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文档介绍：
选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数
一、选择题
1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a&0),则f(x)为R上增函数的充要条件是( )
A.b2-4ac&0 B.b&0,c&0
C.b=0,c&0 D.b2-3ac&0
[解析] ∵a&0,f(x)为增函数,
∴f′(x)=3ax2+2bx+c&0恒成立,
∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac&0,∴b2-3ac&0.
2.(;广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
[解析] 考查导数的简单应用.
f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,
令f′(x)&0,解得x&2,故选D.
3.已知函数y=f(x)(x∈R)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为( )
A.[-1,+∞) B.(-∞,2]
C.(-∞,-1)和(1,2) D.[2,+∞)
[解析] 令k≤0得x0≤2,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-∞,2].
4.已知函数y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
[解析] 当0&x&1时xf′(x)&0
∴f′(x)&0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数
当x&1时xf′(x)&0,∴f′(x)&0,故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,因此否定A、B、D故选C.
5.函数y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是( )
[解析] y′=xcosx,当-π&x&-时,
cosx&0,∴y′=xcosx&0,
当0&x&时,cosx&0,∴y′=xcosx&0.
6.下列命题成立的是( )
A.若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何x∈(a,b),都有f′(x)&0
B.若在(a,b)内对任何x都有f′(x)&0,则f(x)在(a,b)上是增函数
C.若f(x)在(a,b)内是单调函数,则f′(x)必存在
D.若f′(x)在(a,b)上都存在,则f(x)必为单调函数
[解析] 若f(x)在(a,b)内是增函数,则f′(x)≥0,故A错;f(x)在(a,b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系,故C错;f(x)=2在(a,b)上的导数为f′(x)=0存在,但f(x)无单调性,故D错.
7.(;福建理,11)已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x&0时,f′(x)&0,g′(x)&0,则x&0时( )
A.f′(x)&0,g′(x)&0 B.f′(x)&0,g′(x)&0
C.f′(x)&0,g′(x)&0 D.f′(x)&0,g′(x)&0
[解析] f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反),∴x&0时,f′(x)&0,g′(x)&0.
8.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a&b,则必有( )
A.af(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(a)
C.af(b)≤bf(a) D.bf(a)≤af(b)
[解析] ∵xf′(x)+f(x)≤0,且x&0,f(x)≥0,
∴f′(x)≤-,即f(x)在(0,+∞)上是减函数,
又0&a&b,∴af(b)≤bf(a).
9.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )
A.f(0)+f(2)&2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)&2f(1)
[解析] 由(x-1)f′(x)≥0得f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减或f(x)恒为常数,
故f(0)+f(2)≥2f(1).故应选C.
10.(;江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S′(t)的图像大致为
[解析] 由图象知,五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减,其中恰露出一个角时变化不连续,故选A.
二、填空题
11.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________.
[答案] b&-1或b&2
[解析] 若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立,则Δ=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2,
由题意b&-1或b&2.
12.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)&1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a的取值范围为________.
[答案] a≥1
[解析] 由已知a&在区间(1,+∞)内恒成立.
设g(x)=,则g′(x)=-&0 (x&1),
∴g(x)=在区间(1,+∞)内单调递减,
∴g(x)&g(1),
∴&1在区间(1,+∞)内恒成立,
13.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________.
[答案] (-∞,-1)
[解析] 函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,-1),
令f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1&0,得x&,
∴函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞,-1).
14.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________.
[答案] [3,+∞)
[解析] y′=3x2-2ax,由题意知3x2-2ax&0在区间(0,2)内恒成立,
即a&x在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3.
三、解答题
15.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).
(1)求a、b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
[解析] (1)求导得f′(x)=3x2-6ax+3b.
由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f′(1)=-12,
解得a=1,b=-3.
(2)由a=1,b=-3得
f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)
=3(x+1)(x-3).
令f′(x)&0,解得x&-1或x&3;又令f′(x)&0,解得-1&x&3.
所以当x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数;
当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数;1
内容来自淘豆网转载请标明出处.【实数】若实数a、b、c、d满足＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为________． 实数_小宗师专辑：看小说，有激情，请关注微信公众号：比比读小说网若实数a、b、c、d满足＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为________．题型：填空题难度：偏易来源：不详(1－ln2)2∵＝1，∴b＝a2－2lna，d＝3c－4，∴点(a，b)在曲线y＝x2－2lnx上，点(c，d)在曲线y＝3x－4上，(a－c)2＋(b－d)2的几何意义就是曲线y＝x2－2lnx到曲线y＝3x－4上点的距离最小值的平方．考查曲线y＝x2－2lnx(x&0)平行于直线y＝3x－4的切线，∵y′＝2x－，令y′＝2x－＝3，解得x＝2，∴切点为(2，4－2ln2)，该切点到直线y＝3x－4的距离d＝就是所要求的两曲线间的最小距离，故(a－c)2＋(b－d)2的最小值为d2＝(1－ln2)2.据魔方格专家权威分析，试题“若实数a、b、c、d满足＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为________．-高..”主要考查你对导数的概念及其几何意义等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下： 现在没空？点击收藏，以后再看。 因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问魔方格学习社区。 导数的概念及其几何意义 考点名称：导数的概念及其几何意义平均变化率:一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。导函数：如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=切线及导数的几何意义：（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。（2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:导函数的特点：①导数的定义可变形为：②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．好看的小说，就关注微信公众号：比比读小说网提醒您本文地址：相关文章课时作业(十八)；1．(2011?辽宁理)设函数f(x)＝x＋ax；(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－；答案(1)a＝－1，b＝3(2)略b解析(1)f；由已知条件得?即?；f′?1?＝2，1＋2a＋b＝2.??解得a＝－；(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知；g′(x)＝－1－2x＋xx当0&x&lt；所以g(x)在(0,1
课时作业(十八)
1．(2011?辽宁理)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤2x－2.
