随笔分类 - 数学问题
摘要: 数学问题 脑洞题
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摘要: 数学问题 数学期望DP
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摘要: 数学问题 线性基 贪心
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摘要: 动态规划 FWT
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摘要: 数学问题 递推 组合数
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摘要: Codeforces Round #420 (Div. 2) A-E
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摘要: 动态规划 FFT优化
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摘要: 数学问题 带权中位数 水题
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摘要: 动态规划 数学
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摘要: 数学问题 枚举
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摘要: 数学问题 组合数 容斥
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摘要: 数学问题 kummer定理 动态规划 数位DP
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演 杜教筛
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摘要: 数学问题 容斥 矩阵行列式 脑洞题
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演 脑洞题
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摘要: 数学问题 欧拉函数 Miller-Rabin
Pollard-rho
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摘要: 数学问题 几何 扫描线
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演
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摘要: 数学问题 数学期望
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摘要: 图论 网络流 计算几何
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摘要: 数学问题 博弈论 打表
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演 杜教筛
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演 杜教筛
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摘要: 数学问题 组合数+错排公式
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摘要: 数学问题 容斥 脑洞题
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摘要: 数学问题 计算几何 随机化
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摘要: 数学问题 计算几何 二分答案+倍增
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摘要: 树 prufer编码 数学问题 组合计数
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摘要: 数学问题 组合数 lucas定理
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摘要: 数学问题 欧拉函数
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摘要: 数学问题 组合数 脑洞题
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摘要: 数学问题 线性规划 费用流/单纯形
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摘要: 数学问题 几何 括号序列
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摘要: 数学问题 伯努利数 容斥
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摘要: 数学问题 伯努利数 递推
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摘要: 数学问题 DP 容斥
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摘要: 数学问题 欧拉定理
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摘要: 数学问题 特征多项式 递推
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摘要: 数学问题 线性规划
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摘要: 图论 数学 分数规划
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摘要: 数学问题 找规律 分块
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摘要: 数学问题 矩阵乘法 脑洞题
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摘要: 数学问题 矩阵乘法 等比矩阵求和
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摘要: 动态规划 组合数
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摘要: 数学问题 扩展中国剩余定理
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摘要: Codeforces 构造专场 + 一道数学期望
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摘要: 数学问题
原根 阶 指标 中国剩余定理 好题
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摘要: 数学问题 组合数 脑洞题
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摘要: 数学问题 解析几何 递归
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摘要: 数学问题 生成函数 多项式求逆 NTT
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摘要: 动态规划 分治NTT
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摘要: 数学问题 FFT
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摘要: 数学问题 组合数 倍增/DP
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摘要: 数学问题 概率 高斯消元 KMP
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演+分块
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摘要: 数学问题 分治NTT
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摘要: 计算几何模板
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摘要: 数学问题 生成函数 FFT 容斥
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摘要: 数学问题 数学期望
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摘要: 动态规划 矩阵乘法
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摘要: 数学问题 组合计数 容斥
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摘要: 数学问题 博弈论 sg函数
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摘要: 数学问题 组合计数 树 prufer序列 高精度
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摘要: 图论 网络流 最大费用可行流
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摘要: 数学问题 数学期望 递推
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摘要: 数学问题 斯特林数
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摘要: 数学问题 几何 半平面交
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摘要: 数学问题 数学期望 树形DP
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摘要: 数学问题 递推 脑洞题 高精度（不存在的）
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摘要: 数学问题 统计计数 burnside引理 矩阵乘法
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摘要: 数学问题 统计 polya原理 欧拉函数
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摘要: 数学问题 统计 polya原理
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摘要: 数学问题 计算几何 旋转卡壳
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摘要: 数学问题 统计 polya原理
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摘要: 数学问题 计算几何 半平面交 二分答案
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摘要: 树链剖分 李超线段树
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摘要: 数学问题 动规 状压+期望DP
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摘要: 数学问题 计算几何
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摘要: 数学问题 计算几何 暴力
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摘要: 数学问题 计算几何 图论 最小割 脑洞题 花式STL
