历年非理工科组高数竞赛试题及答案_甜梦文库
历年非理工科组高数竞赛试题及答案
高等数学竞赛(非理工科组 第1届(1997年)高等数学竞赛 非理工科组 试题及参考解答 届 年 高等数学竞赛 非理工科组)试题及参考解答一.是非题(共10题,每题3分,合计30分,对的打“√”,错的打“×”) (×) 1)设函数f(x)和g(x)的定义域都是I,则复合函数f[g(x)]的定义域也是I. (√) 2)奇函数与偶函数的和,可能是奇函数,可能是偶函数,也可能是非奇非偶的函数. (×) 3)当 x → 1时,无穷小1? x 与1?n →∞ n →∞x 是等价无穷小.n →∞(√) 4)设 lim xn 存在, lim yn 不存在,则 lim( xn + yn ) 一定不存在. (×) 5)设函数f(x)在[a,b]内连续,则该函数一定可以在(a,b)内取到最大值和最小值. (×) 6)若在区间(a,b)内函数f(x)的一阶导数 f ′ ( x ) & 0 ,二阶导数 f ′′ ( x ) & 0 ,则函数f(x)在此区间内单调增加, 且曲线是凹形的. (×) 7)若函数 f ( x ) = 1 ?1 ,易知f(-1)=f(1)=0,根据罗尔定理,在(-1,1)内至少有一点ξ,使得 f ′ ( ξ ) = 0 . x2π π(×) 8)设曲线y=f(x)在 x = x0 处 f ′′ ( x0 ) =0,则点 ( x0 , f ( x0 )) 是该曲线的拐点(即转折点). (×) 9)下述不等式成立:∫2 0sin xdx ≤ ∫ 2 sin 10 xdx .2 0(√) 10)对于任何在闭区间[0,a](a&0)上连续的函数,有 二.计算题(共5题,每题4分,合计20分)∫a0f ( x)dx = ∫ f (a ? x)dx .0a∫ 1) limx →0x0cos t 2 dt x= limcos x 2 =1 x →0 1x 2? x 2 = 2 = lim 2) lim x x → 0+ x → 0+ 1 ? cos x 2 sin 23) limtan x ? x sec 2 x ? 1 1 ? cos2 x 1 + cos x = lim lim =2 = lim 2 x → 0 x ? sin x x → 0 1 ? cos x x → 0 cos x (1 ? cos x ) x → 0 cos2 x1 2 1? cos x4) lim(1 + x )x →0= lim(1 + x )21 x2 ? 2 1? cos x xx →0=ex2 x →0 1? cos xlim=ex →0 sin xlim2x= e25)设 f ( x ) = sin x ? sin 解: 因为1 ,问x=0是哪一类间断点?为什么? xx→0lim f ( x ) = lim sin x ? sinx →01 sin x 1 = lim ? x sin = 0 x x→0 x x极限存在属于第一类(可去)间断点. 三.计算题(共5题,每题4分,合计20分) 1)已知 y = arctgx +1 ,求 y ′ . x ?1y′ =1 ( x ? 1) ? ( x + 1) ?1 ? = 2 2 x +1 2 ( x ? 1) x +1 1+ ( ) x ?1第 1 页 (共 20 页)97-2? x = ln(t + t 2 + 1) dy d 2 y ? 2)设 ? ,求 及 2 . dx dx ? y = t2 ?dy (t 2 )′ = = dx [ln( t + t 2 + 1)]′ 2t 1 t2 +1 = 2t t 2 + 1d y ( 2 t t + 1) ′ = = 2 dx [ln( t + t 2 + 1)]′2 22 t 2 + 1 + 2t 1 t2 +1t t + 1 = 4t 2 + 223)已知 f (sin 2 x ) = cos 4 x + sin 2 x + 3,求 f ′ ( 2 ) .f (sin 2 x ) = ?2 sin 2 2 x + sin 2 x + 44)设 f ( x ) = 3 +f ( t ) = ?2 t 2 + t + 4f ′ ( t ) = ?4 t + 1f ′ ( 2 ) =－7∫x01 + sin t 2 dt ,求二次三项式 p ( x ) = a + bx + cx ,使得 p ( 0) = f ( 0) , p ′ ( 0) = f ′ ( 0) 与 2 2+tp ′′ ( 0) = f ′′ ( 0) .1 + sin t dt f ( x) = 3 + ∫ 0 2 +t2xf ′( x ) =1 + sin x 2 + x2f ′′ ( x ) =( 2 + x 2 ) cos x ? 2 x (1 + sin x ) (2 + x 2 ) 2p ( x ) = a + bx + cx 2 p ( 0) = a = f ( 0) = 3,p ′ ( x ) = b + 2 cxp ′′ ( x ) = 2 c1 p′ ( 0) = b = f ′ ( 0) = , 2p′′ ( 0) = 2c = f ′′ ( 0) =1 2p( x ) = 3 +1 1 x + x2 2 4 b?a b?a & arctan b ? arctan a & . 2 1+ b 1+ a25)设b&a&0,试利用拉氏中值定理证明: 证明:令 f ( x ) = arctgx, 则 f ′ ( x ) =1 , 在满足拉氏中值定理的条件,有 1+ x2a & ξ & b 所以f (b ) ? f ( a ) arctgb ? arctga 1 = = f ′(ξ) = b?a b?a 1 + ξ21 1 1 & & 2 2 1+ b 1+ ξ 1+ a21 arctgb ? arctga 1 & & 2 1+ b b?a 1+ a2四.计算题(共5题,每题4分,合计20分) 1)即b?a b?a & arctgb ? arctga & 2 1+ b 1+ a2x3 (t + 1) 3 dx = ∫ 100 dt = ∫ (t ?97 + 3t ?98 + 3t ?99 + t ?100 )dt ∫ ( x ? 1)100 t?1 ?96 ?3 ?97 ?3 ?98 ?1 ?99 t + t + t + t +C 96 97 98 99 ?1 ?3 ?3 ?1 = ( x ? 1) ?96 + ( x ? 1) ?97 + ( x ? 1) ?98 + ( x ? 