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－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－补充１：另外补充一点。因为群代数是结合代数，所以有一种看法是群的表示论是结合代数的表示论的一部分，这个看法是错的。从学习的角度讲，这种思路很自然，但从研究的角度看，情况其实是反过来的：结合代数的表示论其实应该看成群表示论的方法中的一种。因为对一类代数对象而言，它们的结构越广泛，它们所对应的表示论其实应该是限制越大的。用针对结合代数发展出来的表示论来研究群表示论，往往不能得到很有效的信息，后者需要更加 sophisticated 的工具。那么，结合代数的表示论是否对群表示论没什么帮助呢？也不是，比如针对各种 base 上的李型群，它们主序列表示的一个研究思路就是研究对应的 Hecke 代数的表示；虽然后者给出的表示空间往往很大不好分解，但依然是一条主要研究方向，而且里面会产生很有趣的组合和几何问题。原文：我目前主要研究跟数论相关的群表示论的一些几何方法，下面是过去几年学习研究的一点阶段总结，内容未必全对，还请姑妄听之。十九世纪末，Dedekind 给 Frobenius 发邮件，问了下面这个问题：给定一个 n 阶有限群，考虑其 multiplication table, 把 table 里的每个群元素 g 用不变量 x_g 代替，那么我们得到了一个由 n 个不变量构成的 n 阶方阵；取其行列式，得到了一个 n 次齐次多项式，这个多项式怎么分解？Dedekind 对其分解性质有一个很明确的猜想，但他自己只能证明交换群的情形；Frobenius 收到 Dedekind 的邮件，发现这个问题有意思，并且没多久便证明了 Dedekind 的猜想。这个证明被认为是表示论的开端，这个猜想现在被称为 Frobenius determinant theorem.群表示论中的问题主要有三种类型：1）表示空间的构造和特征标的计算，有理性问题，及各种分类问题等。2）对表示范畴的研究，比如张量积结构，restriction functor 的作用等。3）与其它分支的联系和相互应用，比如几何表示论等。这三种问题未必有明确的难易区别，它们往往并行发展且相互影响。下面针对几种常见类型的群分别谈谈这些进展。（以下所说均指常表示；类似的内容对模表示也成立，但是进展程度至少至少得除以二）第一类：有限 Coxeter 群比如 n 阶对称群，它们的表示空间的构造和特征标的计算应该很早就清楚了，它们的几何表示论是 Springer 和 Lusztig 等人先后发展起来的 Springer thy, 这些内容，包括在有理性问题上的工作，应该都相对比较完善了。但是它们的张量积结构 far from well-understood
( 虽然，至少对对称群而言，有公式可以计算相关系数 ) .第二类：有限域上的李型群比如 GL_n ( F_q )
和 SO_n ( F_q )
等等。关于特征标表，除了 GL_n ( F_q )
的是上世纪五十年代被算清楚的以外，除非群的 rank 比较小，一般而言都是未知的。这些群的表示论，除了 rank 比较低的情形有 Weil 表示和 Clliford thy 等代数方法以外，基本都是几何表示论（当然还有 Harish-Chandra, Gelfand--Graev, Zelevinski 等人用代数方法构造表示的工作，但从现在看来，与几何表示论相比这些代数方法不够成功；不过它们有着自己的趣味并且在某些方面提供了思路上的指导）；其中最重要的是 Deligne--Lusztig 理论
( inspired by a conjecture of Macdonald and Drinfeld's works on symmetric spaces, and after some of Lusztig's earlier works )
和 Lusztig 的 character sheaf thy, 前者配合 Howlett--Lehrer 可以用来构造所有不可约表示 , 后者配合 Lusztig 自己的若干工作和猜想
( 不少情形已被证明 )
可以 theoretically 的
( up to 一些单位根 )