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摘要: 数学问题 几何 状态压缩 BFS
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摘要: 数学问题 计算几何 凸壳
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摘要: 数学问题 计算几何 动态规划
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摘要: 数学问题 计算几何 凸包 floyd
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摘要: 数学问题 数学期望DP
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摘要: 数学问题 Matrix-Tree定理
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摘要: 数学问题 博弈论
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摘要: 数学问题 博弈论 bash博弈
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摘要: 动规 插头DP 矩阵乘法
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摘要: 数学问题 矩阵乘法 +图论 二分图匹配
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摘要: 图论 网络流 费用流
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摘要: 数学问题 概率 脑洞题
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摘要: 数学问题 容斥DP lucas定理 中国剩余定理 脑洞题
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摘要: 数学问题 计算几何 凸包 旋转卡壳
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摘要: 数学问题 容斥 动规
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摘要: 数学问题 数学期望 动规 高斯消元
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摘要: 数学问题 数学期望 高斯消元 贪心
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摘要: 数学问题 博弈论 SG函数
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演
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摘要: 数学问题 组合数 lucas定理
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摘要: 数学问题 分块 生成函数 FFT
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摘要: 数学问题 组合数 lucas定理
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摘要: 图论 倍增floyd
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演 脑洞题 脑洞大开题
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演 离线
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演 容斥
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摘要: 数学问题 几何 扫描线 线段树
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摘要: 数学问题 博弈论 SG函数
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摘要: 动态规划 期望DP 记忆化 BFS预处理
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演
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摘要: 数学问题 容斥 DFS
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摘要: 数学问题 矩阵乘法 BSGS
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摘要: 数学问题 贪心 组合数 lucas定理
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摘要: 数学问题 高斯消元
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摘要: 数学问题 几何 单调栈
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摘要: 数学 快速乘模板
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摘要: 数学问题 生成函数 FFT/NTT
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摘要: 数学问题 NTT 模板题
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摘要: 矩阵树定理 / 快速幂+快速乘
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摘要: 数学问题 置换群
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摘要: 数学问题 快速幂 EXGCD BSGS
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摘要: 数学问题 多项式 FFT
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摘要: 动态规划 矩阵乘法 字符串 KMP
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摘要: CodeForces #403 (Div.2) A-F
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摘要: 数学问题 FFT 字符串 脑洞题
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摘要: 数学问题 FFT 字符串 脑洞题
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摘要: 数学问题 矩阵乘法 图论
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摘要: 数学问题 生成函数
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摘要: 数学问题 几何 凸包
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摘要: 数学问题 几何
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摘要: 数学问题 几何
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摘要: 数学问题 几何
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摘要: 动态规划 分组背包 乘法逆元 循环 脑洞题
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摘要: 数学问题 几何 最小圆覆盖
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摘要: 数学问题 几何 pick定理
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摘要: 数学问题 几何
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摘要: 数学问题 简单几何
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摘要: 数学问题 递归 高精度
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摘要: 树的直径 数学问题 几何
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摘要: 图论 生成树 Matrix-Tree定理
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摘要: 线性基 树链剖分/LCA
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摘要: 线性基 贪心
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摘要: 数学问题 FFT
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摘要: 数学问题 FFT
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摘要: 数学问题 FFT
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摘要: 数学问题 贪心 线性基
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摘要: 图论 DFS 线性基
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摘要: 数学问题 Dirichlet卷积
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摘要: 数学问题 几何 simpson积分
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摘要: 数学问题 几何 simpson积分
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摘要: 数学问题 几何 simpson积分
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摘要: 数学问题 几何 定积分
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摘要: 数学问题 线性基
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摘要: 数学问题 博弈论 线性基
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摘要: 数学问题 概率 AC自动机+矩阵乘法
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摘要: 线性基 高斯消元 线性基
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摘要: 数学问题 高斯消元 异或方程
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摘要: 数学问题 高斯消元
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摘要: 数学 二分
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摘要: 数学问题 概率 递推
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摘要: 几何 三分答案
