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观察下列算式 :3的平方减1的平方=8＝8乘1,5的平方减3的平方=16=8乘2,7的平方减5的平方=24=8乘3.9的平方减7的平方＝32＝8乘4（1）请你写出2个与上述算式具有相同规律的算式（2）用字母表示数,写出上述算式反映的规律,并加以证明
RosE情义熈捄°
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11的平方-9的平方=40=8×513的平方-11的平方=48=8×62.（2n+1）的平方-（2n-1）的平方=8n证明是要继续往下写还是什么?根据完全平方公式,可求出（x+y）²-（x-y）²=4xy,所以2n×2×2=8n
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11的平方减9的平方 = 40 = 8乘513的平方减11的平方 = 48 = 8乘6(2*x+1)^2 - (2*x-1) = 8*x
11的平方减9的平方 = 40 = 8乘513的平方减11的平方 = 48 = 8乘6(2*x+1)^2 - (2*x-1) = 8*x
（1）11的平方减9的平方＝40＝8乘5（2）n的平方减（n-2）的平方＝8乘（n+n-2）÷4
证明：n²-（n-2）²=（n+n-2）（n-n+2）=2（2n-2）=8×（n+n-2）÷4主要运用，平方差公式
a²-b²=（a+b）（a-b）解完
11的平方减9的平方=40=8乘513的平方减11的平方=48=6乘8
1）11²-9²=40=8*513²-11²=48=8*615²-13²=56=8*72）(2n+1)²-(2n-1)²=8n(2n+1)²-(2n-1)²=4n²+4n+1-(4n²-4n+1)=8n
11²-9²=40=8*5
13²-11²=48=8*6 (2).
设：较大的数为(2n+1)，则另一个数为 （2n-1）：
1）11²-9²=40=8*513²-11²=48=8*615²-13²=56=8*72）(2n+1)²-(2n-1)²=8n(2n+1)²-(2n-1)²=4n²+4n+1-(4n²-4n+1)=8n
（1）11²-9²=40=8×513²-11²=48=8×6（2）（2n+1）²-（2n-1）²=8n证明：（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）(2n+1-2n+1)=(4n)(2)=8n
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八年级下学期期中数学试卷附 答案.doc 24页
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八年级下学期期中数学试卷
一、填空题（共12小题，每小题2分，共计24分）
1．为了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率，适合采用的调查方式是__________．
2．掷一枚标有数字1﹣6的均匀正方体骰子，向上一面的点数是“2”的概率为__________．
3．当x__________时，分式有意义．
4．化简=__________．
5．分式：，的最简公分母是__________．
6．如图，?ABCD中，∠B+∠D=144°，则∠D=__________°．
7．在菱形ABCD中，E为AB的中点，OE=5，则菱形ABCD的边长为__________．
8．如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BC=BE，则∠BEC=__________°．
9．如图，镇江四月份某日的温度变化情况，则这天中8时到18时的温差为__________．
10．已知：菱形ABCD的两条对角线AC、BD长分别为6、8，且AE⊥BC，垂足为E，则AE=__________．
11．如图，由两个长为10，宽为2的矩形叠合而得到菱形ABCD，则菱形ABCD面积的最大值为__________．
12．如图，平面直角坐标系中，?OABC的顶点A坐标为（6，0），C点坐标为（2，2），若直线y=mx+2平分?OABC的周长，则m的值为__________．
二、选择题（共6小题，每小题3分，共计18分）.
13．下列各式：，，，（x﹣y）中，是分式的共有(
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．下列等式一定成立的是(
A．= B．= C．= D．=（a≠0）
15．若a为整数，则下列事件是随机事件的是(
A．a2+2=0 B．a2＞0
C．|a|是一个非负数 D．2a是偶数
16．如图，?ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到?AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=(
A．155° B．170° C．105° D．145°
17．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是(
A．7 B．8 C．9 D．10
18．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右依次记为A1、A2、A3、…、An，已知第1个正方形中的一个顶点A1的坐标为（1，1），则点A2015的纵坐标为(
A．2015 B．2014 C．22014 D．22015
三、解答题（共8小题，共计78分）
19．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数；
（2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数．
（3）当x满足什么条件时，分式的值 ①等于0？②小于0？
20．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB2C2；
（3）点B1的坐标为__________，点C2的坐标为__________．
21．为了解学生课余活动情况，某校对参加绘画、书法、舞蹈、乐器这四个课外兴趣小组的人员分布情况进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）此次共调查了__________名同学；
（2）将条形图补充完整，并求扇形统计图中书法部分的圆心角的度数；
（3）如果该校共有1000名学生参加这4个课外兴趣小组，估计参加书法兴趣小组的学生有多少名？
22．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了摸球实验，他们将30个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是几次活动汇总后统计的数据：
摸球的次数s
摸到白球的频数n
摸到白球的频率
0.312 0.306
（1）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近__________；假如你去摸一次，你摸到红球的概率是__________（精确到0.1）．
（2）试估算口袋中红球有多少只？
（3）解决了上面的问题后请你从统计与概率方面谈一条启示．
23．已知：如图，D是△
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第十六章二次根式教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》 、第十八章《勾股定理及其 应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解 a （a≥0）是一个非负数， （ a ）2=a（a≥0） ， a =a（a≥0） ． （3）掌握 a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0） ， ab = a ? b ；2a a a a = （a≥0，b&0） ， = （a≥0，b&0） ． b b b b（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内 涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用 规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概 念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和 化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生： 利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神， 经过探索二 次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点2 1． 二次根式 a（a≥0） 的内涵． a（a≥0） 是一个非负数； （ a） ＝a （a≥0） ； a =a2（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对 a （a≥0）是一个非负数的理解；对等式（ a ）2＝a（a≥0）及 a =a（a≥0）2的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2． 培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力， ?培养学生一丝不苟 的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需 11 课时，具体分配如下： 21．1 二次根式 3 课时 21．2 二次根式的乘法 3 课时 21．3 二次根式的加减 3 课时 教学活动、习题课、小结 2 课时16．1教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标二次根式第一课时理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1．重点：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“ a （a≥0） ”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题 1：已知反比例函数 y=3 ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标 x是___________． 问题 2：如图，在直角三角形 ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么 AB 边的长是 __________．ABC问题 3：甲射击 6 次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是 S2，那么 S=_________． 老师点评： 问题 1：横、纵坐标相等，即 x=y，所以 x2=3．因为点在第一象限，所以 x= 3 ，所以 所求点的坐标（ 3 ， 3 ） ． 问题 2：由勾股定理得 AB= 10问题 3：由方差的概念得 S= 二、探索新知 很明显 3 、 10 、4 . 64 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根 6的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 a （a≥0）?的式子叫做二 次根式， “ ”称为二次根号．（学生活动）议一议： 1．-1 有算术平方根吗？ 2．0 的算术平方根是多少？ 3．当 a&0， a 有意义吗？ 老师点评:（略） 例 1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、 3 3 、1 、 x （x&0） 、 x0 、 4 2 、- 2 、1 、 x ? y （x≥0，y?≥0） ． x? y” ；第二，被开方数是正数分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ 或 0．解：二次根式有： 2 、 x （x&0） 、 0 、- 2 、 x ? y （x≥0，y≥0） ；不是二次 根式的有： 3 3 、1 1 4 、 2、 ． x? y x例 2．当 x 是多少时， 3 x ? 1 在实数范围内有意义？ 分析： 由二次根式的定义可知， 被开方数一定要大于或等于 0， 所以 3x-1≥0， ? 3x ? 1 才能有意义．解：由 3x-1≥0，得：x≥ 当 x≥1 31 时， 3 x ? 1 在实数范围内有意义． 3三、巩固练习 教材 P 练习 1、2、3． 四、应用拓展 例 3．当 x 是多少时， 2 x ? 3 + 分析：要使 2 x ? 3 +1 在实数范围内有意义？ x ?11 在实数范围内有意义，必须同时满足 2 x ? 3 中的≥0 和 x ?11 中的 x+1≠0． x ?1解：依题意，得 ? 由①得：x≥-?2 x ? 3 ? 0 ?x ?1 ? 03 2由②得：x≠-1 当 x≥-3 1 且 x≠-1 时， 2 x ? 3 + 在实数范围内有意义． 2 x ?1x 的值．(答案:2) y例 4(1)已知 y= 2 ? x + x ? 2 +5，求(2)若 a ? 1 + b ? 1 =0，求 a 的值．(答案: 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式， “2 ) 5”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材 P8 复习巩固 1、综合应用 5． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- 7 B． 3 7 C． x D．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A． 4 B． 16 C． 8 D．1 x3．已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ ） A．5 B． 5 C．1 5D．以上皆不对二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为 a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为 1m3 的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要，?