1) ?99 + C 96 97 98 99 =x x 2) e 3 + 2e dx =∫3 1 1 3 + 2e x d (3 + 2e x ) = (3 + 2e x ) 2 + C 2∫ 397-2第 2 页(共 20 页)3)∫ (2 ? x01xdx2) 1? x2=∫ 1+ t01dt2= arctgt |1 = 0π44)求∫20? x2 , 0 ≤ x ≤1 f ( x) dx ,设 f ( x) = ? . 2 ?2 ? x , 1 & x ≤ 21 2 2 0 1 2∫20f ( x) dx = ∫ x 2 dx + ∫ (2 ? x 2 )dx + ∫ ( x 2 ? 2)dx31 0 2 2 1 1 8 + ( 2 x ? x 3 ) 1 + ( x 3 ? 2 x ) 2 = ( 2 ? 1) 3 3 3= x1 35)试证明:∫baxf ′′( x)dx = [bf ′(b) ? f (b)] ? [af ′(a) ? f (a)] .b b∫b= [bf ′ (b ) ? f (b )] ? [ af ′ ( a ) ? f ( a )]五.(10分)试求两个椭圆 x +2ab xf ′′( x)dx = ∫ xdf ′( x) = xf ′( x) |b ? ∫ f ′( x)dx = [bf ′ (b ) ? af ′ ( a )] ? f ( x )|a aaax2 y2 = 1和 + y 2 = 1公共部分的面积. 3 3? 2 y2 =1 ?x + 3 3 ? 3 , ), 解:由对称性则只计算在第一象限部分的面积S.解 ? 2 得到在第一象限的交点 ( 2 2 x 2 ? + y =1 ?3 ?则S=∫3 201?2 3 1 x2 3 π dx + ∫ 3 3(1 ? x 2 ) = π , 所以,所求面积为 4 S = 3 3 6 2高等数学竞赛(非理工科组 第2届(1998年)高等数学竞赛 非理工科组 试题及参考解答 届 年 高等数学竞赛 非理工科组)试题及参考解答一.是非题(1'×10=10') (×)1.若函数 y = f ( x ) 在点 x = x0 的左、右极限都存在，则 lim f ( x ) 存在.x → x0(√)2.两个无穷大量的和可以是无穷小. (×)3.无穷大量与常量的积还是无穷大量. (√)4.当 x → 0 时, e ? 1与x是等价无穷小量.x(×)5.若∫baf ( x)dx 存在,则 f ( x ) 在[a,b]上连续.(×)6.若函数 y = f ( x ) 在[a,b]上连续,在(a,b)内可微,则存在唯一的一点 ξ ∈(a,b),使f (b ) ? f ( a ) = f ′ ( ξ )(b ? a ) .(×)7.∫1 1 dx = ? 2 ?1 x x11 ?1= ?2 .(×)8.设y=f(x)在点x=0处可导,且f(0)=0,则 f ′ ( 0) = 0 . (×)9.如果在(a,b)内恒有f(x)&g(x),且f(x)与g(x)均可导,那么在(a,b)内恒有 f ′ ( x ) & g ′ ( x ) .97-2 第 3 页 (共 20 页)(×)10.若函数 y = f ( x ) 在点 x = x0 处不可导,则f(x)的图形在点( x0 , f ( x0 ) )处没有切线. 二.填空题(2'×10=20')?x 2 1.设 f ( x + 1) = ? ?2 x0 ≤ x ≤1 ?( x ? 1) 2 1 ≤ x ≤ 2 ,则f(x)= ? . 1& x ≤ 2 ?2( x ? 1) 2 & x ≤ 32.设f(x)的定义域是(0,1],则f(lnx)的定义域是 (1,e] . 3.不等式1&|x－3|&2的解集是 1&x&2或4&x&5 . 4.设 lim f ( x ) = a ,且 f ( x ) & 0 ,则 a 的取值范围是 (－∞,0] .x →∞5.设 limsin 2 kx = 3,则k= ± 3 . x →0 x226.抛物线 y = x + 1在 x = 1 处的切线方程是 y=2x . 7.函数 e2x? e ? x 的一切原函数可表示为1 2x e + e? x + C . 28.设sinx是f(x)的一个原函数,则 xf ( x ) dx = xsinx+cosx+C . 9.∫d x3 2 6 2 ∫0 sin t dt = 3x sin x . dx10.设∫ f ( x)dx = g ( x) + c, 则 ∫ cos xf (1 ? sin x)dx =1－g(1－sinx)+C .三.单项选择题(3'×10=10') 1.极限 lim (1 + x ) x =x →+∞ ?1。C(A) e；(B) e ；(C) 1；(D) +∞ 。 2.设函数 f ( x ) = x ? 1 ,则 f ( x ) 在 x ? 1处 (A) 连续,可导；(B) 连续,但不可导； (C) 不连续,但可导；(D) 不连续,不可导。 3.若f(x)在(a,b)内具有二阶导数, x0 ∈ ( a , b ), f ′′ ( x0 ) = 0, 则点 ( x0 , f ( x0 )) (A) 必为极值点；(B) 必为拐点；(C) 不是拐点；(D) 可能是拐点。 4.设 y = f ( x ) 在点 x0 及其附近有定义。那么， f ′ ( x0 ) = 0 ， f ′′ ( x0 ) & 0 是此函数在点 x0 处有极值的 。B (A) 必要条件但不是充分条件；(B) 充分条件但不是必要条件； (C) 充分必要条件；(D) 既不是充分条件也不是必要条件。 5.设函数 f ( x ) = ax + bx + c ， f ( 0) = 0 ，又 f (1) = ?1为其极值，则3 2。B。D。C(A) a = 1, b = ?2 , (C) a = 2 ,c = 0 ；(B) a = 2 , b = 3, c = 0 ；b = ?3, c = 0 ；(D) a = ?3, b = 2 , c = 0 。6.已知 F ′ ( x ) = f ( x ) 且 f ( x ) 连续，则∫xaf (t + a )dt =。C97-2第 4 页(共 20 页)(A) F ( x ) ? F ( a ) ；(B) F ( t ) ? F ( a ) ；(C) F ( x + a ) ? F ( 2 a ) ；(D) F ( t + a ) ? F ( 2 a ) 。 7.设 a =∫e01x2dx ， b = ∫ e x dx ，则a与b的关系为31。A0(A) a & b ；(B) a & b ；(C) a = b ；(D) a ≤ b 。 8.下列等式中，不正确的是 (A) 。Ad b d ∫a f (t )dt = f ( x) ；(B) dx ∫ f ( x)dx = f ( x) ； dx d x f ( x)dx = f ( x) ；(D) dx ∫03 2x(C) 9.