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摘要: 动规 期望DP
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摘要: 数学问题 博弈 SG函数
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摘要: 数学问题 欧拉函数
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摘要: 数学问题 欧拉函数
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摘要: 数学问题 递推
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摘要: 数学问题 排列 递推
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摘要: 数学问题 容斥
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摘要: 数学问题 排列
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摘要: 数学问题 博弈论
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摘要: 数学问题 数学期望 递推
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摘要: 动态规划 斜率优化DP
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摘要: 数学问题 脑洞题
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摘要: 图论 最短路
+ 数学问题 同余类
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摘要: 树 LCA
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摘要: 图论 费用流
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摘要: 数学问题 几何 贪心
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摘要: 模拟 模拟 推导后暴力 堆贪心
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摘要: 数学问题 枚举 脑洞题 RP题
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摘要: 数学问题 排序贪心
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摘要: 数学问题 博弈论
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摘要: 数学问题 递推 / 容斥问题
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摘要: 数学问题 扩展欧几里得
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摘要: 分治 二分
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摘要: 数学问题 小水题
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摘要: 数学问题 小水题
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摘要: 数学问题 统计 花式推导
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摘要: 图论 拓扑排序理论题
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摘要: T1模拟 T2模拟 T3数学 T4动态规划
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摘要: 模拟 数学 唯一分解定理
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摘要: 扫描 链表 数学问题
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摘要: 数学问题 矩阵乘法
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摘要: 数学问题 矩阵乘法 快速幂
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摘要: 数学问题 矩阵乘法 快速幂
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摘要: 图论 最小生成树 prim + 立体几何(误)
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摘要: 数学问题 组合数 递推
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摘要: 高精度 数学问题
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摘要: 动态规划 数学问题 容斥问题 梗题
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摘要: 数学问题 排列 快速幂
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摘要: 动态规划
数学问题 海伦公式
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摘要: 惊天大模拟 数学问题 逻辑分析
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摘要: 模拟 动规 数学-卡塔兰数 高精度
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摘要: 搜索 DFS 花式剪枝 + 数学问题 几何
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摘要: 模拟 物理题
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摘要: 图论 最短路 数学 几何
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摘要: 二分求值 / 暴力扫描
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摘要: 数学问题 博弈论
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摘要: 数学问题 扫描
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摘要: 模拟 数学问题 负数取模
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摘要: 数学分析/贪心 排序
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摘要: 数学分析 暴力模拟
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摘要: 强制在线询问区间众数 脑洞题 分治 分块
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摘要: 动规 数学问题 斜率优化DP
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摘要: 动规 斜率优化DP
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摘要: 数学问题 唯一分解定理 欧拉函数
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摘要: 数学问题 余数 等差序列
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摘要: 数学问题 逆用唯一分解定理 DFS
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摘要: 数学问题 中国剩余定理
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摘要: 暴力枚举 数学问题
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摘要: 数学问题 唯一分解定理 杨辉三角
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摘要: 贪心 数学问题
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摘要: 数学问题 方案统计
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摘要: 数学问题 扩展欧几里得
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摘要: 数学问题 唯一分解定理
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摘要: 数学问题 二项式定理
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摘要: 数学问题 欧拉函数
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摘要: 数学问题 分解因数
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摘要: 数学问题 概率
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摘要: 数学问题 欧拉函数 GCD
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摘要: 数学问题 组合数递推
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摘要: 数学问题 欧拉函数
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摘要: 素数筛 背包动规
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摘要: 数学问题 素数筛……？
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摘要: 数学问题 素数筛
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摘要: 数学问题 公约数
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摘要: 数学问题 唯一分解定理 组合数
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摘要: 数学问题 约分
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摘要: 花式树状数组
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摘要: 树状数组 组合数学
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摘要: BFS 同余类BFS
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摘要: 数学问题 质因数分解
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摘要: DFS 数学剪枝
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摘要: 数学问题(并不是) 快速幂
