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概率论中数学期望的概念毕业论文
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【求助】随机变量的数学期望问题
x(t)是一个随机信号，其延迟信号为x(t-d)，他们的数学期望E[x(t)] 和E[x(t-d)]有什么关系？相等么？
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这段时间校招，发现很多笔试都是概率论的题目，拿出课本写下来总结（不涉及组合和数理统计）。
等可能概型（古典概型）
试验的样本空间只包含有限个元素；
试验中每个基本事件发生的可能性相同。
设试验的样本空间为S={e1,e2,e3,…,en}，若事件A包含k个基本事件，即A={ei1}?{ei1}?…{eik}，这里i1,i2,…,ik是1,2,…,n中k个不同的数。则有：
P(A)=∑j=1kP({eij})=kn=A包含的基本事件数S中基本事件的总数
将一枚硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率；
袋子里装小球，放回抽样和不放回抽样；
n个人中至少有两人生日相同的概率。
假设每人的生日在一年365天中任一天是等可能的，即1365，则随机选取n个人，生日各不相同的概率是：
365?365???(365-n+1)365n
所以n个人至少两人生日相同的概率是：
p=1-365?365???(365-n+1)365n
0.999 999 7
条件概率定义
设A，B是两个事件，且P(A)&0，称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
设P(A)&0，则有P(AB)=P(B|A)P(A)
全概率公式
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,…,Bn的一个划分，且P(Bi)&0(i-1,2,…,n)，则
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+?+P(A|Bn)P(Bn)
贝叶斯公式
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,…,Bn为S的一个划分，且P(A)&0,P(Bi)&0(i=1,2,…,n)，则
P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)∑kj=1P(A|Bj)P(Bj)
离散型随机变量
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是
P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1(0&p&1)
伯努利试验
设试验E只有两个可能结果：A和A?，则称E谓伯努利试验。设P(A)=p&&(0&p&1)，此时P(A?)=1-p。将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。
n重伯努利试验，事件A在n次试验中发生k次的概率：
P{X=k}=Cknpkqn-k,k=0,1,…,n
我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X-b(n,p)。
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，…，而取各个值的概率为
P{X=k}=λke-λk&!,k=1,2,…
其中λ&0是常数，称X服从参数为λ的泊松分布，记为X-π(λ)。
设λ&0是一个常数，n是任意正整数，设npn=λ,则对于任一固定的非负整数k，有
limn→∞Cknpkn(1-pn)n-k=λke-λk&!
当n很大，p很小(np=λ)时有以下近似公式
Cknpk(1-p)n-k≈λke-λk&!
也就是说以n，p为参数的二项分布的概率值可以由参数为λ=np的泊松分布的概率值近似。
连续型随机变量
若连续型随机变量X具有概率密度
f(x)={1b-a,0,a&x&b其他
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X-U(a,b)。概率密度f(x)和分布函数F(x)如图所示：
若连续型随机变量X的概率密度为
f(x)={1θe-x/θ,0,x&0其他
其中θ&0为常数，则称X服从参数为θ的指数分布。密度函数如下图：
若连续型随机变量X的概率密度为
