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高数求极限方法总结、极限等价替换公式总结及其例题详细解答.docx 20页
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高数求极限方法总结、极限等价替换公式总结及其例题详细解答
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高数求极限方法总结及其例题详细解答1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限　这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2．极限运算法则定理1已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）（2）（3）说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。　　8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例2解：原式=。例3解：原式。3．两个重要极限（1）（2）；说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：，，；等等。利用两个重要极限求极限例5解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例6解：原式=。例7解：原式=。4．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：～～～～～～。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时，～；～。定理4如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9解：～，～，原式=。例10解：原式=。注：下面的解法是错误的：原式=。正如下面例题解法错误一样：。例11解：，所以，原式=。（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。例1.2.5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；（2）和都可导，且的导数不为0；（3）存在（或是无穷大）；则极限也一定存在，且等于，即=。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12（例4）解：原式=。（最后一步用到了重要极限）例13解：原式=。例14解：原式==。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15解：例18解：错误解法：原式=。正确解法：应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式=（分子、分母同时除以x）=（利用定理1和定理2）6．连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有。利用函数的连续性（定理6）求极限例4解：因为是函数的一个连续点，所以原式=。7．极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1.设，求极限。定理8（准则2）已知为三个数列，且满足：（1）（2），则极限一定存在，且极限值也是a，即。10.夹逼定理利用极限存在准则求极限例20已知，求解：易证：数列单调递增，且有界（0&&2），由准则1极限存在，设。对已知的递推公式两边求极限，得：，解得：或（不合题意，舍去）所以。例21解：易见：因为，所以由准则2得：。9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。11.泰勒展开法12.利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。8.利用复合函数求极限十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。例十一、利用幂级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。例求7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大
正在加载中，请稍后...《数学分析》教案 §５ 无穷小量与无穷大量 教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。 教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。 ? 引言 在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：liman?0. 我们称之为无穷小数n??列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如： limsinx?0, limx2?0,? x?0x?0我们给这类函数一个名称――“无穷小量”。 既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？ 以上就是我们今天要给大家介绍的内容――无穷小量与无穷大量。 一、无穷小量 01．定义１：设f在某U(x0)内有定义。若limf(x)?0，则称f为当x?x0时的无穷小量。记作： x?x0f(x)?0(1)(x?x0). （类似地可以定义当x?x0,x?x0,x???,x???,x??时的无穷小量）。 k?例：x(k?1,2,?),sinx,1?cosx都是当x?0时的无穷小量；1?x是当x?1时的无穷小量；??1sinx是x??时的无穷小量。 ,x2x2．无穷小量的性质 （１）先引进以下概念 定义２（有界量）若函数g在某U(x0)内有界，则称g为当x?x0时的有界量，记作： 0g(x)?O(1)(x?x0). 例如：sinx是当x??时的有界量，即sinx?O(1)(x??; )sin1是当x?0时的有界量，即x1. sin?O(1)(x?0)x注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若f(x)?0(1)(x?x0)，则f(x)?O(1)(x?x0). 区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数f是有界函数或函数f是有界的，意味着存在Ｍ>０，，是在某点f在定义域内每一点x，都有|f(x)|?M。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。 （２）性质 性质１ 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。 性质２ 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。 《数学分析》教案 性质３ limf(x)?A?f(x)?A是当x?x?x0x0时的无穷小量?lim(f(x)?A)?0. x?x0例如；limx2sinx?01?0，lim(x2?x3)?0,limxsinx?0. x?0x?0xx2xx2sinx2x2lim?0,lim2??,lim2?1,lim?1,lim2?2. x?0xx?0xx?0xx?0x?0xx问题：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑： x2x引申：同为无穷小量，lim?0，而lim2不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。这个“级x?0xx?0x别”表现在收敛于０（或趋近于０）的速度有快不慢。就上述例子而言，这个“级别”的标志是x的“指数”，当x?0时，x的指数越大，它接近于０的速度越快。这样看来，当x?0时，x2的收敛速度快于x的收敛速度。所以其变化结果以x为主。此时称x是（当x?0时）x的高阶无穷小量，或称x?0时， x是22x2的低阶无穷小量。 一般地，有下面定义： １． 无穷小量阶的比较（主要对x?x0叙述，对其它类似） 设当x?x0时，f,g均为无穷小量。 （１） 若limx?x0f(x)?0，则称x?x0时f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量，g(x)f(x)?0. g(x)记作f(x)?0(g(x))(x?x0). 即f(x)?0(g(x))(x?x0)?limx?x0xk?1(?例
limk?0?xk?1?0(xk)xx?0x0)lim，1?cosxx?limtan?0?1?cosx?0(sinx)(x?0). x?0x?0sinx21?x2?lim(1?x)?0，此时是可说1?x2?0(1?x)(x?1)？ 问题
limx?11?xx?1引申
与上述记法：f(x)?0(g(x))(x?x0)相对应有如下记法：f(x)?O(g(x))(x?x0)，这是什么意思？含义如下： 若无穷小量f与g满足关系式2f(x)?L,x?U0(x0)，则记作f(x)?O(g(x))(x?x0). g(x)例如，（１）1?cosx?O(x)(x?0)，x(2?sin)?O(x)(x?0).
