公考之数学运算 三亿文库
公考之数学运算
数学运算 7月10日 13、14容斥原理 1、全班50人，英语不及格15人，数学不及格19人，英语和数学都及格21人，问：英语和数学都不及格多少人？ 2、某专业有学生50人，40人选A,36人选B,30人选C,选A、B有8人，选B、C24人 ,A、C26人，三门都选20人，问3门都未选的多少人？ 3、有60人，穿白或黑上衣，黑或蓝裤子，其中12人穿白上衣蓝裤子，34人黑裤子，29人黑上衣，问黑上衣黑裤子多少人？ 4、18名游泳运动员，8名参加仰泳，10名蛙泳，12名自由泳，4名既仰又蛙，6名既蛙又自由，5名既仰又自由，只参加一个项目的多少人？ 5、共有英、日、德语翻译60人，能做英、日、德语分别有31、31、21人，英、日12人，英、德6人，三种都能3人，问只能做德语的多少人？ 6、1至2010中，既能被8整除又能被12整除的数有多少个？ 7、一游客到扬州玩，要么上午玩，下午在旅馆休息，要么上午在旅馆休息，下午玩，而下雨天只能整天在旅馆休息，期间，不下雨是12天，上午呆了8天，下午呆了11天，问他在扬州共呆了多少天？ 8、某调查公司对甲、乙、丙三部电影收看情况向125人调查，看过甲、乙、丙的分别为89、47、63人，其中，24人三部全看过，20人一部没看过，问只看过两部的多少人？
7月11日，排列组合 15、16 1、从4个玩具枪中挑一个，3种球类中挑一类，5种积铁中挑两种，有多少种挑法？ 2、奶奶有6颗口味不同的糖，分给3个孙子，分别得糖为1、2、3颗，共有多少种分法？ 3、现有6人，选出3人分别参加乒乓球、羽毛球、跳绳比赛，每人 参加一项，其中甲不能参与跳绳，共有多少种选派方法？ 4、有一个人在A、B、C3 个城市玩，今天在这个，明天就到那个，如果他第一天在A城，第五天又回到A城，有多少种方案？ 5、下周7天内选择2天停水，停水两天不相连，有多少种停法？ 6、身高不等的7个人站在一起照相，最高的站中间，按身高向两侧递减，有多少种站法？ 7、路旁有10盏灯，要关掉3盏，两端不能关，且关掉的不相邻，有多少种关法？ 8、把5件相同的礼物分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，有多少种不 1 同的分法？ 9、某单位订阅30份学习资料发给3个部门，每个部门至少发9份，有多少种不同的发法？ 10、 11、
17统筹 1、现有一架天平和30克、5克的2个砝码，最少几次可将300克糖分成100克和200克？
1，2，3，4 2、4个空啤酒瓶可以换1瓶啤酒，买24瓶啤酒最多可喝多少瓶啤酒？
30，31，32，33 3、将一袋袋水饺摆成10堆，其中9堆合格，每袋500克，1堆不合格，每袋450克，从外形上分不出哪堆是450克，最少称几次可发现450克的那堆？ 1，2，3，4 4、8个真币和1个假币放一起，假币比真币重，一台天平最少几次称，可找出假币？ 2，3，4，5 5、甲、乙、丙、丁4个人同时去某单位和总经理谈判，甲要18分钟，乙要12分钟，丙要25分钟，丁要6分钟，四个人留在这个单位的时间总和最少是多长？ 91，108，111，121 6、将14拆成几个自然数的和，再求出这几个数的积，最大积是？72，96，144，162 7、服装厂工人每人每天生产4件上衣或7条裤子，1件上衣和1条裤子为一套，66名工人天最多生产多少套？
168，188，218，246 8、有甲、乙两项工程，张师傅单独完成分别需6、30天，李师傅单独完成分别需18、24天，两人合作完成两工程，最少天数为？16，15，12，10
18、比赛 1、9个队，9个场，打循环赛，每个球场举行几场？
7，6，5，4 2、24个队，分成6个组，先循环赛，决出16强，16强淘汰赛，决出冠、亚军和第三、四名，共多少场比赛？48，51，52，54 3、A、B、C、D、E5个小组扑克比赛，每两个小组都要比赛一场，A、B、C、某高校从E、F、G三家公司购同一设备的比例分别为20%、40%、40%,某人四级考试的通过概率为0.4，他准备考3次，能通过的概率为多少？ 这3家的合格率分别为98%、98%、99%，问随机购买一件次品的概率？
