不可约多项式--中国百科网
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不可约多项式
不可约多项式
irreducible polynomial
不可约多项式[如m血‘翻块州，咐阔;肚nP拙。皿M戚
MHoro，月eH】
域k上的n个变量的多项式.厂=f(x;，…，工。)，
它是环k〔x:，…，x。」中的素元，即f不能表为f二gh，
其中g和h为系数在k中的非常数多项式(域k上
的不可约性(j印记u面b正ty)).如果一个多项式在它的系
数域的代数闭包上不可约，则称为绝对不可约的
〔a比川utely irn习uclble).绝对不可约的单变量多项式
是一次多项式.在多变量情况下，存在任意高次数的
绝对不可约多项式，例如，任一形如f(x:，…，x。一，)+
x。的多项式是绝对不可约的.
多项式环k【x:，…，x。」是唯一分解环(几以。rial
朋g):任一多项式可分解成不可约多项式之积，且除
常数因子外这种分解是唯一的.在实数域上任一单变
量的不可约多项式都是一次或二次的，一个二次多项
式不可约，当且仅当它的判别式是负的.在任一代数
数域上存在任意高次数的不可约多项式;例如，当p
为素数及n>1时，由E‘en‘tein判别准则可知扩+
px+p在QI刘中是不可约的(见代数方程(a】gebraic
叫珑面on)).
设A是整闭环，k为其分式域，f(x)eA【x]是
首项系数为1的单变量多项式.若在klx]中有
f(x)=g(x)h(x)，且g(x)和h(x)的首项系数为l，
则g(x)，h(x)‘A【x」(C饱u骆引理(Ga心k住口笼1)).
不可约性的约化判别准则(代月uetion crite石on for
泊记ucib正ty).设‘A~B是整环的同态.若f(x)和
。(f(x))次数相同且。(f(x))在B的分式域上不可
约，则f(x)不能因子分解为f(x)二g(x)h(x)，其中
g(x)，h(x)任A〔x]且不是常数.例如，Z〔x1中首项
系数为1的多项式f(x)是素元(从而在Q【x]中不可
约)，如果对某素数p，将f(义)的系数模P后得到的
多项式。(f(x))是不可约的.
【补注】唯一分解环也称为唯一因子分解整环(让田q优
丘飞cto丘己tion dorr以Ul)(U FD).裴定一译赵春来校
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证明：数域F上一个次数大于零的多项式f（x)是F[x]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件，是对于任意g（x)∈F[
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证明：数域F上一个次数大于零的多项式f(x)是F[x]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件，是对于任意g(x)∈F[x]，或者(f(x)，g(x))=1，或者存在一个正整数m，使得f(x)|gm(x)．
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1设p(x)是F[x]中一个次数大于零的多项式． 如果对于任意f(x)，g(x)∈F[x]，只要p(x)|f(x)g(x)，就有p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，那么p(x)不可约。2证明下列关于多项式的导数公式：&&&&3设p(x)是f(x)的导数f(x)的k-1重因式，证明：&&(i)p(x)未必是f(x)的k重因式；&&(ii)p(x)是f(x)的k重因式的充分且必要条件是p(x)|f(x)．4证明有理系数多项式&&&&没有重因式．
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确认密码：导读：?7类比高等数学可以得到φ(z)在圆盘|z|≤r上是连续函数，9类比高等数学可以得到φ(z)在圆盘|z|≤r这个有界闭集上没有最大值，4本原多项式的性质2关于本原多项式乘积的性质是哪位数学家提出，?我的答案：C?6在复数域上的不可约多项式的次数是?A、0.0?B、1.0?C、2.0?D、3.0?我的答案：D?7类比高等数学可以得到φ(z)在圆盘|z|≤r上是连续函数。?我的答案：?8Φ(z)在
