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导数的定义、可导的充要条件、可导与连续的关系、常用导数公式和复合函数
中小学个性化教育专家精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号____________________学员编号： 学员编号：gz5lhw135 学员姓名： 学员姓名：易Z蕴 学科组长/带头人签名及日期 学科组长 带头人签名及日期 课 题年 级：高二 辅导科目： 辅导科目：数学课时数及课时进度： （ 课时数及课时进度：3（6/60） ） 学科教师： 学科教师：雷晓掌握导数的定义、可导的充要条件、可导与连续的关系、常用导数公式和复合函数的求 导法则 备课时间 备课时间：
1、能熟练的运用导数定义求函数的导函数，根据可导的充要条件及可导与连续的关系 判定函数在某点的可导性与连续性 2、能用常用导数公式、求导法则和复合函数求导法则求初等函数的导数 1、可导的充要条件 2、可导与连续的关系 3、复合函数的求导法则授课时间： 授课时间： 教学目标重点、 重点、难点考点及考试要求教学内容 一、导数的相关概念 1、导数的定义： 、导数的定义：f / ( x0 ) = lim?x →0f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?x例 1、用导数的定义求下列函数的导数 （1） f ( x ) = 1 （2） f ( x ) =x2+ 2x精锐教育网站：www.1smart.org1精锐教育?教学服务部中小学个性化教育专家 2、单侧导数（左、右导数） 、单侧导数 ： 右导数） 、左导数 （1） 左导数： f ( ） 左导数： 、/x )=0?lim ? ?x →0 lim + ?x →0f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?x f ( x0 + ?x) ? f ( x 0 ) ?x（2） 右导数： f / ( ） 右导数： 、右导数 、x )=0+例 2、求函数 f ( x) = ?? 2 ? x + 2 x( x ≥ 1) 在点 x = 1 处的左导数和右导数。 ?4 x ? 1( x & 1) ?3、函数 y = f (x ) 在点 x = 、x0处可导的充要条件： 处可导的充要条件：左、右导数均存在且相等，即 f (/x )=0?f / ( x0 )+例 3、已知函数 f ( x) = x ，试判定 f (x ) 在 x = 0 是否可导？若可导，求出其导数值；若不可导数，请说明理由。4、导数的几何意义： 、导数的几何意义： 曲线 y = f (x ) 上点（ x 0 , f ( x 0 ) ）处的切线的斜率。因此，如果 y = f (x ) 在点 x0 可导，则曲线 y = f (x ) 在点 （ x 0 , f ( x 0 ) ）处的切线方程为 y ? f ( x 0 ) = f / ( x0 )( x ? x 0 ) 例 3、求函数 f ( x ) =x2+ 1 在点 x = 3 处的切线方程。精锐教育网站：www.1smart.org2精锐教育?教学服务部中小学个性化教育专家 注意： 注意： 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是 求导函数值， 它们之间的关系是函数 y = f (x ) 在点 x0 处的导数就是导函数 f / ( x) 在点 x0 的函数值， 通常记作y＇x=或x0f (x ) 。0'例 5、求函数 f ( x ) =1 的导数及其在 x = 1 处的导数值。 x5、可导与连续的关系 、 如果函数 y = f (x ) 在点 x =x0处可导， 那么函数 y = f (x ) 在点 x0 处连续， 反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件；即函数在某一点可导则在该点一定连续，但函数在某点连续不一定可导。 函数在某一点可导则在该点一定连续，但函数在某点连续不一定可导 函数在某一点可导则在该点一定连续 例 4、已知函数 y = x = ?? x( x ≥ 0） ，试判断 y = f (x ) 在 x = 0 处的连续性和可导性。 ?? x( x＜ 0)6、求函数 y = f (x ) 导数的一般方法： 、 导数的一般方法： （1） 、求函数的改变量 ?y = f ( x + ?x) ? f ( x ) ；?y f ( x + ?x) ? f ( x) = ； ?x ?x ‘ ?y （3） 、取极限，得导数 y / ＝ f ( x) = lim 。 ?x →0 ?x（2） 、求平均变化率 例 5、求 y =x2的导数及其在点 x = 1 处的导数值。精锐教育网站：www.1smart.org3精锐教育?教学服务部中小学个性化教育专家 例 6、 已知 y = x3 ? 