2?二项分布设事件A在任意一次试验中出现的概率都；kk；P{X?k}?cnp(1?p)n?k(0?p?1；称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,；kn?kCMCN?M；P{X?k}?,k?0,1,2,?,n,CN；其中M,N，n都是正整数，且n?N,M?N,则称；(??0),k?0,1,2,?,；k!；则称X服从参数?的泊松分布，记为X~P(?).
2?二项分布设事件A在任意一次试验中出现的概率都是p(0?p?1),在n次独立重复试验(即n重伯努利试验)中事件A发生的次数X可能取的值是0，1，2，?,n,它的概率分布是
P{X?k}?cnp(1?p)n?k(0?p?1),,k?0,1,2?,n,
称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p)3?超几何分布设随机变量X的概率分布为
kn?kCMCN?M
P{X?k}?,k?0,1,2,?,n,CN
其中M,N，n都是正整数，且n?N,M?N,则称X服从参数为M，N和n的超几何分布，记为X~H(n,M,N).当k?M或n?k?N?M时，有P{X?k}?0.4?泊松分布随机变量X的概率分布为
(??0),k?0,1,2,?,
则称X服从参数?的泊松分布，记为X~P(?).
5?几何分布设随机变量X的概率分布为
P{X?k}?(1?p)k?1p(0?p?1),k?1,2,?则称X服从几何分布.
3、泊松定理
在伯努利试验中，设事件A在试验中发生的概率为pn(pn与试验次数n有关)，如果当x??时，npn??,则有
泊松定理表明，如果X~B(n,p)，其中n充分大(n?100),p充分小(p?0.1)，
而np适中，则可以用泊松分布近似表示二项分布，即有
e??,k?0,1,2,?,n
e??,k?0,1,2,?,n
(三)连续型随机变量
1、连续型随机变量及其概率密度
设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负可积函数f(x),使得对于任意实数x,有
f(t)dt,x?R,
则称X为连续型随机变量，函数f(x)称为X的概率密度.概率密度f(x)具有以下性质：(1)f(x)?0.(2)?
(3)对于任意实数x1?x2，有P{x1?X?x2}??f(t)dt.
需要指出，连续型随机变量X取任一给定实数a的概率为零，即P{x?a}?0,因此在计算X在某一区间内取值的概率时，不必区分这个区间是开区间或闭区间.另外，改变X的概率密度f(x)在这个区间内有限个点的函数值，并不改变X在该区间内取值的概率.
(4)在f(x)的连续点x处，有f(x)?F?(x).2、常用的连续型随机变量及其概率密度(1)均匀分布
如果随机变量X的概率密度为
则称X在区间(a,b)内均匀分布，记为X~U(a,b),其中a和b是分布的参数，X的分布函数为
F(x)??,a?x?b;
b?a??x?b.?1,
(2)指数分布设随机变量X的概率密度为
??x???e,x?0;
则称X服从参数?(??0是常数)的指数分布。记为X~e(?).X的分布函数为
??x??1?e,x?0;
设随机变量X的概率密度为
(3)正态分布
其中??0及?均为常数，则称X服从参数为?，?的正态分布，记为X~N(?，?2)，也称X为正态随机变量.特别，当??0，??1时，称X服从标准正态分布，此时X~N(0，1).标准正态随机变量的概率密度和分布函数分别用?(x)和?(x)表示，即有
题型一：一维随机变量及其分布的概念与性质例、设随机变量X的概率密度为f(x)?F(x)为______.
例、设随机变量X的分布函数为F(x)??Asinx,
??1,??则A?________,概率P{X?
e,(???x???),则其分布函数2
解：由于分布函数具有右连续性，而F()?Asin?A,F(?)?1
故A?1，所以F(x)是连续函数，故
?F()?F(?)?sin?0?.
题型二、求一维随机变量的分布律或分布函数
?0，出现反面T；例、抛掷一枚均匀的硬币，设随机变量X??
，出现正面H.?1
则随机变量X在(,2]上取值的概率为_____.
解：X的分布率为：X01
，所以，P{?X?2}?{X?1}?222
例、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??A?Be2,x?0
求(1)常数A和B.
（2）X的概率密度.
（3）概率P{?2?X?2}.
分析：由分布函数连续性及F（??）?1，确定A和B.解：（1）由F（0?）?lim?F(x)?lim?(A?Be
)?A?B?0?F(0)
F（??）?limF(x)?lim(A?Be
所以，A?1，B??1
即：X的分布函数F(x)??x2
?1?e2,x?0?