? 我的答案：C
? 6在复数域上的不可约多项式的次数是 ? A、0.0 ? B、1.0 ? C、2.0 ? D、3.0
? 我的答案：D
? 7类比高等数学可以得到φ(z)在圆盘|z|≤r上是连续函数。 ? 我的答案：
? 8Φ(z)在复平面C上解析。 ? 我的答案：
? 9Φ(z)在圆盘|z|≤r上是连续函数有界开集。 ? 我的答案：
复数域上的不可约多项式（四）已完成
? 1次数为n，n&0的复系数多项式f(x)有多少个复根（重根按重数计算）？ ? A、至多n个 ? B、恰好有n个 ? C、至多n-1 ? D、至少n个 ? 我的答案：B
? 2复数域上的不可约多项式只有什么？
? A、任意多项式 ? B、三次多项式 ? C、二次多项式 ? D、一次多项式 ? 我的答案：D
? 3每一个次数大于0的复系数多项式一定具有什么？ ? A、复根
? B、无界定义域 ? C、连续性 ? D、不可导性 ? 我的答案：A
4在复平面上解析且有界的函数一
定是什么函数？ ? A、抽象函数 ? B、一次函数 ? C、常值函数 ? D、对数函数 ? 我的答案：C
? 5在复平面上解析且有界的函数一定是 ? A、0.0
? B、常值函数 ? C、一次函数 ? D、二次函数 ? 我的答案：B
? 6次数大于0的多项式在哪个数域上一定有根 ? A、复数域 ? B、实数域 ? C、有理数域 ? D、不存在 ? 我的答案：A
? 7x^5-1在复数域上有几个根 ? A、2.0 ? B、2.0 ? C、4.0 ? D、5.0
? 我的答案：D
? 8(x^2-1)^2在复数域上中有几个根 ? A、1.0 ? B、2.0 ? C、3.0 ? D、4.0
? 我的答案：D
9类比高等数学可以得到φ(z)在圆盘|z|≤r这个有界闭集上没有最大值，也没有最小值。 ? 我的答案：
? 10复变函数在有界闭集上的模无最大值。 ? 我的答案：
? 11复变函数在有界闭集上是连续的。?
我的答案：
实数域上的不可约多项式（一）已完成
1p(x)是R[x]上不可约多项式，如果p(x)的复根c是实数，那么p(x)是什么多系式？ A、零次多项式 B、四次多项式 C、三次多项式 D、一次多项式 我的答案：D
2实数域上的二次多项式当判别式△满足什么条件时不可约？ A、△&0 B、△&1 C、△=0 D、△&0 我的答案：A
3实数域上一定不可约的多项式是什么？
A、三次多项式和二次多项式 B、二次多项式和一次多项式 C、一次多项式 D、不存在 我的答案：D 4(1+i)(1-i)= A、-1.0 B、0.0 C、1.0 D、2.0
我的答案：C
51+i的共轭复数是 A、-1+i B、-1-i C、1-i D、1+i
我的答案：C 6i^4= A、-1.0 B、0.0 C、1.0 D、2.0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
我的答案：C
7在R[x]上degf(x)=n&0，若c是它的一个复根，则它的共轭复数也是f(x)的复根。 我的答案：
8每一个次数大于0的复数系多项式一定有复根。 我的答案：√ 9|1+i|=1 我的答案：X
实数域上的不可约多项式（二）已完成
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1两个本原多项式g(x)和h(x)若在Q[x]中相伴，那么有什么等式成立？ A、g(x)=h(x) B、g(x)=-h(x)
C、g(x)=ah(x)(a为任意数） D、g(x)±h(x) 我的答案：D
2本源多项式的各项系数的最大公因数只有什么？ A、±1 B、1.0 C、-1.0 D、0、1 我的答案：A
3实数域上的不可约多项式有哪些？
A、只有一次多项式 B、只有判别式小于0的二次多项式 C、只有一次多项式和判别式小于0的二次多项式 D、任意多项式 我的答案：C
4p(x)是R[x]上不可约多项式，如果p(x)的复根c是虚数，那么p(x)是什么多系式，并且△满足什么条件？ A、二次多项式且△&0
B、二次多项式且△&0
C、二次多项式且△=0
? ? ? D、二次多项式且△&1
我的答案：D
