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微积分求极限的方法(2完整版).doc 9页
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微积分求极限的方法(2完整版)
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··········
专题一 求极限的方法
【考点】求极限
近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。
极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）
要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理化，变量代换等等。
两个重要极限 ，注意变形，如将第二个式子中的变成某趋向于0的函数以构造“”的形式的典型求极限题目。
一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如：
利用归结原则将数列极限转化为函数极限
函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解题，如因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）
遇到无限项和式求极限时想三种方法：
①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限
②夹逼定理
③用定积分的概念求解。
（4）如果f(x)/g(x)当x→x0时的极限存在，而当x→x0时g(x)→0，则当x→x0时f(x)也 →0
（5）一个重要的不等式：（）
*其中方法②③考到的可能性较大。
有关求极限时能不能直接代入数据的问题。
闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理）
此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。
【例题精解·求极限的方法】
方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。
【例1】求极限
注：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。
【例2】求极限
注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化和采取倒变量的方法。
2、一个最基本的多项式极限(系数均不为0)：
①若n&m，则极限为正无穷；
②若n&m，则极限为0；
③若n=m，则极限为。（本质为比较次数）
要注意的是是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里的最高次的次来计算，如的次数为1。
方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限
【例3】设，,证明存在并求之
方法三：利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。
【例4】求极限
故由夹逼定理=1
方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则——未定式极限。（化加减为乘除！）
【例5】求极限
【例6】求极限
【例7】求极限
【例8】求极限
解：直接运用洛必达法则和等价量代换可得
【例9】求极限
解： 由换底公式，
若，则极限为；若，则极限为，综上，极限为
方法六：幂指函数求极限——取对数再取指数。
【例12】求极限
?注意x是趋向正无穷，此时需要先分析底数和指数分别趋向于多少，分析底数易知底数趋向于正无穷。但是指数arccotx这个函数不是很熟，可以通过图像先分析cotx再分析arccotx趋向于多少，最后得出结论是指数趋于0。故是一个“”型，所以要用“先取对数再取指数”的方法。对于之后arccotx的处理，若用罗比达对其求导则会发现再接下来比较难做，这里给出一个转化为熟悉的，可等加量代换的式子的方法，方法较灵活，需要对三角函数之间的转换有很深的熟悉度。
?关于第三个等号左右的变化：令，则，故，，综上，
方法七：运用泰勒定理求极限——适用于直接洛必达不好算时考虑的方法。
【例13】求极限
代入原式可得，
方法八：通过定积分的概念来求极限
【例14】求
由于此题无法直接对式子进行化简，也无法用夹逼定理，故想到用定积分的概念来求解，即
此时由定积分的概念可将上面的和式看成被积函数在[0,1]上的定积分，故
【例15】求极限
【分析】此题看似复杂，其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的和式求极限，故再次想到用定积分的概念求解。故我们需要找到定积分概念中和式极限的“”和“”。
“”我们可以类似【例5】，自己把这一项构造出来，而这一项不同于我们以往做过的题目中经常取小区间的左端点或右端点，而是取了中间一
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高数总结求极限方法
█重量█犜屠9
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代入法, 分母极限不为零时使用.先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法.【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
=(3-3)/(9+3+1)=0【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosxlim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
=(lg1+e^0)/arccos0
倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用.【例3】 lim[x-->1]x/(1-x)∵lim[x-->1] (1-x)/x=0
∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作∞.3. 消去零因子（分解因式）法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用.【例4】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
=lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1)
=lim[x-->1](x-1)/x
=0【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)lim[x-->-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
= lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]
= lim[x-->-2]x(x+1) / (x-3)