计算特征标表，并且可以用来解决相关的有理性问题。另外，当考虑主序列表示时，Hecke 代数以及相关的 Kazhdan--Lusztig 理论也会自然地出现。目前在李型有限群的常表示理论里，主要问题应该是特征标表的计算，以及，即使对 GL_n ( F_q )
也所知不多的张量积结构（也就是两个不可约表示 tensor product 之后的分解问题）的计算；Letellier 前两年用 quiver variety 给出了 GL_n ( F_q )
的幂单表示的某些张量积结构的几何解释，算是这方面为数不多有亮点的进展。最后提一下，有限域上李型群的表示论发展到现在，里面最漂亮的莫过于 Lusztig 的分类定理
( 有限域的 Langlands 对应 ) ：给定 G, 则其不可约表示与其对偶群的 semisimple conjugacy classes 的 centralisers 的幂单表示有非常 functorial 的一一对应。这个定理的证明是 Deligne--Lusztig，Kazhdan--Lusztig，character sheaves，Weyl 群的胞腔理论，以及 BBD 和 Weil II 等等的综合应用，真正的 masterpiece.第三类：代数李型群比如 GL_n over bar{F_q} 和 SO_n over bar{F_q} 等等。它们的有理表示我了解的不多。这里最重要的应该是 Lusztig 七十年代末关于特征标公式的一个猜想，这个猜想在基域特征充分大（非常非常大，不仅仅比 rank 大）时应该是 Lusztig 自己证明了是对的；很可惜，前两年 Williamson 在特征比较小时找了一个方法发现了很多反例。目前的进展我不了解。第四类：局部域上的李型群比如 GL_n ( {F_q} ( ( x ) ) )
和 SO_n ( Q_p )
等等（另外还有李型实群和李型复群）。很抱歉它们的表示我也了解不多，但它们的表示的分类，几年前应该已经由 Vigneras 等人经过几十年艰苦卓绝（惨无人道？）的奋斗在 up to cuspidal
( maybe supercuspidal? )
的意义下完成了。从这里开始有许多与数论相关的有趣问题开始出现。另外，Deligne--Lusztig 在这种情形先后至少有两种推广，一种是 p-adic DL 一种是 affine DL, 它们之间的关系以及与下面这些群的表示的关系应该很有意思。第五类：李型紧群比如 GL_n ( Z_p )
和 SO_n ( F_q [ [ x ] ]
等等。它们的光滑表示总会通过某个 finite quotient 分解，所以它们的表示论往往可以转化成 finite local ring 上的李型群的表示论，最特殊的就是有限域的情形也就是上面提到的第二类群。这里开问题非常多，从表示空间的构造，到有理性问题，到对应的 Deligne--Lusztig 理论和 character sheaves 理论的各种（可能的）推广的许多基本性质，没有一样目前是清楚的。其实从 induction 的角度看，研究这些群的表示，除了几何表示论以外还可以利用 reduction map 来应用各种代数方法比如 Clifford thy, 但是实践中这很困难：你需要决定什么时候一个比较小的（往往是某 Cartan subgp）群的 character 是 extendable 的，以及要算出其 extension 的 stabiliser，如果不单独针对某些群，这些步骤看起来并不 do-able. 这些 complete discrete valuation ring 上的李型群的表示跟数论的联系，我所知道的主要是 inertial local Langlands, 后者除了 Henniart 十几年前的关于 GL_2 情形的结果外，目前似乎依然是 largely conjectural 的。同时，这些李型紧群的表示跟上面的 p-adic 李型群的表示关系当然很直接，毕竟前者总是作为后者的紧子群出现，前者的表示做个 induction 就得到后者的表示了；但是实践中这可能不是一个研究 p-adic 李型群表示论的好方法，因为环上的李型群的表示论几乎总是不可避免的要比域上的李型群的表示本身更困难：比如环上的李型群的 Bruhat 分解目前依然没有好的理解（有一种可能是用 quiver variety 给出几何解释，但目前还没完成），比如我们缺乏对环上的李代数的理解，比如下面要讲的来自某些 unipotent 子群的表示的问题。第六类：有限域上 unipotent 群比如 GL_n ( F_q )