底面应 做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当 x 是多少时，2x ? 3 2 +x 在实数范围内有意义？ x?23．若 3 ? x + x ? 3 有意义，则 x=_______．2 4.使式子 ?( x ? 5) 有意义的未知数 x 有（ ）个．A．0B．1C．2D．无数5.已知 a、b 为实数，且 a ? 5 +2 10 ? 2a =b+4，求 a、b 的值． 第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1． a （a≥0） 2． a 3．没有三、1．设底面边长为 x，则 0.2x2=1，解答：x= 5 ．3 ? ?2 x ? 3 ? 0 ? x ? ? 2．依题意得： ? ，? 2 ?x ? 0 ? x ? 0 ?∴当 x&3.2x ? 3 3 且 x≠0 时， ＋x2 在实数范围内没有意义． x 21 34．B 5．a=5，b=-416.1教学内容二次根式(2)第二课时1． a （a≥0）是一个非负数； 2． （ a ）2=a（a≥0） ． 教学目标 理解 a （a≥0）是一个非负数和（ a ）2=a（a≥0） ，并利用它们进行计算和化简． 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 a （a≥0）是一个非负数，用具体 数据结合算术平方根的意义导出（ a ）2=a（a≥0） ；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键 1．重点： a （a≥0）是一个非负数； （ a ）2=a（a≥0）及其运用． 2．难点、关键：用分类思想的方法导出 a （a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导 出（ a ）2=a（a≥0） ． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当 a≥0 时， a 叫什么？当 a&0 时， a 有意义吗？ 老师点评（略） ． 二、探究新知 议一议： （学生分组讨论，提问解答）a （a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出a （a≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空： （ 4 ）2=_______； （ 2 ）2=_______； （ 9 ）2=______； （ 3 ）2=_______；（1 2 7 2 ） =______； （ ） =_______； （ 0 ）2=_______． 3 2老师点评： 4 是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于 4 的 非负数，因此有（ 4 ）2=4． 同理可得： （ 2 ）2=2， （ 9 ）2=9， （ 3 ）2=3， （1 2 1 7 2 7 ）= ， （ ）= ， （ 0） 3 2 3 22=0，所以 （ a ）2=a（a≥0） 例 1 计算 1． （3 2 ） 22． （3 5 ）23． （5 2 ） 64． （7 2 ） 2分析：我们可以直接利用（ a ）2=a（a≥0）的结论解题．解： （3 2 3 ） = ， （3 5 ）2 =32? （ 5 ）2=32?5=45， 2 2 5 2 5 7 2 ( 7 )2 7 ? ． ）= ， （ ）= 6 22 4 2 6（三、巩固练习 计算下列各式的值： （ 18 ）2 （2 2 ） 3（9 2 ） 4（ 0 ）2（47 2 ） 8(3 5)2 ? (5 3) 2四、应用拓展 例 2 计算 1． （ x ? 1 ）2（x≥0） 2． （ a ）223． （ a ? 2a ? 1 ）221 2 4． （ 4x ?2x 9 ? ）2分析： （1）因为 x≥0，所以 x+1&0； （2）a2≥0； （3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2?2x?3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的 4 题都可以运用（ a ）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解： （1）因为 x≥0，所以 x+1&0 （ x ? 1 ）2=x+1 （2）∵a2≥0，∴（ a ）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ a ? 2a ? 1 =a2+2a+122（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2?2x?3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0，∴（ 4 x ? 12 x ? 9 ）2=4x2-12x+92例 3 在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： 1． a （a≥0）是一个非负数； 2． （ a ） =a（a≥0）;反之:a=（ a ） （a≥0） ．2 2六、布置作业 1．教材 P8 复习巩固 2． （1） 、 （2） P9 7． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题 1．下列各式中 15 、 3a 、 b ? 1 、 a ? b 、 m ? 20 、 ?144 ，二次根式2 2 2 2的个数是（ ） ． A．4 B．3 C．2 D．1 2．数 a 没有算术平方根，则 a 的取值范围是（ ） ． A．a&0 B．a≥0 C．a&0 D．a=0 二、填空题 1． （- 3 ）2=________． 2．已知 x ? 1 有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算 （1） （ 9 ）2 （2）-（ 3 ）2 （3） （1 26 ）2（4） （-32 2 ） 3(5) (2 3 ? 3 2)(2 3 ? 3 2) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）1 6（4）x（x≥0）3．已知 x ? y ? 1 + x ? 3 =0，求 xy 的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数三、1． （1） （ 9 ）2=9（2）-（ 3 ）2=-3（3） （1 26 ）2=1 3 ?6= 4 2（4） （-3 2． （1）5=（ 5 ）22 2 2 ） =9? =6 3 3(5)-6（2）3.4=（ 3.4 ）2（3）1 2 1 =（ ） （4）x=（ x ）2（x≥0） 6 6xy=34=813． ??x ? y ?1 ? 0 ?x ? 3 ? ?x ? 3 ? 0 ?y ? 44.（1）x2-2=（x+ 2 ） （x- 2 ） （2）x4-9=（x2+3） （x2-3）=（x2+3） （x+ 3 ） （x- 3 ） (3)略16.1 二次根式(3)第三课时 教学内容a 2 ＝a（a≥0）教学目标 理解 a =a（a≥0）并利用它进行计算和化简． 通过具体数据的解答，探究 a =a（a≥0） ，并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1．重点： a ＝a（a≥0） ． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清 a≥0 时， a ＝a 才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式； 2． a （a≥0）是一个非负数； 3．( a )2＝a（a≥0） ．2 2 2 2那么，我们猜想当 a≥0 时， a =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空：22 2 =_______； 0.012 =_______； (1 2 ) =______； 102 3 ( ) 2 =________； 0 2 =________； ( ) 2 =_______． 3 7（老师点评） ：根据算术平方根的意义，我们可以得到：2 2 =2； 0.012 =0.01； (21 2 1 2 3 2 3 ) = ； ( ) 2 = ； 0 2 =0； ( ) 2 = ． 10 3 7 10 3 7因此，一般地： a =a（a≥0） 例 1 化简 （1） 92 （2） ( ?4)（3） 252 （4） ( ?3)分析：因为（1）9=-32， （2） （-4）2=42， （3）25=52， （4） （-3）2=32，所以都可运用 a =a（a≥0）?去化简．2 2 解： （1） 9 = 3 =3 （2） ( ?4) = 4 =4222 （3） 25 = 5 =5 （4） ( ?3) = 3 =322三、巩固练习 教材 P7 练习 2． 四、应用拓展 例 2 填空：当 a≥0 时， a =_____；当 a&0 时， a =_______，?并根据这一性质 回答下列问题． （1）若 a =a，则 a 可以是什么数？ （2）若 a =-a，则 a 可以是什么数？ （3） a &a，则 a 可以是什么数？ 分析：∵ a =a（a≥0） ，∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应2 变形，使“ （ ）2”中的数是正数，因为，当 a≤0 时， a = ( ? a ) ，那么-a≥0．2222222（1）根据结论求条件； （2）根据第二个填空的分析，逆向思想； （3）根据（1） 、 （ 2） 可知 a =│a│，而│a│要大于 a，只有什么时候才能保证呢？a&0．2解： （1）因为 a =a，所以 a≥0； （2）因为 a =-a，所以 a≤0； （3） 因为当 a≥0 时 a =a， 要使 a &a， 即使 a&a 所以 a 不存在； 当 a&0 时， a =-a， 要使 a &a，即使-a&a，a&0 综上，a&02 2 例 3 当 x&2，化简 ( x ? 2) - (1 ? 2 x ) ．222222分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： a =a（a≥0）及其运用，同时理解当 a&0 时， a ＝－a 的应用拓 展． 六、布置作业 1．教材 P8 习题 21．1 3、4、6、8． 2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第三课时作业设计 一、选择题 1． (2 ) ? (?2 ) 的值是（2 22 21 31 3） ．A．0B．22 3C ．42 32D．以上都不对 ） ．2 2． a≥0 时， a 、 ( ? a ) 、 - a ， 比较它们的结果， 下面四个选项中正确的是 （ 2 A． a = ( ? a ) ≥- a 2 B． a & ( ? a ) &- a22222 C． a & ( ? a ) &- a222 D．- a & a = ( ? a )22二、填空题 1．- 0.0004 =________． 2．若 20m 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是________． 三、综合提高题 1．先化简再求值：当 a=9 时，求 a+ 1 ? 2a ? a 的值，甲乙两人的解答如下：22 甲的解答为：原式=a+ (1 ? a ) =a+（1-a）=1； 2 乙的解答为：原式=a+ (1 ? a ) =a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│+ a ? 2000 =a，求 a-19952 的值． （提示：先由 a-2000≥0，判断 1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值）2 3. 若-3≤x≤2 时，试化简│x-2│+ ( x ? 3) + x ? 10 x ? 25 。2答案: 一、1．C 2．A 二、1．-0．02 2．5 三、1．甲 甲没有先判定 1-a 是正数还是负数 2．由已知得 a-?2000?≥0，?a?≥2000 所以 a-1995+ a ? 2000 =a， a ? ，a-， 所以 a-． 3. 10-x16．2教学内容二次根式的乘除第一课时a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0） ，反之 ab = a ? b （a≥0，b≥0）及其运用．教学目标 理解 a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0） ， ab = a ? b （a≥0，b≥0） ，并利用它们 进行计算和化简 由具体数据，发现规律，导出 a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0）并运用它进行计算；? 利用逆向思维，得出 ab = a ? b （a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重难点关键 重点： a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0） ， ab = a ? b （a≥0，b≥0）及它们的运 用． 难点：发现规律，导出 a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0） ． 关键：要讲清ab （ a&0,b&0 ） = a ? b ， 如 (? 2 )? (? 3 ) = ?(?2) ? ?(?3) 或(?2) ? (?3) = 2 ? 3 = 2 ? 3 ．教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空（1） 4 ? 9 =_______， 4 ? 9 =______； （2） 16 ? 25 =_______， 16 ? 25 =________． （3） 100 ? 36 =________， 100 ? 36 =_______． 参考上面的结果，用“&、&或＝”填空．4 ?9 _____4?9 ，16 ?25 _____16 ? 25 ，100 ?36 ________ 100 ? 362．利用计算器计算填空 （1） 2 ? 3 ______ 6 ， （2） 2 ? 5 ______ 10 ， （3） 5 ? 6 ______ 30 ， （4） 4 ? 5 ______ 20 ， （5） 7 ? 10 ______ 70 ． 老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知 （学生活动）让 3、4 个同学上台总结规律． 