y(n)?f(x)型微分方程DDDD这类高阶微分方程的解法很简单，只要两边积分n次，就可得其通解．
y''?f(x,y')型微分方程
y''?f(x,y')的类型是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含因变量y＂．
首先此方程
?此类方程的解法：运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令p?，则，
?f(x,p)DDD这是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的dx
??(x,c1)?dy??(x,c1)dx，最后只要两边再作解法去求解．．．．．得其通解设为p??(x,c1)又p?，也即有
进而原方程转化为：
一次积分，就可得原二阶显微分方程的解． 三．
y''?f(y,y')型微分方程
y''?f(y,y')的类型也是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是＂不显含自因变量x＂．
dyd2ydpdpdydp
p?，则，进而原方????p?
dxdx2dxdydxdy
此类方程的解法：也是运用变量代换进行降阶求解．具体地，可令
?f(y,p)DD这也是一个一阶显微分方程．根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去dy
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求解．．．设得其通解为
p??(y,c1)又p?
??(y,c1)?dx?，也即有，最后只要两边再作一次积分，
dxdx?(y,c1)
就可得原二阶显微分方程的解． 四．例题分析
Ｐ292．1．（5）求解方程：
y''?y'?x
y，即y''?f(x,y')型．
解：第一步：判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显含因变量
?接着可令p?，则
?x?p．?p?x．DDD这是一阶线性非齐次方程? dxdx
由一阶线性非齐次方程的通解公式知：进而知：
p?e??[?x?e?dx?c]?ex?[?xe?xdx?c]??x?e2x?cex；
??x?e2x?cex?dy?(e2x?cex?x)dx，最后只要两边再作一次积得原方程的通解．．．．． dx
五．微分方程的参数方程形式的隐式通解及其在有关问题中的运用
所谓＂微分方程的参数方程形式的隐式通解＂就是将微分方程的通解用参数方程形式来刻画． 即将微分方程的自变量x与因变量
y都表达成某个参数p的函数式的形式．
例如：Ｐ292．1．（4）求解方程：
y''?1?y'2．
y，它同属y''?f(x,y')与y''?f(y,y')型；所以解
解：首先判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显变量x和
法相对由自．以下我们来介绍微分方程的参数方程形式的隐式通解给大家！
dydpd2ydpdpdp2
?1?p???dx?先设p?，则．进而原方程转化为：?1?p2??dx．
dxdxdx2dx1?p2
?x?arctanp?c1DDD这就求得了自变量x关于参数p的函数式；
以下再来求出因变量
y关于参数p的函数式，进而就可得原方程的参数方程形式的隐式通解．
y?ln(1?p2)?c2； ?dy?pdx?，所以2
?x?arctanp?c1
从而原方程的参数方程形式的隐式通解为：?． 12
y?ln(1?p)?c2??2
注：运用同样的方法，大家可以尝试一下去求解Ｐ292．１．（8）；（9）；（10）． §７．高阶线性微分方程（主要的是学习二阶线性微分方程的有关理论！） 一．二阶线性微分方程的定义： 称形如：（注：方程的左边对未知函数（i）.当
y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)．．．．．．（＊）的方程为二阶线性微分方程．
y及其导数y',y''这三者来说，是一次线性组合形式！）
f(x)?0时，则称y''?P(x)y'?Q(x)y?0为二阶线性齐次微分方程．
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f(x)?0时，则称y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)为二阶线性非齐次微分方程．
二．二阶线性微分方程的解的结构
１．二阶线性齐次微分方程＂解的叠加原理＂ 定理１：设
y1(x)与y2(x)都是二阶线性齐次微分方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的解，
则此两解的任意线性组合
y?c1?y1(x)?c2?y2(x)也是此二阶线性齐次微分方程的解．
DDD定理１揭示了齐次方程的解所满足的一种性质．此性质常称为齐次方程＂解的叠加原理＂． ２．多个函数间的线性相关性与线性无关性的定义（参见教材Ｐ296从略）
特别地，两个函数
y1(x)与y2(x)在区间Ｉ上线性相关?
?常数，?x?Ｉ．
３．二阶线性齐次微分方程的通解的结构 定理２：设
y1(x)与y2(x)是二阶线性齐次微分方程y''?P(x)?y'?Q(x)?y?0的解，且y1(x)与y2(x)线性无关，
则此两解的任意线性组合
y?c1?y1(x)?c2?y2(x)就是原二阶线性齐次微分方程的通解．
DDD定理２揭示了如何用齐次方程的两个线性无关的特解去构造生成齐次方程的通解！
４．二阶线性非齐次微分方程通解的结构 定理３：设
．．（＊）的一个特解，且Y(x)是对应的二阶y*(x)是二阶线性非齐次微分方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)．
线性齐次方程通解．
y''?P(x)y'?Q(x)y?0的通解，则y?Y(x)?y*(x)就是原二阶线性非齐次微分方程（＊）的
DDD定理３揭示了如何用齐次方程的通解去构造非齐次方程的通解！即：非齐次通解５．二阶线性非齐次微分方程解的叠加原理（Ｐ297 定理４） 定理４：设有二阶线性非齐次微分方程
y＝齐次通解Y
＋非齐次特解
y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)，（其中f(x)?f1(x)?f2(x)．）
y1(x)是y''?P(x)y'?Q(x)y?f1(x)的特解，且y2(x)是y''?P(x)y'?Q(x)y?f2(x)的特解
y1(x)?y2(x)就是原二阶线性非齐次方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)的一个特解．
DDD定理４揭示了如何去求非齐次方程特解的一种方法．它通常又称为非齐次方程解的叠加原理！ ６．定理５：设
．．（＊）的两个不相等的特解， y1(x)与y2(x)是二阶线性非齐次微分方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)．则Y(x)?
y2(x)?y1(x)是对应的二阶线性齐次方程y''?P(x)y'?Q(x)y?0的一个非零特解．
DDD此定理揭示了如何用二阶线性非齐次方程的二个特解去构造生成对应的齐次方程的特解！ ７．例题分析Ｐ326.１．(4)．已知
y1?1,y2?x,y3?x2是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，试求该方程的通解？
y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x)．．．．（＊），
＋非齐次特解
分析与解答：设此二阶线性非齐次微分方程为则由定理３知：非齐次通解
＝齐次通解
y*，现由题意知＂非齐次特解y*＂可取
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