若∫ f ′( x)dx =。C2 2xf ( x) + C 。∫ f ( x)dx = x e2 2x+ C ，则 f ( x ) =3 2x(A) 3 x e ；(B) 2 x e ；(C) x e ( 3 + 2 x ) ；(D) 6 x e 。2 2x10.下列积分值等于0的是 (A)。C1 1 2∫x?112dx ；(B)∫ x sin xdx ；(C) ∫ x sin?1 ?1xdx ；(D)∫x?112sin 2 xdx 。四.计算题(4'×5=20') (1) lim(1 ?x →∞ x 2 2 ?1 2 x 2 ) = lim(1 ? ) 2 ? lim(1 ? ) ?1 = e ?1 x →∞ x →∞ x x x(2) lim x +x→0sin x= lim e +x→0sin x ln x=ex → 0+lim sin x ln x=eln x x →0+ csc x lim=e1 x x→0+ ? csc xctgx lim=ex → 0+lim ?sin 2 x x cos x=e? limx →0+sin x ? lim tgx x x → 0+= e0 = 1(3)设 y = lndy d 2 y 1+ x , 求 及 2. dx dx 1? xdy 1 1 1 ?1 = ? ? ? = dx 1 + x 2 x 1 ? x 2 x 1 x (1 ? x )y = ln(1 + x ) ? ln(1 ? x )d2y 1 1? x 3x ? 1 =? ?( ? x) = 2 2 dx x(1 ? x) 2 x 2 x x (1 ? x) 2(4)∫ 3? xdx dx 1 1 1 =? ∫ = ? ∫( ? )dx 2 ( x + 3)( x ? 1) 4 x ?1 x + 3 ? 2x1 1 x ?1 = ? (ln| x ? 1| ? ln| x + 3|) + C = ? ln +C 4 4 x+3(5) (arcsin x ) 2 dx = x(arcsin x) ? x 2 arcsin x2∫∫1 1? x2dx = x(arcsin x) 2 + ∫ 2 arcsin xd 1 ? x 22 2= x (arcsin x ) 2 + 2 1 ? x 2 arcsin x ? 2dx = x (arcsin x ) + 2 1 ? x arcsin x ? 2 x + C∫五.解答下列各题(满分20分) 1.(5')求曲线 y = x + 1与直线 x = ?1,2x = 2,y = 0 所围成图形的面积。又若此图形绕oy轴旋转，求所得旋转体的体积。97-2第 5 页(共 20 页)面积S = ∫ ( x + 1)dx = 62 ?12( y ? 1) 2 体积 V = ∫ π ? 2 dy ? ∫ π ( y ? 1) dy = 20π ? π 0 1 25 2 55= 12π12.(5')设 程a0 a a a + 1 + 2 +L + n ?1 + an = 0，n为自然数， a0 , a1 , L , an ?1 , an 为常数。证明方 n +1 n n ?1 2a0 x n + a1 x n ?1 +L + an ?1 x + an = 0 在(0,1)内至少有一个实根。证明: 设 f ( x ) =a0 n +1 a1 n a a x + x + 2 x n ?1 +L + n ?1 x 2 + an x 则 n +1 n n ?1 2f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f ′ ( x ) = a0 x n + a1 x n ?1 +L + an ?1 x + anf(1)=a0 a a a + 1 + 2 +L + n ?1 + an = 0. 由罗尔中值定理知在(0,1)内至少有一点ξ存在,使得 n +1 n n ?1 2n n ?1f'(ξ)=0.即 a0 x + a1 x 3.(10')设 ∠ABC =+L + an ?1 x + an = 0 在(0,1)内至少有一个实根。π3，A是边AB上一定点，AB=200米，有一质点从A点出发沿角的边向B点运动，速度为80米／秒。(到达B点后不停留，继续以80米／秒速度沿BC边运动)。同时有一质点从B出发沿BC边 运动，速度为60米／秒。设两质点在出发后时刻t的距离为s=s(t)。(1)写出s(t)的解析式。(2)质点出发后 ，何时距离最小？(3)若从A出发的质点到B点后停止运动，则质点出发后，何时两质点的距离最小？ 解:(1)?20 37t 2 ? 110t + 100 ? ? s (t ) = ? 200 ? 2t ? 2t ? 200 ? ?0 ≤ t ≤ 2 .5 2.5 & t ≤ 10 t & 10t=10秒时距离最小.(2) 两质点重合时 s(t)=0 即 200-2t=0 (3) 由 s( t ) = 时距离最小37 t 2 ? 110t + 100 0 ≤ t ≤ 2. 5 得 s′ ( t ) = 2037 t ? 55 37 t 2 ? 110t + 100令 s′( t ) = 0 得 t =55 秒 37高等数学竞赛(非理工科组 第3届(1999年)高等数学竞赛 非理工科组 试题及参考解答 届 年 高等数学竞赛 非理工科组)试题及参考解答一.单项选择题(2'×15=30') 1.设 f ( x) = ?? x, x & 0 ,则f(0)= ?? x , x & 0.DA. 1; B.－1; C. 0 ;D.没有意义. 2.设g(x)=1+x,且当x≠0时, f ( g ( x )) = A. 0; B. －3; C. 3; D. 1. 3.函数y=f(x)在x=a连续是f(x)在x→a时极限存在的 . A1? x 1 ,则 f ( ) = x 2.B97-2第 6 页(共 20 页)A.充分条件; B.必要条件; C.充要条件; D.无关条件. 4.函数 f ( x ) =x?2 的可去间断点是 ( x ? 3 x + 2 )( x + 4 )2.BA.x=1及x=2; B.x=2; C.x=1,x=2,x=－4; D.x=1. 5.d ( arctg( ?3x )) = dx.CA.1 3 ?3 ?3 B. D. . 2 ; 2 ; C. 2 ; 1+ 9x 1 + 3x 1+ 9x 1 ? 9 x2. B6.若函数y=f(x)可微,则当Δx→0时,Δy－dyA.是与Δx等价的无穷小量; B.是比Δx高阶的无穷小量; C.是比Δx低阶的无穷小量; D.是与Δx同阶的无穷小量. 7.