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摘要: 数学问题 概率
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摘要: 数学问题 欧拉函数
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摘要: 逻辑分析 +图论 二分图完全匹配
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摘要: SPFA 差分约束
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摘要: 动规 数学问题 卡特兰数
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摘要: 数学问题 几何 单调栈
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摘要: 动规 斜率优化
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摘要: 数学问题 简单几何
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摘要: 数学问题 欧拉函数
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摘要: 数学问题 离散对数
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摘要: 数学问题 离散对数
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摘要: DFS 数学剪枝
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摘要: 数学问题 nim 博弈论
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摘要: floyd 倍增 矩阵乘法 走k步的最短路径
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摘要: 线性同余方程
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摘要: 欧拉函数 前缀和
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摘要: 扩展欧几里得/乘法逆元+快速幂
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摘要: 扩展欧几里得
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摘要: 数学问题 线性同余方程组
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摘要: 数学问题 扩展欧几里得
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摘要: 数学问题 扩展欧几里得
bobobobobobobo~
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摘要: 几何 最小圆覆盖 随机增量法
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摘要: 数学问题 博弈论 阶梯上的nim
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摘要: 数学问题 博弈论
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摘要: 博弈论 数学游戏
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摘要: 扩展欧几里得算法
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摘要: 数学问题 几何 叉积
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摘要: 数学问题 莫比乌斯反演 容斥 二分
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摘要: 莫比乌斯反演 容斥原理
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摘要: Time Limit: 3000MS Memory Limit: 131072KB 64bit IO Format: %lld & %llu Description Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1&=
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摘要: 数学问题 各种公式
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摘要: 数论问题汇总
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摘要: Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 1670 Accepted: 823 Description For this problem, you will write a program that reads in a s
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摘要: 博弈论 数学问题
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摘要: 树状数组 滑动区间
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摘要: 动规 计数问题 状态压缩
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摘要: 动规 乘法逆元
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摘要: P;[Poetize I]黑魔法师之门 时间: 1000ms / 空间: 131072KiB / Java类名: Main 背景 经过了16个工作日的紧张忙碌，未来的人类终于收集到了足够的能源。然而在与Violet星球的战争中，由于Z副官的愚蠢，地球的领袖applepi被邪恶的黑魔法师Van
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摘要: 分治 快速幂
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摘要: 6.11做的计蒜之道的比赛题
（和预计的一样成为了咸鱼）
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摘要: NOIP2008普及组题解
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摘要: Description 聪聪和可可是兄弟俩，他们俩经常为了一些琐事打起来，例如家中只剩下最后一根冰棍而两人都想吃、两个人都想玩儿电脑（可是他们家只有一台电脑）……遇到这种问题，一般情况下石头剪刀布就好了，可是他们已经玩儿腻了这种低智商的游戏。他们的爸爸快被他们的争吵烦死了，所以他发明了一个新游戏：由
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摘要: 数学 概率问题
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摘要: NOIP2010普及组
SilverNebula 阅读(19) |摘要：一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，文中主要从一题多解的定义、解题思想、典型例子以及其对学生产生的意义出发，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚。学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩。
关键词：定义；思想；范例；意义
&&&&&&& 一、一题多解
&&&&&&& 一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，即由多种途径获得同一数学问题的最终结论，它属于解题的策略问题。心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。
&&&&&&& 数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。在数学解题中一般包括枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。一题多解则是诸多解题策略的综合运用。在教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
&&&&&&& 二、一题多解的解题思想
&&&&&&& 数学思想是人类对数学及其对象，对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识。在数学研究范围的拓展、研究对象的延伸、数学方法的形成、各种方法之间的融合并发展成新的方法等过程之中，都体现出数学思想的核心作用。数学知识和方法是形成数学思想的基础，但有了知识不等于有思想，方法如果没有思想作为灵魂，就只能是一种机械的&操作手册&数学思想是数学的核心与灵魂，它不仅是数学的重要组成部分，而且是数学发展的源泉与动机。因此，在数学教学中，教师要注重向学生传授方法，但更应该注重向学生传授数学的基本思想。
&&&&&&& 1.化归转化思想
&&&&&&& 化，就是变化原问题，转化原问题，变换原问题；归，说的是变化、转化、变换原问题是有目的、有方向的。所谓&化归&即转化和归结的意思，是指将有待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或较易解决的问题中去，最终求得原问题解答的一种手段和方法。
&&&&&&& 客观事物是不断发展变化的，事物之间的相互联系和转化，是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾，如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等，实现这些矛盾的转化，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易是化归的思想实质。任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。
&&&&&&& 早在17世纪，法国哲学家、数学家笛卡儿就称这种化归方法为解决数学问题的&万能方法&。著名数学教育家波利亚给予化归法高度的评价，认为它是解决数学问题的首要方法。化归是一种最基本而典型的方法。
&&&&&&& 数这一特征。
&&&&&&& 2.数形结合思想
&&&&&&& 关于数形结合，华罗庚教授评价说：数与形，本质相倚依，焉能分作两边飞；数无形时方直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离。
&&&&&&& 数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。&数形结合&可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合。
&&&&&&& 3.归纳思想
&&&&&&& 在研究一般性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从中归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。在解决数学问题时运用归纳思想，既可以由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。
&&&&&&& 此外，还有模型思想工作、演绎思想、类比思想、正难则反思想等等。
&&&&&&& 三、一题多解的解题范例
&&&&&&& 中小学数学中一题多解的例子很多，若能灵活运用启发，则对训练学生思维极为有利。我们先来看一个例子：
&&&&&&& 例2.求1+3+5+7+&&+89=?