2 D分别比赛了4、3、2、1场，问E比赛了几场？0，1，2，3 4、四支球队单循环赛，每两队只赛一场，每场胜者得3分，负者得0分，平局各得1分，结束时四支队得分为4个连续自然数，第四名输给第几名？1，2，3，不确定 5、4支队伍进行4项比赛，每项比赛第一、二、三、四名分别得分5，3，2，1，每队4项比赛得分之和算作总分，若已知各队总分不相同，且A队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍得多少分？7，8，9，10 6、10名同学参加象棋比赛，单循环赛制，每名同学都要与其他9名比赛一局，每局胜者得2分，负者得0分，平局各得1分，结果10名同学得分各不相同，第一名、第二名一局没输过，前两名得分比第三名多20分，第四名得分与最后四名得分之和相等，问第5名得分？8，9，10，11 7、赵、钱、孙三人打羽毛球，每局两人比赛，另一人休息，每局输方下一局休息，结束时，赵休息2局，钱打8局，孙打5局，则第9局比赛的是？钱和孙，赵和钱，赵和孙，皆有可能
19、抽屉原理 1、一只鱼缸中有很多鱼，共有5个品种，至少捞出多少条鱼，才能保证有5条相同品种的鱼？10，11，20，21 2、一副扑克牌（共54张），至少摸出多少张才能确保至少有6张牌花色相同？21，22，23，24 3、有300名求职者参加招聘，其中软件设计、市场营销、财务管理、人力资源管理类分别有100、80、70、50人，问：至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同？71，119，258，277 4、一次市场调查中收回435份问卷，80%的问卷上填写了被调查者手机号，调研人员需随机抽出多少份，才能保证一定能找到2个号码后2位相同的被调查者？101，175，188，200 5、20位运动员，参赛号分别是1，2，3，??，20，至少从中选出多少个号码，才能保证至少有2个号码的差是13的倍数？12，15，14，13 6、将104张桌子分别放到14个办公室，每个办公室至少放1张桌子，不管怎么放，至少有几个办公室桌子一样多？2，3，7，无法确定 7、17个完全一样的信封，其中7个分别装了1元钱，8个分别装了10元钱，2个是空的，问，最少从中随机取几个信封，才能保证支付一笔12元的款项而无需找零？4，7，10，12 8、有红、黄、绿三种颜色手套各6双，装在黑色布袋里，从中任意取出，为确 3 保至少有2双手套不同颜色，至少要取出的手套只数是？20，25，27，30
20、时钟问题 1、中午12点整时，钟面上时针、分针完全重合，到当晚9点时止，时针与分针还重合了多少次？7，8，9，10 2、把一个时钟改装成玩具钟，使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈，开始时三针重合，问在时针旋转一周的过程中，三针重合了几次？2，3，4，5 3、现在时间为4点13分，此时时针与分针成什么角度？30，45，90，120 4、小李开了一个多小时会，开始时看表，结束时又看表，发现时针与分针恰好互换了位置，会约开了1个小时多少分钟？51，47，45，43 5、3点时，时针与分针成直角，什么时刻时针与分针第一次重合？3小时15分多，3小时16分多，3小时14分多 6、张某下午6点多出门，手表时针与分针夹角为110度，7时前回家又看表，时针与分针夹角仍是110度，出门用了多长时间？20分，30分，40分，50分 7、一只钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对照，现在是标准时间下午5点30分，问再经过多长时间，挂钟才能走到5点30分？20，30，40，50
