求教：二重积分对称性定理,积分区域关于原点对称时的问题
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求教：二重积分对称性定理,积分区域关于原点对称时的问题二重积分对称性定理：积分区域D关于原点对称,f(x,y)同时为x,y的奇或偶函数,则∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数,即f(-x,-y)=-f(x,y)时）或∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分,其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分）,（当f关于x,y的偶函数,即f(-x,-y)=f(x,y)时）例：计算I=∫∫xydxdy（在区域D上积分）,其中区域D为双曲线（x^2+y^2）^2=2xy所围成区域D：（x^2+y^2）^2=2xy关于原点对称,又f(-x,-y)=(-x)*(-y)=xy=f(x,y)所以∫∫xydxdy（在区域D上积分）=2∫∫xydxdy（在区域D*上积分）,其中区域D*是区域D的第1象限部分（定理是蔡子华书上的,例题是陈文灯书上的,陈文灯书上的定理没写后面的条件.定理与例题区域D*矛盾,到底谁的是对的.
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定理没错那就是陈文灯的错了拉
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二重积分对称性定理：积分区域D关于原点对称,f(x,y)同时为x,y的奇或偶函数,则∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数,即f(-x,-y)=-f(x,y)时）或∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分,其中区域D*是区域D在x>=0(或
如果积分区域关于x轴对称,被积函数是关于y的奇函数 ,等于0被积函数关于y的偶函数,等于2倍.如果积分区域关于y轴对称,被积函数是关于x的奇函数 ,等于0被积函数关于x的偶函数,等于2倍.如果积分区域关于x,y轴对称,被积函数是关于想x,y的奇函数 ,等于0被积函数关于x,y的偶函数,等于2倍.你就这样记 应该很好记,
不能表示成第一象限的积分的4倍.因为条件“f(x,y)=f(-x,-y)”只能推出函数在第一象限与第三象限的某种对称性,以及函数在第二象限与第四象限的某种对称性,而不能推出函数在第一象限与第二象限的这种对称性.因此,积分只能表示为相邻两象限积分之和的2倍.
在二元函数是连续函数时,积分与x和y的积分顺序无关,先积分x和先积分y是一样的
1）关于x轴对称：举例（a,b）关于x轴对称为（a,-b）,所以把y换成-y,x不变就行啦,2）关于y轴对称：举例（a,b）关于x轴对称为（-a,b）,所以把x换成-x,y不变就行啦3)关于原点对称：举例（a,b）关于x轴对称为（-a,-b）,所以把x换成-x,y换成-y就行啦如y=ax²+bx+c,关于原点
∵点M、N关于原点对称，∴a=-2，b=1．
两点关于原点对称,它们的坐标中每一项都是相反的.
终边关于原点对称时,将一个角的终边顺时针旋转π与另一角的终边重合,α-β=π继续旋转一周或任何整数周(2kπ),仍然与另一角的终边重合,α-β=(2k+1)π
积分区域：x²+y²
首先判断定义域.当定义域关于原点对称时,求出 f(-x)如果满足 f(-x) = -f(x) ,那么 f(x)就是奇函数.如果满足 f(-x) = f(x) ,那么 f(x)就是偶函数.如果都不满足,那么f(x)是非奇非偶函数.
