一个高中数学函数问题
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var sogou_ad_id=731547;
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var sogou_ad_width=690;导读：2.12函数的综合问题，函数的综合应用的三个重要方面，1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.，2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.，在区间(-∞A.(-∞,0)B.(-∞,-1)C.解析：此函数的定义域是(-∞答，2+2上是减函数∪(-1,+(x,y)对应依题意,知定义在…+f(2005)
函数的综合问题
巩固?夯实基础
一、自主梳理
函数的综合应用的三个重要方面
1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.
2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.
3.函数与实际应用问题的综合.
二、点击双基 1.函数y=
在区间(-∞A.(-∞,0)
B.(-∞,-1)
C.解析：此函数的定义域是(-∞答案：B
2.设A是直角坐标平面上所有的点所组成的集合元素(y-1,x+2)和原象集合的元素A.(-5,5)
D.(-6,4) 解析：设象(3,-4)的原象是(x,y),
解得??x??6,
3.(2006四川成都检测)(理f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2)+A.-2
D.1 解析:∵f(x)=-f(x+
32)=-［-f(x+
∴f(x)的周期为3.
又f(1)=f(-2+3)=f(-2)=-1,f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-1,f(3)=f(0+3)=f(0)=2,
从而f(1)+f(2)+f(3)=0.故×668+1)+f(3×668+2)=f(1)+f(2)=-2.答案:A
(文)已知f(x)=sin
?3(x+1)-3cosA.23
解析:f(x)=2sin［
?3(x+1)-?3
∴f(1)+f(2)+…+f(2 334+2)=f(1)+f(2)=2×
2+2上是减函数∪(-1,+(x,y)对应依题意,知定义在…+f(2 005)+f(2 006)32+3
x.周期006)=f(2 2
=2则a的取值范围是(
D.［-1,+∞) 则(-∞,a)?(-∞,-1),即a≤-1.
,如果由A到A的映射f:A→A,使象集合的(3,-4)的原象点是(
上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+等于(
) 005)+f(2 006)=f(2 005)+f(2 006)=f(3…+f(2 005)+f(2 006)等于T=6,且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0. 005)+f(2 006)=f(6×334+1)+f(6A. 3
) ×,a),［,-1)∞),,那么象点有?
)已R=f(x+3), f(1)+f(2)+…+f(2 则f(1)+f(2)+］=2sin×.选005)+f(2
4.已知f(x)=a+loga(x+1)在［0,1］上的最大值与最小值之和为a,则a的值为__________. 解析：∵f(x)为单调函数,∴f(0)+f(1)=a.
∴1+loga1+a+loga2=a.∴a=答案:
诱思?实例点拨
【例1】 已知f(x)是R上的偶函数，且f(2)=0,g(x)是R上的奇函数，且对于x∈R，都有g(x)=f(x-1)，求f(2 002)的值.
解:由g(x)=f(x-1),x∈R,得f(x)=g(x+1).
又f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x),
故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=g(x-3)=f(x-4),f(x+4)=f(x),x∈R.
∴f(x)为周期函数，其周期T=4.
∴f(2 002)=f(4×500+2)=f(2)=0.
讲评:应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质【例2】 某房屋开发公司用128万元购得一块土地层的建筑面积为1 000 m2
,楼房的总建筑面积层有关,若该楼建成x层时,每平方米平均建筑费用用需费用与建成n1层时每平方米所需费用有如下关系且nn*
又知建成五层楼时,每平方米的平均费用为合费用是建筑费用与购地费用之和),剖析:解决本题首先要弄清题意,明白实际问题的意义司要建每层建筑面积为1 000 m2
的楼房一幢分组成:一是购地费用;二是建筑费用建筑费用可由递推关系式及建成5层楼时每平方米建筑费用所需综合费用的关于楼层的函数关系式解:设楼层为x层,则每平方米的购地费用为
依题意,得f(5)=400,f(x)=f(5)
所以每平方米的综合费用y=f(x)+=20(x+64x
因为该函数在(0,8)上单调递减,
故当该楼建成8层时,每平方米的综合费用最省链接?提示
函数f(x)=x+
(c&0)是一类重要函数.
,欲建成不低于(各层面积之和)每平方米的平均建筑费用与楼f(x)表示,已知建成:f(n2)=f(n1)?(1+
400元,为了使该楼每平方米的综合费用最省?