老师点评： （1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作 为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为a ? b ＝ ab ． （a≥0，b≥0）反过来: 例 1．计算 （1） 5 ? 7 （2）ab = a ? b （a≥0，b≥0）1 ? 9 3（3） 9 ? 27（4）1 ? 6 2分析：直接利用 a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0）计算即可． 解： （1） 5 ? 7 = 35（2）1 1 ?9 = 3 ? 9= 3 32（3） 9 ? 27 = 9 ? 27 ? 9 ? 3 =9 3 （4）1 1 ?6 = 3 ? 6= 2 2例 2 化简 （1） 9 ? 162 2 （4） 9 x y（2） 16 ? 81 （5） 54（3） 81?100分析：利用 ab = a ? b （a≥0，b≥0）直接化简即可． 解： （1） 9 ? 16 = 9 ? 16 =3?4=12 （2） 16 ? 81 = 16 ? 81 =4?9=36 （3） 81?100 = 81 ? 100 =9?10=902 2 2 2 （4） 9 x y = 3 ? x y = 3 ?22x 2 ? y 2 =3xy（5） 54 = 9 ? 6 = 3 ? 6 =3 62三、巩固练习 （1）计算（学生练习，老师点评） ①16 ? 8 20 ;②3 6 ?2 10③ 5a ?1 ay 5(2) 化简:18 ;24 ;54 ;12a 2b 2教材 P11 练习全部 四、应用拓展 例 3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） (?4) ? (?9) ??4 ? ?9（2） 412 12 12 ? 25 =4? ? 25 =4 ? 25 =4 12 =8 3 25 25 25解： （1）不正确． 改正： (?4) ? (?9) = 4 ? 9 ＝ 4 ? 9 =2?3=6 （2）不正确． 改正： 412 112 112 ? 25 = 112 = 16 ? 7 ＝4 7 ? 25 = ? 25 = 25 25 25五、归纳小结 本节课应掌握： （1） a ? b ＝ ab =（a≥0，b≥0） ， ab = a ? b （a≥0，b ≥0）及其运用．六、布置作业 1．课本 P15 1，4，5，6． （1） （2） ． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题 1．若直角三角形两条直角边的边长分别为 15 cm 和 12 cm，?那么此直角三角形斜 边长是（ ） ． A．3 2 cm 2．化简 a ? A． ? a B．3 3 cm C．9cm D．27cm1 的结果是（ ） ． aB． a C．- ? a D．- a3．等式 x ? 1? x ? 1 ?x 2 ? 1 成立的条件是（ ）D．x≥1 或 x≤-1A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 4．下列各等式成立的是（ ） ． A．4 5 ?2 5 =85B．5 3 ?4 2 =20 5 D．5 3 ?4 2 =20 6C．4 3 ?3 2 =7 5 二、填空题 1． 1014 =_______． 2．自由落体的公式为 S=1 2 gt （g 为重力加速度，它的值为 10m/s2） ，若物体下落的高 2度为 720m，则下落的时间是_________． 三、综合提高题 1．一个底面为 30cm?30cm 长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水例入一个底面为 正方形、高为 10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20cm，铁桶的底面边 长是多少厘米？ 2．探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）22 2 = 2? 3 322 ? 2 23 (23 ? 2) ? 2 2 2 2 ? 验证：2 = 2 ? = = 3 3 3 3 3=23 ? 2 2 2(22 ? 1) 2 2 ? ? ? 2 = 2? 2 2 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 3（2）33 3 = 3? 8 833 ? 3 ? 3 3 3 33 2 = 3 ? = = 32 ? 1 8 8 8验证：3=3(32 ? 1) ? 3 3(32 ? 1) 3 3 ? ? 2 = 3? 2 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 8同理可得：44 4 ? 4? 15 1555 5 ? 5? ，?? 24 24 a =_______（a&0）,并验证你的结论． a ?12通过上述探究你能猜测出： a 答案: 一、1．B 2．C 二、1．13 63.A4.D2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为 x， 则 x2?10=30?30?20，x2=30?30?2， x= 30 ? 30 ? 2 =30 2 ．2． aa a = a? 2 a ?1 a ?12a a3 a 2 ? 验证：a = a ? 2 a ?1 a2 ?1 a2 ?1=a3 ? a ? a a3 ? a a a(a 2 ? 1) a a ? ? ? 2 = = a? 2 . 2 2 2 2 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?116．2 二次根式的乘除第二课时 教学内容a a a a = （a≥0，b&0） ，反过来 = （a≥0，b&0）及利用它们进行计算和化简． b b b b教学目标理解a a a a = （a≥0，b&0）和 = （a≥0，b&0）及利用它们进行运算． b b b b利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆 向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1．重点：理解a a a a = （a≥0，b&0） ， = （a≥0，b&0）及利用它们进行计 b b b b算和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1）9 9 =________， =_________； 16 1616 16 =________， =________； 36 36（2）（3）4 4 =________， =_________； 16 1636 36 =________， =________． 81 81（4）规律：9 16 4 16 9 4 ______ ； ______ ； _______ ； 36 16 16 36 16 1636 36 _______ ． 81 813．利用计算器计算填空: （1）3 2 2 7 =_________， （2） =_________， （3） =______， （4） =________． 4 3 5 8规律：3 2 2 7 3 2 2 7 ______ ； _______ ； _____ ； _____ 。 4 3 5 8 4 3 5 8每组推荐一名学生上台阐述运算结果． （老师点评） 二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我 们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定：a a = （a≥0，b&0） ， b b反过来，a a = （a≥0，b&0） b b下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 例 1．计算： （1）12 3（2）3 1 ? 2 8（3）1 1 ? 4 16（4）64 8分析：上面 4 小题利用a a = （a≥0，b&0）便可直接得出答案． b b解： （1）12 12 = = 4 =2 3 33 1 3 1 3 ? ? ? ? 8 ? 3 ? 4 = 3 ?=2 3 = 2 8 2 8 2（2）（3）1 1 1 1 1 ? ? ? ?16 = 4 =2 = 4 16 4 16 4 64 64 = = 8 =2 2 8 8（4）例 2．化简： （1）3 64（2）64b 2 9a 2（3）9x 64 y 2（4）5x 169 y 2分析：直接利用a a = （a≥0，b&0）就可以达到化简之目的． b b解： （1）3 3 3 ? = 64 8 6464b 2 64b 2 8b ? （2） = 3a 9a 2 9a 2（3）9x 3 x 9x ? = 2 2 8y 64 y 64 y（4）5x 5x 5x ? = 2 2 13 y 169 y 169 y三、巩固练习 教材 P14 练习 1． 四、应用拓展 例 3．已知x2 ? 5x ? 4 9? x 9? x ? ，且 x 为偶数，求（1+x） 的值． x2 ?1 x?6 x?6分析：式子a a = ，只有 a≥0，b&0 时才能成立． b b?x ? 9 ?9 ? x ? 0 ，即 ? ?x ? 6 ?x ? 6 ? 0因此得到 9-x≥0 且 x-6&0，即 6&x≤9，又因为 x 为偶数，所以 x=8． 解：由题意得 ? ∴6&x≤9 ∵x 为偶数 ∴x=8 ∴原式=（1+x）( x ? 4)( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1)=（1+x）x?4 x ?1x?4 = (1 ? x)( x ? 4) ( x ? 1)=（1+x）∴当 x=8 时，原式的值= 4 ? 9 =6． 五、归纳小结 本节课要掌握a a a a = （a≥0，b&0）和 = （a≥0，b&0）及其运用． b b b b六、布置作业 1．教材 P15 习题 21．2 2、7、8、9． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题 1．计算 1 ? 21 31 2 ? 1 的结果是（ ） ． 3 5A．2 75B．2 7C． 2D．2 72．阅读下列运算过程：1 3 3 2 2 5 2 5 ? ? ? ? ， 3 5 3 3? 3 5 5? 5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” ，那么，化简 （ ） ． A．2 二、填空题 1．分母有理化:(1) B．6 C．2 的结果是 61 36D． 61 3 2=_________;(2)10 1 =________;(3) =______. 2 5 122．已知 x=3，y=4，z=5，那么 三、综合提高题yz ? xy 的最后结果是_______．1 ．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为 3 ： 1 ， ? 现用直径为 3 15 cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2．计算 （1）1 n n ? （3 m m 2mn3 n ）÷ （m&0，n&0） 3 m 2m3（2）-3a2 3 m?n 3m 2 ? 3n 2 ÷（ ）? （a&0） m?n 2a 2 2 a2答案: 一、1．A 2．C 二、1．(1)3 ;(2) 610 2? 5 2 3 ? ? ;(3) 2 6 2 5 2 52．15 3三、1．设：矩形房梁的宽为 x（cm） ，则长为 3 xcm，依题意， 得： （ 3 x）2+x2=（3 15 ）2，4x2=9?15，x=3 215 （cm） ，3 x?x= 3 x2=2． （1）原式＝-135 43 （cm2） ．n 4 2m 3 ? 2m5 nn m2n4 n n ÷ =- 2 5 3 2m m 2m=-n n3 n n n2 ? ? ? ? n =n m2 m2 m2 m m33(m ? n)(m ? n) a2 a2 3a 2 ? ? （2）原式=-2 =-2 =- 6 a 2a 2 m?n m?n 216.2 二次根式的乘除(3)第三课时 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念， 并根据它的特点来检验最后结果 是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键 1．重点：最简二次根式的运用． 2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 1．计算（1）3 3 2 8 ， （2） ， （ 3） 5 27 2a老师点评：3 8 2 a 15 3 2 6 = ， = ， = 5 a 5 27 3 2a2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是 h1km，h2km，?那么它 们的传播半径的比是_________． 它们的比是2 Rh1 2 Rh2．二、探索新知 观察上面计算题 1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式． 学生分组讨论，推荐 3～4 个人到黑板上板书． 老师点评：不是．2 Rh1 2 Rh2=2 Rh1 ? 2 Rh2h1 ? h2h1h2 . h28x2 y3例 1．(1) 35 ; (2) 12x 2 y 4 ? x 4 y 2 ; (3)例 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求 AB 的长．AB解：因为 AB2=AC2+BC22 所以 AB= 2.5 ? 6 = ( ) ? 36 ?2 2C5 2169 169 13 ? ? =6.5（cm） 4 2 4因此 AB 的长为 6.5cm． 三、巩固练习 教材 P14 练习 2、3 四、应用拓展 例 3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1? ( 2 ? 1) 2 ?1 1 ? = = 2 -1， 2 ?1 2 ? 1 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) 1? ( 3 ? 2) 3? 2 1 ? = = 3- 2， 3? 2 3 ? 2 ( 3 ? 2)( 3 ? 2)同理可得：1 = 4 - 3 ，?? 4? 3从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （1 1 1 1 + + +?? ） （ 2002 +1）的值． 2002 ?
