微积分的极限lim极限相关

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-09-03 21:58 标签： 微积分求极限
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微积分的题目 当lim x =a 求证lim((E an)/n)=a E 是求和公式 lim 代表极限求达人回答 微积分是挺难得
两男一女V讉
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只需证明对任意的正数小量ε,一定存在正整数n1,使得n＞n1时,有|(a1+a2+……+an)/n - a| ＜ ε即可.∵ lim an=a∴ 对于正数小量ε/2,一定存在正整数n0,使得n＞n0时,有|an - a| ＜ ε/2∴ |(a1+a2+……+an)/n - a| = |...
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微积分1.2极限的概念
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一、数列的极限
按自然数1, 2, 3, ··· 编号依次排列的一列数
称为无穷数列，简称数列.
其中的每个数称为数列的项.
称为通项(一般项).
数列(1)记为 x
2, 4, 8, , 2
1, -1, 1, , (-1)n-1 ,
{(-1)n-1 }
n +(-1)n-1
n +(-1)n-1
3 + 3 + 3 + 3 +,
2. 数列的简单性态
单调数列：
为单调增加(单调减少)数列.
为单调不减
(或单调不增)数列.
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微积分学习（一）：极限
作者：苏剑林 |
发布时间：
本文不是微积分教程，而是发表自己学习中的一些看法，以及与同好们讨论相关问题。拿起任何一本“微积分”教程，都可以看见那专业而严格的数学语言，因此很多人望而生畏。的确，由于牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的，因此引发了第二次数学危机。经过法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的努力，使得微积分有了前所未有的严密化，克服了第二次数学危机。加之后来的第三次数学危机，数学就更加严密了。但是对于初学者，严密化的微积分令人十分费解。因此，我们不妨按照微积分的创立顺序，即“不严密——严密”的顺序来学习。这样不仅能够让我们更高效率地学习，而且增加学习数学的兴趣。一般来讲，微积分的教程的顺序为：集合、映射，函数、极限、导数、微分、积分、...一直深入下去的。其中“集合、映射，函数”这三个部分只是为了严密地给出定义，真正的求解是从极限开始的（当然前面的基础也不可忽略）。极限的意义为：当函数$f(x)$中，x以无限接近的程度去逼近预先给出的$x_0$（或者是$\infty$，这里是“无限接近”，并不等于，是克服数学危机的主要步骤），求得$f(x)$的值。若$f(x)$趋向一个确定的值，则称极限存在；反之则极限不存在。注：当$x_0=\infty$或者$x_0=0$的时候，有正负之分。即$x_0=+\infty,x_0=-\infty$或者$x_0=+0,x_0=-0$，极限存在的条件，除了要趋向一个稳定的值外，对于正负的极限也必须相等，比如$\lim_{x \to +\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} f(x)$，这样才能够称为极限存在。若$\lim_{x \to +\infty} f(x) \neq \lim_{x \to -\infty} f(x)$，则极限不存在。微积分的运算过程是：先运算、化简，然后取值代入。下面是一些关于求极限的练习题目，我进行了解答。这只是我认为值得一写的题目，并不全面。解答的过程有可能不严密，但是有效，这是我的风格^_^：(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^4+n+1}-n^2)(n+3)$解答：
这首先要了解一条公式：$\sqrt{a^2+b}=a+\frac{b}{2a+\frac{b}{2a+\frac{b}{2a+...}}}$，我是根据一种方程迭代法推导出来的。应用到求极限很方便。如下：
$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^4+n+1}-n^2)(n+3) \\ =\lim_{n \to \infty} (n^2+\frac{n+1}{2n^2+\frac{n+1}{2n^2+...}}-n^2)(n+3) \\ =\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+3)}{2n^2+\frac{n+1}{2n^2+...}}$$因为$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n^2}
\to 0$，所以可以忽略后面的，只考虑
$$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+3)}{2n^2} \\ =\lim_{n \to \infty} 1/2 (1+1/n)(1+3/n)=1/2$$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x} sin x}{x+1}$解答：
$$\frac{\sqrt[3]{x} sin x}{x+1} < \frac{\sqrt[3]{x} sin x}{x} = x^{-2/3}sin x$$
当$x \to \infty$，有$x^{-2/3}
\to 0,|sin x| \leq 1$，所以
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x} sin x}{x+1} \to 0$$(3) $\lim_{n \to 0} \frac{e^n-1}{n}=1$解答：
$e^n=1+n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\frac{n^4}{4!}+...$，所以有
$$\lim_{n \to 0} \frac{e^n-1}{n} \\ =\lim_{n \to 0} \frac{n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\frac{n^4}{4!}+...}{n} \\ =\lim_{n \to 0} 1+\frac{n}{2!}+\frac{n^2}{3!}+\frac{n^3}{4!}+...=1$$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x sin x}-1}{e^{x^2}-1}$解答：
这是我认为比较难的题目，要根据结论(3)
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x sin x}-1}{e^{x^2}-1} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{(\frac{x sin x}{2+\frac{x sin x}{2+...}})}{e^{x^2}-1}$$
因为$\lim_{x \to 0} x sin x \to 0$，所以把后面的忽略，只考虑：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x sin x}{(e^{x^2}-1)*2} \\ =\lim_{x \to 0} \frac{{sin x}/{x}}{{e^{x^2}-1}/{x^2}*2}$$
已知：$\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} \to 1,\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2}-1}{x^2} \to 1$，
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x sin x}-1}{e^{x^2}-1} \to 1/2$$陆续补充中，将会与大家探讨更多的内容。
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