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2012级高数A复习题(习题)
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高等数学A(下)期末考试复习知识要点
多元函数求偏导数，多元复合函数求偏导数。
讨论二元函数的可微性。
偏导数存在函数取得极值的必要条件与充分条件。
利用对称性简化重积分的计算。
二重积分计算、极坐标系下二重积分的计算。
球坐标系下三重积分的计算。
功的计算，曲线积分与路径无关性。
对坐标的曲面积分的定义与计算。
高斯公式的应用。
数项级数敛散性判别法，比值判别法。
幂级数的收敛性质以及收敛区间。
函数展开成周期为2∏的正弦级数、余弦级数。
一、多元函数求偏导数，多元复合函数求偏导数
1、设函数由方程所确定，则=
2、设函数由方程所确定，其中有一阶连续偏导数，则=
3、设，则=
4、考虑二元函数的下面四条性质：
①在点处连续；
②在点处的两个偏导数连续；
③在点处可微；
④在点处的两个偏导数存在。
若用“”表示可由性质推出性质，则有（
5、若，则=（
6、设在极坐标：下不依赖于，即，其中有二阶连续导数，则=（
(C) ； (D) 。
7、设具有二阶连续导数，而，则=（
(A) ； (B) ； (C) ；
8、设，则（
答案：1、；2、；3、；
4（A）；5、（D）6、（A）；7、（C）；8、（C）
9、具有连续的二阶导数，求。
10、设由方程确定，其中具有连续偏导数，证明。
11、设，而由方程所确定，其中具有一阶连续偏导数，求。
二、讨论二元函数的可微性
1、设，根据偏导数定义求。
2、设 ，则在原点处(
(A)偏导数不存在；
(B)不可微；
(C)偏导数存在且连续；
3、设，证明在处连续且偏导数存在，但不可微
三、偏导数存在函数取得极值的必要条件与充分条件
1、函数在条件下的极大值是(
）是二元函数的极小点。
2、设函数在点处可微，则点是函数的极值点的必要条件为
3、若函数在点处取得极小值－3，则常数之积_____ 。
4、若函数在点处取得极值，则常数
5、讨论函数的极值。
四、利用对称性简化重积分计算
1、计算，其中是闭区域: 。
2、计算二重积分
3、设是由曲面所围的有界闭区域，计算。
4、设(其中则
5、其中是由球面所围成的闭区域 .
五、二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算
1、二次积分在极坐标系下的累次积分为
2、若，则区域D为（
3、设域是域D上的连续函数，则(
4、设为,当(
）围成的区域时，二重积分
6、计算其中D是直线所围成的闭区域。
7、,其中是由直线及所围成的闭区域。
8、计算二次积分
9、计算二重积分
其中D是以为顶点的三角形区域。
10、计算二次积分
11、试求曲面x2+y2=6－z与所围立体的体积。
六、球坐标系下三重积分的计算
1、设是由所确定的球体，试将化成球面坐标下的三次积分式。
2、设Ω是由闭曲面所围的立体，计算。（答：）
3、设连续，且，求，其中是由球面围成的立体。（答：1）
七、功的计算，曲线积分与路径无关性
1、设在单连通区域内有一阶连续偏导数,则在内与路径无关的条件是(
(A)充分条件;
(B)必要条件;
(C)充要条件.
2、设，因为，所以（
A．对任意闭曲线C，有；
B．在曲线C不围
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高数A期末复习题
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高等数学A2期末复习题
1．（1）设向量，且 ，则________________；
（2）点到平面的距离为________________；
（3）向量，求与的夹角为________________；
（4）面上的椭圆绕轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为______________。
2．已知和求：（1）向量在三坐标轴上的投影及分向量；
(3)的方向余弦；
(4)与平行的单位向量；
(5)求A与C两点之间的距离。
3．已知和，计算：（1）；
4．已知,,,两两都成角,且,求。
5. 设均为非零向量,（1）若，证明；
（2）若，且不共线，证明：。
6．已知的夹角,求。
7. 设，其中，问（1）为何值时？
（2）为何值时以为邻边的平行四边形面积8。
8．按下列条件求平面方程：
（1）平行于轴且经过两点；
（2）过点且平行于平面；
（3）通过轴且经过点；
（4）平行过点，且在三个轴上的截距相等；
（5）过点与垂直于直线；
（6）过点且垂直于两个平面；
（7）过两条平行直线与；
（8）过两点且与平面垂直。
9．求满足下列条件的直线的方程：
（1）过点且与直线平行；
（2）过点且与平面垂直；
（3）过两点；
（4）过点且与直线平行；
（5）过点 且与平面及都平行；
（６）过点且与直线垂直相交。
10．求过点，且与平面平行，又与直线垂直的直线方程。
11．求直线 与平面的夹角。
12．求点到直线 的距离。
13．求通过点且与平面成的平面的方程。
