微积分lim题目极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-09-03 21:58 标签： 微积分基本定理
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微积分里极限的问题lim x趋3 arcsin(x^2-9)/(x-3)
维它命1059
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这是一个∞/∞未定式,lim (x→3) arcsin(x^2-9)/(x-3）=lim (x→3)〖arcsin(x^2-9)〗’/〖(x-3)〗’=lim (x→3)2x/∫1-(x^2-9)^2=6(将3带入)
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有限与无限的游戏——浅谈微积分中“极限”知识点的基础学习
本文是自己回顾初学高等数学基础阶段的笔记，同时与那些刚刚或即将接触高等数学的同学分享（尤其是即将开始大学学习的同学或者开始准备研究生考试的跨科学生）学习和做题方法，不过多谈知识点内容。
当然要开始说微积分，首先我想提一下莱布尼兹这位德国猛男。对于绝大多数了解过数学历史的人来说，比较公认的说法是——微积分的创始者为英国科学巨匠牛顿。但其实在这个问题上一直有争论，在历史上，法国人和英国人之间就为了谁是微积分创立者的问题进行了长达一个世纪的论战。包括法国人在内的另外一部分人认为莱布尼茨才是微积分理论的创立者，因为他是最早发布有关微积分理论论文的学者。当然如今我们知道，其实不是牛顿真的比这位大哥后知后觉，而是牛顿他比较严谨低调，再加上他是搞力学的，所以比较晚才把微积分理论公开；而这位莱布尼兹大叔就很猛，猛男中的战斗机，他都还没对自己的理论进行证明就发表了科学论文（那篇论文名字巨长，有兴趣可以搜搜看）。幸运的是，后世成功证明了他的理论，而且如今成为了数学领域中极其重要的部分。
当然，不管是牛顿的严谨治学，还是莱布尼兹的敢为人先，其实都是我们在日常学习和工作中值得学习的地方，在学习微积分的时候尤其如此。
好了，下面正式要开始谈“微积分”了。其实就我个人来说，“微积分”这三个字一直是很神秘很高端的存在，因为我的大学本科由于专业的原因并没有设置微积分课程，或者说就根本没有数学课，所以当我同其他专业的同学在一起，而他们谈论微积分这个理论时，我不免会有些好奇。强烈的好奇促使我看过几本有关微积分基础的书籍，而后来因为研究生考试的原因，我不得不开始自学微积分，并在比较短的时间内取得了不错的效果。
当然学习微积分是需要一定的初等数学基础的，尤其是对于我这种自学数学的人来说，如果没有一定的基础，学习微积分会加倍的困难，而本文就是专门写给那些基础较差而又不得不学习微积分的人——或许你同我一样跨科考研究生、或许是工作的需要等等。
首先推荐一套比较有趣的微积分参考书——湖南科技技术出版社出版的《微积分屠龙宝刀》和《微积分倚天宝剑》，原作者是三位来自美国的数学教师，这本书写得很浅，对于刚刚接触高等数学的人来说再合适不过。由于这本书的宗旨就是以最轻松的方式讲述微积分知识，所以完全可以当做一本有趣的故事书看，一个星期差不多就能初略的看一遍。接下来你就可以开始看同济大学的高等数学教科书了，当然那对于一般的人来说，就不再那么有趣了。
当你阅读《微积分屠龙宝刀》的时候，书上会告诉你，当你准备接触高等数学是，需要准备一些什么样的初等数学知识：比如简单的代数运算、函数表达式以及图形等。当然如果你的目标是考上研究生，那么你掌握这本科普读物上要求的这些初等数学知识还是不够的，我个人的总结是：1.乘法公式和因式分解，这是一切数学知识的基础，你至少不能在这么简单的知识点上掉链子。2.不等式的知识，尤其是绝对值不等式的比较。3.一元二次和一元三次方程的求根。4.指数对数的知识，你会发现在微积分领域，幂指数之类的东西无处不在。5.三角函数，尤其是sin、cos、tan、cot、sec、csc等函数之间的关系和切换公式。6.基本的平面几何知识，包括函数的图像等。这个过程需要几天时间，你也可以找出中学时的教科书翻翻，看看你是否已经把原来学的东西全都还给老师了。
当然准备初等数学知识可以和学习微积分同步展开，因为当你翻开微积分课本的时候，引入眼帘的是一个熟悉的知识点——函数。当然到了高等数学领域，我们研究的函数性质会进一步深化，函数的形式也会更加复杂。第一个知识点主要讲的是函数的相关性质，以及引出两个比较重要的新概念——邻域和隐函数。这部分的知识都非常简单，对于基础较好的同学可能早在高中时就已经掌握，这里不再多说，认真看书就能掌握。