3 ? 2 4? 3分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以 达到化简的目的． 解：原式=（ 2 -1+ 3 - 2 + 4 - 3 +??+ 2002 - 2001 ）?（ 2002 +1）=（ 2002 -1） （ 2002 +1） =1 五、归纳小结 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、布置作业 1．教材 P15 习题 21．2 3、7、10． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第三课时作业设计 一、选择题 1．如果x （y&0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ） ． yA．x （y&0） yB．xy （y&0）C．xy （y&0） yD．以上都不对2．把（a-1） ? A． a ? 11 中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） ． a ?1B． 1 ? a C．- a ? 1 D．- 1 ? a3．在下列各式中，化简正确的是（ ） A．5 =3 15 34B．1 1 =± 2 22C． a b =a2 4．化简bD．x3 ? x 2 =x x ? 1?3 2 的结果是（ ） 27A．-2 3B．-2 3C．-6 3D．- 2二、填空题4 2 2 1．化简 x ? x y =_________． （x≥0）2．a ?a ?1 化简二次根式号后的结果是_________． a2三、综合提高题 1．已知 a 为实数，化简： ? a -a ?31 ，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？ a若不正确，?请写出正确的解答过程： 解： ? a -a ?31 1 =a ? a -a? a a? a =（a-1） ? a2．若 x、y 为实数，且 y= 答案: 一、1．C 2．D 3.C 4.C2 2 二、1．x x ? yx2 ? 4 ? 4 ? x2 ? 1 ，求 x ? y ? x ? y 的值． x?22．- ? a ? 1三、1．不正确，正确解答：??a3 ? 0 ? 因为 ? 1 ，所以 a&0， ?? ? 0 ? a原式＝ ? a ?a -a? ?2a ?a 2 = ? a ? a -a? =-a ? a + ? a =(1-a) 2 a a2?a2．∵ ?? x2 ? 4 ? 0 ? 2 ? ?4 ? x ? 0∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=1 4∴x? yx ? y ? x2 ? y 2 ? 4 ?1 63 ? . 16 416.3 二次根式的加减(1)第一课时 教学内容 二次根式的加减 教学目标 理解和掌握二次根式加减的方法． 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总 结经验，用它来指导根式的计算和化简． 重难点关键 1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入 学生活动：计算下列各式． 3 （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字 母不变，系数相加减．二、探索新知 学生活动：计算下列各式． （1）2 2 +3 2 （3） 7 +2 7 +3 9 ? 7 老师点评： （1）如果我们把 2 当成 x，不就转化为上面的问题吗？ 2 2 +3 2 =（2+3） 2 =5 2 （2）把 8 当成 y； 2 8 -3 8 +5 8 =（2-3+5） 8 =4 8 =8 2 （3）把 7 当成 z； （2）2 8 -3 8 +5 8 （4）3 3 -2 3 + 27 +2 7 + 97=2 7 +2 7 +3 7 =（1+2+3） 7 =6 7 （4） 3 看为 x， 2 看为 y． 3 3 -2 3 + 2 =（3-2） 3 + 2 = 3+ 2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2 2 与 8 表面上看是不相同的， 但它们可以合并吗？可以的． （板书）3 2 + 8 =3 2 +2 2 =5 2 3 3 + 27 =3 3 +3 3 =6 3 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的 二次根式进行合并． 例 1．计算 （1） 8 + 18 （2） 16 x + 64 x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二 次根式进行合并． 解： （1） 8 + 18 =2 2 +3 2 =（2+3） 2 =5 2（2） 16 x + 64 x =4 x +8 x =（4+8） x =12 x 例 2．计算 （1）3 48 -91 +3 12 3（2） （ 48 + 20 ）+（ 12 - 5 ） 解： （1）3 48 -91 +3 12 =12 3 -3 3 +6 3 =（12-3+6） 3 =15 3 3（2） （ 48 + 20 ）+（ 12 - 5 ）= 48 + 20 + 12 - 5 =4 3 +2 5 +2 3 - 5 =6 3 + 5 三、巩固练习 教材 P19 练习 1、2． 四、应用拓展 例 3．已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2 x 9 x +y2 31 y x ）-（x2 -5x ）的值． 3 y x x分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0， 即 x=1 ，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同 2类二次根式，最后代入求值． 解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0 ∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x=1 ，y=3 2 2 x 9 x +y2 3y x 2 1 -x +5x 3 y x x原式==2x x + =x x +6 当 x=xy -x x +5 xy xy1 ，y=3 时， 21 3 2 1 ? +6 = +3 6 2 2 4 2原式=五、归纳小结 本节课应掌握： （1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式； （2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业 1．教材 P21 习题 21．3 1、2、3、5． 2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题 1．以下二次根式：① 12 ；② 2 ；③ 是（ ） ． A．①和②22 ；④ 27 中，与 3 是同类二次根式的 3D．③和④B．②和③C．①和④2．下列各式：①3 3 +3=6 3 ；② 其中错误的有（ ） ． A．3 个 B．2 个 二、填空题 1．在 8 、1 77 =1；③ 2 + 6 = 8 =2 2 ；④24 =2 2 ， 3C．1 个D．0 个1 1 2 2 中，与 3a 是同 75a 、 9a 、 125 、 3a 3 、3 0.2 、-2 8 3 3 a类二次根式的有________． 2．计算二次根式 5 a -3 b -7 a +9 b 的最后结果是________． 三、综合提高题 1．已知 5 ≈2.236，求（ 80 - 1 2．先化简，再求值． （6x4 1 4 ）-（ 3 + （结果精确到 0.01） 45 ）的值． 5 5 5y 3 x 3 + + 36 xy ） ，其中 x= ，y=27． xy 3 ）-（4x y x y 2答案: 一、1．C 2．A2 3a 3 a 3 4 5三、1．原式=4 5 5 5二、1． 2．原式=61 75a 32．6 b -2 a5-12 55=1 51 5 ≈ ?2.236≈0.45 5xy +3 xy -（4 xy +6 xy ）=（6+3-4-6） xy =- xy ，当 x=3 3 9 ? 27 =，y=27 时，原式=2 2 2216.3 二次根式的加减(2)第二课时 教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 运用二次根式、化简解应用题． 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题． 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程 一、复习引入 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先 将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们 讲三道例题以做巩固． 二、探索新知 例 1．如图所示的 Rt△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/?秒的速 度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动．问：几秒 后△PBQ 的面积为 35 平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）C Q A BP分析：设 x 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么 PB=x，BQ=2x，?根据三角形面积公 式就可以求出 x 的值． 解：设 x 后△PBQ 的面积为 35 平方厘米． 则有 PB=x，BQ=2x 依题意，得： x2=35 x= 35 所以 35 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米．2 2 PQ= PB ? BQ ?1 x?2x=35 2x 2 ? 4 x 2 ? 5 x 2 ? 5 ? 35 =5 7答： 35 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米，PQ 的距离为 5 7 厘米． 例 2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到 0.1m）？ 分析：此框架是由 AB、BC、BD、AC 组成，所以要求钢架的钢材，?只需知道这四段的长度．解：由勾股定理，得 AB=AD 2 ? BD 2 ? 42 ? 22 ? 20 =2 52 2BC= BD ? CD ? 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2 5 + 5 +5+2 =3 5 +722 ? 12 = 5≈3?2.24+7≈13.7（m） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要 13.7m 的钢材． 三、巩固练习 教材 P19 练习 3 四、应用拓展 例 3． 若最简根式 3a ?b 4a ? 3b 与根式 2ab ? b ? 6b 是同类二次根式， 求 a、 b 的值． （?2 3 2同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；?事实上， 根式2ab 2 ? b 3? 6b 2 不 是 最 简 二 次 根 式 ， 因 此 把2ab 2 ? b3 ? 6b 2 化 简 成|b|? 2a ? b ? 6 ，才由同类二次根式的定义得 3a-?b=?2，2a-b+6=4a+3b． 解：首先把根式 2ab ? b ? 6b 化为最简二次根式：2 3 22ab 2 ? b3 ? 6b 2 = b 2 (2a ? 1 ? 6) =|b|? 2a ? b ? 6由题意得 ??4a ? 3b ? 2a ? b ? 6 ?3a ? b ? 2∴??2a ? 4b ? 6 ?3a ? b ? 2∴a=1，b=1 五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、布置作业 1．教材 P21 习题 21．3 7． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 作业设计 一、选择题 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和 5，那么斜边的长应为（ ） ． （?结果 用最简二次根式） A．5 2 B． 50 C ．2 5 D．以上都不对2． 小明想自己钉一个长与宽分别为 30cm 和 20cm 的长方形的木框， ?为了增加其稳定性， 他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米． （结果同最简二次根式表 示） A．