(2)对F(x)求导数，得X的概率密度
f(x)?F?(x)??xe2,
(3)P{?2?X?2}.?F(2)?F(?2)?1?e?2?0?1?e?2.
例、设随机变量X与Y均服从正态分布，X~N（?,42),Y~N(?,52)记P1?P{X???4}，P2?P{Y???5}，则____.(A)对任何实数?，都有P1?P2.（B）对任何实数?，都有P1?P2.(C)
只对?的个别值，才有P1?P2.（D）对任何实数?，都有P1?P2.解：选（A）
??1）??（?1）4Y??
P2?P（Y???5）?P??1）?1??（1）??（?1）
所以，P1?P2与?无关.P1?P（X???4）?P题型三、对离散型，随机变量的函数的分布一般用定义，对连续型随机变量通常有两种方法：公式法；定义法.
公式法：设X~fX(x),Y?g(X),y?g(x)严格单调，其反函数x?h(y)有一阶连续导数，则
??fx(h(y)h?(y),y?g(x)的值域fY(y)??
定义法：先求出FY(y)?P(Y?y)?P(g(X)?y??例、设随机变量X的概率密度为fX(x)?求：（1）常数k,
（2）随机变量Y?1?X的概率密度fY(y).（3）随机变量Z?arctanX的概率密度fZ(z).解（1）由于?fX(x)?
fX(x)dx.再得fY(y)?FY?(y)
f(x)dx??,x?R.
dx?k??1.所以k?
(2)Y?1?X的分布函数为
FY(y)?P(Y?y)?P(1?X?y)?P(X?(1?y)3)
[?arctan(1?y)3]?2
故，fY(y)dx?FY?(y)?
?[1?(1?y)6]
(3)用FX(x)和FZ(z)分别表示随机变量X和Z?arctanX的分布函数，由于?
?Z?arctanX?
时，有FZ(z)?P（Z?z)?P(arctanX?z)?0
时，有FZ(z)?P(arctanX?z)?1
时，有FZ(z)?P(arctanX?z)?P(X?tanz)?FX(tanz)
故Z?arctanX的分布函数为FZ(z)??FX(tanz),??z?.
1,z??2????2
?fX(tanz)secz,??z??概率密度为FZ(z)?FZ(z)??22?0,其他?
??z??，???22.?0，其他?
例、设连续型随机变量X有严格单调增加的分布函数F(x),试求Y?F（X）
的分布函数与密度函数.
解：由于F(x)未具体给出，用定义法
由分布函数的定义得FY(y)?P(Y?y)?P(F(X)?y)而F（x)为分布函数，故0?F（x)?1，所以当y?0时，FY(y)?0；当y?1时，FY(y)?1；当0?y?1时
1有FY(y)?P(X?F?（y）)?F(F?1(y))?y
即有FY(y)??y,
y?00?y?1.y?1
即Y~U（0，1）
密度函数为fY(y)??
例、设X~U（0，2）求Y?X2在（0，4）内的概率分布密度fY(y).解：由于y?x2在（0，2）内单调，用公式法得：11fY(y)?y)??,0?y?4.
24y第三章二维随机变量及其分布内容提要及重要公式
(一)二维随机变量及其分布函数1、二维随机变量
设X?X(?),Y?Y(?)是定义在样本空间?上的两个随机变量，则称向量(X,Y)为二维随机变量（或随机向量）.
2、二维随机变量的分布函数和边缘分布函数(1)二维随机变量的分布函数称二元函数
设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x和y,
F(x,y)?P{X?x,Y?y},x,y?R
为二维随机变量(X,Y)的分布函数或随机变量X和Y的联合分布函数.
二维随机变量(X,Y)的分布函数有性质如下：1?对于任意x,y?R,有
0?F(x,y)?1F(??,y)?limF(x,y)?0,
F(x,??,)?limF(x,y)?0,
F(??,??)?limF(x,y)?0,
F(??,??)?limF(x,y)?1,
2?F(x,y)关于x和关于y右连续，即
F(x?0,y)?F(x,y),F(x,y?0)?F(x,y),x,y?R.
3?F(x,y)关于x单调不减,关于y单调不减.
4?随机点(X,Y)落在矩形域G?{x,y)x1?X?x2,y1?Y?y2}上的概率为
P?{(X,Y)?G}?P{x1?X?x2,y1?Y?y2}?F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)?F(x1,y1).
(2)二维随机变量的边缘分布函数分别称函数
设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),
FX(x)?F(x,??)?limF(x,y)FY(y)?F(??,y)?limF(x,y)
为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.