14.求过直线且与平面成角的平面方程。
第九章复习题
2 函数在点处存在偏导数是函数在该点可微的（
充分不必要
B必要不充分
D不必要不充分
3函数在点(0 ，0)处
A连续不存在偏导数
B存在偏导数不连续
C不连续又不存在偏导数 D连续又存在偏导数
则函数在点（1,1）处取（
5三元函数在点（1,1,1）处的全微分（ ）
1设 其中 则
2函数在点（5,1,2）处从点（5,1,2）到点（9,4,14）的方向导数为
3函数的定义域为
4设 其中有一阶连续偏导数
5设 则该曲面在点（1,1,1）处的切平面方程为
1求下列函数的偏导数
2求函数的全微分
其中存在二阶连续偏导数 求
，在处的切线方程和法平面方程
7求曲面在点（1,1,2）处的切平面方程和法线方程
8求函数在点（1,2,3）处沿p点的向径方向的方向导数
9求函数的极值
10将正数分成三个正数 ，使最大，m,n,p为已知数
第十章 复习题
一．选择与填空
1.设D：，则=
2.设D：，则
3.改变二重积分次序
4. 改变二重积分次序
5. 改变二重积分次序
6. 改变二重积分次序
7.设是平面围成的闭区域，则将三重积分化为先对z,再对x,最后对y的三次积分=
8.设是连续函数，则二重积分可化为（
（A）（B）
9.设为连续函数，则等于（
10.设区域D由曲线，围成，则（
11.设D是第一象限中曲线与直线围成的平面闭区域。函数在D上连续，则二重积分可化为（
12.设，其中由三个坐标面及平面围成，则I=（
13.由曲面及所围成的立体的体积为（
14. 计算I=，其中为所围成
正在加载中，请稍后...高等数学A(下)期末考试复习知识要点；1、多元函数求偏导数，多元复合函数求偏导数；3、偏导数存在函数取得极值的必要条件与充分条件；5、二重积分计算、极坐标系下二重积分的计算；高斯公式的应用；10、数项级数敛散性判别法，比值判别法；12、函数展开成周期为2∏的正弦级数、余弦级数；一、多元函数求偏导数，多元复合函数求偏导数1、设；xz?lncoszy所确定，则?
高等数学A(下)期末考试复习知识要点
1、 多元函数求偏导数，多元复合函数求偏导数。 2、 讨论二元函数的可微性。
3、 偏导数存在函数取得极值的必要条件与充分条件。 4、 利用对称性简化重积分的计算。
5、 二重积分计算、极坐标系下二重积分的计算。 6、 球坐标系下三重积分的计算。 7、 功的计算，曲线积分与路径无关性。 8、 对坐标的曲面积分的定义与计算。 9、
高斯公式的应用。
10、 数项级数敛散性判别法，比值判别法。 11、 幂级数的收敛性质以及收敛区间。
12、 函数展开成周期为2∏的正弦级数、余弦级数。
一、多元函数求偏导数，多元复合函数求偏导数 1、设函数z?z(x,y)由方程
xz?lncoszy所确定，则?z
。 2、设函数z?z(x,y)由方程z??(x?y,y?z)所确定，其中?(u,v)有一阶连续偏导数，?z
。 3、设u?xyz?
xyz?zxy?yz?u
。 4、考虑二元函数f(x,y)的下面四条性质：
①f(x,y)在点(x0,y0)处连续；
②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续； ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微；
④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在。 若用“P?Q”表示可由性质P推出性质Q，则有（
（A）（B）③?④?①
③?①?④ （C）（D）
5、若f(x,2x)?x?3x,fx(x,2x)?6x?1，则fy(x,2x)=（
6、设u?f(x,y)在极坐标：x?rcos?,y?rsin?下不依赖于r，即u??(?)，其中?(?)有二阶连续导数，
?2u?2u则2?=（
(B) ?(?)?(?)???(?)；
rrr12sin2?1(C) 2???(?)?； (D) ?(?)???(?)。 ?
7、设f(r)具有二阶连续导数，而r?
x?y,u?f(r)，则2?2=（
(A) f??(r)； (B) f??(r)?
f?(r)； (C) f??(r)?f?(r)；
(D) r2f??(r)； rrxy?0xy?0
，则fy?(1,0)?（
8、设f(x,y)??xy
D ?1； 答案：1、
?1zzztg?lncosyyy
；3、yz???2； 1??2zyx
4（A）；5、（D）6、（A）；7、（C）；8、（C）
9、u?f(x,xy,xyz)具有连续的二阶导数，求。
10、设z?z(x,y)由方程?(cx?az,cy?bz)?0确定，其中?(u,v)具有连续偏导数，证明
?z?z?b?c。 ?x?y
11、设y?f(x,u)，而u?u(x,y)由方程x?g(x,y,u)所确定，其中f,g具有一阶连续偏导数，求
二、讨论二元函数的可微性
1、设f(x,y)??x?y
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)
，根据偏导数定义求fx(0,0),fy(0,0)。
(x?y)sinx2?y2?0?22
x?y2、设f(x,y)?? ，则在原点(0,0)处f(x,y)(
?0x2?y2?0?