f(x)=12π--√e-(x-μ)22σ2,-∞&x&+∞
其中μ,σ(σ&0)为常数，则称X服从参数为μ,σ的正态分布或高斯分布，记为X-N(μ,σ2)。
几种常见的概率分布表
分布律或概率密度
P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1
P{X=k}=Cknpkqn-k,k=0,1,…,n
P{X=k}=(1-p)k-1pk=1,2,…
P{X=k}=λke-λk&!k=0,1,2,…
f(x)={1b-a,0,a&x&b其他
f(x)=12π√e-(x-μ)22σ2-∞&x&+∞
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container: s,
size: '200,200',
display: 'inlay-fix'503 Service Temporarily Unavailable
503 Service Temporarily Unavailable
openresty/1.9.7.4导读：L?L(X)?????500a?300(X?a),a?X?30?300X?200，在设备运转中部件需要调整的概率分别为0.1、0.2，?0,other解：由概率密度函数的完备性，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000kg的概率不大于0.05？，解：设最多装n袋水泥使总重量超过2000kg的概率不大于0.05，最多装39袋水泥使总重量超过2000kg的概率不大于0.05，13、设随机变量X1,X。 E(Y)?0?0.064?1?0.096?2?0.24?3?0.6?2.376（分）9、设某一商店经销某种商品，其每周需求量X服从区间[10,30]上的均匀分布，而进货量为区间[10,30]上的某一整数，商店每售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商店亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售一单位商品获利300元。求此商店经销这种商品每周进货量最少为多少，可使获利的期望不少于9280元？ 解：令此商店经销这种商品每周进货量最少为a，可使获利的期望不少于9280元， 令L表示经销这种商品的获利，据题意知， 10?a?30， ?500X?100(a?X),10?X?a?600X?100a,10?X?a， L?L(X)?????500a?300(X?a),a?X?30?300X?200a,a?X?30?1?,10?x?30X的概率密度函数为f(x)??20， ?其它?0,所以，平均获利为E(L)?????L(x)f(x)dx??(600x?100a)10a3011dx??(300x?200a)dx a0a?7.5a2， 根据题意得E(L)?9280，即.5a?9280，解得2022?a?26， 3取a?21，故此商店经销这种商品每周进货量最少为21，可使获利的期望不少于9280元 10、一台设备由三大部件构成，在设备运转中部件需要调整的概率分别为0.1、0.2，0.3，假设各部件的状态是独立的，以X表示同时需要调整的部件数，求X的期望与方差。 解：设Xi???0,第i台不需调整?1，第i台需要调整i?1,2,3，，由题意P{X1?1 }?0.1,P{X2?1}?0.2,P{X3?1}?0.3，E(X1)?0.1,E(X2)?0.2,E(X3)?0.3，D(X1)?0.1?0.9,D(X2)?0.2?0.8,D(X3)?0.3?0.7， 所以X?X1?X2?X3，且相互独立， 所以，根据期望和方差的性质，得E(X)?E(X1)?E(X2)?E(X3)?0.6， D(X)?D(X1)?D(X2)?D(X3)?0.1?0.9?0.2?0.8?0.3?0.7?0.46。 ?ax2?bx?c,0?x?111、设X~f(x)??，且E(X)?0.5，D(X)?0.15，求常数a,b,c。 ?0,other解：由概率密度函数的完备性，得 ab??c，
① ??032?1abc2又由于0.5?E(X)??xf(x)dx??x(ax?bx?c)dx???，
② ??04321???f(x)dx??(ax2?bx?c)dx?121 而E(X2)?D(X)?(E(X))2?0.15?0.25?0.4， 故0.4?E(X)?2????xf(x)dx??x2(ax2?bx?c)dx?021abc??，