的对角线为一的上三角方阵构成的子群等等。很多人（错误的）以为这些群的表示要比有限域上李型群的表示要简单，可惜答案是非也。这些群的表示论往往牵扯野问题；我并不真的熟悉野问题这个概念，只知道它们会包含分类方阵对共轭类的问题（注意单个方阵的共轭类分类由 Jordan 标准型解决），而这等价于分类任意长度方阵 tuple 的共轭类分类问题。这些群的表示论有 Drinfeld 的关于维数的猜想，以及 Lusztig 关于可能的 character sheaves 理论的猜想等等，这些内容目前都只部分 developed. 这种群的表示论的困难的一个可能的 conceptual 的解释是：几何上看，它们很简单（仿射空间），从而拓扑上也很简单；代数上看，也比较简单（子群结构单一，都是 p- 群）；这意味着很难构造非平凡的工具去研究它们，我所知道的目前的方法，出发点都是基于 Lusztig 关于 Kirillov thy 也就是 orbit method 的使用。（以上只是表示论里的一些我所关心的部分内容，远不是群表示的全部。）来源：知乎 作者：【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。 此问题还有 延伸阅读：
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砍柴网2小时前　　表示论是数学中抽象代数的一支。旨在将代数结构中的元素“表示”成向量空间上的线性变换，藉以研究结构的性质。
　　略言之，表示论将一代数对象表作较具体的矩阵，并使得原结构中的操作对应到矩阵运算，如矩阵的合成、加法等等。此法可施于群、结合代数及等多种代数结构；其中肇源最早，用途也最广的是群表示论。设 G 为群，其在域 F （常取复数域 F = C ）表示是一 F-矢量空间 V 及映至一般线性群之群同态。
　　假设 V 有限维，则上述同态即是将 G 的元素映成可逆矩阵，并使得群运算对应到矩阵乘法。
　　表示论的妙用在于能将抽象的代数问题转为线性代数的操作；若考虑无穷维希尔伯特空间上的表示，并要求一些连续性条件，此时表示论就牵涉到一些的课题。
　　表示论在自然科学中也有应用。对称性的问题离不开群，而群的研究又有赖于其表示，最明显的例子便是李群及李代数表示论在量子力学中的关键角色。“表示”的概念后来也得到进一步的推广，例如范畴的表示。
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应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。
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贡献光荣榜表示理论；?定义设S为一集合，记S????；集合M(S)?{1}?S?按照以上定义的乘法和外；定理由S生成的自由幺半群M(S)满足以下性质；~|??；R，如果(a,b)?R，称a和b满足关系R，记为；aRb；S上的关系R称为对称关系，如果它满足；1）对任何a?S，aRa；2）对任何a,b?S，aRb当且仅当bRa；S上的关系R称为等价关系，如果它为对称关系并
表示理论 ?定义 设S为一集合，记S????。则上有自然的乘法定义为对任何S???Sn?1S?????n由S生成的自由幺半群定义为(a1,?,am),(b1,?,bn)?S?，(a1,?,am)(b1,?,bn)?(a1,?,am,b1,?,bn)。集合M(S)?{1}?S?按照以上定义的乘法和外加的单位元1构成的幺半群。由乘法定义， (a1,?,am)?a1?am。称M(S)中元素a1?am为长度为m的字，称长度为1的字为字母，特别地，称单位元为空字，其长度定义为0。单位元是唯一长度为0的字。 定理 由S生成的自由幺半群M(S)满足以下性质。对于任何幺半群H和映射?:S?N，存在唯~|??。反之，如果幺半群M满足S为M的子集，对于任何幺~:M(S)?N满足?一的幺半群同态?S~|??，则M?M(S)。 ~:M?N满足?半群N和映射?:S?N，存在唯一的幺半群同态?S定义 设S为一集合，S上的一个（二元）关系是指一个集合S?S的子集R。对于S上的关系（集）R，如果(a,b)?R，称a和b满足关系R，记为aRb。如果(a,b)?R，称a和b不满足关系R，记为aRb。S上的关系R?称为关系R的子关系，或者说关系R包含关系R?，如果R??R。 S上的关系R称为对称关系，如果它满足 1） 对任何a?S，aRa。 2） 对任何a,b?S，aRb当且仅当bRa。