函数 f ( x ) = 3 x + 2 在区间(－1,1)上的最大值是2.DA. 2; B. 5; C. 3; D.不存在. 8.已知f(x)在点 x = x0 处可微,且 lim?x → 0f ( x0 + ? x ) ? f ( x0 ? ? x ) = 1,则 f ′ ( x0 ) = ?x.AA.1 ; B. 1; C. 2; D. 0. 2. A9.若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则A.至少存在一点ξ∈(a,b),使f(b)－f(a)=f'(ξ)(b－a); B.存在唯一一点ξ∈(a,b),使f(b)－f(a)=f'(ξ)(b－a); C.至少存在一点ξ∈(a,b),使f'(ξ)=0; D.存在唯一一点ξ∈(a,b),使f'(ξ)=0. 10.极限 lim(1 ?x →∞2 ?x ) = x.AA.2B. C. 1; D. 0.?211.已知f'(1)=－1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴正向的夹角为 . C. A.π4;B. ?3 3 π π ; C. π ; D. ? . 4 4 412.设 F ( x) =∫x01 + e t dt ,则F'(x)=.D97-2第 7 页(共 20 页)A.ex 2 1+ ex;B. 1+ C. ( 1 + e ) ; D. 1+ e .tx 3 x2 31 ? ?ln(1 + kx) x 13.设 f ( x) = ? ? a ?x ≠ 0 在点x=0处连续,则a= x=0.BA. B. C. 14.设 e?2 x?2 xkD. .1 k是f(x)的一个原函数,则 xf ( x ) dx =∫.CA. e1 1 (1 ? x ) + B. e ?2 x (1 + x ) + C. e ?2 x ( x + ) + D.－ e ?2 x ( x + ) + c . 2 215.设F(x)为f(x)的一个原函数,则∫ f ( x) x1 12dx =.AA.－ F ( ) +1 xB. F ( ) +1 xC. F ( ? ) + D.F(lnx)+c.1 x二.填空题(2'×5=10')? x2 x 5 ?x 2 + 1 0 ≤ x ≤ 5 ? ? + 1 ≤ x ≤ 11 . ,则 f ( x ) = ? 4 1.已知 f ( 2 x + 1) = ? 2 4 2x 5 & x ≤ 10 ? ? x ?1 11 & x ≤ 21 ?2.设 limx →1sin k ( x ? 1) = 4 ,则k= 8 . x2 ? 123.曲线 y = 2 tg x + 1在 x =π3处的切线方程是 y = 16 3 ( x ?π3) + 7.4.d x3 y 2 2 x6 x4 ∫x2 e dy = 3x e ? 2 xe . dx5. lim ?? 1 1 1 ? + +L+ = 1. n →∞ 1 ? 2 2?3 n(n + 1) ? ? ?三.计算下列各题(4'×5=20') 1.求极限 lim x[ln( x + 3) ? ln x ] = lim ln(x →+∞ x →+∞x+3 x x+3 x ) = ln lim ( ) = ln e 3 = 3 x →+∞ x x2.求极限 lime x ? e? x ? 2 x e x + e?x ? 2 e x ? e?x e x + e? x = lim = lim = lim =2 x →0 x → 0 1 ? cos x x → 0 sin x x → 0 cos x x ? sin x3.计算不定积分97-2第 8 页(共 20 页)1 1 x2 x2 arcsin x ? ∫ arcsin xdx 2 = dx 2∫ 2 2 1? x2 x2 1 1 = arcsin x ? arcsin x + x 1 ? x 2 + c 2 4 4∫ x arcsin xdx =4.设 y = (x x dy ) ,求 . 1+ x dx1 dy 1 1 ? = [ln x ? ln(1 + x )] + x ( ? ) y dx x 1+ x解: lny=x[lnx－ln(1+x)]dy x x x 1 =( ) (ln + ) dx 1+ x 1+ x 1+ x5.计算定积分 I =π∫adx x + a2 ? x2π π0解: Ix = a sin t=∫2 0da sin t cos t 1 cos t ? sin t + cos t + sin t = ∫2 dt = ∫ 2 dt 0 sin t + cos t a sin t + a cos t 2 0 sin t + cos tπ π π 1 π π 1 2 cos t ? sin t 1 2 2 = ln|sin t + cos t | 0 + = = ∫ dt + ∫ dt 2 4 4 2 0 sin t + cos t 2 0四.解答下列各题(6'×5=30') 1.求函数 F ( x) =∫x0t (t ? 4)dt 在[－1,5]上的最大值与最小值.解:由F'(x)=x(x－4)=0,得x=0和x=4,而F (?1) = ∫4?10t3 t (t ? 4)dt = ? 2t 2 34?100 7 = ? , F (0) = ∫ t (t ? 4)dt = 0 , 0 3 5t3 F (4) = ∫ t (t ? 4)dt = ? 2t 2 0 305 32 t3 = ? , F (5) = ∫ t (t ? 4)dt = ? 2t 2 0 3 3=?025 . 3故最大值是F(0)=0,最小值是 F ( 4 ) = ?2 2 232 . 32.圆 x + y = 4 x 被抛物线 y = 2 x 截去两个月牙形的图形,求余下部分的面积. 解: S =∫2?2(2 + 4 ? y 2 ?32 1 8 16 y3 2 y2 2 2 )dy = 2 y | ? 2 + ∫ 4 ? y 2 dy ? |?2 = 8 + π ? 2 ? = + 2 π . ?2 2 3 3 2 63 3.曲线 y = x 与 y = x 2(x&0)所围图形绕x轴旋转,求所得旋转体的体积.解: V =7 1 6 3 1 ∫ πx 3 dx ? ∫ πx dx = π x |0 ? π x |0 = 1 1 0 03 551 716 π 354.求函数 y = arctgx ?1 ln(1 + x 2 ) 的单调区间、极值与拐点. 297-2第 9 页(共 20 页)解:y′ =1 x 1? x ? = , 2 2 1+ x 1+ x 1 + x2 1 & 0. 