12,11,9 1、爸、哥、妹3人现在年龄和为64岁，当爸是哥年龄3倍时，妹是9岁，当哥是妹年龄2倍时，爸34岁，问爸正在的年龄是？34，39，40，42 2、某单位计划在一间长、宽分别为15、8的会议室中间铺地毯，地毯面积占会议室一半，若四周未铺地毯的留空宽度相同，地毯的宽度为多少？3米，4米，5米，6米 3、等边三角形的每边增加1/3倍，则面积增加多少倍？1/9,1/3,7/9,4/3 4、A、B上坡与下坡共60千米，A到B用3.5小时，返回用4.5小时，上坡速度为12千米/小时，下坡速度为？10，12，14，20 5、一辆汽车从A地出发按某一速度行驶，可在预定时间到达B地，但在距B地180公里处意外受阻30分钟，因此，继续行驶车速必须增加5公里/小时，才能准确到达B地，问，后来的速度是？40，45，50，55 6、小明从家去学校，前一半路程步行，后一半路程乘车，回家时，前1/3时间乘车，后2/3时间步行，去比回时多用2小时，步行时速5千米，乘车时速15千米，问家到学校路程？170，150，100，90
10行程问题 1、一艘船从A地行到B 地需5天，而从B地行到A地需7天，设船速、水流速度不变，并具备漂流条件，船从A地漂到B地需多少天？40，35，12，2 2、一人骑马射虎，与虎相距50米，因箭矢已尽，遂骑马生擒猛虎。马步幅较虎大，马2步值虎3步，然而，虎动作较马迅捷，马跑3步虎已跑4步，则追上虎时，马已跑多少米？320，360，420，450 3、甲、乙从运动场同一起点同时出发，甲速度为200米/分钟，乙步行，当甲第5次超越时，乙正好走完第3圈，再过1分钟时，甲在乙前方多少米？105，115，120，125 4、甲以35千米/小时的速度从A地去B地，乙以15千米/小时的速度从B地去A地，两人相向而行，第三次和第四次相遇两人的距离是100千米，问A、B两地的距离是多少？50，100，150，250 5、甲、乙两人从A、B两地同时出发相向匀速而行，5小时后于C点相遇，若其他条件不变，甲每小时多行4千米，乙速度不变，则相遇地点距C点6千米，若甲速度不变，乙每小时多行4千米，则相遇地点距C点12千米，则甲乙两人最初速度之比为？ 2：1，2：3，5：8，4：3
8边端,7牛吃草 1、一个方阵，最外层人数是108人，则这个方阵共有多少人？724，744，764，784 2、一个方阵，减少一行一列，将减少35人，原方阵多少人？289，324，256，361 3、一片草地，240只羊可吃6天，200只羊可吃10天，190只羊可吃多少天？１１，１２，１４，１５ 4、设某森林资源增长速度一定，且不受自然灾害等影响，若每年开采１１０万立方米可开90年，若每年开采90立方米可开210年，为了可持续开发，则每年最多可开采多少万立方米？70，75，80，85 5、有一草地，每天草长速度相同，这片草可供16头牛吃20天，或供80只羊吃12天，如果一头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，这片草可供10头牛和60只羊一起吃多少天？7，8，9，10 6、有三块草地，面积分别为5、6、8公顷，草一样厚且长得一样快，第一块草 5
联系客服：cand57</欢迎来到高考学习网，
免费咨询热线：010-
今日：1530套总数：5885151套专访：3372部会员：401265位
当前位置：
& 2017届高考数学理人教A版一轮复习练习：第10章 计数原理 10.2
2017届高考数学理人教A版一轮复习练习：第10章 计数原理 10.2
资料类别: /
所属版本: 通用
上传时间：
下载次数：9次
资料类型：
文档大小：4.78M
所属点数: 0点
【下载此资源需要登录并付出 0 点，】
资料概述与简介
1.排列与组合的概念
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示.