S上的关系R称为等价关系，如果它为对称关系并且满足对任意的a,b,c?S，如果aRb,bRc，则aRc。 定理 设S为一集合，R为S上的一个关系。则S上所有包含R的对称关系集的交集为S上的对称关系，称为由关系R决定的对称关系，S上所有包含R的等价关系集的交集为S上的等价关系，称为由关系R决定的等价关系。 证：显然任意对称关系的交集仍为对称关系，任意等价关系的交集仍为等价关系，所以任何关系唯一决定一个对称关系和一个等价关系。 集合S上的关系R有图论的表示，可以使抽象的关系形象化，便于理解。将S中的满足xRx的元素x用一个实心圆点表示，将S中的满足xRx的元素x用一个虚心圆点表示，将S中的满足xRy，yRx的两个元素间用一个由x到y的有向线段连接，将S中的满足xRy，yRx的两个元素间用一个无向线段连接，则S对应一个图形。这个图形称为由关系R定义的图形。 定义 一个图T是由（实心）顶点和边构成的图形，其中每条边由两个不同的顶点连接，每两个不同的顶点间最多有一条边连接两点。称图T的所有顶点构成的集合V为图的顶点集，称图T的所有边构成的集合为图的边集E，则用(V,E)表示图T，其中E为V?V?{(v,v)|v?V}的子集。当只研究一个图的时候，经常用图的顶点集代表一个图而省略图的边集。一个图上的两个顶点称为可连接的如果他们为同一个顶点或者可以经过有限条边连接起来。显然可连接关系为一等价关系，一个图由可连接关系决定的等价类集合称为图的连通类集合，每一个等价类（连通类）也成为一个连通分支。一个图称为连通的，如果它只有一个连通分支。 定理 设S为一集合，则所有以为S顶点集的图构成的集合与S上的所有对称关系构成的集合之间有一个1-1对应。每个图的连通类集合与对应的对称关系决定的等价类集合也有1-1对应。 证：图T?(S,E)对应对称关系集R?E?{(s,s)|s?S}。该对应显然为1-1对应。 定理 设S为一集合，记S?1?{x?1|x?S}。在M(S?S?1)上定义关系R如下。对于任意两个字?,??M(S?S?1)和x?S，??R?xx?1?， ??R?x?1x?。则M(S?S?1)关于由R决定的等价关系的等价类集合构成一群，称为由S生成的自由群，记为G(S)。 证：显然如果?和等价?，?和等价?，则??和等价??。对于字a1?am，其中ai?S?S?1，?1?1?1?1字am?a1?1满足[a1?am][am?a1?1]?[am?a1?1][a1?am]?[a1?amam?a1?1]?[1]，其中[]代表等价类。所以F(S)为群。 M(S?S?1)中的字a1?am称为简约的，如果没有相继的两个字母ai,ai?1互逆。特别规定字母和单位元为简约的。可以证明M(S?S?1)中的所有简约字与F(S)有1-1对应，即M(S?S?1)中的每个等价类由一个唯一的简约元代表。自由群如果生成元个数有限（即生成元集S有限），则称生成元个数为该自由群的秩。可以证明自由群的秩不依赖于生成元集的选取。 定理 由S生成的自由群G(S)满足以下性质。对于任何群H和映射?:S?H，存在唯一的群同态~|??。反之，如果群G满足S为G的子集，对于任何群H和映射?:S?H，存~:F(S)?H满足??S~|??，则G?G(S)。 ~:G?H满足?在唯一的群同态?S定义 设S为一集合，T为G(S)的一个子集合，则群G{S;T}表示G(S)商去由T中元素生成的正规子群N(T)的商群G(S)/N(T)。也称G{S;T}为由S生成的满足零关系T的（零关系集合为T的）群。如果S有限，则称群G{S;T}是有限生成的。如果S和T都有限，则称群G{S;T}为有限表示的。通常用G{s1,?sn；x1,?,xr}表示一个有限表示群，其中xi?F(s1,?,sn)。如果群G与G{S;T}同构，则称G{S;T}为群G的一个表示。 定义 设S为一集合，记由M(S)生成的自由Abel群为R(S)。