（２）若f(x)?0(g(x))(x?x0)?f(x)?O(g(x))(x?x0). 注
等式f(x)?0(g(x))(x?x0)，f(x)?O(g(x))(x?x0)等与通常等式的含义不同的。这里的等x2《数学分析》教案 式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“?”。例如：??f(x)?0?，而上述等式表示函数1?cosx?0(sinx)(x?0)，其中0(sinx)??f|lim?x?0g(x)???f(x)?0?。为方便起见，记作1?cosx?0(sinx). 1?cosx??f|lim?x?0g(x)?（２） 若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某U(x0)上有K?0f(x)?L，则称f与g为当x?x0时的g(x)同阶无穷小量。 但需要注意：limx?0f(x)不存在，并不意味着f与g不全为同阶无穷小量。如g(x)11x(2?sin)x(2?sin)1x?3，所x?lim(2?sin1)不存在。但1?limx?limx(2?sin)?0，limx?0x?0x?0x?0xxxx以x与x(2?sin)为当x?0时的同阶无穷小量。 由上述记号可知：若f与g是当x?x0时的同阶无穷小量，则一定有：f(x)?O(g(x))(x?x0)。 （３） 若limx?x01xf(x)?1，则称f与g是当x?x0时的等价无穷小量，记作f(x)?g(x)(x?x0). g(x)2(1?cosx)x2sinx?1?1?cosx?(x?0). 例如：１）lim?1?sinx?x(x?0); ２）lim2x?0x?0x2x对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”。 定理
设函数f、g、h在U(x0)内有定义，且有f(x)?g(x)(x?x0). (1) 若0x?x0limf(x)h(x)?A，则limg(x)h(x)?A；(2) 若limx?x0x?x0h(x)h(x)?B. ?B,，则limx?x0g(x)f(x)arctgx.
x?x0sin4xtgx?sinx例２． 求极限lim. 3x?x0sinx例１． 求lim注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,
而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。 ３．小结 以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。无穷小量比较。两个无穷小量可比较的特征――其商是有界量。但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。 例如limxsinx?x01?limx2?0. xx?x0二、无穷大量 《数学分析》教案 １．问题 “无穷小量是以０为极限的函数”。能否仿此说“无穷大量是以?为极限的函数”。 答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数f(x)当x?x0时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“?”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。所以不能简单地讲“无穷大量是以?为极限的函数”。但是，确实存在着这样的函数，当x?x0时，f(x)与?(??or??)无限接近。 111，当x?0时，与?越来越接近，而且只要x与０充分接近，就会无xxx1限增大；２）f(x)?，当x?1时，也具有上述特性。 x?1例如：１）f(x)?在分析中把这类函数f(x)称为当x?x0时有非正常极限?。其精确定义如下： ２．非正常极限 定义２（非正常极限） 设函数f(x)在某U(x0)内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在??0，当0x?U0(x0;?)(?U0(x0))时有|f(x)?|M，则称函数f(x)当x?x0时有非正常极限?，记作x?x0limf(x)??。 注：１）若“|f(x)|?M”换成“f(x)?M”，则称f(x)当x?x0时有非正常极限??；若换成f(x)??M, 则称f(x)当x?x0时有非正常极限??，分别记作limf(x)???,limf(x)???. x?x0x?x02)
关于函数f在自变量x的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列?an? 当n??时的非正常极限的定义，都可类似地给出。例如： x???limf(x)?????M?0，当x?M时，f(x)??M; n?? liman?????M?0，?N?0，当n?N时，an?M. ３．无穷大量的定义 定义３．对于自变量x的某种趋向（或n??），所有以?,??or??为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。 例如：1x当x?0时是无穷大量；a(a?1)当x???时是无穷大量。 2x注：１）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;２）若f为x?x0时的无穷大量，则易见f为U(x0)上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量。例如；f(x)?xsinx在U(??)上无界，但limf(x)??;３）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定x???0义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。 ４．利用非正常极限定义验证极限等式 例３ 证明limx?01???. 2x《数学分析》教案 例４ 证明；当a?1时，lima???。 x???x三、无穷小量与无穷大量的关系 定理 （１）设f在U(x0)内有定义且不等于０，若f为当x?x0时的无穷小量，则01为x?x0时f的无穷大量；（２）若g为x?x0时的无穷大量，则1为x?x0时的无穷小量。 