,题中的几个关系应特别注意,楼层不低于5层,每平方米的综合费用由两部128400元得到.
x?5x?20)=400(1+520).
x=400(1+20
)+x(8,+∞)上单调递增, . ,是各类考试的重点考查内容也即.该楼每
n2层时每平方米所n2?n1
)(其中n2&n1,(综,开发公
万元和建筑面积求得,,于是得到每平方米,需引起重视. 5层的楼房一幢公司应把该楼建成几层,其中购地费用可由购地用款
【例3】 函数f(x)的定义域为R，且对任意x、y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x&0时,f(x)&0,f(1)=-2.
(1)证明f(x)是奇函数；
(2）证明f(x)在R上是减函数；
(3）求f(x)在区间［-3，3］上的最大值和最小值.
(1)证明:由f(x+y)=f(x)+f(y),得f［x+(-x)］=f(x)+f(-x),
∴f(x)+f(-x)=f(0).
又f(0+0)=f(0)+f(0),
从而有f(x)+f(-x)=0.
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)是奇函数. (2）证明:任取x1、x2∈R,且x1&x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f［x1+(x2-x1)］=f(x1)-［f(x1)+f(x2-x1)］=-f(x2-x1).
由x1&x2,∴x2-x1&0.
∴f(x2-x1)&0.
∴-f(x2-x1)&0,即f(x1)&f(x2),从而f(x)在R上是减函数.
(3)解:由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在［-3，3］上的最大值是f(-3),最小值是f(3). 由f(1)=-2,得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6, f(-3)=-f(3)=6.从而最大值是6，最小值是-6. 链接?拓展
对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数m,使得对于任意实数x,都有x*m=x,试求m的值.
提示:由1*2=3,2*3=4,得
?a?2b?2c?3,
2a?3b?6c?4.?
∴b=2+2c,a=-1-6c.
又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立,
∴b=0=2+2c.
∴c=-1.∴(-1-6c)+cm=1.
∴-1+6-m=1.∴m=4. 答案:4.
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数学中什么叫函数?函数起什么作用?在举一个生活中函数的例子?
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函数的传统定义：设有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和x对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.函数的近代定义：设A,B都是非空集合,f：x→y是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B,集合A叫做函数f(x)的定义域.若集合C是函数f(x)的值域,显然有C⊆B.符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示,应理解为：x是自变量,它是法则所施加的对象；f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述；y是自变量的函数值,当x为允许的某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值,当f用解析式表示时,则解析式为函数解析式.y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定是解析式.对函数概念的理解函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发.作用：作用广泛,多为研究的用途.通过学习函数,培养逻辑思维能力、拓展思维以及解决问题的能力.在生活中的应用：实际生活中的应用问题1、 商品定价问题例1 某种品牌的彩电降价30%以后,每台售价为a元,则该品牌的彩电每台原价为
2、 商品降价问题例2 某商品进价是1000元,售价是1500元.由于销售情况不好,商店决定降价出售,但又要保证利润为5% ,求商店应降价多少元出售.3、 存款利率问题例3 国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20% ,储户取款时由银行代扣代收.若银行一年定期储蓄的年利率为2.25% ,某储户取出一年到期的本金及利息时,扣除了利息税36元,则银行向该储户支付的现金是多少元?4、 支付稿酬问题例4 国家规定个人发表文章或出书获得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的,不纳税；（2）稿费高于800元又不高于4000元的应交超过800元那一部分稿费的14% 的税；（3）稿费高于4000元的应交全部稿费的11% 的税.王老师曾获得一笔稿费,并交税280元,算一算王老师这笔稿费是