=-2/5【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
= lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]
= lim[x-->1](x-2) /[(x-1)
=∞【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/hlim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h
= lim[h-->0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h
= lim[h-->0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]
=2x^2这实际上是为将来的求导数做准备.4. 消去零因子（有理化）法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化.【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/xlim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
= lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1]
=0【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
=lim[x-->-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]
=-25. 零因子替换法.利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式.【例10】lim[x-->0]sinax/sinbxlim[x-->0]sinax/sinbx
= lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx)
=1*1*a/b=a/b【例11】lim[x-->0]sinax/tanbxlim[x-->0]sinax/tanbx
= lim[x-->0]sinax/ sinbx*lim[x-->0]cosbx
=a/b6. 无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质.【例12】lim[x-->∞]sinx/x∵x-->∞
∴1/x是无穷小量
∵|sinx|∞]sinx/x=0【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
= lim[x-->∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)
=1/2【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)=lim[n-->∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1)=lim[n-->∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)=1/4【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
= lim[x-->∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30
= lim[x-->∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30
=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50
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我总结的16种求极限的方法（你还能找出其他的？
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首先说下我的感觉，&&假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根，&&函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，&&可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？& &各个章节本质上都是极限，&&是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
首先&&对&&极限的总结&&如下
极限的保号性很重要& &就是说在一定区间内&&函数的正负与极限一致
1&&极限分为& &一般极限& &，&&还有个数列极限，&&（区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）
2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
1 等价无穷小的转化，& &（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用&&但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1& &或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax&&等等 。&&全部熟记
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2落笔他 法则& &（大题目有时候会有暗示&&要你使用这个方法）
&&首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
& &必须是&&X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，&&当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件&&
（还有一点&&数列极限的n当然是趋近于正无穷的&&不可能是负无穷！）
& &必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）,&&没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）
&&必须是&&0比0&&无穷大比无穷大！！！！！！！！！
& &当然还要注意分母不能为0&&
&&落笔他 法则分为3中情况
1 0比0& &无穷比无穷&&时候&&直接用
2& &0乘以无穷& &无穷减去无穷& &（ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后& &这样就能变成1中的形式了
3&&0的0次方& & 1的无穷次方 无穷的0次方& &
&&对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，&&这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （&&这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0&&当他的幂移下来趋近于无穷的时候&&LNX趋近于0）