接下来要说的一个重点是“极限”，当然我们生活中更容易在各种电视广告里听到“无极限”的说法，有个电视节目就叫做“娱乐无极限”。可以说，“极限”，就是高等数学里最重要的两个字，广义的理解，他是个哲学概念，狭义的理解，他指的就是数学中的一种趋近状态。“极限”你可以理解成是这样一种无限接近的“状态”，就像在现在这个炎热的夏天，如同你的面前放了一个飞速运转的电风扇，而你非常热，你会选择靠近风扇从而感受到更大的凉爽。但你只能无限的靠近风扇，但不能重合，当你和风扇重合了，这可能就是你人生最后一个夏天了。
而如果我们假设风扇是固定的，而你是运动的，你于风扇的正面无限向它接近，那么不管你怎么接近，你最会跟风扇之间有一个微小的间隙，即使你的鼻尖离风扇只剩0.01毫米，你依然无法与风扇重合。这一刻，我们就说风扇就是你运动的“极限”，而同时很容易理解的是，在这一刻，这个“风扇”是唯一的，所以我们说，极限是具有“唯一性”的。
当然我们在高等数学领域研究“极限”的时候，我们往往是研究函数的极限（亚里士多德曰世间万物皆函数），而所求的函数中未知数的取值往往是存在一个条件的，也就是我们所说的Lim
x趋于无穷大、无穷小或是某一个具体数（这个数同样可能是一个函数）。通俗来说，他可以这样理解（比如Lim
x趋于无穷大），当函数中的x变得无穷大时（我们可以在心中假设这个数是），那么对于1/x这个函数来说，他的实际数值是1/，是一个小数点后很多位的非常小的数，这个数在实际中我们可以将它忽略，因为他的实际数值太小，导致的误差也足够小。所以在这种情况下，当我们说x趋向于无穷大时，1/x这个函数的极限就是0。这就好像你在大学时爱上一个花心的高帅富或者白富美，和他（她）谈情说爱的人数是x，当这个x趋于无穷大时，或者说当全学校的异性都和他（她）有一腿时，你这个1与x之间的函数就是1/x，而当x趋向于无穷大，你在他心目中的份量就趋于0.
当你最初阶段的好奇、陌生到认识，你会感觉到，“极限”这一知识点的概念还是很好理解的，他形容的就是这样一种趋近式的状态，研究的是函数在不同条件下的函数所代表的值的状态问题。当然这种理解会随着你进入到做题阶段而不断深化，而在进行做题之前，你需要先了解几种不同的极限表达方式，以及基本的解题方法：比如常用的等价无穷小代换以及洛比达法则等，这些都是任何一本高等数学书本上的基本知识，这里不多啰嗦。
附：关于做题，尤其是刚刚学习高等数学时的做题
提到做题，我个人的经验是，刚开始的学习阶段需要多去“背题”，也就是多看书本上，尤其是教科书上的基本题，并在看题的过程中掌握基本的方法以及正规的书写规范，然后在动手独立做题。同时，高等数学区别于初等数学地方在于它有很多需要熟记的运算公式，在第一章“极限”知识的学习时最重要的等价无穷小替换的相关公式，以及佩亚诺余项的泰勒公式等等。这些东西都是需要牢固掌握并且灵活运用的，如果你想学好高等数学，这些公式和定理都是基础中的基础，没有其他人可以帮你，只有靠自己下功夫掌握。
当你真正认真的学数学，你会发现做数学题是一个很享受的过程，就如同玩一个AVG的电脑游戏，或者扮演福尔摩斯破一个棘手的小案件。当你逐渐学会独立破解一道高等数学难题时那种成就感是非常享受的，当然基础阶段还是我之前说的，多看题，多理解解题过程，先扮演华生的角色。（其实读过原著的就知道，福尔摩斯的推演能力逆天，但是数学一般，还被华生嘲讽过）
解高等数学题的关键在于两点——逻辑推理+轮换变形，而在解极限的题目中，当你运用等价无穷小替换的方法做题时，你会发现数学中变形的有趣，就如同小时候妈妈给你买的变形金刚，你总能玩出新花样，得到你想要的新形状。又如同积木游戏，你需要将题目给你的有限条件重新组合成你需要的系统结构。这里多提一句，在高等数学的解题过程中，千万不要把解题公式中的X单纯看做X，很多公式中的X是可以用函数替代的，比如等价无穷小替换法则中的SinX~X，对于Sin（X+Y）~X+Y同样适用。
PS：最后附上一个秘籍，也是新东方杨超老师的原创，对于一些带有三角函数的看似麻烦的题，可以轻松“秒杀”，这是一个结合等价无穷小与泰勒公式的小公式：
当X趋于0时，SinX=X-1/6X^3
当X趋于0时，TanX=X+1/3X^3
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