(A)偏导数不存在；
(B)不可微；
(C)偏导数存在且连续；
3、设f(x,y)??(x2?y2)32
x2?y2?0x2?y2?0
，证明f(x,y)在(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微
三、偏导数存在函数取得极值的必要条件与充分条件
1、函数f(x,y,z)?z?2在4x?2y?z?1条件下的极大值是(
) (A) 1 (B) 0 (C) ?1
）是二元函数z?x?y?3x?3y?9x的极小点。
A.(1,0)B.(1,2)C.(?3,0)D.(?3,2)
2、设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则点(x0,y0)是函数z的极值点的必要条件为
zx(x0,y0)?0,zy(x0,y0)?0
3、若函数z?2x?2y?3xy?ax?by?c在点(?2,3)处取得极小值－3，则常数a,b,c之积abc?_____ 。 答：30
4、若函数z?2x?ax?xy?2y在点(1,?1)处取得极值，则常数a?
。 答：?5。
5、讨论函数z?x?3xy?2x?2y?4的极值。 四、利用对称性简化重积分计算 1、计算
?3x?6y?9)d?，其中D是闭区域:x2?y2?R2 。
2、计算二重积分
??ydxdy ， 其中
(x?y?z)dv。 ????
3、设?是由曲面x?y?1,z?0,z?1所围的有界闭区域，计算4、设I?
(esiny?ztanx?3)dv(其中?:x?1,y?1,z?1)则I?
zln(x2?y2?z2?1)
dv,其中?是由球面x2?y2?z2?1所围成的闭区域 . 5、???222
五、二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算
1、二次积分
a2?x2?a2?x2
f(x,y)dy在极坐标系下的累次积分为
d??f(rcos?,rsin?)rdr
f(x,y)dxdy??d??
。 f(rcos?,rsin?)rdr，则区域D为（
Ax2?y2?ay,a?0;Cx?y?a;
Bx2?y2?ay,a?0;Dx?y?a,y?0;
3、设域D:x?y?a,f是域D上的连续函数，则(A)2?
f(x2?y2)dxdy?(
(B) 4???f(?)d?
(D) 4???f(?)d?
4、设D为x?y?a,当a?(
a2?x2?y2dxdy??.
5、当D是（
）围成的区域时，二重积分(A)x轴,y轴及2x?y?2?0；
(C) x轴,y轴及x?4,y?3；
(D)x?y?1,x?y?1. 答：A
??Dxdxdy,其中D是直线y?x,y?0,x??所围成的闭区域。 22
7、??(x?y?x)d?,其中D是由直线y?2,y?x及y?2x所围成的闭区域。
8、计算二次积分
dx?x?x2?y2dy
9、计算二重积分
其中D是以O(0,0),A(10,1)和B(1,1)为顶点的三角形区域。
10、计算二次积分
dy??dx?sin
11、试求曲面x+y=6－z与所围立体的体积。
六、球坐标系下三重积分的计算
1、设?是由x?y?(z?2)?1所确定的球体，试将
f(x2?y2?z2)dv化成球面坐标下的三次积分式。
f(x2?y2?z2)dv??
d??d??f(r2?22rcos??2)r2sin?dr
2、设Ω是由闭曲面x?y?z?2z所围的立体，计算I?
（答：(z?1)dv。????
3、设f(t)连续，且f(0)?0,f?(0)?1，求lim
x2?y2?z2)dxdyd，z其中?是由球面
x2?y2?z2?t2围成的立体。（答：1）
七、功的计算，曲线积分与路径无关性
1、设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数,则在D内与
?Pdx?Qdy路径无关的条件
?,(x,y)?D是(
(A)充分条件;
(B)必要条件;
(C)充要条件. 答：C 2、设I?
?P?Qy2?x2?yx
??2，所以（
）。 ?2dy，因为22222
?y?x(x?y)x?yx?y
A．对任意闭曲线C，有I?0；
B．在曲线C不围住原点时，有I?0；
与在原点不存在，故对任意的闭曲线C，有I?0； ?y?x
D．在闭曲线C围住原点时I?0，不围住原点时I?0。
3、已知曲线积分
yf(x)dx?[2xf(x)?x2]dy在右半平面(x?0)内与路径无关，其中f(x)可微，则f(x)应
满足的微分方程是
f(x)?1 2x???2
4、已知力场 F(x,y)?x(x?y)i?xyj ，质点从原点出发沿着x轴运动到点(1,0)，然后再沿直线段到(0,1)，
答：f?(x)?
再沿着y轴回到原点，求力所做的功 。
解：w?F?dr?x(x?y)dx?xydy???(y?x)dxdy
(y?x)dy??[y3?xy]1dx??0
在整个xoy平面除去y的负半轴及原点的开区域G内是某个二元函数的全微分,并求出一
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