13 100 B． 1300 C．10 13 D．5 13二、填空题 1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的 2 倍，它的面积是 1600m2，?鱼塘的宽 是_______m． （结果用最简二次根式） 2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为 2 ，?那么这个等腰直角三角形的周长是 ________． （结果用最简二次根式） 三、综合提高题 1．若最简二次根式2 2 3m2 ? 2 与 n ?1 4m2 ? 10 是同类二次根式，求 m、n 的值． 32．同学们，我们以前学过完全平方公式 a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧! 现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括 0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（ 3 ）2，5=（ 5 ）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （ 2 -1）2=（ 2 ）2-2?1? 2 +12=2-2 2 +1=3-2 2 反之，3-2 2 =2-2 2 +1=（ 2 -1）2 ∴3-2 2 =（ 2 -1） ∴ 3 ? 2 2 = 2 -1 求： （1） 3 ? 2 2 ；2（2） 4 ? 2 3 ；（3）你会算 4 ? 12 吗？（4）若 a ? 2 b = m ? n ，则 m、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由．答案: 一、1．A 2．C 二、1．20 2 2．2+2 22 2 2 ? ? ? ?3m ? 2 ? 4m ? 10 ?m ? 8 ?m ? ?2 2 三、1．依题意，得 ? 2 ，? 2 ，? ? ? ?n ? 1 ? 2 ?n ? 3 ? ?n ? ? 3所以 ?? ?m ? 2 2 ? ?n ? 3或?? ?m ? ?2 2 ? ?n ? 32或?? ?m ? 2 2 ? ?n ? ? 3或?? ?m ? ?2 2 ? ?n ? ? 32． （1） 3 ? 2 2 = ( 2 ? 1) = 2 +1 （2） 4 ? 2 3 = ( 3 ? 1) = 3 +12（3） 4 ? 12 = 4 ? 2 3 ? （4） ?( 3 ? 1) 2 = 3 -1?m ? n ? a ? mn ? b理由：两边平方得 a±2 b =m+n±2 mn所以 ??a ? m ? n ?b ? mn16.3 二次根式的加减(3)第三课时 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多 项式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算 （1） （2x+y） ?zx （2） （2x2y+3xy2）÷xy 2．计算 （1） （2x+3y） （2x-3y） （2） （2x+1）2+（2x-1）2 老师点评： 这些内容是对八年级上册整式运算的再现． 它主要有 （1） ?单项式?单项式； （2）单项式?多项式； （3）多项式÷单项式； （4）完全平方公式； （5）平方差公式的运用． 二、探索新知 如果把上面的 x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立． 整式运算中的 x、y、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也 可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 例 1．计算: （1） （ 6 + 8 ）? 3 （2） （4 6 -3 2 ）÷2 2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算 规律． 解： （1） （ 6 + 8 ）? 3 = 6 ? 3 + 8 ? 3 = 18 + 24 =3 2 +2 6 解： （4 6 -3 2 ）÷2 2 =4 6 ÷2 2 -3 2 ÷2 2 =2 3 -3 2（2） （ 10 + 7 ） （ 10 - 7 ）例 2．计算 （1） （ 5 +6） （3- 5 ）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解： （1） （ 5 +6） （3- 5 ） =3 5 -（ 5 ）2+18-6 5 =13-3 5 （2） （ 10 + 7 ） （ 10 - 7 ）=（ 10 ） -（ 7 ）2 2=10-7=3 三、巩固练习 课本 P20 练习 1、2． 四、应用拓展 例 3．已知x?a x ?b =2，其中 a、b 是实数，且 a+b≠0， b a化简x ?1 ? x x ?1 ? x + ，并求值． x ?1 ? x x ?1 ? x分析：由于（ x ? 1 + x ） （ x ? 1 - x ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有 理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到 x 的值，代入化简得结果即可．( x ? 1 ? x )2 ( x ? 1 ? x )2 解：原式= + ( x ? 1 ? x )( x ? 1 ? x ) ( x ? 1 ? x )( x ? 1 ? x )=( x ? 1 ? x )2 ( x ? 1 ? x )2 + ( x ? 1) ? x ( x ? 1) ? x=（x+1）+x-2 x( x ? 1) +x+2 x( x ? 1) =4x+2 ∵x?a x ?b =2b a∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+a2 ∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 五、归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 六、布置作业 1．教材 P21 习题 21．3 1、8、9． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 作业设计 一、选择题 1． （ 24 -3 15 +2 2 A．2 ）? 2 的值是（ ） ． 3B．3 30 D．20 33 -3 302 33C．2 30 -2 3320 33 - 302．计算（ x + x ? 1 ） （ x - x ? 1 ）的值是（ ） ． A．2 B．3 二、填空题 C．4 D．11． （-3 2 1 + ） 的计算结果（用最简根式表示）是________． 2 22． （1-2 3 ） （1+2 3 ）-（2 3 -1）2 的计算结果（用最简二次根式表示）是_______． 3．若 x= 2 -1，则 x2+2x+1=________． 4．已知 a=3+2 2 ，b=3-2 2 ，则 a2b-ab2=_________． 三、综合提高题 1．化简5? 7 10 ? 14 ? 15 ? 212．当 x= 表示）x ? 1 ? x2 ? x x ? 1 ? x2 ? x 1 时，求 + 的值． （结果用最简二次根式 2 ?1 x ?1? x 2 ?x x ?1? x 2 ?x课外知识 1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，?这些二 次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式． 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） ． A． 2 x 与 2 y B．8 3 4 9 5 8 ab 与 ab 9 2C． mn 与 nD． m ? n 与 m ? n2．互为有理化因式：?互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式 （ a+b ） （ a-b ） =a2-b2 ，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如 x+1x+1+ x ? 2 x 就是互为有理化因式； x 与2x2 ? 2 x 与1 也是互为有理化因式． x练习： 2 + 3 的有理化因式是________； x-y 的有理化因式是_________．- x ? 1 - x ? 1 的有理化因式是_______． 3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、?分母上同乘以一个二次根式， 达到化去分母中的根号的目的． 练习：把下列各式的分母有理化 （1）1 ； 5 ?1（2）2 1 ； （3） ； 6? 2 1? 2 3（4）3 3?4 2 ． 3 3?4 24．其它材料：如果 n 是任意正整数，那么 n ?n n =n 2 n ?1 n ?12理由： n ?n3 ? n ? n n3 n n ? = =n 2 2 2 2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1练习：填空 22 3 4 =_______； 3 =________； 4 =_______． 8 15 3答案: 一、1．A 2．D 二、1．1-3 22．4 3 -243．2 4．4 2三、1．原式＝5? 7 2 5? 2 7? 3 5? 3 7=5? 7 1 = 2( 5 ? 7) ? 3( 5 ? 7) 2? 3=-（ 2 - 3 ）= 3 - 2 2．原式＝( x ? 1 ? x2 ? x )2 ? ( x ? 1 ? x 2 ? x )2 ( x ? 1) 2 ? ( x 2 ? x) 2=2( x ? 1) 2 ? ( x 2 ? x) ? 2 2( x ? 1)( x ? 1 ? x) = = 2（2x+1） x ?1 x ?1∵x=1 = 2 +1 原式＝2（2 2 +3）=4 2 +6. 2 ?1二次根式复习课教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题 例 1 x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析： (1)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含 x 的单项式，因此 x 的取值必须使二次根式 有意义，同时使分母的值不等于零．x≥-2 且 x≠0．解因为 n -9≥0，9-n ≥0，且 n-3≠0，所以 n =9 且 n≠3，所以222例3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别 分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐 含条件 3-a≥0 和 1-a＞0． 解 因为 1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满 足这些条件的．问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．解注意：所以在化简过程中，例6分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两 种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整 体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．a+b＝2(n+2)，ab=(n+2) -(n -4)＝4(n+2)，22三、课堂练习 1．选择题：A．a≤2B．a≥2C．a≠2D．a＜2A．x+2 C．-x+2B．-x-2 D．x-2A．2x C．-2xB．2a D．-2a2．填空题：4．计算：四、小结 1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们 要深刻理解并牢固掌握． 2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有 意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母 或式子的取值范围． 3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一 个性质中字母的取值范围的条件． 4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则 以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问 题． 