(二)二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布1、二维离散型随机变量的概率分布
如果二维随机变量(X,Y)可能取的值为(xi,yi)(i?1,2,?),则称(X,Y)为二维离散型随机变量.如果(X,Y)取值(xi,yi)的概率为
P?{X?xi,Y?yj}?pij，i,j?1,2,?,
其中pij?(i,j?1,2,?,),且??pij?1,则称上式为二维离散型随机变量(X,Y)
的概率分布或随机变量X和Y的联合分布.2、边缘概率分布
设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为
P{X?xi,Y?yj}?pij，i,j?1,2,?,
则分别称和
P{X?xi}??pij?pi.,,i,j?1,2,?
P{Y?yj}??pij?p.j,,i,j?1,2,?
为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率分布.3、条件概率分布
设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为
P{X?xi,Y?yj}?pij，i,j?1,2,?,
对于给定j,如果P{Y?yj}?0,(j?1,2,?),则称
P{X?xiY?yj}?
P{X?xi,Y?yj}
，i?1,2,?,
为Y?yj条件下随机变量X的条件概率分布，对于给定的i,如果P{X?xi}?0(i?1,2,?,),则称
P{Y?yiX?xj}?
P{X?xi,Y?yj}
，j?1,2,?,
为X?xi条件下随机变量Y的条件概率分布.
(三)二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度1、二维连续型随机变量的概率密度
设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),如果存在非负函数f(x,y),使得对于任意实数x和y,都有
Y的联合密度.
f(u,v)dudv,
则称(X,Y)为二维随机变量，函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度或随机变量X和
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从2012考研数学概率部分看2013考研备考
　　海天考研数学名师【郭静娟解读概率】
　　主持人：各位网友，大家好，欢迎大家来到海天考研真题点评的直播间，我们今天已经结束了考研的数学考试，上午数学考试结束后，我们也第一时间请到了海天教育集团知名数学的概率辅导老师郭静娟老师来到我们访谈的现场给大家做第一时间的真题点评。首先，欢迎郭老师的到来。
　　郭静娟：主持人好。
　　主持人：你好，郭老师，试题你现在已经拿大了，你觉得今年试题整体呈现什么特点，今年的试题和往年相比它的难易程度如何？
　　郭静娟：刚才我大致浏览一下数(一)、数(二)、数(三)的考题，感觉和去年相比是难度下降了一些，而且都没有任何超纲的题目，都是常规的题型，咱们主要是针对概率讲一下。
　　概率从数(三)开始，因为数(二)是不考概率的，数(三)和数(一)的选择两道题，第一道选择题很类似的，都是让你求概率的问题，但是它的已知条件是不一样的。数(三)设的是x与y相互独立，都服从U(0，1)均匀分布，让你求P(x的平方+y的平方小于等于1)，数(一)是稍微变了一下，也是已知随机变量x与y相互独立，都分别服从参数为1与参数为4的指数分布，让你求x&y的概率，上课的时候我给大家都讲过类似的题目。
　　咱们看数(三)，x、y相对独立，已知概率密度，让你求x平方加y的平方，首先要求x平方加y方，
　　已知x与y相对独立，服从U(0，1)均匀分布，咱们就知道x与y的联合概率密度，即x与y各自概率乘积，就可以求出x平方加y方小于等于1的概率，怎么求呢？分解成累次积分求，找到被积区域与所求概率的交集，因为所求概率涉及到x平方加y方，所以利用极坐标来求比较简单。
　　大题数(三)和数(一)是很相似的，但是数(三)比数(一)稍微难一些，数(三)已知x与y的各自概率分布及xy概率分布，求x=2y的概率，第二问求x-y与y的协方差以及x与y的相关系数，此类属于第四章的内容，即随机变量的数字特征。从而可以看出第四章数字特征是很重要的章节。
　　数(一)，已知条件是直接把xy的联合概率分布告诉你了，第一小问和第二小问和数(三)考的是一模一样的，大家分析数(三)是不是比数(一)要难一些，因为它没有直接告诉你x与y的联合概率分布，你要求出x与y的联合概率分布，这时候才能求x=2y的概率。
　　对于数(三)来说，x=2y的概率，第一，从联合概率分布来求。
　　第二小题求数字特征，利用协方差和相关系数的性质以及公式，就可以求出来，此类题目是非常基础的题型。