∵点A（m，-5）与点B（2，n）关于原点对称，∴m=-2，n=5，故3m+2n=4．故答案为：4．
∵点（a，-3）关于原点对称的点的坐标是（1，b-1），∴a=-1，b-1=3，解得：a=-1，b=4，∴点（a，b）是（-1，4），故答案为：（-1，4）．
∵点P（1-2a，a-1）关于原点对称的点是第一象限的点，∴P在第三象限，∴1-2a＜0a-1＜0，解得：12＜a＜1，故选：C．
如果函数是奇函数或偶函数,那么假设当x=x0时,f（x0）有意义.那么因为奇函数时,f（-x0）=-f（x0）；偶函数时,f（-x0）=f（x0）.所以x=-x0时,函数也有意义.而x=x0和x=-x0两点关于原点对称.所以如果f（x）是奇函数或偶函数,定义域必然对原点对称.所以定义域对原点对称是函数有奇偶性的必要条件
点A（-1，3）关于原点对称的点A′的坐标是（1，-3），故答案为：（1，-3）．
根据已知条件，点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，所以有a=-5，b=-1．
∵点P（-20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，∴b=20，a=-13，∴a+b=20-13=7，故答案为：7．
对称性不是必须的,本题被积函数是非奇非偶函数,不能使用对称性. 再问： 可是不使用对称性计算出的答案是错的得到是0。。。正确答案是1/3。。 再答： ∫[-1→1]dx∫[0→x²] √(x²-y) dy =-(2/3)∫[-1→1] (x²-y)^(3/2) |[0→x²] d
要看具体问题,这个通常来说需要看积分区域,如果积分区域满足一定的对称性（如关于坐标轴对称,或关于y=x对称）,则可以通过人为构造的方式利用对称性来解决问题.建议你还是拿具体的题目来探讨.你的这个图不行吧,除非f(-x,y)在D上与f(x,y)相等,否则这个显然不对啊.再有疑问请追问,补充问题我不一定能看到. 再问： 大
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二重积分对称性问题
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如图 第一步是调换了累次积分顺序没有问题&&第二步直接就把x,y交换了是什么原因 如果是利用对称性 这个积分区域不是关于y=x对称的 或者是不是仅仅从几何意义出发 一时想不明白 高手赐教
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定限积分里面的变量是无所谓的，你可以把xy换成任何字母，换成st,mn,ik，都出来的结果都一样，当然也可以换成yx了
换成是一元定积分会好理解一点，∫xd(x)，换成∫yd(y)，∫kd(k),（积分限0-1），结果都是一样的，跟积分变量无关，可以随便换
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nunuqq1 发表于
定限积分里面的变量是无所谓的，你可以把xy换成任何字母，换成st,mn,ik，都出来的结果都一样，当然也可以换 ...
我觉得这样理解是不对的&&你说的之所以可以随意替换是因为只是个符号没有改变它本身的一些属性 但是这里的积分xy有它自己的一些属性,比如∫∫x^2+y^3dxdy 你把xy直接交换 且不说积分域有没有变 积分函数就已经变成x^3+y^2 这样的交换必须要满足一定的条件
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本帖最后由 Always_Get_A 于
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黄庆怀的书上有这种技巧
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因为被积函数f(x)f(y)是关于直线Y=X对称的，所以在以Y=x对称的积分区域积分相等
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Always_Get_A 发表于
黄庆怀的书上有这种技巧
这个结论的条件有别的要求吗 比如说是像这题这种f(x)f(y)被积函数是关于Y=X对称 还是别的被积函数都可以?
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本帖最后由 leo0808 于
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jqqda 发表于
因为被积函数f(x)f(y)是关于直线Y=X对称的，所以在以Y=x对称的积分区域积分相等
被积函数一定要关于直线Y=X对称吗
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leo0808 发表于
这个结论的条件有别的要求吗 比如说是像这题这种f(x)f(y)被积函数是关于Y=X对称 还是别的被积函数都可以? ...
没什么特别要求，也不需要被积函数有什么特殊形式，只要求被积函数在积分区域上可积即可。但是请注意，原题中的被积函数f(x)f(y)比较特殊，即x，y对调之后被积函数的形式不变。若是碰上一般的函数如f(x,y)=x-y，自变量对调之后，被积函数就变成了f(y,x)=y-x
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Always_Get_A 发表于
没什么特别要求，也不需要被积函数有什么特殊形式，只要求被积函数在积分区域上可积即可。但是请注意，原 ...
再问一下，在被积函数的是关于Y=X对称的前提下，有没有可能x和y是可以直接交换（包括积分上下限） 而不用考虑积分域 或者交换以后的积分域刚好就和原来是关于Y=X对称的 ?
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本帖最后由 Always_Get_A 于
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leo0808 发表于
再问一下，在被积函数的是关于Y=X对称的前提下，有没有可能x和y是可以直接交换（包括积分上下限） 而不用 ...
如果原积分的积分区域D1本身就是关于直线y=x对称的（像0&x&1,0&y&1这种情况），D1作关于直线y=x的镜像得D2，相当于积分区域没变。如果不是这种特殊情况，还是老老实实画图分析求积分限吧。
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Powered by Discuz!二重积分的对称性问题--《工科数学》1996年04期
二重积分的对称性问题
【摘要】：二重积分的对称性问题汪秀羌（华南理工大学，广州５１００４１）利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误．在一般情况下，必须是积分区域Ｄ具有对称性，而且被积函数对于区域Ｄ也具有对称性，才能利用对称性来计算．在特殊情况下，虽然积分区域...
【作者单位】：
【分类号】：O172.2
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