3泰勒公式& & (含有e的x次方的时候&&，尤其是含有正余旋&&的加减的时候要 特变注意&&！！！！）
E的x展开& &sina&&展开& &cos&&展开& &ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
&&取大头原则& & 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！
&&看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！
6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式&&，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下，&&xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。&&这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值& &。&&地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
（地2个实际上是 用于&&函数是1的无穷的形式&&）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）
11 还有个方法&&，非常方便的方法
&&就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快于&&x！& &快于&&指数函数& &快于& &幂数函数& &快于& && &&&对数函数 （画图也能看出速率的快慢）&&!!!!!!
当x趋近无穷的时候&&他们的比值的极限一眼就能看出来了
12 换元法&&是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中&&
13假如要算的话&&四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
&&就是当你面对题目实在是没有办法&&走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。
15单调有界的性质
&&对付递推数列时候使用&&证明单调性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限 ，
&&（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，& & 看见了有特别注意）
&&（当题目中告诉你F(0)=0时候&&f（0）导数=0的时候& &&&就是暗示你一定要用导数定义！！！！）
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&&函数&&是表皮
函数的性质也体现在积分 微分中
例如他的奇偶性质&&他的周期性。 还有复合函数的性质
1奇偶性，奇函数关于原点对称& &偶函数关于轴对称&&偶函数左右2边的图形一样
（ 奇函数相加为0）
2周期性也可用在导数中&&在定积分中也有应用& &定积分中的函数是周期函数&&积分的周期和他的一致
3&&复合函数之间是&&自变量与应变量互换&&的&&关系&&
4还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！）
& &（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）
:o 再就是总结一下间断点的问题&&（应为一般函数都是连续的&&所以 间断点 是对于间断函数而言的）
间断点分为第一类&&和第二类剪断点
1&&第一类是左右极限都存在的 （左右极限存在但是不等&&跳跃的的间断点& &或者 左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值&&可取的间断点
地二类 间断点是&&震荡间断点&&或者是& &无穷极端点&&
（这也说明极限即是&&不存在也有可能是有界的）
:o 下面总结一下&&
&&求极限的一般题型
1&&求分段函数的极限&&
当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！！！！
当X趋近无穷时候&&存在e的x次方的时候&&，&&就要分情况讨论&&应为 E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！！！！！
2 极限中含有变上下限的积分&&如何解决类？？？？
& &&&说白了&&就是说 函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了& &你要想办法把它搞掉！！！！！！！！！！！！！！！
& &解决办法 ：
& &&&1求导， 边上下限积分求导，&&当然就能得到结果了&&这不是很容易么？
& && &&&但是！！！！！有2个问题要注意！！！！
& && && & 问题1& && & 积分函数能否求导？&&题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！！！
& && && & 问题2& &被积分函数中 既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？
& && &&&解决1的方法：& &就是方法2& &微分中值定理！！！！！！！！！！
& && && && && &&&微分中值定理是函数与积分的联系！& &更重要的是他能去掉积分符号！！！！！！
& && & 解决2的方法 ： 当x与t的函数是相互乘的关系的话 ，&&把x看做常数提出来& &， 再求导数！！！！！！
& && && && && && && & 当x 与t是除的关系&&或者是加减的关系&&，&&就要 换元了！！！！！！！！！（换元的时候积分上下限也要变化！！！！）
3求的是数列极限的问题时候& &
&&夹逼 或者 分项求和 定积分&&都不可以的时候
& &就考虑x趋近的时候函数值，&&数列极限也满足这个极限的
当所求的极限是递推数列的时候
&&首先 ： 判断数列极限存在极限的方法&&是用的单调有界的定理&&。 判断单调性不能用导数定义！！！& &应为是 离散的& & 只能用&&前后项的 比较&&（前后项相除相减）， 数列极限是否有界&&可以使用 归纳法& && &最后对xn 与xn+1两边同时求极限， 就能出结果了！！！！！！
4涉及到极限已经出来了&&让你求未知数和位置函数的问题
&&解决办法 ：主要还是运用等价无穷小&&或者是同阶无穷小 。 应为&&例如&&当x趋近0时候&&f（x）比x =3&&的函数&&， 分子必须是无穷小&&否则极限为无穷
& && & 还有落笔他&&法则的应用& &，&&主要是应为&&当未知数有几个时候，&&使用&&落笔他 法则 可以消掉模些未知数，求其他的未知数
5 极限数列涉及到的证明题 ，&&只知道是要构造新的函数& &但是不太会！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
:o&&最后 总结 一下间断点&&的&&题型
首先 遇见间断点的问题 连续性的问题&&复合函数的问题， 在莫个点是否可导的问题。