2? (1 + x 2 ) ? (1 ? x ) 2 x x 2 ? 2 x ? 1 y ′′ = = (1 + x 2 ) (1 + x 2 ) 2由 y'=0,得x=1, y ′′ (1) = ?由 y&=0,得 x = 1 ? 2 和 x = 1 + 2 . 所以有极大值 y(1) =π4? ln 2 ,单调增区间为(－∞,1),单调减区间为(1,+∞),拐点为1 1 (1 + 2 , arctg(1 + 2 ) ? ln( 4 + 2 2 )) 和 (1 ? 2 , arctg(1 ? 2 ) ? ln( 4 ? 2 2 )) . 2 2a2 5.证明:双曲线 y = 上任一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积与点的位置无关. x证明:设切点为(X,Y),求导得 y ′|x = X 标轴上的截距分别为x=2X和 y = 所以命题成立. 五.(10')一个直径为6米,高为2米的圆柱型水罐要吊装到6米高的基座上去.现有一汽车吊,车身高1.5米,吊臂长 15米.试通过计算判断此汽车吊能否把水罐吊装到基座上去. 提示:1.可以设吊臂与地面成角α时,吊起的水罐上底面到地面的最大距离为h米. 供的数据. 解:设设吊臂与地面成角α,吊起的水罐上底面到地面的最大距离为h米. 由题意得 h+3tgα－1.5=15sinα, 即 h=15sinα－3tgα+1.5, 求导得 h'=15cosα－3sec2α, 令h'=0,得 cos3α=0.2, cosα=0.58, h－2=7.45&6. sinα=0.81, 2.计算时可以利用下面提a2 a2 a2 a2 = ? 2 |x = X = ? 2 ,则切线方程为 y ? = ? 2 ( x ? X ) ,切线在各坐 x X X X2a 2 1 1 2a 2 | = 2a 2 , ,切线与坐标轴围成的三角形的面积 S = | xy | = | 2 X ? X 2 2 Xtgα=1.4. 故最大距离h=15×0.81-3×1.4+1.5=9.45, 所以此汽车吊能把水罐吊装到基座上.第4届(2000年)高等数学竞赛(非理工科组)试题及参考解答 届 年 高等数学竞赛 非理工科组) 非理工科组 一.填空题(3'×10=30') 1.集合 {x | 0 &| x ? x 0 |& δ , δ & 0} 称为点 x 0 的 δ ? 空心邻域，点 x 0 =4的 δ ? 空心邻域用 区间形式表示应为 ( 4 ? δ ,0) U (0,4 + δ ) .97-2第 10 页(共 20 页)2.设 f ( x ) = 3x 2 + 1, g ( x ) = sin 2 x ,则复合函数 f ( g ( x )) = 3 sin 2 2 x + 1 . 3.设 f ( x ) =| ln x | ,则 f ′(1) = 不存在. 4.d x2 2 4 ∫0 cos t dt = 2 x cos x . dx5.设 f ( x ) = ln( x + 1 + x 2 ) ,则 f ′(x ) =? x2 ?ax + b1 1 + x2.6.已知 f ( x ) = ?x ≤1 在 x = 1 处连续且可导,则a= 2 ,b= ?1 . x &17.如果在区间 ( a, b) 内 f ′( x ) = ? ′( x ) ,则 f (x ) 与 ? (x ) 的关系是f ( x ) ? ? ( x ) = C (C为任意常数) .8.立方抛物线 y = x 3 在点(1,1)处的切线方程是 y = 3x ? 2 . 9.设函数f(x)的定义域是(0,2),则f(lnx)的定义域是 (1, e 2 ) . 10. lim x→∞sin x = 0 . x二.判断题(2'×5=10') 下面说法如果是正确的，请说明理由；如果是不正确的，请举出反例。 1.无界变量一定是无穷大量。 答:不正确.例如: f ( x ) = x sin x , x ∈ ( ?∞,+∞) .当 x → ∞ 时, f (x ) 无界但不是无穷大. 2.无穷大量与常量的乘积还是无穷大量。 答:不正确.例如:0是常量,而常量0与无穷大量的乘积为0. 3.若两个函数都在同一区间内可导，则函数值较大的函数其导数也较大。 答:不正确.例如: f ( x ) = x + 4, h( x ) = 2 x, 在(1,2)区间内可导,且 f ( x ) & h( x ) ,而f ′( x ) = 1 & h ′( x ) = 2 .4.设 f ( x ) = x 5 ? 3x ? 1 ,则 f ( x ) = 0 在区间(1,2)内至少有一个实根。 答:正确.因为 f ( x ) = x 5 ? 3x ? 1 在区间[1,2]上连续,且 f (1) = ?3 & 0 , f (2) = 25 & 0 .由闭97-2 第 11 页 (共 20 页)区间上连续函数性质知:至少有一点 ξ (1 & ξ & 2) 存在,使得 f (ξ ) = 0 ,即 f ( x ) = 0 在区 间(1,2)内至少有一个实根. 5.设 lim f ( x ) = 0 , 则 lim f ( x ) g ( x ) = 0 .x → x0 x → x0答:不正确.例如: f ( x ) = sin x, g ( x ) = ,当 x0 = 0 时,有 lim f ( x ) = 0 ,而x → x01 xx → x0lim f ( x ) g ( x ) = limsin x = 1. x →0 x三.选择题(2'×5=10') 1.设函数f(x)在[a,b]上连续, F ( x ) = ∫x f (t )dt 的导数 F ′(x ) = B A) f (x ) B)? f (x )b.C)f (t )D)f ( x ) ? f (b)2.下列各式正确的是 A . A) [ ∫ f ( e x )dx ]′ = f (e x ) C) d ∫ f (sin x )d sin x = f (sin x )dx B) ( ∫ D)f (ln x ) dx )′ = f (ln x ) x∫ F ′(3x + b)dx = F (3x + b) + c3.函数y=f(x)在点 x0 的左右极限存在且相等则在点 x0 处 D . A) 必可导 B) 必连续 C) 不可导 D) 必有极限4.下列变量中,当 x → 0 时是无穷小量的是 A . A) 3? x ? 1 B)tgx xC) x 3 ? 1D)1 ?1 x5.设函数f(x)在点 x0 处可微,在 x0 附近f(x)近似等于 C . A) f ( x0 ) + f ( x0 )( x ? x0 ) C) f ( x0 ) + f ′( x0 )( x ? x0 ) B) f ′( x0 )( x ? x0 ) D) f ′( x0 ) + f ( x0 )( x ? x0 )四.