sat数学试卷题，求不定积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-23 23:44 标签： sat数学试卷
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不定积分的常用求法(定稿)[1]
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常见不定积分的求解方法
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试题.试卷——不定积分例题及参考答案.doc 66页
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··········
名称 主要内容
念 设， ，若存在函数，使得对任意均有
或，则称为的一个原函数。
的全部原函数称为在区间上的不定积分，记为
注：（1）若连续，则必可积；（2）若均为的原函数，则。故不定积分的表达式不唯一。
质 性质1：或；
性质2：或；
性质3：，为非零常数。
（凑微分法） 设的 原函数为，可导，则有换元公式：
分法 设单调、可导且导数不为零，有原函数，则
分部积分法
有理函数积分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。
作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！
课后习题全解
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
思路: 被积函数 ，由积分表中的公式（2）可解。
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
思路:分项积分。
思路:分项积分。
思路:？看到，直接积分。
思路:裂项分项积分。
思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然。
思路:应用三角恒等式“”。
思路:被积函数 ，积分没困难。
思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
思路:不难，关键知道“”。
思路:同上题方法，应用“”，分项积分。
思路:注意到被积函数 ，应用公式(5)即可。
思路:注意到被积函数 ，则积分易得。
★2、设，求。
知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。
思路分析：直接利用不定积分的性质1：即可。
解：等式两边对求导数得：
★3、设的导函数为，求的原函数全体。
知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。
思路分析：连续两次求不定积分即可。
解：由题意可知，
所以的原函数全体为：。
★4、证明函数和都是的原函数
知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：只需验证即可。
★5、一曲线通过点，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。
知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。
解：设曲线方程为，由题意可知：，；
又点在曲线上，适合方程，有，
所以曲线的方程为
★★6、一物体由静止开始运动，经秒后的速度是，问：
在秒后物体离开出发点的距离是多少？
物体走完米需要多少时间？
知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。
解：设物体的位移方程为：，
则由速度和位移的关系可得：，
又因为物体是由静止开始运动的，。
(1) 秒后物体离开出发点的距离为:米；
★1、填空是下列等式成立。
知识点：练习简单的凑微分。
思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。
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∫√1-x ? arcsinx dx.注：根号包括到1-x?，根式与反函数的关系是乘法求不定积分∫[√(1-x ?)] arcsinx dx.解：设arcsinx=u，则x=sinu，dx=cosudu，代入原式得：原式=∫[√(1-sin?u)]ucosudu=∫ucos?udu=(1/2)∫u(1+cos2u)du=(1/2)[∫udu+∫ucos2udu]=(1/2)[u?/2+(1/2)∫udsin(2u)]=u?/4+(1/4)[usin2u-∫sin2udu]=u?/4+(1/4)usin2u-(1/8)∫sin2ud(2u)=u?/4+(1/4)u(2sinucosu)+(1/8)cos2u+C=(1/4)(arcsinx)?+(1/2)(arcsinx)[x√(1-x?)]+(1/8)(1-2x?)+C其中sinucosu=sinu√(1-sin?u)=x√(1-x?)；cos2u=1-2sin?u=1-2x?.
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