主要解决办法是3&&个& & 一个是&&画图 ，&&你能画出反例来&&当然不可以了
& && && && && && &&&你实在画不出反例，&&就有可能是对的，&&尤其是那些考概念的题目，&&难度不小，&&对我而言证明很难的 ！ 我就画图！！我要能画出来当然是对的， 在这里就要很好的理解一阶导的性质&&2阶导的性质， 函数图形的凹凸性，&&函数单调性&&函数的奇偶性在图形中的反应！！！！！！！
& && && && && &&&（在这里尤其要注意分段函数！！！！！！！！！&&） （例如分段函数导数存在还相等&&但是却不连续&&这个性质就比较特殊！！！&&应为一般的函数都是连续的）
& &方法2& && && && && & 就是举出反例 ！ （在这里也是尤其要注意分段函数！！！！！！！！！！）
& && && && & 例如 一个函数是个离散函数& &还有个也是离散函数& &他们的复合函数是否一定是离散的类？？
& && && && && && & 答案是NO& & 举个反例就可以了
& &方法3& &&&上面的都不行那就只好用定义了& &主要是写出公式 ，&&连续性的公式& &求在抹一点的导数的公式
:o&&最后了
总结一下 函数 在抹一点是否可导 的问题&&
1首先 函数连续不一定可导， 分段函数x绝对值函数在 （0 ，0 ） 不可导，&&我的理解就是 ：不可导=在这点上图形不光滑。&&可导一定连续， 应为他有个前提， 在点的领域内有定义，&&假如没有这个前提，分段函数左右的导数也能相等
1& && & 主要考点 1
& && &函数在抹一点可导 ， 他的 绝对值函数&&在这点是否可导 ？
& &解决办法：&&记住 函数绝对值的导数等于&&f（x）除以 （绝对值（f（x）））&&再 乘以F（x）的导数 。
& &所以判断绝对值函数不可导点，首先判断函数等于0的点，& &找出这些点之后 ，&&这个导数并不是百分百不存在， 原因很简单&&分母是无穷小， 假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊，&&所以还要找出f（a）导数的值，不为0的时候， 绝对值函数在这点的导数是无穷&&， 所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊
& &处处可导的函数与在抹一些点不可以导但是连续的函数相互乘的函数，这个函数的不可导点的判断
&&直接使用导数的定义就能证明&&，
&&我的理解是f（x）连续的话&&但是不可导 ， 左右导数存在但是不等，左右导数实际上就是X趋近a的2个极限，&&f（x）乘以G（x）的函数在x趋近a的时候
f（x）在这点上的这2个极限乘以 g（a）&&， 当g（a）等于0的时候，&&左右极限乘以0当然相等了 ，乘积的导数=f（a）导数乘以G(a)&&+ G(a)导数乘以F（a），应为f（a）导数乘以G(a)&&=0，&&前面推出来了，&&所以乘积函数在这点上就可导了。导数为 G(a)导数乘以F（a）
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16种。。。。。。。。
第17种：用级数收敛来说明极限为0
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终于写完了& &唉
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用泰勒展开求其实是万能的。
感叹社会才是真正的必修课，挂了就真的挂了。
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高数求函数极限
& & &在做高数题的时候我们会发现很多题都离不开求极限，有人说：如果高数是一颗数的话，那么极限就是他的根，可见其重要性，下面总结一下求极限的方法。
& & &【知识点】
& & & 一、定义：
& & & &极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。
& & &二、常用求极限方法：& & & & & & & &&
& & & 1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值&
& & & 2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）&
& & & 3、利用无穷大与无穷小的关系求极限&
& & & 4、利用无穷小的性质求极限&
& & & 5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算&
& & & 6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限&
& & & 7、利用两个重要极限公式求极限&
& & & 8、利用左、右极限求极限，（常是针对求在一个间断点处的极限值）&
& & & 9、洛必达法则求极限
& & & 10、泰勒公式求极限
& & &三、常用方法
& & &其中最为常用的是洛必达法则，泰勒公式，还有等价无穷小替换公式也比较好用，这些都需要记住一些替换公式，应该注意的是泰勒公式和等价无穷小替换公式都只适用于x-&0的情况想。
& & &1、洛必达法则：洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
& & & 可以用洛必达法则求极限的函数特点可以归纳为是“0/0、∞/∞”型未定式，极限有七种未定式，这五种：0·∞、∞-∞、1的∞次方、∞的0次方、0的0次方，基本上转换成前面两种，都可以使用洛必达法则求极限。
& & &2、泰勒公式：在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
& & &对于我们来说主要是，记住张宇老师在视频中提出的8个常见泰勒公式，以及泰勒公式的展开原则。
& & &8个常见泰勒公式：
& & & & & &
& & & 泰勒公式2个展开原则：
& & & &1）A/B型——上下同阶原则：若分子（分母）是x^k，则将分母（分子）展开至x^k，看最大阶次是多少就展开到哪一阶。
& & & &2）A-B型——幂次最低原则：将A,B分别展开至系数不相等的x的最低次幂为止，如果是A+B型要改成“A-(-B)”。
& & &3、等价无穷小替换公式：当求函数x-&0的极限时，可以利用一下公式进行替换，讲原式化简。
& & & & & &
& & &4、两个重要
& & & 这两个很重要，对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式(第二个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用第二个重要极限)
& & &四、 求函数极限注意：要化简先行
& & & 1、提出极限不为0的因式，如图：sinx在x-&0时，极限为0，所以整体为2，可以把它提出来。
& & & 2、善于使用等价无穷小替换公式
& & & 3、极限七种未定式灵活掌握
& & &【小结】
& & & 最近学习高数真的是有些头大了，总结一下，可以更好的整理整理思路。求极限的方法很多，找到合适的就是最好的，主要还是需要多做题，才能掌握其中的做题技巧，继续加油吧！↖(^ω^)↗
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