g四、曲线的渐近线 １． 引言 x2y2作为函数极限的一个应用。我们讨论曲线的渐近线问题。由平面解析几何知：双曲线2?2?1有两条ab渐近线xy??0。那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？ ab２．曲线的渐近线定义 定义４ 若曲线Ｃ上的动点p沿着曲线无限地远离原点时，点p与某实直线Ｌ的距离趋于零，则称直线Ｌ为曲线Ｃ的渐近线。 形如y?kx?b的渐近线称为曲线Ｃ的斜渐近线；形如x?x0的渐近线称为曲线Ｃ的垂直渐近线。 ３． 曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程？ （１）斜渐近线 假设曲线y?f(x)有斜渐近线y?kx?b，曲线上动点p到渐近线的距离为|PN|?|PMcos?|?|f(x)?(kx?b)|11?k2依渐近线定义，当x???时（x???或x??类似），|PN|?0，即有lim[f(x)?(kx?b)]?0?lim[f(x)?kx]?b，――③ x???x???又由 x???lim[f(x)1f(x)?k]?lim[f(x)?kx]?0?k?0?lim?k.――④ x???xx???xx由上面的讨论知，若曲线y?f(x)有斜渐近线y?kx?b，则常数k与b可相继由④和③式求出；反之，若由④和③求得k与b，则可知|PN|?0（x??），从而y?kx?b为曲线y?f(x)的渐近线。 （２）垂直渐近线 若函数f满足limf(x)??(orlim，则按渐近线定义可知y?f(x)有垂直f(x)??,limf(x)??）??x?x0x?x0x?x0于x轴的渐近线x?x0，称为垂直渐近线。 x3例５ 求曲线f(x)?2的渐近线。 x?2x?3高等数学:证明一下无穷小与有界函数的乘积是无穷小.谢谢哈！ 三路知识网
高等数学:证明一下无穷小与有界函数的乘积是无穷小.谢谢哈！
来源：网络收集 & 发布时间： &
和这题死一个意思吧设数列Xn有界，Yn极限为0，求证：XnYn的极限为0证明：因为数列{Xn}有界所以不妨假设|Xn|0)因为数列{Yn}的极限是0则对于任意给出的e,总存在N,使得n>N时,|Yn|N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|<M*e/M=e由于e的任意性所以数列{XnYn}的极限是0
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高等数学:证明一下无穷小与有界函数的乘积是无穷小.谢谢哈! ……和这题死一个意思吧
设数列Xn有界,Yn极限为0,求证:XnYn的极限为0
因为数列{Xn}有界
所以不妨假设|Xn|&M(M&0)
因为数列{Yn}的极限是0
则对于任意给出...……
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所有问题分类数学大神进，无穷小就是0吗？？
貌似这个问题至今仍然没有一个标准的正确答案，BXJ大神多，求指教
这些回帖亮了
引用1楼 @ 发表的:
负数才是无穷小
那是负无穷，本质是无穷大~
无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。补充点：----------------------------------------------无穷小不是指一个数的大小，而是指一个变量的变化趋势，变量以某种趋势逼近于0却永远不能等于0，根据逼近的快慢划分不同的阶数，高阶无穷小比低阶无穷小趋近速度快。无穷小只有有了阶数才有意义，要不然我直接用0不就得了？&举个简单的例子，当x->0时，sin(x)/x等于多少呢？由于在0附近sin(x)和x是同阶的无穷小，所以当x->0时，sin(x)/x等于1。
[&此帖被aqunea在 21:38修改&]
无穷小就不是数，和0比什么
....显然不是啊，只是无限趋近而已。而且分正负的。
某个数列在趋于某点的极限为0就把这个数列叫做无穷小数列。所以，无穷小是个数列(趋于某点)。
引用1楼 @ 发表的:
负数才是无穷小
。。。。。。。。。。
发自手机虎扑 m.hupu.com
某个数列在趋于某点的极限为0就把这个数列叫做无穷小数列。所以，无穷小是个数列(趋于某点)。
....显然不是啊，只是无限趋近而已。而且分正负的。
无穷小就不是数，和0比什么
引用1楼 @ 发表的:
负数才是无穷小
。。。。。。。。。。
发自手机虎扑 m.hupu.com
不是，字数。
引用1楼 @ 发表的:
负数才是无穷小
那是负无穷，本质是无穷大~
无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。补充点：----------------------------------------------无穷小不是指一个数的大小，而是指一个变量的变化趋势，变量以某种趋势逼近于0却永远不能等于0，根据逼近的快慢划分不同的阶数，高阶无穷小比低阶无穷小趋近速度快。无穷小只有有了阶数才有意义，要不然我直接用0不就得了？&举个简单的例子，当x->0时，sin(x)/x等于多少呢？由于在0附近sin(x)和x是同阶的无穷小，所以当x->0时，sin(x)/x等于1。
[&此帖被aqunea在 21:38修改&]
引用1楼 @ 发表的:
负数才是无穷小
哈啊哈哈哈哈
趋于而不等于
引用1楼 @ 发表的:
负数才是无穷小
哥们没学过高数吧。。
发自手机虎扑 m.hupu.com
用0表示而已，无穷小跟负无穷可不是一回事，无限趋向于0
如果是零那请解释一下微积分的含义和存在意义，以及重新算一下圆椭圆以及无数种几何图形的面积
楼主id都不行啊
发自手机虎扑 m.hupu.com
哈哈，有意思。对的，无穷小一个是数列或者函数
引用1楼 @ 发表的:
负数才是无穷小
这破街我很服你
趋近于0，？
该回帖被灭过多，已被折叠
当然不是啊，零相当于在无穷大和无穷小的中间位置啊
引用16楼 @ 发表的:
这破街我很服你
我也服了哈哈
简单点说应该是 无限接近0但不是0的、不是具体的某一个数字的数...
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