计算下列各题(4'×5=20')97-2第 12 页(共 20 页)1.求 limtgx ? sin x sec 2 x ? cos x 1 ? cos 3 x 1 + x 3 = lim ? = lim x →0 x →0 ln(1 + x 3 ) x →0 3x 2 cos 2 x 3x 2 1 + x31 ? cos 3 x 1 + x3 3 cos 2 x sin x cos 2 x sin x 1 = lim = lim ? lim = lim ? lim = 2 x →0 x →0 cos 2 x x →0 x →0 x →0 3x 6x 2 x 22.求 xlim ( x 2 + x ? x ) = xlim → +∞ → +∞x x2 + x + x= limx → +∞1 1 = 2 1 1+ +1 xπ ππx 3.求 ∫0 arcsin dx 1+ x3t = arcsin0&t &=x 1+ xπ2∫π3 0tdtg 2 t = t ? tg 2 t |03 ? ∫ 3 tg 2 tdt = π ? [tgt ? t ]03 =04π ? 3 34.设方程 arctg 解:由y = ln x 2 + y 2 确定了隐函数 y = f (x ) ,求 f ′(x ) . x1 y ′x ? y 2 x + 2 yy ′ y ′x ? y x + yy ′ x+ y ? = ,得 2 2 = 2 2 ,解出 f ′( x ) = y ′ = 2 2 2 y 2 x 2( x + y ) x +y x +y x? y 1+ ( ) x5.设抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y = e x 在x=0处相交,过交点有公切线,并且在交点处凹 凸性相同,试确定 a, b, c 的取值. 解:令 f1 ( x ) = ax 2 + bx + c , 则 f1′( x ) = 2ax + b ， f1′′( x ) = 2a ； 令 f 2 ( x ) = e x ，则 f 2′( x ) = e x ， f 2′′( x ) = e x . 因在x=0处相交,所以 f1 (0) = c = f 2 (0) = 1 ，即c=1. 因过交点有公切线,所以 f1′(0) = b = f 2′(0) = 1 ，即b=1. 因在交点处凹凸性相同,而 f 2′′(0) = 1 & 0 ，所以 f1′′(0) = 2a & 0 ，即a&0. 五.解答下列各题(5'×4=20') 1.计算 ∫ 解: ∫3 x + 2 sin x dx 1 ? cos x3x 3 x + 2 sin x 3x 2 sin x x 2 dx = ∫ dx + ∫ dx = ∫ d +∫ d (1 ? cos x ) 1 ? cos x 1 ? cos x 1 ? cos x 2 1 ? cos x 2 x sin 297-2第 13 页(共 20 页)x x x + 2 ln(1 ? cos x ) = ?3xctg + 3∫ ctg dx + 2 ln(1 ? cos x ) 2 2 2 x x = ?3xctg + 6 ln(sin ) + 2 ln(1 ? cos x ) + C 2 2 = ?3∫ xdctg2.计算 ∫0 e ? x sin xdx+ 解:由 ∫0 e ? x sin xdx = ? ∫0 sin xde ? x = ?e ? x sin x |0 ∞ + ∫0 e ? x cos xdx = 0 ? ∫0 cos xde ? x + = ?e ? x cos x |0 ∞ ? ∫ e ? x sin xdx = 1 ? ∫ e ? x sin xdx , 得 0 0 +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞+∞∫+∞0e ? x sin xdx =1 . 23.讨论函数 y = 解:函数 y =y′ =( x ? 3) 2 的性态并作其图象. 4( x ? 1)1 ( x ? 3) 2 x 5 = ? + ,其定义域为 ( ?∞,1) U (1,+∞) 4( x ? 1) 4 4 x ? 1y ′′ = 2 ,而 y ′′ ≠ 0 . ( x ? 1) 31 1 ? ,由 y ′ = 0 得 x = ?1 , x = 3 ; 4 ( x ? 1) 2函数的单调区间、极值、凹凸区间等性态列表如下: x y' y& y (?∞,?1) + ? 增,凸 ?1 0 ?极大值?2(?1,1) ? ? 减,凸1 不存在 不存在 不存在(1,3) ? + 减,凹3 0 + 极小值0(3,+∞) + + 增,凹5 2.5 -10 -5 -2.5 -5 -7.5 5 104.设在[0,1]上给定函数 y = x 2 ,在此函数曲线上取一点C, C点的横坐标为 x0 ,过点C97-2 第 14 页 (共 20 页)作直线AB平行于Ox轴,与Oy轴交于A点,与直线 x = 1 交于B点,由直线AB,x=1,x=0和 曲线 y = x 2 围成的两个阴影区域的面积分别是 S1 和 S 2 .问当取何值时, S1 = S 2 ?3 解:依据题意有 S1 = ∫0 ( x02 ? x 2 )dx = x0 , S 2 = ∫x ( x 2 ? x02 )dx = ? x02 + x030x02 311 32 33 由 S1 = S 2 , 即: x03 = ? x02 + x02 31 32 3解得 x0 =3 . 3所以,当 x0 =3 时 S1 = S 2 . 3六.(10')设有一个“T”型通道（如图）今欲将长8米的钢管由A通道水平抬到B 通道，若A，B通道分别宽2米和3米，问能否将此钢管抬过去？（计算时可利用 表中的数据） x37 1.918 29 2.0810 2.1511 2.2212 2.29π13 2.3514 2.4115 2.4716 2.51x解:设钢管长为L,与通道的夹角为 α (0 ≤ α ≤ ) ,则能通过的最大长度就是L的最小2值. 如图:L= 3 2 + , sin α cos α令 L′ =? 3 cos α 2 sin α + = 0 ,解得 sin 2 α cos 2 αtg 3α =3 3 12 , tgα = .依据实际问题知L存在最小值, 2 2 3且L当 tgα = 因为 L =12 时取得最小值. 