2 x + 1 ，求 y ， y＇＇x=2。二、几种常见函数的导数 1、 C ' = 0 (C 为常数) 、 例如：求下列函数的导数： （1） y = 0 ； （2） y = a ( a ∈ R )n n ?1 （1） y = 2、 ( x )' = nx ( n ∈ Q ) 例如：求下列函数的导数： 、x2； （2） y =x?3； （3） y =x3、 (sin x )' = cos x 、 4、 (cos x )' = ? sin x 、 5、 (ln x )' = 、1 x 1 例如：求下列函数的导数： （1） y = log x 3 x ln ax6、 (log a x)' = 、 7、(e x) = e''1 x x 8、 (a x) = a ln a 例如：求下列函数的导数： （1） y = 3 ； （2） y = ( ) 2三、函数的和、差、积、商的导数 函数的和、x1、法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 (u ± v )' = u '± v ' 、 2、法则 2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 、(uv)' = u ' v + uv'3、法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 、? u ? u ' v ? uv ' (v ≠ 0) ? ? = v2 ?v?'例 7、求下列函数的导数 （1） y =x3+ sin x4 精锐教育?教学服务部精锐教育网站：www.1smart.org中小学个性化教育专家 （2） y =x ?x42? x+32（3） y = 2x3? 3 x + 5x ? 42（4） y = (2 （5） y = 3 （6） y = 5 （7） y =x2+ 3)(3 x ? 2)x+ x cos x sin x ? 2 x cos x ? 9x10x12sin x ? cos x（8） y =x（9） y = cot x （10） y = （11） y =1+ x 3? x 1? x2 sin x四、复合函数的导数1、复合函数 ： 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数。由函数 y = f (u ) 与 u = ? (x ) 复合而成的函数一般形式是 、 复合函数：y = f [? ( x)] ，其中 u 称为中间变量。2、复合函数的导数：设函数 u= ? (x)在点 x 处有导数 u′x= ? ′(x)，函数 y=f(u)在点 x 的对应点 u 处有导数 y′u=f′(u)， 、复合函数的导数： 则复合函数 y=f( ? (x))在点 x 处也有导数，且 y ' x = y 'u ?u ' x 或 f′x( ? (x))=f′(u) 例 8、试说明下列函数是怎样复合而成 ⑴ y = (2 ? x 2 ) 3 ； ⑵ y = sin x 2 ； ⑶ y = cos(? ′(x)。π4? x) ；⑷ y = ln sin(3 x ? 1) ． 例 9、写出由下列函数复合而成的函数 ⑴ y = cos u ， u = 1 + x ；2⑵ y = ln u ， u = ln x ．精锐教育网站：www.1smart.org 5 精锐教育?教学服务部中小学个性化教育专家 例 10、求下列函数的导数 （1） y =4 ? x3 x 2 cos x（2） y = ln(2 x 2 + 3 x + 1) （3） y = lg 1 ? x （4） y = ln? ?2?x2+1 ? x? ? ?（5） y = ln[ln (ln x )] （6） y = ln x （7） y =loga1+ x2（8） y = ( 2 x + 1) 5 （9） f ( x ) = sin （10） y =x2sin2(2 x +π3)（11） y = 3 ax 2 + bx + c （12）y= 51? x x1 x（13）y =sin 2x2（14） y = ( 2 （15） y = （16） y = （17） y = （18） y = （19） y = （20） y =? 3) 1 + x2 52(3x +1)2(x ?3x+ 2) sin 3x25x ? 1x2+1xe(ln x )n2xcos 3 xa e5xsin x；精锐教育网站：www.1smart.org6精锐教育?教学服务部中小学个性化教育专家 （21） y = ln 1 + （22） y =(2)x2x(2e)；2x（23） y = ln （24） y =e e +12x2x 10sin ； x（25） y = e x （26） y = （27） y =2+ ln 3 ．