③ 543由①，②，③联立，解得a?12,b??12,c?3。 12、卡车装运水泥，设每袋水泥重量X（以kg计）服从N(50,2.52)，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000kg的概率不大于0.05？ 解：设最多装n袋水泥使总重量超过2000kg的概率不大于0.05，令Xi表示第i袋水泥的重量，i?1,2,?,n，据题意知， Xi~N(50,2.52)，i?1,2,?,n，且X1,X2,?,Xn相互独立， P{?Xi?2000}?P{i?1i?1n?Xni?50n?2.5n2?50n0.?即?(}?1??()?0.05，52.n2.5n2.5n.645， 2.5n， 查标准正态分布表，得?(1.645)?0.95，即由方程400n?n?800?0，解得n?39.483（袋）。 所以，最多装39袋水泥使总重量超过2000kg的概率不大于0.05。 13、设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1在[0,6]上服从均匀分布，X2服从参数??布，X3服从参数??3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3，求D(Y)。 221的指数分2(6?0)211?3，D(X2)?2??4，D(X3)???3， 解：据题意知，D(X1)?212?(1/2)又由于随机变量X1,X2,X3相互独立，由方差的性质，得 D(Y)?D(X1?2X2?3X3)?D(X1)?22D(X2)?32D(X3)?3?22?4?32?3?46。 14、设X服从参数为1的指数分布，且Y?X?e解：据题意知，E(X)?所以，由期望的性质，得 ?2X，求E(Y)与D(Y)。 11?1,D(X)?2?1，E(X2)?D(X)?(E(X))2?1?1?2， 11?2XE(Y)?E(X?e?2X)?E(X)?E(e)?1??e????2xf(x)dx?1??e?2xe?xdx?1?0?14?， 33E(Y2)?E(X?e?2X)2?E(X2?2Xe?2X?e?4X)?E(X2)?2E(Xe?2X)?E(e?4X)， 22 而E(Xe?2X)??xe????4x??2xf(x)dx??xe0??4x?x??2x?xedx??xe?3xdx?0??1， 91edx??e?5xdx?， ???2X?4X故E(Y)?E(X)?2E(Xe)?E(e)?2?2???， D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2??()?。 453451XY?，求Z的期望与方差及X与Z的相15、已知X~N(1,32)，Y~N(0,42)，?XY??，设Z?232E(e?4X)??ef(x)dx??e关系数。 解：据题意知，E(X)?1，D(X)?32，E(Y)?0，D(Y)?42， 所以，根据期望的性质，得E(Z)?E(根据方差的性质，得 XY11111?)?E(X)?E(Y)??1??0?， 3232323D(Z)?D(XYXYXY1111?)?D()?D()?2Cov(,)?2D(X)?2D(Y)?2??Cov(X,Y) D(X)?2D(Y)?2??D(X)D(Y)?XY?2?32?2?42?2???3?4?(?)?3， ?XZ?Cov(X,Z)?D(X)D(Z)Cov(X,XY1111?)Cov(X,X)?Cov(X,Y)D(X)??XYD(X)D(Y)32?322?3 D(X)D(Z)D(X)D(Z)D(X)D(Z)1211?3??(?)?32?。 23316、设X,Y的概率密度函数为f(x,y)???1,|y|?x,0?x?1， 其它?0,（1）求关于X,Y的边缘概率密度；（2）求E(X),E(Y)及D(X),D(Y)；（3）求Cov(X,Y)。 ?x????x1dy,0?x?1?2x,0?x?1， f(x,y)dy????0,其它??其它?0,解：（1）根据边缘概率密度的定义，fX(x)????fY(y)??????11dx,?1?y?0???y?1?y,?1?y?0??1?f(x,y)dx???1dx,0?y?1??1?y,0?y?1； y??0,其它?其它?0,??1?012（2）E(X)??xfX(x)dx??x?2xdx?，E(Y)??yfY(y)dy??y?(1?y)dy??y?(1?y)dy?0， ??0???103?11E(X2)??x2fX(x)dx??x2?2xdx?， ??02?23 E(Y)??yfY(y)dy??y?(1?y)dy??y2?(1?y)dy????102?20211， 6D(X)?E(X2)?(E(X))2?（3）E(XY)?122111?()?，D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2??02?