23 3 3 2 = sec α ( + 2) = 1 + tg 2α ( + 2) + sin α cos α tgα tgα33 12 2 6 18 3 ) (3 + 2) = 1 + ( 18 + 2) 2 2 12所以其最小值为 Lmin = 1 + (= 9 + 33 12 + 4 + 3 16 ? 3 9 = 9 + 3 ? 2.29 + 4 + 2.51 ? 2.08 = 15.87 + 9.2208 = 7.02因为 8&7.02, 所以不能将此钢管抬过去.97-2第 15 页(共 20 页)第5届(2001年)高等数学竞赛(非理工科组)试题及参考解答一、是非题（每题1分，共10分） 连续， 可微。 1．若函数 f (x) 在点 x0 连续，则 f ( x) 在点 x0 可微。 的左、右极限都存在， 存在。 2．若函数 f ( x) 在点 x0 的左、右极限都存在，则 lim f ( x) 存在。x→ x0（ w ） （ w ） （ √ ）3．有限个无穷小量之和必是无穷小量。 有限个无穷小量之和必是无穷小量。 4．若在点 x0 的某邻域内恒有 f ( x) & g ( x) ，且 lim f ( x) = A,x → x0 x → x0lim g ( x) = B（ w ） （ w ） （ w ） （ w ）则 A & B。 5．无穷大量与无穷小量的乘积必是常量。 无穷大量与无穷小量的乘积必是常量。 处可导， 常数）， 6．若函数 f ( x) 在点 x0 处可导，且 f ( x0 ) = a （常数）， 则 f ′( x0 ) = 0 。 上不连续， 必不存在。 7．若函数 f ( x) 在 [a, b] 上不连续，则 ∫ f ( x)dx 必不存在。a b上连续， 上可导， 8．若函数 f (x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，且 f (a ) = f (b) ，则 在 (a, b) 内必有一点 ξ ，使 f ′(ξ ) = 0 。 （ √ ）取得极小值， 可导， 9．若函数 f (x) 在点 x0 取得极小值，则 f (x) 在点 x0 可导，且 f ′( x0 ) = 0 。 （ w ） 10.若函数 内是严格单调递减的， 10.若函数 f (x) 在 (a, b) 内是严格单调递减的，则对任意 x ∈ (a, b) ， 必有 f ′( x) & 0 。 二、填空题（每题3分，共15分） 1．设 f ( x + 1) = x 2 + cos x ，则 f (x) = ( x ? 1) 2 + cos( x ? 1) 2．设 f (x) 的定义域是 [ 3．设 lim1 1 π π , ] ,则 f (sin x) 的定义域是 [kπ ? , kπ + ], (k是整数) . 6 6 ?2 2（ w ）1 ? cos kx = 3 ,则 k = ± 6 x →0 x2的一个原函数， 4．设 cos x 是 f ( x) 的一个原函数，则 ∫ xf ( x)dx = x cos x ? sin x + Cdy sin x + ye xy 的函数， =? 5．设方程 e + y = cos x 确定 y 为 x 的函数，则 dx xe xy + 2 yxy2三、单项选择题（每题3分，共15分 1．设对 x0 的某邻域内的任意 x ,总有 f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) ,且 lim[h( x) ? f ( x)] = 0 ,x → x0则 lim g ( x) =x → x0( B )A.存在且等于零 B.存在但不一定等于零 C.一定不存在 D.不一定存在 A.存在且等于零 B.存在但不一定等于零 C.一定不存在 D.不一定存在97-2第 16 页(共 20 页)的某邻域内连续, 处可导, 2．设函数 f (x) 在点 a 的某邻域内连续,且在点 x = a 处可导, f (a ) = 0, 则 f (x) 在点 x = a 处 A.有最大值 A.有最大值 ( C ) C.不可导 C.不可导 D.可导 D.可导f ′(a ) ≠ 0B.有极大值 B.有极大值的某邻域内连续, 的高阶无穷小， 3．设 f (x) , g (x) 在点 x0 的某邻域内连续,且当 x → 0 是时 f (x) 是 g (x) 的高阶无穷小， 令 F ( x) = ∫ f (t ) sin tdt , G ( x) = ∫ tg (t )dt ，则当 x → 0 时， F (x) 是 G (x) 的（ B ）0 0 x xA.低阶无穷小 A.低阶无穷小B.高阶无穷小 B.高阶无穷小x≠0 x=0C.同阶但不等价无穷小 C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小 D.等价无穷小1 ? ? x sin 2 4．设函数 f ( x) = ? x ? 0 ? A.极限不存在 A.极限不存在，则 f ( x) 在处 （ C ） C.连续但不可导 C.连续但不可导 D.可导 D.可导B.极限存在但不连续 B.极限存在但不连续上连续, 5．设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续,且对任意的 x ∈ [a, b] , f ( x) &0 则函数 F ( x) = ∫ f (t )dt + ∫a x x b1 dt 在 [a, b] 上是 f (t )( A ) D.先减后增函数 D.先减后增函数A.单调增函数 A.单调增函数B.单调减函数 B.单调减函数C.先增后减函数 C.先增后减函数四、计算积分（每题5分，共15分） 1． ∫ln x ? 1 dx x2 ln x 1 1 1 1 dx ? ∫ 2 dx = ? ∫ ln xd ( ) ? ∫ 2 dx = ln x + C 2 x x x x x解：原式= ∫ 原式=x cos 4 x 2 dx 3 sin x2． ∫解：原式= ∫ 原式= =x sin x 1 x 1 1 dx = ? ∫ d (1 ? cos x) = ∫ xd ( ) 2 2 4 (1 ? cos x) 4 1 ? cos x 4(1 ? cos x)1 x 1 1 1 x 1 1 ? ∫ dx = + ctgx + +C 4 1 ? cos x 4 1 ? cos x 4 1 ? cos x 4 4 sin x3．已知 f ( x) =11 1? x21 0+ x 2 ∫ f ( x)dx ，求 ∫ f ( x)dx 。