e?2 x sin 3 xe?2 xsin 3 x（28） y = x sin x （29） y = 32 x lg(1 ? cos 2 x ) （30） y =2xx（31） y = ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) L ( x ? 100)( x & 100) （32） y =( x + 1)( x + 2 ( x + 3)( x + 4)例 11、利用导数证明C1n+ 2 C n + 3C n + L + n C n = n ? 22 3nn ?1，其中 n ∈N?．精锐教育网站：www.1smart.org7精锐教育?教学服务部中小学个性化教育专家 五、课后作业 1、数 y = f ( x ) 在 x = x0 处可导是它在 x = x0 处连续的（ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 ） D.既不充分也不必要条件2、在曲线 y = 2 x2 ? 1 的图象上取一点 (1,1) 及邻近一点 (1 + ?x,1 + ?y ) ，则 A. 4?x + 2( ?x )2?y 等于（ ?x）B. 4 + 2?xC 4 ?x + ( ?x )2D. 4 + ?x3、已知命题 p : 函数 y = f ( x ) 的导函数是常数函数；命题 q : 函数 y = f ( x ) 是一次函数，则命题 p 是命题 q 的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件4、设函数 f ( x ) 在 x0 处可导，则 lim A. f ( x 0)‘( x0 + h) ? f ( x0 ? h ) 等于（ ?x →0 h‘ ‘C.充要条件D.既不充分也不必要条件 ）B. 0C. 2 f ( x0)‘D. ? 2 f ( x0) ）5、设 f ( x ) = x 1 + x ，则 f (0) 等于（()A. 0 B. 1 C. ? 1 D.不存在 6、若曲线上每一点处的切线都平行于 x 轴，则此曲线的函数必是___。 7、曲线 y = x3 在点 P ( 2,8) 处的切线方程是___________。 8、曲线 f ( x ) = x 2 + 3 x 在点 A( 2,10) 处的切线斜率 k = __________。 9、两曲线 y = x 2 + 1 与 y = 3 ? x 2 在交点处的两切线的夹角为___________。 10、设 f ( x ) 在点 x 处可导， a, b 为常数，则lim?x →0f ( x + a ?x ) ? f ( x ? b ?x ) = ____。 ?x? 2 ? x + x + 1( x ≤ 0) 11、已知函数 f ( x ) = ? ?ax + b( x＞ 0) ?，试确定 a, b 的值，使 f ( x ) 在 x = 0 处可导。12、设 f ( x ) =( x ? 1)( x ? 2) … ( x ? n) ，求 f＇(1) 。 ( x + 1)( x + 2) … ( x + n)13、利用导数的定义求函数 y = x ( x ≠ 0) 的导数。精锐教育网站：www.1smart.org8精锐教育?教学服务部
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积分是“和”的概念,即将东西加起来。传统的积分概念(黎曼积分)。由于任意小的区间内都包含着有理数和无理数,黎曼积分的使用受到了限制。相比之下勒贝格积分比黎曼积分广义。勒贝格定理是研究黎曼积分与勒贝格积分的重要工具,这个定理是法国数学家勒贝格的重要贡献,然而他同时也是实变函数论的奠基者。1.预备知识①黎曼积分:在数学分析中我们所研究的积分类型基本上都是黎曼积分(Riemann),黎曼积分其实是一种特殊的极限表示:我们假设f(x)是定义在[a,b]闭区间上的有界函数。在[a,b]之间任意插入(n-1)个分点,a=x0n时,f(x)=n;设A=E(f=∞),那么在A上满足f(x)=n,对f(x)积分的结果为ndA,即为?Ef(x)dx≥?Af(x)dx=ndA如果dA≠0,当n趋近于无穷时,其积分也趋近于无穷,不满足绝对可积,所以可得dA=0。③复合函数勒贝格的可积性定理:如果假设f(x)满足为实数上的可测函数,H(x)满足为实数上的...&
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复合函数是数学分析中的概念,是一类重要的函数,其相关性质在几何学、物理学,以及数学分析、实变函数等学科中都有着重要的作用.在历史上,专家学者们对复合函数的连续性、可导性或可微性等研究较多,得出“两个连续函数构成的复合函数是连续函数”、“两个可导(可微)函数构成的复合函数是可导(可微)函数”等很多有价值的结论.但对复合函数的可积性的讨论较少[1-3],特别是对复合函数的勒贝格可积性的研究更少.随着数学本身以及复合函数性质在其他学科的需要,要求我们对复合函数的勒贝格可积性进行进一步的研究.对于复合函数的黎曼可积性的讨论,有以下结论:引理1[4]若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积,或在[a,b]上连续,或是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数,或是[a,b]上的单调函数,F(x)在[a,b]上满足李普西兹条件,或导数有界,或导数连续,则复合函数F(f(x))在[a,b]上也黎曼可积.引理2[5]若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积...&