则R(S)有自然的乘法，定义为对任何m1s1???mksk,n1t1???nltl?R(S)，(m1s1???mksk)(n1t1???nltl)??i,jminjsitj。显然1?R(S)仍然是单位元。称环R(S)为由S生成的自由环。 定理 由S生成的自由环R(S)满足以下性质。对于任何环Q和映射?:S?Q，存在唯一的群同态~|??。反之，如果环R满足S为R的子集，对于任何环Q和映射?:S?Q，存~:R(S)?Q满足??S~|??，则R?R(S)。 ~:R?H满足?在唯一的环同态?S定义 设S为一集合，T为R(S)的一个子集合，则环R{S;T}表示R(S)商去由T中元素生成的理想I(T)的商环R(S)/I(T)。也称R{S;T}为由S生成的满足零关系T的（零关系集合为T的）环。如果S有限，则称环R{S;T}是有限生成的。如果S和T都有限，则称环R{S;T}为有限表示的。通常用R{s1,?x1,?,xr}表示一个有限表示环，其中xi?F(s1,?,sn)。如果环R与R{S;T}同构，则称R{S;T}为环R的一个表示。 有限表示群是否同构于自由群有方法。有限表示群是否为交换群，有限群，没有一般方法。判断两个有限表示群是否同构，没有一般方法。判断一个有限表示群中的两个字是否属于同一共轭类，没有一般方法。 定理 设Sn为n元置换群。当n?2时，S2?{?1；?12}；当n?2时， 2332
Sn?{?1,?,?n?1；?12,?,?n)}。 ?1,(?1?2),?,(?n?2?n?1),(?i?j)(i?j?12332证：记Gn?{?1,?,?n?1；?12,?,?n)}。定义群同态?1,(?1?2),?,(?n?2?n?1),(?i?j)(i?j?1?:Gn?Sn如下。?(?i)?(i,i?1)，则由于(i,i?1)(i?1,i?2)?(i,i?1,i?2)，?为群同态。显然?为满同态。下面证明|Gn|?n!。用归纳法证明。当n?2时显然成立。假设n?2。则Gn中任何元素都可以由形如?或??n?1?n?2??n?i，i?1,?,n?1 的元素表示，其中??Gn?1?Gn。所以由归纳假设，|Gn|?n!。而由?为满同态可知，|Gn|?n!。于是|Gn|?n!。?为同构。 定义 群的表示G{S;T}的Cayley图C{S;T}如下定义。定义G{S;T}中的对称关系R如下。xRsx对所有的x?G{S;T}和s?S。则C{S;T}为由关系R决定图。 例子 秩为n的自由群（不依赖于具体的表示）的图为n分叉的自由树，特别地，当n?1时，自由循环群的图为实轴上整点构成的图。循环群Zn（n?1）的图为n个顶点构成的圈。平凡群的图为一个顶点构成的图。以上是Cayley图不依赖于表示选取的常见群，一般群的Cayley图是依赖于具体的表示的。 定理 一个有限表示G{x1,?,T}的Cayley图为秩不超过2n的恒秩连通图。 证：由于xRsx当且仅当eRs，x?G{S;T}，这就说明以单位元e为顶点的边的个数与以任意x为?1顶点的边的个数一样。而以单位元为顶点的边的另一个顶点所构成的集合为x1,?,xn,x1?1,?,xn所构成的集合，个数不超过2n。 定理 已知有限生成群G作用在集合X上，则G的一个有限表示G{x1,?,T}的决定了X上的一个图，该图的连通分支集于轨道集1-1对应，每一个连通分支为一个秩不超过表示的Cayley图的秩的恒秩图，其顶点集为一个轨道。 证：定义X上的对称关系R如下。xRsx对所有的x?X和s?S。则对称关系R所决定的图自然y?gx是以X为顶点集的图，其连通分支集为作用的轨道集。对于同一轨道中的两点x和y，（g?G），?1以x为顶点的边的另外一个顶点构成的集合为x1x,?,xnx,x1?1x,?,xn以y为顶点的边的x构成的集合，?1另外一个顶点构成的集合为x1gx,?,xngx,x1?1gx,?,xngx构成的集合，显然这两个集合个数相同，都?1不超过x1,?,xn,x1?1,?,xn所构成的集合。所以定理成立。 定理 如果一个循环群G作用在有限集X上，则由G决定的X上的图的每一连通分支都为一圈。作为推论，任何置换都可表为互不相交的轮换的乘积。 三亿文库包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、中学教育、外语学习资料、专业论文、生活休闲娱乐、表示论59等内容。　
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