答案 (1)a＝－1，b＝3 (2)略 b解析 (1)f′(x)＝1＋2ax＋x?f?1?＝0，?1＋a＝0，
由已知条件得?即?
f′?1?＝2，1＋2a＋b＝2.??解得a＝－1，b＝3.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx. 设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则 ?x－1??2x＋3?3
g′(x)＝－1－2x＋xx当0&x&1时，g′(x)&0；当x&1时，g′(x)&0.
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 而g(1)＝0，故当x&0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. 2．设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a&0. (1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．(其中，e为自然对数的底数)．
答案 (1)增区间(0，a)，减区间(a，＋∞) (2)a＝e 解析 (1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x&0， ?x－a??2x＋a?a2
所以f′(x)＝x2x＋a＝－.
由于a&0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)． (2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e. 由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增， 要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
?f?1?＝a－1≥e－1， ①只要? 222
?f?e?＝a－e＋ae≤e， ②由①得a≥e；由②得a≤e.因此a＝e.
故当e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立时，实数a的值为e. 3．已知函数f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x. (1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围； (3)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，试求实数m的值． 答案 (1)y＝－6x＋7 (2)2≤a≤6 (3)m＝h(4)＝－16ln2－24
解析 (1)因为f′(x)＝2x－x，所以切线的斜率k＝f′(1)＝－6. 又f(1)＝1，故所求的切线方程为y－1＝－6(x－1)．即y＝－6x＋7. (2)因为f′(x)＝
2?x＋2??x－2?
又x&0，所以当x&2时，f′(x)&0；当0&x&2时，f′(x)&0. 即f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．
又g(x)＝－(x－7)2＋49，所以g(x)在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．
欲使函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，则?解得
a＋1≤7，?2≤a≤6.
(3)原方程等价于2x2－8lnx－14x＝m，
令h(x)＝2x2－8lnx－14x，则原方程即为h(x)＝m.
因为当x&0时原方程有唯一解，所以函数y＝h(x)与y＝m的图像在y轴右侧有唯一的交点．
2?x－4??2x＋1?8
又h′(x)＝4x－x－14＝，且x&0，
x所以当x&4时，h′(x)&0；当0&x&4时，h′(x)&0.
即h(x)在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h(x)在x＝4处取得最小值，从而当x&0时原方程有唯一解的充要条件是m＝h(4)＝－16ln2－24.
4．(2014?西安市质检)设函数f(x)＝－3x＋x＋(m2－1)x(x∈R)，其中m&0. (1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))点处的切线的方程； (2)求函数f(x)的单调区间与极值；
(3)已知函数g(x)＝f(x)＋3有三个互不相同的零点，求m的取值范围． 答案 (1)3x－3y－1＝0 (2)减区间(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)，增区间(121212
－m,1＋m)，极大值33＋m2－233＋m2－3(3)(3，＋∞)
解析 (1)当m＝1时，f(x)＝－3x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1. 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1. 切线方程为3x－3y－1＝0.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1，令f′(x)＝0，得到x＝1－m或x＝1＋m. 因为m&0，所以1＋m&1－m.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
21函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝33＋m2－3函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)， 21
且f(1－m)＝－33＋m2－3(3)由(2)知，
函数g(x)在x＝1＋m处取得极大值g(1＋m)＝f(1＋m)＋3，且g(1＋m)＝3m3＋m2.
函数g(x)在x＝1－m处取得极小值g(1－m)＝f(1－m)＋3，且g(1－m)＝－3m3＋m2.
根据三次函数的图像与性质，函数g(x)＝f(x)＋3有三个互不相同的零点，只
g?1＋m?＝m＋m&0，??3
?232g?1－m?＝－m＋m&0，??3
所以m的取值范围是?3，＋∞?.
5．(2014?西北五校)已知函数f(x)＝2ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)． (1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值； (2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)&g(x2)，求a的取值范围．
答案 (1)3 (2)略 (3)a&ln2－1 2
解析 f′(x)＝ax－(2a＋1)＋x(x&0)． 2
(1)由f′(1)＝f′(3)，解得a＝3. (2)f′(x)＝
?ax－1??x－2?
①当a≤0时，x&0，ax－1&0，
在区间(0,2)上f′(x)&0；在区间(2，＋∞)上f′(x)&0. 故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． 11
②当0&a&2a，
在区间(0,2)和?a∞?上f′(x)&0；在区间?2，a上f′(x)&0，故f(x)的单调
递增区间是(0,2)和(a∞)，单调递减区间是?2，a.
③当a＝2f′(x)＝2x 故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)． 11
④当a&20&a，
在区间?0，a和(2，＋∞)上f′(x)&0；在区间?a，2?上f′(x)&0，故f(x)的单
调递增区间是?0，a和(2，＋∞)，单调递减区间是?a2?.
(3)由已知，在(0,2]上有f(x)max&g(x)max. 由已知，g(x)max＝0，由(2)可知， 1
①当a≤2f(x)在(0,2]上单调递增，
故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2＝－2a－2＋2ln2. 所以－2a－2＋2ln2&0，解得a&ln2－1. 1
故ln2－1&a≤2111??1?
②当a&2f(x)在?0，a上单调递增，在?a，2?上单调递减，故f(x)max＝f(a)
＝－2－2a－2lna.
由a&2lna&ln2&lne1,2lna&－2，－2lna&2. 所以－2－2lna&0，f(x)max&0. 综上所述，a&ln2－1.
6．(2013?北京)已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围． 答案 (1)a＝0，b＝1 (2)(1，＋∞)
解析 由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．
(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f′(x)＝0，得x＝0.
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
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