　　数(三)的最后一道题，在我的强化讲义，第三个专题里二维随机变量函数。例11明确的讲到U=max(X，Y)与V=min(X，Y)，概率密度的求法，我当时出了一道题目是x与y都服从U(0，1)均匀分布，求U=max(&&X，Y)与V=min(X，Y)的概率密度。今年就出了一道很类似的题，只是给出x与y均服从参数为1的指数分布，也让你求U=max(X，Y)V=min(X，Y)的概率密度。相信听我过课的学生应该很高兴，这个题应该拿满分了。
　　对于这样的题，这是历年考试中一个重点的重点，一般利用分布函数法。
　　数(一)的最后一道大题是随机变量x与y相互独立，分别服从正态分布。第一小题求z=x-y的概率密度，我在强化讲义中第三个专题，即随机变量函数分布的例7(减法的形式)。第二小题求的×的平方的最大似然估计量，2011您已经考过类似的题目，也是已知随机变量服从正态分布，让你求方差。今年又考到了，最大似然估计量也是重点中的重点，2013年的考生要引起注意。
　　第三小题证明无偏估计量的问题，这是数(一)考的题，2010年数(三)、数(四)合并后，数(三)不再考。怎么证明？也就是求最大似然估计量的数学期望的问题，如果数学期望等于被估计量，那么就为无偏估计量，否则就不是无偏估计量。
　　这就是我从今年的考题中给大家分析了一下它的难易程度。总体来讲，比2011年的题稍微的简单一些了。
　　主持人：好的，刚刚郭老师简单的从几道题给我们分析了2012年概率题的难度，郭老师，刚刚您也提到很多题在您的辅导班中给大家讲大了，也给大家重点提示了，如果学生想在高等数学，无论是高数，还是概率，还是线代中拿到高分，有什么好的学习方法吗？
　　郭静娟：2013年的考生马上要进入准备阶段了，可能有些学生已经进入准备阶段了，我希望在基础阶段，现在刚开始复习的时候，一定把基础打好。把基本的定理，基本的性质，基本的概念彻彻底底的理解透彻，完全掌握住。从今年数(一)、数(二)、数(三)来说，就是考一个基本的性质定理、概念的一个考卷，没有超出任何的大纲。我希望2013年考生从基础抓起。
　　第二，数学和英语、政治还是不太一样的，数学还是希望做相当一部分的题目，经过练习，咱们来提高计算能力。今天上午考完题以后，我辅导的学生好多给我打电话，老师，题不难，但是我没有做完。问题出来了，做题太慢。咱们在开始复习数学的时候，一定要把计算能力关过了，你不仅会做，而且一定要在规定的时间内做对，完成，这才是考研要求的。
　　第三，强化阶段的时候，基础是很关键的，但是你不能光按着基础不放，毕竟考研是选拔性的考试，不会考很基本的东西，它要转几个弯再考你，所以，强化阶段希望大家找好参考书来进行综合性的复习，在基础的阶段上，咱们要拔高，来提高自己。
　　大致就是这些，最后冲刺阶段还是希望大家以真题为主，以模拟题为辅，毕竟真题是经过各个专家来命的题目，是非常非常值得咱们学习的。
　　主持人：好的，郭老师刚刚也给广大网友提供了几种复习数学和提高自己数学分数的方法，希望可以对大家形成一个参考。最后想问郭老师一个问题，今年的考试已经结束了，学生最关心的还是分数线的问题，您能不能大致的给我们估计一下今年数学的分数线是多少呢？
　　郭静娟：我的水平实在是有限，我整体感觉比去年稍微简单了一下，我只能估计比去年的分数线低一到两分吧。
　　主持人：好，谢谢郭老师的到来，同时感谢各位网友，今天的访谈到此结束，谢谢大家。
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概率论Z=g(X,Y)的期望,感觉有歧义.比如X~N(0,1) N(0,1) X与Y独立；求Z=X^2+Y^2的数学期望.理解1：自由度为2的卡方分布.EZ=2理解2：E(X^2+Y^2)=二重积分f(x,y)dxdy...这两个结果不同,现在在复习考研,我经常算成第一种,答案又是第二种,怎么区分啊这是考研全书的题，和我的说的意思差不多。这题用卡方的思路算最后弄出指数分布，我的解法
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理解1是没有问题的理解2中我不知道你的f是什么,但是数学期望根据定义应该是(x^2 +y^2)f(x,y)dxdy,其中f(x,y)是在x,y处的概率密度函数所以第二个理解没错,但是公式恐怕不对
不可能啊，第二个我打错了，肯定有一个是错的；一种是一维函数的期望，一种是二维的，看看我补充的
你上面求的是E(根号下(x^2+y^2))，不是E(x^2 +y^2)
昏，Z<z转化成t=z^2
你一直在纠结我算错的问题还是算了
我是说你考研题目里的那个算的和你用卡方方法算的不是同一个东西
你那个<z^2当然看到了
那个服从指数分布错了，，的确是一样的，谢谢啦！
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