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
质 (1)0！＝1；A＝n！
(2)C＝C；C＝C＋C__
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　×　)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(　×　)
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　√　)
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　√　)
(5)A＝nA.(　√　)
(6)kC＝nC.(　√　)
1.(教材改编)用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)
解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，
共有AA＝48种.
2.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)
解析　方法一　不同的赠送方法有＝10种.
方法二　从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本.由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C＝4种赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C＝6种赠送方法.因此共有4＋6＝10种赠送方法.
3.(2014·辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
4.(教材改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，其中男女生都有的选法种数为________.
解析　分两类：男1女2或男2女1，各有CC和CC种方法，所以选法种数为CC＋CC＝12＋18＝30.也可用间接法C－C－C＝30.
5.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是________.
解析　从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，所有的选法种数是C×C＝90.
重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是C×C＝30，故重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是90－30＝60.
题型一　排列问题
例1　(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法.
(2)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答).
答案　(1)2520　(2)480
解析　(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A＝2520种排法.
(2)从左往右看，若C排在第1位，共有A＝120种排法；若C排在第2位，A和B有C右边的4个位置可以选，共有A·A＝72种排法；若C排在第3位，则A，B可排C的左侧或右侧，共有A·A＋A·A＝48种排法；若C排在第4,5,6位时，其排法数与排在第3,2,1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480种排法.
1.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？
解　前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5040种排法.
2.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？
解　相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有A·A·A＝288种排法.
3.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？
解　不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A种排法，故共有A·A＝1440种排法.
4.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？
解　先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A＝5种排法；再安排其他人，有A＝720种排法.所以共有A·A＝3600种排法.
思维升华　排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
　用0,1,2,3,4,5这6个数字.
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?
解　(1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时，有A个；
第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A种，十位和百位从余下的数字中选，有A种，于是有A·A个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A·A个.
由分类加法计数原理得，共有A＋2A·A＝156个.
(2)先排0,2,4，再让1,3,5插空，
总的排法共AA＝144种，
其中0在排头，将1,3,5插在后3个空的排法共A·A＝12种，此时构不成六位数，
故所求六位数为AA－AA＝144－12＝132个.
题型二　组合问题
例2　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种，
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5984种.
∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2100种.
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.
(4)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝＝2555种.
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.
(5)选取3件的总数有C，因此共有选取方式
C－C＝＝6090种.
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.
思维升华　组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
　从10位学生中选出5人参加数学竞赛.
(1)甲必须入选的有多少种不同的选法？
(2)甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？
解　(1)学生甲入选，再从剩下的9人选4人，
故甲必须入选的有C＝126种不同选法.
(2)没有限制条件的选择方法有C＝252种，
甲、乙、丙同时都入选有C＝21种，
故甲、乙、丙不能同时都入选的有252－21＝231种不同的选法.
题型三　排列与组合问题的综合应用
命题点1　相邻问题
例3　一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)
B.3×(3！)3
C.(3！)4 D.9!
解析　把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法.
命题点2　相间问题
例4　(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
解析　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36种安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法.
命题点3　特殊元素(位置)问题
例5　(2014·四川)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
A.192种 B.216种
C.240种 D.288种
解析　第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120种方法；
第二类：乙在最左端，有4A＝4×4×3×2×1＝96种方法.
所以共有120＋96＝216种方法.
思维升华　排列与组合综合问题的常见类型及解题策略
(1)相邻问题捆绑法.在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列.
(2)相间问题插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用.
(3)特殊元素(位置)优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置.
(4)多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数.
　(1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(　　)
(2)(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).
答案　(1)B　(2)60
解析　(1)方法一　将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A种.
所以不同的安排方法有CA种.
方法二　先从6个班级中选2个班级有种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CC＝AC种.
(2)分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A种分法；
第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有CA种分法.