&&&&&&& 运用高斯算法，能够很容易地得出该题的结论，但这仅仅是就一般的计算而言。对问题的进一步研究，又使我们得到以下两种运算方式：
&&&&&&& 第一种：
&&&&&&& 1=1&1
&&&&&&& 1+3=2&2
&&&&&&& 1+3+5=3&3
&&&&&&& &&
&&&&&&& 1+3+5+&&+89=45&45
&&&&&&& 第二种：
&&&&&&& 由于，1=1&1&1
&&&&&&& 3+5=2&2&2
&&&&&&& 7+9+11=3&3&3
&&&&&&& &&
&&&&&&& 73+75+&&+89=9&9&9
&&&&&&& 所以，1+3+5+&&+89=1&1&1+2&2&2+3&3&3+&&+9&9&9=13+23+33+&&+93。
&&&&&&& 当然，我们可以将上述运算作一般性的推广，使学生的解题思路更加开阔。然而，其真正的用意却在于：
&&&&&&& 第一种运算中，等式右边的1&1、2&2、3&3&&45&45，是来自对平面图形&&正方形的直接观察，1&1、2&2、3&3&&45&45分别为边长是1、2、3&&45的正方形面积，因此，求1+3+5+7+&&+89的和，等同于计算边长为45的正方形面积。
&&&&&&& 第二种运算中，等式右边的1&1&1、2&2&2、3&3&3&&9&9&9，则是来自对空间图形&&正方体的直接观察(图略)，1&1&1、2&2&2、3&3&3&&9&9&9分别为棱长是1、2、3&&9的正方体体积，求1+3+5+7+&&+89的和，等同于计算棱长分别为1、2、3&&9的正方体体积的和。
&&&&&&& 在本例题目中，通过对加数进行转化，而转化后的数量关系获得了几何解释，运用数形结合思想，以及归纳思想使问题变得直观形象、易于观察到问题的本质。&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&& 四、一题多解的意义
&&&&&&& 一题多解不但从实际上解决问题，为解题提供不同的策略和方法，也为学生解题思维产生重大的教育意义。
&&&&&&& 1.一题多解有利于拓宽学生的思维空间
&&&&&&& 在解题时，要经常注意引导学生从不同的方面，探求解题途径，以求最佳解法。教师要为学生而教，要为学生创造思维的空间。一题多解的核心是开放学生的思维、是拓宽学生空间的具体形式。
&&&&&&& 2.一题多解有利于培养学生思维的灵活性
&&&&&&& 中小学生的思维是以具体形象思维为主，容易产生消极的思维定势，造成一些机械思维模式，干扰解题的灵活性。一题多解的设计，是促使学生对同一问题展开多向思考，促使学生的思维呈现活化状态，是鼓励学生标新产异，培养学生思维灵活性的有效途经。
&&&&&&& 3.一题多解有利于培养学生思维的严密性
&&&&&&& 思维的严密性是指分析、思考问题时全面、细致，能把各种可能出现的情况都考虑到，并能正确推导出结果。由于受思维定势的影响，有些学生常常在解题中把不相干的数据连接起来或在证明题中论证不必要的步骤，而忽视它们的逻辑意义。一题多解因为具有答案唯一的特性，因而需要学生全方位，细致入微地分析问题，从而培养学生思维的严密性。
&&&&&&& 4.一题多解有利于培养学生的创造性思维
&&&&&&& 创造性思维，它要求学生凭借自己的知识水平能力，对某一问题从不同的角度，不同的方位去思考、创造性地解决问题。在教学中，教师要重视学生思维能力的培养，特别是创造性思维，它是思维过程中的最高境界。在教学中应充分挖掘教材中的智力因素，多启发、多引导，努力创造条件，引导学生从各个角度去分析思考问题，发展学生的求异思维，给学生以创新的机会，使其创造性地解决问题。
&&&&&&& 5.一题多解有利于鼓励学生独立个性的发展&
&&&&&&& 每个人都有自己的数学现实，即每个人都有自己的生活、工作和思考特定客观世界以及反映这个世界的各种数学观点、运算方法和有关知识结构。在教学中，教师就要充分满足不同水平、不同认知风格、不同个性的学生发展需要，使学生按照各自特定的方式发展自我、完善自我，从而形成个性的独特与健康。
&&&&&&& 6.一题多解有利于转变学生的学习方式
&&&&&&& 由于一题多解中解法的多样性、新颖性，促使学生自主探究、相互进行交流与合作。为了寻找更简洁的解题方法，学生会主动查资料，学习从不同角度研究问题，还能主动与他人合作，分享经验提高学生的学习信心。
&&&&&&& 一题多解不但能让学生达到解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚。学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，解题思维模式解放了，解题方法也应多种多样，这样才能使得枯燥的数学解题变得更加具有吸引性，学生才能更加对数学感兴趣，而不会觉得数学枯燥无趣。
作者单位：广西崇左市扶绥县龙头中学
邮政编码：532101
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