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黎曼积分是微积分课程的主要内容之一,它对于处理诸如逐段连续函数以及一致收敛的级数来说是足够的。然而黎曼积分还存在着较大的缺陷:黎曼积分是以“基本上”连续的函数为研究对象,从而黎曼可积的函数太少;积分与极限可交换的条件太苛刻,需用函数列的一致收敛条件来保证极限与积分运算的次序可交换;积分运算不完全是微分运算的逆运算等。随着人们对积分理论的深入研究,发现积分问题与函数的下方图形——点集的面积有关,Jordan在1982年建立了Jordan可测集理论。然而Jordan的测度理论存在着严重的缺陷,如有理数集不可测、存在不可测的开集等。Borel在1898年从开集出发构造了σ-代数,使得所有由开集生成的点集均可测,而且他的测度理论还具有可数可加性。但是Borel没有把他的测度论和积分理论联系在一起。目前,在应用上最广泛的测度和积分是法国数学家Lebesgue提出的,1902年,他在博士论文“积分、长度与面积”中提出的思想成为古典分析过渡到...&
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0引言勒维(Levi)定理、法都(Fatou)引理和勒贝格(Lebesgue)控制收敛定理,通常被认为是勒贝格积分理论中的核心成果,这三大收敛定理在计算积分极限和证明积分等式等方面有着广泛的应用。深入领悟与掌握这些极限定理,特别是深入领悟勒贝格控制收敛定理,对于进一步学习近代数学思想与理论,加深对实变函数论及其相关课程的理解,有着至关重要的作用。1勒维定理及其应用以下设是勒贝格可测集,是上的可测函数。定理2.1(勒维定理[1])设是上可积函数的单调递增序列,而且其积分序列有上界,那么必几乎处处收敛于一个可积函数,而且。定理2.1'(勒维定理[1])设是上可积函数的单调递减序列,而且其积分序列有下界,那么必几乎处处收敛于一个可积函数,且有。定理2.1和定理2.1'的证明参见[1],勒维定理还有一种常用的级数形式。定理2.2(勒维定理[1])设是上一个非负的可积函数序列,而且,那么函数项级数必几乎处处收敛于上一个可积函数,而且。证明...&
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再论勒贝格积分定义的等价性李景祥（数学系）摘要本文对几种勒贝格积分定义的等价性给予明和讨论。关键词勒贝格积分；Ｌ可积；σ—有限；测度有限单调覆盖文［１］对集Ｅ（ｔｈＥ十叫上有界可测函数的五种勒贝格积分定义的等价性给出了证明．本文继续讨论一般可测函数的几种勒贝格积分定义的等价性．在以下定义中，设／上，叫是勒贝格测度空间，Ｅ是可测集．１测度有限集上一般可测函数勒贝格积分定义的等价性在测度有限集上，对一般可测函数的勒贝格积分，基本上有如下两种定义方式．定义ｌ【‘１设ｍＥ＜＋。，人是Ｅ上的可测函数，对人ｉｃ的情形，取Ｎ为任一正整数，作截断函数ＳＡＮ）ＲＥ。。９②ｎ③＄＃（③④Ｌａ＃（７⑤））》ｒｆ（ｘ）ｄｉｎ一牧Ｌ［ｆ（ｘ）】。。。ｇｈ５１［ｆ（ｘ）］。ｄｎｌ＜＋。，Ｎｇ＃ｈ）＄Ｅ。ｆｏ。ｔａ。Ｋ（Ｍ＄Ｌ。。（ＴＭ））。ｇｌｉｍｔ［ｆ（ｘ）］。ｄｉｎ＝＋。，。ｇ＃Ａｆ）＆Ｅ。ｅｇＬ。＃ｈ＋。·Ｘ４。ｋ。Ｍ。ｔｉＮ），ｑｈ）＄９。＄人铜和...&
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关于“勒贝格积分”教学的新探赵云其，王振誉（内蒙古师范大学函大数学系）（内蒙古水利学校）摘要用有别于传统的方法建立了勒贝格积分。关键词下方图形，勒贝格积分现行的实变函数教材中最常用的是用分割求和或用简单函数定义勒贝格积分。尽管证明了非负可测函数的积分等于其下方图形的测度，然而，这两个定义远没有发挥出下方图形这一几何直观的优越性。本文利用下方图形定义勒贝格积分，并充分利用下方图形以及测度的性质，用很少的篇幅，简捷、明快地建立了勒贝格积分理论。１非负可测函数的积分众所周知，非负函数ｆ（ｘ）在上可测的充分必要条件是其下方图形Ｇ（Ｅ，ｆ）是Ｒ￣（ｎ＋１）中的可测集合，因此有定义１设ｆ（ｘ）是Ｅ上的非负可测函数，定义ｆ（ｘ）在Ｅ上的积分为这里的积分可以是＋∞．若则称ｆ（ｘ）在Ｅ上勒贝格可积的，或称ｆ（ｘ）是Ｅ上的非负可积函数，是Ｅ的非负简单函数（这里的简单函数均假定是可测函数），则据定义１有特别当（Ｃ是非负常数）时，有定理１（Ｌｅｖｉ定理...&