总获奖情况共有A＋CA＝60种.
16.排列、组合问题计算重、漏致误
典例　有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种.
易错分析　易犯错误如下：先从一等品中取1个，有C种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C种不同取法，共有C×C＝2736种不同取法.上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复.
解析　方法一　将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理有CC＋CC＋C＝1136种.
方法二　考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C－C＝1136种.
答案　1136
温馨提醒　(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素(位置)优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.
(2)“至少、至多”型问题不能直接利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.
[方法与技巧]
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧：
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
[失误与防范]
求解排列与组合问题的三个注意点：
(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理.
(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏.
(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题.
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)
A.60种 B.63种
C.65种 D.66种
解析　共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C＋C＋CC＝66种.
2.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为(　　)
解析　首先从后排的7人中抽2人，有C种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA.
3.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)
解析　分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法.依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42种编排方案.
4.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有(　　)
A.34种 B.48种
C.96种 D.144种
解析　程序A有A＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的3个元素排列有AA＝48种，∴由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法.
5.(2014·安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)
A.24对 B.30对
C.48对 D.60对
解析　正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有C＝66对，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角.相对两面上的4条对角线组成的C＝6对组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3C＝18对.所以成60°角的有C－3C＝66－18＝48对.
6.(2015·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答).
答案　1560
解析　依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1560条毕业留言.
7.(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
解析　先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A种方法，而A，B可交换位置，所以有2A＝48种摆法，又当A，B相邻且又满足A，C相邻，有2A＝12种摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36种.
8.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种.
解析　把g、o、o、d4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o.共一种排法，所以总的排法种数为A＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A－1＝12－1＝11(种).
9.2015年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码中选择.公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策.如后四位数为“2663”，“8685”为“金兔卡”，求这组号码中“金兔卡”的张数.
解　①当后四位数有2个6时，“金兔卡”共有C×9×9＝486张；
②当后四位数有2个8时，“金兔卡”也共有C×9×9＝486张.
但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况，所以要减掉C＝6，即“金兔卡”共有486×2－6＝966张.
10.有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？
解　设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：
第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝6种；
第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝12种；
第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C·C＝8种；
第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A＝12种；
由分类加法计数原理，选派方法数共有6＋12＋8＋12＝38种.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有(　　)
A.12种 B.18种
C.24种 D.48种
解析　丙、丁不能相邻着舰，则将剩余3机先排列，再将丙、丁进行“插空”.由于甲、乙“捆绑”视作一整体，剩余3机实际排列方法共2×2＝4种.有三个“空”供丙、丁选择，即A＝6种.由分步乘法计数原理，共有4×6＝24种着舰方法.
12.(2014·广东)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)
C.120 D.130
解析　在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有C×2种；②两个1(或－1)，三个0，有C×2种；③一个－1，一个1，三个0，有A种；④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有CC×2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有C×2种.故共有C×2＋C×2＋A＋CC×2＋C×2＝130种，故选D.
13.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.
解析　先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种分派方法.
14.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
解　(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCC×A＝144种放法.
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.
(3)确定2个空盒有C种方法.
4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有C种方法.故共有C(CCA＋C)＝84种放法.
15.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？
(1)两个女生必须相邻而站；
(2)4名男生互不相邻；
(3)老师不站中间，女生甲不站左端.
解　(1)∵两个女生必须相邻而站，
∴把两个女生看做一个元素，
则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有AA＝1440种站法.
(2)∵4名男生互不相邻，
∴应用插空法，
对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有AA＝144种站法.
(3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列共有A＝720种站法，
当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列共有A×5×5＝3000种站法.根据分类加法计数原理知共有720＋种站法.
高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！
本网部分资源来源于会员上传，除本网组织的资源外，版权归原作者所有，如有侵犯版权，请联系并提供证据（），三个工作日内删除。
其他相关资源
友情链接：
Copyright &2006 - 2016 高考学习网版权所有. All Rights Reserved.