0 011解： ∫ f ( x)dx = ∫01 1? x2 12dx + ∫ f ( x)dx ∫ x 2 dx ，0 011∫1 0f ( x)dx = ∫1 01? xdx +1 1 2 ∫0 f ( x)dx ， 3 3∫1 0f ( x)dx = arcsin x1 0=π21 3 ∴ ∫ f ( x)dx = π 0 497-2第 17 页(共 20 页)五、（本题满分8分） 、（本题满分8 本题满分 已知 lim (x → +∞ A x?a x ) = lim ∫ 4 x 2 e ? 2 x dx ，求常数 a 的值。 的值。 A→ +∞ a x+aa? ? ?1? ? x?a x x ? = e ?2 a ， ) = lim ? 解： lim ( x → +∞ x + a x → +∞? a? ?1+ ? x? ?A→ +∞xlim∫A a4 x 2 e ? 2 x dx = e ?2 a (2a 2 + 2a + 1) ， (2a 2 + 2a + 1) = 1 ? a = 0, 或a = ?1六、（本题满分7分） 、（本题满分7 本题满分 在上连续， 内可导， 试证： 设 f ( x) 在上连续，在 (a, b) 内可导，且 f (a ) = f (b) = 1 。试证：存在 ξ ∈ (a, b) ， 使得 f (ξ ) + f ′(ξ ) = 1 。 证明： 证明： 设g ( x) = e x [ f ( x) ? 1]g ( x) 在 [a, b] 上连续， (a, b) 上可导，且 g (a ) = g (b) = 0 ， 上连续， 上可导，由罗尔定理知， 由罗尔定理知，存在 ξ ∈ (a, b) ，使得 g ′(ξ ) = 0 ， 由于 g ′( x) = e x [ f ( x) ? f ′( x) ? 1] 即 g ′(ξ ) = e ξ [ f (ξ ) ? f ′(ξ ) ? 1] = 0 ，由于 e ξ ≠ 0 ，所以 f (ξ ) + f ′(ξ ) = 1 。七、（本题满分6分） 、（本题满分6 本题满分1 ? 1? 证明不等式 ln?1 + ? & x ? 1+ x ? (0 & x & +∞) 。证明： 证明：设 f (t ) = ln t ， t ∈ [ x, x + 1] 上连续可导，由拉格郎日定理知： 由于 f (x) 在 [ x, x + 1] 上连续可导，由拉格郎日定理知：存在 ξ ∈ [ x, x + 1] ， 使得 ln( x + 1) ? ln x = 即 ln( x + 1) ? ln x &1ξ，由于 0 & x & ξ & x + 1 ，所以1 1 & ， x +1 ξ1 1 ? 1? ， ? ln?1 + ? & x +1 x ? 1+ x ?(0 & x & +∞) 。八、（本题满分6分） 、（本题满分6 本题满分 开口向上， 轴上两点 已知一抛物线的对称轴平行于 y 轴，开口向上，且通过 x 轴上两点 A(1,0) ， B (3,0) ， 求证： 轴与该抛物线所围图形的面积。 求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于 x 轴与该抛物线所围图形的面积。 证明： 证明：设抛物线方程 y = ax 2 + bx + c ，因为抛物线的对称轴平行于 y 轴，且通过A(1,0) ，开口向上，则抛物线在点 x = 2 处取得最小值，所以有 开口向上， 处取得最小值，所以有97-2第 18 页(共 20 页)? a+b+c = 0 ?b = ?4a ? ， ?9a + 3b + c = 0 ，解得 ? ? c = 3a ? 4a + b = 0 ?则抛物线与 x 轴所围面积 S = ∫ (ax 2 ? 4ax + 3a )dx =1 34 a， 31 4 抛物线与轴轴围成的图形面积 S 2 = ∫ (ax 2 ? 4ax + 3a )dx = a , 0 3轴与该抛物线所围图形的面积。 所以两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于 x 轴与该抛物线所围图形的面积。 九、（本题满分9分） 、（本题满分9 本题满分 已知某厂生产 x 件产品的成本函数为： C ( x) = 25000 + 200 + 件产品的成本函数为： 问：（1）若使平均成本最小，应生产多少件产品？ 若使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2）若产品可以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ （提示：利润=销售收入―产品成本） 提示： 销售收入―产品成本） 解：1) C ( x) =25000 x 00 1 + 200 + ? C ′( x) = + + = 0 ? x = 1000 , x 40 40 40 x2 x21 2 x2 x = 300 x ? 25000 ? , 40 401 2 x 40(元)2) L( x) = R ( x) ? C ( x) = 500 x ? 25000 ? 200 x ?L ′( x) = 300 ?x x 1 & 0, ,令 L ′( x) = 300 ? =0,得 x = 6000 ,由于 L ′′(6000) = ? 20 20 20x = 6000 时, 使利润最大。 使利润最大。使利润最大。 所以应生产6000件产品时, 使利润最大。 十、（本题满分9分） 、（本题满分 给定一曲线 y =1 x2的点的切线方程； （1）求曲线在横坐标为 x0 的点的切线方程； （2）求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。 求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。 解：曲线 y = ：1 ? 经过点 P ( x0 , y 0 ) ，且斜率为 y ′ x = x0 = ?2 x 0 3 , x2所以过点 P ( x0 , y 0 ) 的切线方程为 y = ?3 22 3 x+ 2 . 3 x0 x0B (0, 3 9 2 9 2 ) ，则 y = AB = x 0 + 2 , x0 4 x02)设切线与 x 轴、 y 轴交点分别为 A ( x 0 ,0),当 y ′ = x0 ?97-2 第 19 页9 2183 x0= 0 ,得 x 0= 2。(共 20 页)当 x0 = 2 时, 曲线的切线被两坐标轴所截线段最短长度为 AB =3 3 . 297-2第 20 页(共 20 页)
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