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勒贝格积分是实变函数论的核心内容。为了应用的方便,人们曾给出了勒贝格积分的多种不同形式的定义,而实际上这些定义是相互等价的。但在许多文献中未见到对这些定义的等价性给予比较系统的证明。本文就文[1一11〕中所引进的五种勒贝格积分定义给出其等价性证明。1几种勒贝格积分的定义 文[1一1月所引进的勒贝格积分定义大体上有以下五种。在以下定义中,设(E‘,L,m)是勒贝格测度空间,E是可测集,mEO,总有ao,使得对任何分tlJD,当占(D)一存在0“定义2;设f(x)在E上按定义SL可积,由引理5知f(x)在E上有界可测,且suPs(D,f)一infs(D,f)-{_f(!’“mJ艺‘历,再由引理3和引理4可得 sup占(D)=inf习(D)~f(工)dm 拢 艺户IJ故f(x)在E上按定义ZL可积,且{f(二)dm一{f(二)d,J从斑)JE(饰)3.证明定义2、定又3先给出一个引理(证明从略)引理6若f(x)为E上有界可测函数,则s...&
(本文共8页)
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传真：010-如何证明函数可导
全部答案（共3个回答）
连续性只要证左右极限相等且这一点的函数值存在就可以了.函数在某一点可导的前提是在这一点连续,已知连续后,只要证明左右导数存在且相等.导数的几何意义就是函数所代表的曲线在这一点的切线的斜率,可以考虑在曲线上这一点A的邻近取一点P,如果函数在A处可导,那么当P越靠近A时,直线PA就越接近A点的切线,接近于重合,可以算直线PA的斜率,也就是[f(x+Δx)-f(x)]/Δx,它的极限如果存在,就是这一点切线的斜率
首先说明，“左右导数相等”不等于“导函数的左右极限相等”，这不是两个很容易混淆的说法。
导数是函数差商的极限。“左右导数”指的是“差商的左右极限”，是在一点上定...
证明可到，这点比连续。只要证明可到就行了。首先，用无穷大证明，在这点左边无穷大有一个值，然后证明右边无穷大有一个值。然后这两个值相等就行了。它的函数图象必须连续...
secx是正割，定义 斜边比邻边
也就是余弦的倒数。secx=1/cosx
cscx是余割，定义 斜边比对边
也就是正弦的倒数。cscx=1/sinx
取对数lny=xlnx
两边求导 (1/y)y'=lnx + 1
y'=y(lnx + 1)=x^x (lnx + 1)
若函数f(x)在定义域内一点x0满足x趋于x0时的f(x)的极限＝f(x0)，则称f（x）在该点连续。至于证明函数的连续性，就是使用这个定义证明。其实，真正用到...
答: 一棵树上13人头图解哪位知道准确答案，请给予正确答案的解释，谢谢。
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
x->∞:limxsin(1/x)
=1/x->0:lim[...
答: 计算科学是一门什么样的学科？
答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。但如何认识这门学科，它究竟属于理科...
答: 补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的...
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如何证明函数在一个点连续不连续 可导不可导
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1.连续必可导 可导不一定连续 2.证明连续 只需要证明 在这一点的左右极限相等并且等于函数值 3.证明可导 只需要证明 在这一点左右极限相等即可 回答者：charleswlb - 举人 五级 5-5 15:53误人子弟啊!1.改为：可导必连续,连续不一定可导；2.正确.3.拜托你去看看可导的定义,你连导数的定义都不懂还来这里答题!
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在一个点可导的证明方法是 第一步：那个点的 左导数=右导数 第二步：在那个点，函数有定义 函数就在那个点可导连续的证明方法是 第一步：函数在那个点，左极限=右极限 第二步：函数在那个点有定义，且函数值等于左右极限值 函数就在那个点连续...
楼主别让误解了。连续不一定可导，可导一定连续。有人搞反了。证明的话就是证两边极限相等
钟学秀回答正确!很重要的概念!真是,别误人子弟!
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