元.5、 股票问题例5 下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价（每天交易结束时的价格） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五甲 12 12.5 12.9 12.45 12.75乙 13.5 13.3 13.9 13.4 13.75某人在该周内持有若干甲、乙两种股票,若按两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等）,该人帐户上星期二比星期一多获利200元,星期三比星期二多获利1300元,试问该人持有甲、乙两种股票各多少股?6、 人员考核问题例6 某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50道选择题组成,评分标准规定：每道题的答案选对得3分,不选得0分,选错倒扣1分.已知某人有5道题未作,得了103分,问这人选错了多少道题?7、 货物运费问题例7 一批货物要运往某地,货主准备租用运输公司得甲、乙两种货车,已知过去两次租用这两种货车的情况如下表： 第一次 第二次甲种货车辆数 2 5乙种货车辆数 3 6累计运货吨数 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车,一次刚好运完这批货物.如果按每吨付运费30元计算,问货主应付运费多少元?8、 小康生活问题例8 改革开放以来,某镇通过多种途径发展地方经济.1995年该镇国民生产总值2亿元.根据测算,该镇年国民生产总值为5亿元,可达到小康水平.若从1996年开始,该镇年国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元,该镇经过几年可达到小康水平?9、 校舍建设问题例9 光明中学现有校舍面积20000平方米,为改善办学条件,计划拆除部分旧校舍,建造新校舍,使新建校舍的面积是拆除旧校舍的3倍还多1000平方米.这样,计划完成后的校舍总面积可比现有校舍面积增加20% .已知拆除旧校舍每平方米需费用80元,建造新校舍每平方米需费用700元,问完成该计划需多少费用?10、水资源问题例10 某地现有人口500万,水资源120亿米 .若该地人口每年增加4万,水资源每年减少1.2亿米 .试问：经过多少年后,每万人拥有的水资源是0.2亿米 ?11、水土流失问题例11 目前,包括长江、黄河等七大流域在内,全国水土流失面积达到367万平方千米,其中长江与黄河流域的水土流失总面积占全国的32.4% ,而长江流域的水土流失问题更为严重,它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米,问长江流域的水土流失面积是多少?12、飞机票价问题例12 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津,按民航规定,旅客最多可免费携带20千克行李,超重部分每千克按飞机票价的1.5% 购买行李票.现该旅客购了120元的行李票,则他的飞机票价应是多少元?其他实例1【例1】《中华人民共和国所得税法》规定,公民全月工资,薪金所得不超过800元的部分不纳税,超过800元的 为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:全月应纳税所得额税率不超过500的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%…………某人一月份应交纳此项款26.78元,则他们当月工资,薪金所得等于( )A 800～900元 B 900～1200元 C 元 D 元分析:本题的关键词语为"全月应纳税所得额解:由表格可知全月应纳税所得额为500元时应纳税500×5%=25(元)由题可知某人一月份纳税26.78元,26.78-25=1.78(元)为超过500元的全月应纳税所得额所上交纳款,依表格这部分薪金所得为1.78÷10%=17.8元,故此月份工资为800+500+17.8=1317.8元 故选C 【例2】对任意实数规定取,三个值的最小值⑴求与的函数关系,并画出函数的图象⑵为何值时最大 最大值是多少 解:⑴在同一坐标系中,分别画出系数,的图象,如图所示,易得A(1,2) B (3,1) 故与的函数关系为 图象为图中实线部分 ⑵ 由图可知当时,【例3】某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得出,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图⑴的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市场时间的关系用图⑵的抛物线段表示图(2)⑴写出图⑴表示的市场售价与时间t的函数关系式,写出图⑵表示的种植成本与时间t的函数关系式⑵认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大 注意:市场售价和种植成本的单位:元/,时间单位:天解:⑴由图⑴可得市场售价与时间的函数关系为:由图⑵可得种植成本与时间的函数关系为,⑵设t时刻纯收益为,则题意可得: 即当时,配方整理得:所以当时,取得区间上的最大值100 