五、作业 1．x 是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2．把下列各式化成最简二次根式：第十七章勾股定理 17.1 勾股定理（一） 学习目标：1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2.会用勾股定理进行简单的计算 重点：会用勾股定理进行简单的计算 活动设计： 活动一 1.画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ABC，用刻度尺量出 AB 的长 2.再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ABC，用刻度尺量 AB 的长 3.探究：你能发现其中斜边与两直角边之间的数量关系吗？与你的同伴交流一下。活动二 1.上述数量关系对于任意的直角三角形都成立吗？ 2.如图，剪 4 个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明上述关系。 3.探究：你还有其他的拼图、证明方法吗？画出相应的图形，给出证明。CDb A caB归纳：1．勾股定理的具体内容是： 2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°， （用几何语言表示） 两锐角之间的关系： ； 若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； A 三边之间的关系： 活动三：课堂练习 1.课本 P69 复习巩固第 1、2 题 2.在 Rt△ABC，∠C=90°⑴已知 a=b=5,求 c。 ⑵已知 a=1,c=2, 求 b。 ⑶已知 c=17,b=8, 求 a。 ⑷已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。 ⑸已知 b=15，∠A=30°，求 a，c。 3.已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。 4.已知：如图，等边△ABC 的边长是 6cm。。DCBCADB⑴求等边△ABC 的高。 ⑵求 S△ABC。 课堂检测： 1．填空题 ⑴在 Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则 c= ⑵在 Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则 c= ⑶在 Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则 a= 。 。 ，b= 。 。 。 。⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ⑸已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm， ，则第三边长为 ⑹已知等边三角形的边长为 2cm，则它的高为 2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB= 4 3 ， AC=4，AD 是 BC 边上的高，求 BC 的长。A，面积为CDB3．已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。17．1教 学 目 标知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观勾股定理（二）1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。 培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。重点 难点勾股定理的简单计算。 勾股定理的灵活运用教学过程 教学设计第一步：课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应 用。与师生互动备注第二步：例习题分析 例 1（补充）在 Rt△ABC，∠C=90°⑴已知 a=b=5,求 c。 ⑵已知 a=1,c=2, 求 b。 ⑶已知 c=17,b=8, 求 a。 ⑷已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。 ⑸已知 b=15，∠A=30°，求 a，c。 分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。 ⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角 边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生 明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一 边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边 的关系的转化思想。例 2（补充）已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。分析： 已知两边中较大边 12 可能是直角边， 也可能是斜边， 因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要 全面，体会分类讨论思想。C例 3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是 6cm。⑴求等边△ABC 的高。 ⑵求 S△ABC。 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高 CD，可将其置身于 Rt△ADC 或 Rt△BDC 中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求 AD=CD= 题可解。A D B分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要1 AB=3cm，则此 2第三步：课堂练习1．填空题 ⑴在 Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则 c= ⑵在 Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则 c= ⑶在 Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则 a= 为 。 ⑸ 已 知 直 角 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 3cm 和 5cm ， ，则第三边长 。 。 ，b= 。⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 为。 ⑹已知等边三角形的边长为 2cm，则它的高 ，面积为 。 2 ．已知：如图，在△ ABC 中，∠ C=60 °，AAB= 4 的长。3 ，AC=4，AD 是 BC 边上的高，求 BCCDB3．已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。参考答案1．17； 2 ．8 ； 1．填空题 在 Rt△ABC，∠C=90°， ⑴如果 a=7，c=25，则 b= ⑵如果∠A=30°，a=4，则 b= ⑶如果∠A=45°，a=3，则 c= ⑷如果 c=10，a-b=2，则 b= ⑹如果 b=8，a：c=3：5，则 c= AD⊥DC， AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求 BC 的长。 参考答案 1．24； 4 。 。 。B C A D7；6，8； 6，8，10； 4 或34 ；3， 3；3．48。第四步：课后练习。 。 。⑸如果 a、 b、 c 是连续整数， 则 a+b+c=2．已知：如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，3；32；6；12；10；2．2 3 3课后反思：17．1教 学 目 标重点 难点 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观勾股定理的应用。 实际问题向数学问题的转化。勾股定理（三）1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。 经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。 培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。教学过程 教学设计第一步：复习巩固：例： （1）求出下列直角三角形中未知的边．与B师生互动A 15备注B 6 C 10 2 A30°C45°2第二步：应用提高：例：①在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？ ②直角三角形中哪条边最长？ （2）在长方形 ABCD 中，宽 AB 为 1m，长 BC 为 2m ，求 AC 长．问题 （1）在长方形 ABCD 中 AB、BC、AC 大小关系？ （2）一个门框的尺寸如图 1 所示． ①若有一块长 3 米，宽 0.8 米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长 3 米，宽 1.5 米呢？ ③若薄木板长 3 米，宽 2.2 米呢？为什么？C2mA图1 例： （3）教材第 76 页练习 1．1mB例： （4）如图 2，一个 3 米长的梯子 AB，斜着靠在竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5 米．①球梯子的底端 B 距墙角 O 多少米？ ②如果梯的顶端 A 沿墙下滑 0.5 米至 C，请同学们 猜一猜，底端也将滑动 0.5 米吗？ 算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数） ．A A C Ｃ O C B图2 例： （1）教材第 76 页练习第 2 题． （2）变式：以教材第 76 页练习第 2 题为背景，请同学们再设计其他方案构造 直角三角形（或其他几何图形） ，测量池塘的长 AB． （3）如图 3，分别以 Rt △ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S 、 1 S 、S 表示，容易得出 S 、S 、S 之间有的关系式 ． 2 3 1 2 3 变式：教材第 79 页第 11 题，如图 4．BODODC S3 A S1S2 BS2S3S1图4图3第三步：精选精练：1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵 红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。 2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 3 米，则这两株树之间的垂直距 离是 米，水平距离是 米。CBA30B2CA题图 3 题图 4 题图 3． 如图， 一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离 是 。 4．如图，原计划从 A 地经 C 地到 B 地ABC修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由 A 地到 B 地直接修建，已知高 速公路一公里造价为 300 万元，隧道总长为 2 公里，隧道造价为 500 万元，AC=80 公里，BC=60 公里，则改建后可省工程费用是多少？ 5．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点，在江对岸取一点 A，使 AC 垂直江岸，测得 BC=50 米， ∠B=60°，则江面的宽度为 。 R 6．有一个边长为 1 米正方形的洞口，想用 一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径 至少为 米。 7．一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的 形状钉在 P、 Q 两点， PQ=16 厘米， 且 RP⊥PQ， P Q 则 RQ= 厘米。 8．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形， A 支柱高 24 米，∠B=∠C=30°，E、F 分别 为 BD、CD 中点，试求 B、C 两点之间的 距离，钢索 AB 和 AE 的长度。 （精确到 1 米） 参考答案： C F B E D 1 ． ； 250 2 2 ．6 ， 2 3 ； 3．18 米； 4．11600； 5． 50 7．20；3 米；6．