； ?x????????xyf(x,y)dxdy???xxy?1dydx?0， 2Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0??0?0。 3注：此题（1）注意画坐标图形。 17、设随机变量X~U(0,1)，Y~U(1,3)，X与Y相互独立，求E(XY)与D(XY)。 0?111?3(1?0)21(3?1)21?，D(X)??2，D(X)??，E(Y)??，解：据题意知，E(X)? 又由于X与Y相互独立，故E(XY)?E(X)E(Y)?1?2?1， 2D(XY)?E(XY)2?(E(XY))2?E(X2Y2)?(E(X)E(Y))2?E(X2)E(Y2)?(E(X))2(E(Y))2 ?[D(X)?(E(X))2][D(Y)?(E(Y))2]?(E(X))2(E(Y))2?[11114?()2][?22]?()2?22?。 、设E(X)?2，E(Y)?4，D(X)?4，D(Y)?9，?XY?0.5，求： 22（1）U?3X?2XY?Y?3的数学期望；（2）V?3X?Y?5的方差。 解：据题意知，E(X2)?D(X)?(E(X))2?4?22?8，E(Y2)?D(Y)?(E(Y))2?9?42?25， （1）由?XY?Cov(X,Y)E(XY)?E(X)E(Y)??0.5， D(X)D(Y)D(X)D(Y)得E(XY)?0.5D(X)D(Y)?E(X)E(Y)?0.54?9?2?4?11， 根据期望的性质，E(U)?E(3X2?2XY?Y2?3)?3E(X2)?2E(XY)?E(Y2)?3 ?3?8?2?11?25?3?24； （2）D(V)?D(3X?Y?5)?D(3X?Y)?D(5)?32D(X)?D(Y)?2?3?XYD(X)D(Y)?0 ?32?4?9?2?3?0.54?9?27。 19、设W?(aX?Y3)2，E(X)?E(Y)?0，D(X)?4，D(Y)?16，?XY??0.5。求常数a，使E(W)为最小，并求E(W)的最小值。 解：据题意知，E(X)?D(X)?(E(X))?4?0?4，E(Y)?D(Y)?(E(Y))?16?0?16，
由?XY?Cov(X,Y)E(XY)?E(X)E(Y)???0.5， D(X)D(Y)D(X)D(Y)得E(XY)??0.5D(X)D(Y)?E(X)E(Y)??0.54?16?0?0??4， 所以，E(W)?E(aX?3Y)2?E(a2X2?32Y2?2a?3XY)?a2E(X2)?32E(Y2)?2a?3E(XY) ?a2?4?32?16?2a?3?(?4)?4a2?24a?144?4(a2?6a?36)?4[(a?3)2?27)]， 当a?3时，E(W)为最小，且E(W)的最小值E(W)?4[(3?3)2?27)]?108。 20、某班有学生n名，开新年联欢会，每人带一份礼物互赠，礼物集中放在一起，并将礼物编了号，当交换礼物时，每人随机地拿到一个号码，并以此去领取礼物，试求恰好拿到自己准备的礼物的人数X的期望和方差。 ?1,第i人拿到自己准的物解：令Xi??，i?1,2,?,n， 0,第i人未拿到自己准的物?显然，X??Xi，P{Xi?1}?i?1n11，P{Xi?0}?1?，i?1,2,?,n， nnE(Xi)?111，D(Xi)?(1?)，i?1,2,?,n，X1,X2,?,Xn不相互独立。 nnn所以，根据期望的性质，E(X)?E(n?X)??E(X)??n?1， iii?1i?1i?1nnn1根据方差的性质，D(X)?D(?X)??D(X)?2?iii?1i?1nCov(Xi,Xj)， 1?i?j?n而Cov(Xi,Xj)?E(XiXj)?E(Xi)E(Xj)， Xi,Xj取值为0，1，定义 P{XiXj?1}?P{Xi?1,Xj?1}?P{Xi?1,Xj?1}?P{Xi?1}P{Xj?1|Xi?1}?11?， nn?1111E(XiXj)?1?P{XiXj?1}?1???， nn?1n(n?1)因此，Cov(Xi,Xj)?E(XiXj)?E(Xi)E(Xj)?n1111???2， n(n?1)nnn(n?1)所以，D(X)??D(Xi)?2i?11112Cov(X,X)?n?(1?)?2C??1。 ?ijn2nnn(n?1)1?i?j?n21、设A和B是随机试验E上的两事件，且P(A)?0，P(B)?0，定义随机变量X,Y为 25 包含总结汇报、人文社科、文档下载、教学研究、考试资料、IT计算机、专业文献以及概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答等内容。本文共6页
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