当时,配方整理得:所以当,取得区间上的最大值87.5综上述,由100>87.5可知在区间上可以取得最大值100,此时,那么二月一日开始的第50天时,西红柿收益最大【例4】解不等式分析:由于对数函数的单调性与底数的取值范围有关,因此充分和两种情形讨论该不等式的解集,其次 对数符号时,应注意真数大于0解:为了使不等式有解,须且⑴当时,有 得∵ ∴从而得⑵当时,有 得∴ ∵ ∴综上,当时,不等式的解集为当时,不等式的解集为【例5】已知函数的定义域为实数集R,求实数P的取值范围分析:本题是对数函数与二次函数的复合函数的问题,定义域为R即可化为真数大于0恒成立解:因的定义域为R,故,对恒成立即解得由此得P的取值范围是【例6】某工厂今年1月,2月,3月生产某产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了估计以后每月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量,与月份的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数(,为常数)已知四月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作模拟函数较好 说明理由解:设二次函数为由已知得解之得 所以,当时,又对函数由已知得 解之得∴ 当时,根据四月份的实际产量为1.37万元,而所以函数作模拟函数较好其他实例2[例1]A地产汽油,B地需要汽油,汽车直接从A地往B地运汽油,往返所需要的油耗正好等于其满载汽油的吨数,故无法直接将汽油运到B地.今在途中C地设一中转站油库,先由往返于C,B之间的汽车将汽油运至C地,然后由往返于C,B之间的汽车将汽油运至B地,且各辆车往返油耗从各自所载汽油中扣除.设,问当d等于多少时,运油率 根据B地的需要,总共投入15辆运油车运油,此时又将怎样组织运输 [解析]题中P是d的函数,但由于问题涉及的量比较多,应该设好辅助参数,设往返于A,C间的汽车有x辆,往返于C,B间的汽车有y辆,每辆运油a吨,则①A地运出的油为ax吨,②C库收到的油为吨,③C库运出的油为吨,④B地得到的油为吨,为使B地得到尽量多的汽油,则C库收到的汽油应及时全部运出,故,油库C应设在AB的中点处才能使运油率最大,且往返于A,C之间的运油车为10辆,往返于C,B之间的运油车为5辆.[评析]在例1的解答中,抓住②,④两个等量关系是建立函数关系的关键.[例2]在边防沙漠地带巡逻车每天巡逻,每辆巡逻车可以装载供行驶2800公里的汽油.现有5辆巡逻车,同时从驻地出发,完成任务后再沿原路返回驻地,为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回驻地),甲,乙两车行驶至B处后,仅留足自己返回驻地所必需的汽油,将多余的汽油供给另外三辆车使用.求另外3辆车可行驶的最远距离是(距驻地)多少公里 [解析]因为另外3辆车行驶的距离是随着B地(距驻地)的距离的变化而变化,所以应将另外3辆车行驶的距离y看作B地离驻地的距离x的函数.作出一个行程示意图(其中A表示驻地,C是另3辆车到达的最远处),很容易看出甲,乙两车共来回走了4个"x"公里,另外三辆车来回共走了6个"y",根据命题分析,应抓住"耗油量"与"载油量"这两个关键量来建模,为达到最远,五辆车返回驻地时所载的汽油应全部耗尽,∴五辆车的总行程为2800×5公里,但不能忘了考察函数的定义域,应抓住"载油量",巡逻车行驶至B处后,另外三辆从甲,乙两车得到的汽油与自己油箱内剩余的油的总和不能超过油箱的载油量,在定义域内为减函数,∴[评析]在命题的解题过程中,由于采用了图示,加快了阅读理解的速度,而更关键的是抓住了两个相等关系分别建立了函数的解析式与求得函数的定义域,在函数模型时又抓住了单调性.[例3]鱼场中鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量. 已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率立方的乘积成正比,比例系数为k(k>0),(注:空闲率为空闲量与最大养殖量的比值),(1)写出y关于x的函数关系式,并求出这个函数的最大值;(2)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.[解析](1)∵x(吨)为实际养殖量,∴空闲量为(吨),∴空闲率为且的值在处左正右负,(另解)等号成立时, (2)∵实际养殖量与增长量的和不能超过最大养殖量,[评析]准确理解问题中的每个概念的意思是建立函数模型的关键,特别是对问题中出现的新"词汇"要揣摩透它的确切意义.[例4]20个劳力种50亩地,这些地可种蔬菜,棉花和水稻,如果种这些作物,每亩所需劳力和预计的产值如表所示:作物每亩需劳力每亩预计产值蔬菜0.6万元棉花0.5万元水稻0.3万元问怎样安排,才能使每亩地都种上作物,所有劳力都有工作,而且农作物预计产值最高 [解析]设种植蔬菜x亩,棉花y亩,水稳z亩,∴总产值①,解得①得即②,∴由②知,当最大,,即蔬菜种20亩,棉花种30亩,水稻种0亩.你可以参考一下/link?url=qmrPPsRjENp5vUNG-wfwdYYG20lCqr3oC5-jLgfVLksVCopMgIcnONlXmI56p8aHqm1pX3dGkKENHSQ6kTn71L6qcFlNjC1IqddqYtjiZb_
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