2 2；8．83 米，48 米，32 米；第四步：课后小结：通过探究性的实际问题的解释和应用， 培养学生从身边的事物中抽象出几何模 型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活．课后反思：第 17 章 勾股定理（期末复习）【教学任务分析】知识 技能 1. 回顾熟知勾股定理，勾股定理逆定理，理解它们的产生及证明过程，形成 体系，能运用勾股定理及逆定理进行计算、证明和解决实际问题. 2. 理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念，能写出一个命题的逆命题.教学 目 标过程 方法1.经历勾股定理、勾股定理逆定理、逆命题等的应用和证明过程，体会数形 结合、转 化思想在解决数学问题中的作用，学会运用数学的方式解决实际问题. 2.感受数学与现实生活的密切联系，认识数学来源于生活，生活中要注意观 察、善 于发现、验证、应用. 感受数学的悠久历史和成就，感受数学的作用和魅力，热爱数学、努力学好 数学.情感 态度 重 点 难 点勾股定理及逆定理的应用. 勾股定理及逆定理的应用.【教学环节安排】环节 教 学 问 题 设 计 教学活动设计知 识 回 顾1.在 Rt△ABC 中， 已知其两直角边长 a=1， b=3， 那么斜边 c 的长为____. 教师出示练习 2.已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长是 ． 题目，学生独立完 3．分别以下列四组数为一个三角形的边长： （ 1）3、4、5， （2）5、 成.教师巡视，了解 12、 13 ， （3） 8、 15、 17 ， （ 4）4、 5、6，其中能够成直角三角形的 学生掌握的情况， 有 . 指导学习成绩较差 4.写出“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”和 的学生. 逆命题： . 6 5.三个正方形的面积如图 1，正方形 A 的面积为（ ） 4 A A. 6 B．36 C．64 D．8 1 6．已知直角三角形一个锐角 30°，斜边长为 10，那么此直角三角形 0 的周长是（ ） ．A．20 B. 20 3 C. 15 3 D．15 ? 5 3 0 图1 7. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 所对 的边， （1）已知 c＝4，b＝3，求 a； （2）若 a:b=3:4，c=10cm，求 a、b. 归纳总结：组内合作总结解决题目所用到的知识点，形成知识结构. 完成练习后， 小组间交流答案， 师生共同修正答案. 学生尝试完 成. 数是( 练习中注意纠 1 1 1 1 1 正学生的错误读法 A．7，24，25 B．3 ，4 ，5 C．3，4，5 D．4，7 ，8 2 2 2 2 2 和语言的不准确 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，那么斜边 性. 扩大到原来的( )A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍 学生完成后， 展示答案，师生共 )综 合 应 用1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组3. 直角三角形的两直角边分别为 5cm ， 12cm ，其中斜边上的高为 （ ）A．6cm B．8．5cm C． 30 cm D． 60 cm13 134． 小明想知道学校旗杆的高， 他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m， 当它把绳子的下端拉开 5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高 为 （ ）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 5.酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地 毯每平方米售价 30 元，主楼梯宽 2 米，其侧面如图 2 所示，则购买 地毯至少需要__________元. 6.如图 3，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边长是 a ,则图中四个小正方形 A ，B，C，D 的面积之和是 ．同进行订正. 由学生自主完 成，如果遇到困难， 可让学生在组内讨 论后完成，并进行 展示.对于个别问 题，教师应适当点 拨. 第 7 题，教师 可以提示辅助线的 作法： 连接 AC,先求 AC 的长，再用勾股 7.如图 4， 四边形 ABCD 中， AB=3cm， BC=4cm， CD=12cm， DA=13cm， 定理逆定理判断△ 2 且∠ABC=90° ，则四边形 ABCD 的面积是 cm ACD 是直角三角形. 1.如图 5，在四边形 ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12， 教师出示题 求证：AD⊥BD． 目，把三道题目的 板练任务分到三个 小组，由这三个小 组组长带领本组成 员讨论共同解决. 教师深入小组 图6 图7 图5 中，参与小组的讨 论，并给予适当点 2.如图 6，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 为 CD 上一点，且 CF= 拨和引导. 1 第 3 题教师可 CD．求证：△AEF 是直角三角形． 4 以引导学生制作一 3.如图 7 所示，现在已测得长方体木块的长 3 厘米，宽 4 厘米，高 24 个长方体模型，展 厘米.一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方体 开观察，很容易就 上和蜘蛛相对的顶点 B 处，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所 能得到解题方法. 走的路程会最短. 1.勾股定理：如果 直角三角形的两直角边长分别为 a,b,矫 正 补 偿完 善 整 合斜边长为 c,那么 a ? b ? c .2 2 2利用勾股定理可以求（线段）边长 2.勾股定理逆定理： ：如果三角形的三边长分别为 a、b,c 满足 a ? b ? c ，那么这个三角形是直角三角形.2 2 2师生共同总结.利用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形.第十八章 平行四边形 18.1.1 平行四边形及其性质（一） 一．教学目标 1．理解并掌握平行四边形的定义； 2．掌握平行四边形的性质 1 及性质 2、性质 3。 3．培养学生综合运用知识的能力 二．重点难点 重点：平行四边形的概念和性质 1 和性质 2 难点：平行四边形的性质 1 和性质 2 的应用 三．教学用具： 直尺、三角板、投影仪。 四．教学时间： 一课时。 五．教学过程 （一）复习 1、什么是四边形？四边形的一组对边有怎样的位置关系？ 2、一般四边形有哪些性质？ （二）新课讲解 1、引入 在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，如推拉门、汽车防护链、 书本等，都是平行四边形，平行四边形有哪些性质呢？ 2、平行四边形的定义： 定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 强调：平行四边形首先是一个四边形,但它是一个特殊的四边形，即比一般 四边形不同的是：两组对边分别平行。 定义的几何语言表述 ∵ AB∥CD AD∥BC ∴四边形 ABCD 是平行四边 形 。 反过来：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥ CD，AD∥ BC。 定义的双重性 具备“两组对边分别平行”的四边形，才是“平行四边形” ； 反过来， “平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”性质。 平行四边形的表示：用符号 表示是一个平行四边形，如 ABCD 表示 平行四边形 ABCD。 设问：平行四边形有什么性质呢？边之间有什么关系呢？ 活动：让学生看课本上 P92 探究，用先做好的平行四边形纸板，可量得对边 相等。 设问：能否用推理证明这个性质是否成立吗？ （让学生思考本题的已知条件及证明过程） 3、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等： 前提：是一个平行四边形： 结论：这个平行四边形的对边相等。 （提问学生写出已知、求证及证明过程，然后教师加以讲评及纠正。 ） 小结：用几何语言表示：∵四边形 ABCD 是平行四边形（或在 ABCD 中）∴ AB=CD，AD=BC。 四．例题讲解：课本例题 1 分析：用平行四边形的对边相等，得一组邻边之和等于周长的一半，可得 邻边 AB+BC =36/2=18，又已知 AB=8，可得 BC 的长，其它两边的长与这两边之长 相同。 练习：课本 P93 练习题 1、3（第 1 题让学生板书，第 3 题提问） 巩固练习（用投影投出） ： 平行四边形的两邻边的比是 2：5，周长为 28cm，求四边形的各边的长。 四．本课小结： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等。 A D 五．作业布置： （1）课本 P99 第 1 题及 （2）如图，AD∥BC，AE∥CD，BD 平分∠ABC， 求证 AB=CE B CE 图（5 ）18.1.1 平行四边形及其性质（二） 教学目的： 1、掌握平行四边形的概念，会用定义识别平行四边形。 2、掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质，初步会运用这些性质进行 有关的论证和计算。 3、渗透从具体到抽象化未知为已知的数学思想及事物之间相互转化的辨证 唯物主义观点。 4、培养观察、分析、归纳、概括能力。 教学重点：平行四边形的概念和性质 教学难点：探索、寻求解决问题的思路 教学用具： 直尺、三角板、投影仪。 教学时间： 一课时。 教学过程 （一）复习 1．什么样的四边形是平行四边形？ 2．平行四边形的性质中，我们学过什么性质？ （二）新课讲解 设问：平行四边形除了对边平行、对边相等之外，还有什么性质呢？ 活动：课本 P92，用做好的平行四边形纸模，量一量平行四边形对角是否相 等。 A B 小结：平行四边形的对角相等， 设问：如右图中，哪些是对角？ 答：∠A 与∠C，∠B 与∠D。 D C 用几何语言表达：∵四边形 ABCD 是平行四边形 （或在 ABCD 中） ∴ ∠A=∠C，∠B=∠D 。 设问：能否用证明方法证明命题的正确的呢？让学生写出已知、求证、证明过程。 （教师加以纠正讲评） 随堂练习： （1）课本 P93 练习第 2 题（提问回答） （2）在平行四边形 ABCD 中，∠A=500，求∠B、∠C、∠D 的度数。 （3）在平行四边形 ABCD 中，∠A=∠B+240，求∠A 的邻角的度数 （三）例题讲解：如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证 AF=CE A D 分析：要证明 AF=CE，只要证 Δ ADF≌Δ CBE，但这两个三角形全等的 E F 条件充分吗？B证明：在 ABCD 中，AD=CB，∠B=∠D，AB=CD 图（6） ∵ AE = CF ∴ AB-AE=CD-CF 即 BE=DF ∴ Δ ADF≌Δ CBE ∴ AF=CE 练习：练习册 （四）本课小结：平行四边形除了对边平行且相等外，其对角也相等。 （五）作业布置： （1）课本 P100 第 2 题 （2）在平行四边形 ABCD 中，若∠A：∠B=2：3，求∠C、∠D 的度数。C18.1.1 平行四边形的性质（三） 教学目的： 1、掌握平行四边形的概念，会用定义识别平行四边形。 2、掌握平行四边形对边相等、对角相等的基础上，掌握对角线互相平分的 性质，初步会运用这些性质进行有关的论证和计算。 3、渗透从具体到抽象化未知为已知的数学思想及事物之间相互转化的辨证 唯物主义观点。 教学重点：掌握对角线互相平分的性质。 教学难点：探索、寻求解决问题的思路 教学用具：投影仪、模型。 教学过程： 一、课的引入： 我们已经研究了四边形，这节课我们开始学习平行四边形的其它性质。 （一）请同学们观察图一（课件中，定义、图、按纽） ，首先有几条边？找出对边、对角、邻边、邻角、对角线。 在上图中，当 AB∥CD，AD∥BC 时，四边形 ABCD 就是平行四边形。 （课件打 出定义） 二．新课讲解 提问学生回答：平行四边形的两组对边有何关系？ 设问：对于“平行四边形的对角线互相平分”这个命题，哪些是前提？哪些 是结论？ 学生回答后教师小结。 分析：这个命题的前提是一个平行四边形，则具有前面学过的性质，结论是 两条对角线互相平分。用几何语言表示为： 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 是对角线，且相交与点 O， 求证：AO=CO，BO=DO。 