An+1=qAn+fn这样的递推莱布尼茨公式求n阶导数如何求通项莱布尼茨公式求n阶导数。求例题讲解

底子不好有点看不懂谁能简单的舉例解释一下谢谢合作... 底子不好 有点看不懂 谁能简单的举例解释一下

    数学不是看懂的应做懂。课本上有的把它推懂:

    依数学归纳法,……可证该莱布尼兹莱布尼茨公式求n阶导数。

    真不懂也没关系弄懂各个符号的意义,会使用就行了:

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    莱布尼茲莱布尼茨公式求n阶导数好比二项式定理,它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的展开的形式我就不多说了。

    一般来说f(x)和g(x)中有一个是多项式,因为n佽多项式求n+1次导数就变成0了可以给计算带来方便。

    对y(x)=u(x)v(x)求n阶导数时候可以表示为u(x)的n-i阶导数乘v(x)的i阶导数的积的叠加,其系数是C(i,n)

    求高次导數用的,主要针对含有两项因子

    例如:y=e^x*sinx含有e^x和sinx,可以单独求出各因子的高次导数再利用牛顿莱布尼兹莱布尼茨公式求n阶导数求y的高次導数。

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    这个莱布尼茨公式求n阶导数和排列组合中的二项式定理相似,二项式定理中的多少次方在这里改为多少阶導数

    比如(uv)一阶导=u一阶导乘以v+u乘以v一阶导

    (uv)二阶导=u二阶导乘以v+2倍u一阶导乘以v一阶导+u乘以v二阶导

    (uv)三阶导=u三阶导乘以v+3倍u二阶导乘以v┅阶导+3倍u一阶导乘以v二阶导+u乘以v三阶导

    一次类推,以上是文字描述你写出莱布尼茨公式求n阶导数来就可以理解了,ok~~

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一道与lnx有关的函数的n阶导数的解答(系数递推和导数递推、莱布尼茨莱布尼茨公式求n阶导数等)

下面是山东临沂李守峰老师给出的上期预告题目的解答(题目有三个版本下面题目是第一版本):

本题收到河北郭航老师的解答如下(注:c(n)的结果和调和级数有关):

郭航老师认为本题在第(2)问前半部分给叻数列的递推提示,从而使本题难度大减

所以小编给出了第二版本的题目(即去掉数列的递推部分,直接求f(x)的n阶导数)第二版本的题目得到广州网友kuing的解答如下(利用了n阶导数的莱布尼茨莱布尼茨公式求n阶导数):

评注1:所谓n阶导数的莱布尼茨莱布尼茨公式求n阶导数是

評注2:从网友的解答之中我们可以获得另外两个函数的n阶导数莱布尼茨公式求n阶导数:

本题收到QQ昵称为“过去式的我很单纯”的四川网友類似解答如下(但和kuing的解答有些地方不同):

小编评注:本题命制背景之一就是n阶导数的莱布尼茨莱布尼茨公式求n阶导数,已被上述两位網友识破

不过,最后的表达式还没有化简作为高中学生显然不知道n阶导数的莱布尼茨莱布尼茨公式求n阶导数(有的竞赛生已经自学了高等数学除外),所以小编期望高中学生也能做本题故在第(2)问搭建了一个“系数数列递推”的台阶,于是得到了下面的第三版本题目(上面已有李守峰老师和郭航老师给出了解答这也是小编最初的想法之一。下面小编规范的使用了三种数学归纳法):
 评注:以上的②式建立起了k+1阶导函数f(k+1,x)和k阶导函数f(k,x)的递推关系在此不妨称为“导数递推法”(以区别于前面两位老师的“系数递推法”),可以看出“導数递推法”是一个宏观整体层面的递推“系数递推法”是关注于微观细节的递推。

评注:估计有部分学生会对数学归纳法不待见但尛编认为数学归纳法在高中的不够重视及其证法的模式化与套路化,使数学归纳法的深层次的价值已经在丧失(即:知道数学归纳法的格式但不能体会其本质,尤其是其中的递推本质)

最后给出几道关于n阶导数的数学试题(其中第一题是重庆市文科高考模拟试题主要考察合情推理):

最后感谢以上数学爱好者们提供的精彩解答!

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