5x^3-1在实数域上有几个根 有理数域上的不可约多项式（一）已完成
? A、0.0 ? B、1.0 ? C、2.0 ? D、3.0
? 我的答案：D
? 6实数域上不可约的多项式是 ? A、x^2-2x+1 ? B、x^2+2x+1 ? C、x^2-1 ? D、x+1
? 我的答案：D
? 7实数域上可约的多项式 ? A、x^2+x+1 ? B、x^2+2x+1 ? C、x^2+1 ? D、x+1
? 我的答案：B
? 8实数域上的二次多项式是不可约的，则 ? A、△＞0 ? B、△=0 ? C、△&0
? D、没有正确答案 ? 我的答案：D
? 9并非任一有理数系数多项式都与一个本原多项式相伴。 ? 我的答案：
? 10判别式小于0的二次多项式的虚根是两个互相共轭的复数。 ? 我的答案：
? 11实数域上的不可约多项式只有一次多项式。 ? 我的答案：
? 12x^2-x+1是实数域上的不可约多项式。
? 我的答案：
? 1g(x)=±h(x)是两个本原多项式g(x)和h(x)若在Q[x]中相伴的什么条件？ ? A、充分条件 ? B、必要条件 ? C、充要条件
? D、非充分必要条件 ? 我的答案：D
2两个本原多项式g(x)和h(x)若在Q[x]中相伴，那么g(x)/h(x)等于多少？ ? A、±1
? B、任意常数c ? C、任意有理数 ? D、任意实数 ? 我的答案：D
3两个本原多项式g(x)和f(x),令h(x)=g(x)f(x)记作Cs，若h(x)不是本原多项式，则存在p当满足什么条件时使得p|Cs（s=0,1…）成立？ ? A、p是奇数 ? B、p是偶数 ? C、p是合数 ? D、p是素数 ? 我的答案：D
? 4属于本原多项式的是 ? A、2x+2 ? B、2x+4 ? C、2x-1 ? D、2x-2
? 我的答案：C
? 5Q[x]中，x^4-16有几个根 ? A、0.0 ? B、1.0 ? C、2.0 ? D、3.0
? 我的答案：D
? 6不属于本原多项式的是 ? A、x^2-2x ?
? C、2x-1 ? D、2x-2
? 我的答案：D
7多项式的各项系数的最大公因数只±1的整系数多项式是本原多项式。
? 我的答案：√ ? 8Q[x]中，f(x)与g(x)相伴，则f(x)=g(x) ? 我的答案：×
? 9两个本原多项式的乘积还是本原多项式。 ?
我的答案：√
有理数域上的不可约多项式（二）已完成
1每一个次数大于0的本原多项式都可以分解为多少个在Q上不可约的本原多项式的乘积？ ? A、只有两个 ? B、最多四个 ? C、无限多个 ? D、有限多个 ? 我的答案：D
2一个次数大于0的整系数多项式f(x)在Q上可约，那么f(x)可以分解成两个次数比f(x)次数低的什么多项式的乘积。 ? A、整系数多项式 ? B、本原多项式 ? C、复数多项式 ? D、无理数多项式 ? 我的答案：A
? 3两个本原多项式的乘积一定是什么多项式？ ? A、可约多项式 ? B、本原多项式 ? C、不可约多项式
? D、没有实根的多项式 ? 我的答案：B
4本原多项式的性质2关于本原多项式乘积的性质是哪位数学家提出
来的？ ? A、拉斐尔 ? B、菲尔兹 ? C、高斯 ? D、费马 ? 我的答案：C
? 5Q[x]中，属于可约多项式的是 ? A、x+1 ? B、x-1 ? C、x^2+1 ? D、x^2-1 ? 我的答案：D
? 6Q[x]中，x^2+x+1可以分解成几个不可约多项式 ? A、0.0 ? B、1.0 ? C、2.0 ? D、3.0
? 我的答案：D
? 7Q[x]中，x^4-16可以分解成几个不可约多项式 ? A、1.0 ? B、2.0 ? C、3.0 ? D、4.0
? 我的答案：D
? 8Q[x]中，属于不可约多项式的是 ? A、x^2 ? B、x^2-1 ? C、x^2+1 ? D、x^2-2 ? 我的答案：D
9一个次数大于0的本原多项式g(x)在Q上可约，那么g(x)可以分解成两个次数比g(x)次数低的本原多项式的乘积。 ? 我的答案：对
? 10两个本原多项式的相加还是本原多项式。 ? 我的答案：
11任一个非零的有理系数多项式都可以表示成有理数与本原多项式的乘积。 ?
我的答案：
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