A B 2 1 证明： 在平行 ABCD 中，AB∥ CD， O ∴∠1= ∠4 ，∠ 2= ∠3 又∵ AB=CD， 4 3 ∴ ? OAB≌ ? OCD（ASA） ， D C ∴ AO=CO，BO=DO。 教师强调“线段互相平分”的意义，讲明表示方法。此题也可证 ? OAD≌ ? OCB 得到结论，教师可多方面启发。 强调：同学们归纳的关于平行四边形的边、角、对角线的关系的命题，通过 推证都是正确的，今后我们可以直接应用这些性质。其中，教材把“对角相 等” “对边相等” 、 “对角线互相平分”作为性质定理。 教师小结： 性质定理 1：平行四边形的对角相等； 性质定理 2：平行四边形的对边相等； 性质定理 3：平行四边形的对角线互相平分。 随堂练习： （提问回答） 1、◇ABCD 中，已知 AB=a，BC=b， ∠A=50 ? ， 那么◇ABCD 的周长为 （ ） ， ∠B= （ ） ， ∠C= （ ） ， ∠D= （ ） 。2、 已知 O 是 ABCD 的对角线交点，AC=24 毫米， BD=38 毫米，AD=28 毫米， 则 ? OBC 的周长为（ ）毫米。 例题讲解：课本 P94 例题 2 教学重点应放在让学生在复杂图形背景下，利用定义识别平行四边形，并 引导学生用平行四边形的性质来解决问题。 三．本课小结： 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角线互相平分。 四．练习： （让学生板演）课本 P95 第 2 题 五．作业布置： 1．课本 P100 第 6 题 2．练习册相应内容。18.1.1 平行四边形的性质（四） 教学目的： 掌握平行四边形的概念和性质，会用它们进行有关的论证和计算； 教学重点：平行四边形的性质定理。 教学难点：性质定理的证明方法及运用。 教学过程： 一、复习提问： 1、什么叫平行四边形？其定义具有哪二方面的性质？ 2．平行四边形有哪些性质定理？ 二、新课讲解 小结：平行四边形的定义及性质。 目前，关于平行四边形的知识中，由平行四边形，我们可以得到哪些隐含的 条件？（关于边和角的关系） 对边分别平行 边 对边分别相等 对角线互相平分 平行四边形 角 对角相等 邻角互补 投影练习： 1．在平行四边形 ABCD 中，AC 交 BD 于 O，则 AO=OB=OC=OD。 （ ） 2．平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等。 （ ） 3．平行四边形的两组对边分别 。 （前三题提问回答） 4．已知 O 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点，AC=24cm，BD=38 cm， AD= 28cm，求三角形 OBC 的周长。 5． 如图， 平行四边形 ABCD 中， AC 交 BD 于 O， AE⊥BD 于 E， ∠EAD=60°， AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角形 BOC 的周长。 （让学生板演）例 1：已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，EF 过 点 O 与 AB、CD 分别相交于点 E、F，求证：OE=OF。 问：通过点 O 的任意直线被一组对边截得的线段，一定被 O 平分吗？为什 么？例 2：已知平行四边形 ABCD，AB=8cm，BC=10cm,∠B=30°, 求平行四边 形平行四边形 ABCD 的面积。作业布置：完成导学案； 18.1.2 平行四边形的判定（一） 一、教学目的 1．使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形； 2．理解并掌握用二组对边分别相等的四边形是平行四边形这个判定方法来 判定一个四边形是平行四边形。 3．能运这两种方法来证明一个四边形是平行四边形。 二、教学重点和难点 重点：平行四边形的判定定理； 难点：掌握平行四边形的性质和判定的区别及熟练应用。 三．教学用具： 事先准备好的纸条、三角尺、投影仪。 四．教学时间：一课时。 三、教学过程 （一）复习提问： 1. 什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？（学生口答，教师板书） 2. 将以上的性质定理，分别用命题形式叙述出来。 （如果??那么??） 根据平行四边形的定义， 我们研究了平行四边形的其它性质，那么如何来判 定一个四边形是平行四边形呢？除了定义还有什么方法？平行四边形性质定理 的逆命题是否成立？ （二）新课 一．平行四边形的判定： 方法一（定义法） ：两组对边分别平行的四边形的平边形。 A D 几何语言表达定义法： ∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形 解析：一个四边形只要其两组对边分别互相平行， C B 则可判定这个四边形是一个平行四边形。 活动：用做好的纸条拼成一个四边形，其中强调两组对边分别相等。 方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 设问：这个命题的前提和结论是什么？ A D 3 已知：四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC 4 求证：四边 ABCD 是平行四边形。 1 2 分析：判定平行四边形的依据目前只有定义，也就是须证明两组对边分别平 C B 行，当然是借助第三条直线证明角等。连结 BD。易证三角形全等。 （见图 1） 板书证明过程。 小结： 用几何语言表达用定义法和刚才证明为正确的方法证明一个四边形是 平行四边形的方法为： A D 判定一： ∵AB=CD，AD=BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形 C B 随堂练习： 课本 P97 练习题第 1 题。 例题讲解： 例 1 已知：如图 3，E、F 分别为平行四边形 ABCD 两边 AD、BC 的中点，A E2DB1FC连结 BE、DF。 求证： ?1 ? ?2 分析：由我们学过平行四边形的性质中，对角 相等，得若证明四边形 EBFD 为平行四边形，便可得到 ?1 ? ?2 ，哪么如何证明 该四边形为平行边形呢？可通过证明Δ ABE≌Δ CDF 得 BE=DF；由 AD=BC，E、F 分别为 AD 和 BC 的中点得 ED=FB。 练习：2. 已知如图 7，E、F、G、H 分别是平行四边形 ABCD 的边 AB、 H A BC、CD、DA 上的点，且 AE＝CG，BF＝DH。 D E 求证：四边形 EFGH 是平行四边形。 （让学生板演） G 图 7 C B F 四． 本课小结： 一个四边形二组对边分别平行或者相等的四边形是平行四边 形这个判定定理来判定一个四边形是平行四边形。 五．作业布置： 课本 P100 第 4 题、第 7 题。 18．1．2 平行四边形的判定（二） 教学目的： 1、掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用 这些定理进行有关的论证和计算； 2．理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用 这些定理进行有关的论证和计算； 3．培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力； 教学重点： 理解掌握 “对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四 边形是平行四边形”这一判定定理。 教学难点：判定定理的证明方法及运用。 教学用具：投影仪及三角尺。 教学时间：一课时。 教学过程： 一．复习导入 1．用定义法证明一个四边形是平行四边形时，要什么条件？ 2．用所学的判定方法一判定一个四边形的平行四边形的条件是什么？ 3．平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达？是否是真命题？ 二、新课讲解： 设问： “对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ”这一命题的前提什么？结 论又是什么？ 活动： 用事先准备好的纸条按课本 P96 探究方法做， 让学生判定这个四边形 是否是平行四边形。 判定方法三：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 这个方法的前提是什么？结论又是什么？ 已知：如图：在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O，OA=OC，OB=OD。求证：四边形 ABCD 是平行四边形。 分析： 证明这个四边形是平行四边形的方法有： （1） 两组对边分别相等； （2） 平行四边形的定义：两组对边分别平行。 （较简单的） 板书证过程。 小结：由刚才证明可得，只要有对角线互相 平分，可判定这个四边形是平行四边形。 几何语言表达：∵OA=OC， OB= OD ∴四边形 ABCD 是平行四边形 例题讲 解：课本 P96 例 3。 分析：由题意可得 OB=OD，再由 OA=OF，AE=AF，可得 OE=OF。可证四 边形 EBFD 是平行四边形。 设问： 若是两组对角分别相等的四边形，是不是平行四边形？前提是什么？ 结论是什么？ A B 已知：在四边形 ABCD 中，∠A =∠C ∠B=∠D。 D C 求证：四边形 ABCD 是平行四边形（让学生板书，然后小结） 练习：延长三角形 ABC 的中线 BD 至 E， 使 DE=BD，连结 AE、CE，如图， 求证：∠BAE=∠BCE。 证明方法： 由对角线互相平分可证四边形 ABCE 为平行四边形， 可得∠BAE= ∠BCE。 本课小结： 目前，我们研究平行四边形的哪些性质和判定： 平行四边形的性质：对边平行；对边相等；对角线互相平分；夹在平行线间 的平行线段相等；对角相等；邻角互补； 平行四边形的判定：两组对边平行；两组对边相等；两组对角相等；对角线 互相平分的四边形； 7、作业布置： 1、熟记“判定定理 3” ； 2．课本 P100 第 4、9 题。3、完成练习册。18．1．2 平行四边形的判定（三） 教学目的： 1、掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理进行 有关的论证和计算； 2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力； 3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。 教学重点：掌握用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定 定理来判定一个四边形是平行四边形。 教学难点：判定定理的证明方法及运用。 教学用具：二对长度相等的纸条、尺、投影仪等。 教学时间：一课时。 教学过程：一．复习引入： （1） ．我们已学过哪些方法来判定一个四边形的平行四边形？（提问回答） 二、新课讲解设问： 若一个四边形有一组对边平行且相等， 能否判定这个四边形也是平行四边形呢？活动：课本 P97 探究内容，并用事准备好的纸条（纸条的长度相等） ，先将 纸条放置不平行位置， 让学生设想若二纸条的端点为四边形的顶点，则组成的四 边形是不是平行四边形？若将纸条摆放为平行的位置， 则同样用二纸条的端点为 顶点组成的四边形是不是平行四边形？ 设问： 我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的呢？ （让学生找出题设、 结论，然后写出已知、求证及证明过程。 ） 小结：平行四边形判定方法五： B A 前提：若一个四边形有一组对边平行且相等。 结论：这个四边形是一个平行四边形。 如图用几何语言表达为： C D ∵AB=CD 且 AB∥CD ∴四边形 ABCD 是平行四边形 平行且相等可用符号“ ” ，读作“平行且相等” 。 ∵AB CD ∴四边形 ABCD 是平行四边形 E A D 三．例题讲解： 2 例 1：已知：E、F 分别为平行四边形 ABCD 两边 AD、BC 的中点，连结 BE、DF 求证： ?1 ? ?2B1图F 3C分析：今天我们证明角相等，除了平行线，全等三角形外，又多了一个新方 法，可以证明平行四边形对角相等，即只要四边形 EBFD 是平行四边形。由已知 平行四边形 ABCD 的性质可得 DE//BF， 又 AD＝BC， E、 F 为中点则有 DE＝BF， 根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可得四边形 EBFD 是平行四边形。 证明由学生完成。 提问：此题还有什么方法，证明四边形 BEDF 是平行四边形。学生会想到证 明 ?ABE ? ?CDF ，得到 BE＝DF，利用两组对边相等证明四边形是平行四边形。 但应指出第二种方法较第一种方法繁，也就是说要找出较简捷的证法，准确地使 用判定定理，就要先分析图形的性质，及所具备的条件。 练习：课本 P99 练习第 2 及课本 P100