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课改背景下的案例研究
以校为本教研制度建设研讨会交流资料课改背景下的案例研究上海市骨干教师?行动教育?模式高级研修班1目录中学课例研究1． “相似型”的教学策略 2．技术支持下的数学应用教学李 贞叶锦义黄荣金――课例《利用数学知识解决水土流失问题》研究 孟小龙 3．从学科知识的形式变异到教学意义的深层构建 ――过程性变式在?平行线分线段成比例?教学中的尝试 徐晓燕 4．生成式的数学概念教学 ――一次?众数、中位数?教学尝试 5．运用工作单进行分层小组学习的一次尝试 ―― 《三角形的中位线》 课例研究 6．在课堂教学中实现教学教育的“接头续尾” 7．寻求信息技术与数学课程整合的有效途径 ――?二次函数的应用?的课例研究 8．教无涯 学无涯 ――一节?点到直线的距离公式?的教学案例 9．重在探索 贵在发展 ――记一节相似三角形复习课 10. 学生如何在技术支持下进行数学探究 ――?正多边形定义的推广?课例研究 11. 探究性习题课中学习行为的研究 12． “水雷”揭秘与金属纳 ――基于真实情境进行问题――解决教学的一次尝试 13．让学生体验科学探究的过程 ――影响草莓甜度因素的研究 陈望春 杨莲君 张国华 包 霞 张 蕴 邱红松 杨玉东 范文贵 康剑平 李 贞 黄荣金 叶锦义 宋德秀 秦 娟 张立华 徐晓燕 史荣铨 管 理 张 云 曹建华 穆晓东 沈 岱 曹治安 徐莉萍 聂必凯 张 慧 华中全 陶志诚214． “喷泉”实验的实践与感悟 15. 老师该为学生的探究提供怎样的支持张玉华李志道――?比较含磷洗衣粉与无磷洗衣粉对水体影响的实验设计? 黄永煌 16．亲身体验过程 发展自主学习 ――?摩擦?课例的实践与感悟 17．在“挫折”中反思，在“体验”中成长 ――记述一堂初三化学实验探究课的改进过程 18．基于信息技术的生物学实验教学中学习方式的转变 ――探究甲状腺激素对蝌蚪生长和发育的影响 唐载懋 19．学校草坪为何不绿 ――上海大同中学《施肥对于草坪影响的研究》学生课题活动案例 姚晓红 20． “温故”如何能“知新”？ ――化学专题复习课的实践与反思 21．老师如何引发和应对学生提出问题 ――新综合科学课例《探究影响音高音低的因素》的实践与反思 印 兰 22．探究型学习中教师指导“程度” 、介入“时机”把握的思考 陈雪根 23．践行“情境――主题――建构”策略 ――?CH4 的温室效应的实验探究?课堂分析 24．原型课堂的引领与突破 ――?自来水中什么物质让小金鱼窒息？?课例形成报告 丁学军 25．课程资源应该如何使用？ ――高一物理?共振现象?的教学探究 26. 如何找到身边的细菌 27. 学生在活动中获得了什么？ ――?平面上的密铺?课例研究 邱红松 范文贵 金卫国 庄静 常生龙 谢少圆 孙珏莹 金伟明 丁学军 耿海成 郑润周 金国钧 亢 萍 金伟民 朱敏鸣 易凌峰 毛晓栋 钱正华 黄永煌 王仁余 金国钧 朱乐怡 赵伟新 钱正华 孔慧敏 葛春来 张 琴3小学课例研究1. 在东西方教学的比较中寻找突破 ――情境化算法教学：一个退位减法的课例研究 2．学会应用，关注社会 ――一个估算的案例研究 3．变化从反思开始 4．从三堂“两位数加两位数（口算） ”计算课看教师的专业成长 何雪芳 5．从“模仿性学习”到“探究性学习” ――?求平均数应用题?的教学与反思 6． “进”还是“舍” 7．在活动中发现与发展 8．体验“做数学” ――?测量学校绿地面积? 的项目学习 9．在课堂上观察“腐烂和发霉”的发生 10．绿叶的秘密 ――小学自然学科的一次探究学习 11．提升学生的自然智力和信息素养的同步提升 ――《漫步太阳系》一课对自然学科与信息技术整合的探索 12． “做中学” 师生同成长 13．在“做中学”中培训教师 14．重弱智儿童画小鸡 15．我的第一堂德育研究课 16．心理辅导课，谁上更合适 17．英语课上的“节外生枝” 18．一节课究竟识几个字？ ――记我在附校参加的一次教研活动 19．从“解释――理解”走向“体验――感悟” ――一次以一堂语文阅读课为载体的校本教研活动 李永元 陈雪娟 裔春燕 周 立4吕菊芬 胡 平叶季明岳德明上海市教科院附属豫英实验学校数学教研组 闻静兰 黄建平 蒯峰梅 周鹤珍 周 玲 邹雪峰 王 陈 洁 蕾张颂奎严天民陈瑾 翟元强 曹坚红 董文良 刘 懿上海市静安区教育学院蒋薇美王晓燕 邓 敏王晓非反思札记行动教育――构建理论与行为之间的桥梁 常规教学框架发生了哪些变化 成长中的体验 一个课例研究的启示 高中数理化课例研究选题札记 李传峰 陈 青丁学军 华雪莲 张玉华 孟小龙 周 平5“相似型”的教学策略上海市民办梅陇中学 上海普陀区教育学院 华东师范大学 数学系 李贞 叶锦义 黄荣金一、 “相似型”教学策略的设计背景1、 “相似型”教学策略的描述定义 在初中数学中，有相当规模的一类知识单元具有如下特征：它们有相似的组织结构； 它们各自具有相对独立的整体性；知识的呈现方式、知识的发生、发展轨迹基本相同。例如 初中平面几何中的 ?平行线的判定??等腰三角形的判定??全等三角形的判定??平行四 、 、 、 边形的判定?和?相似三角形的判定?等都是以相似的方式呈现知识：定义―判定―性质。 我们称这类具有相似组织结构和呈现序列的知识组块为?相似型?知识。其中， ?相似三角 形的判定?与?全等三角形的判定?这两个?相似型?知识，它们的?相似度?最高。 2、已往教学上的弊病 已往，教师一般在进行其一类?相似型?教学时，很少考虑?相似型?知识之间的内 在联系，往往是按部就班，依据教材的课时划分。今天教?判定定理 1? ，明天教?判定定 理 2? ，后天教?判定定理 3?……每个判定定理都是以固定的模式展开： ?已知??求证? 、 、 ?证明? ，而且只是注重定理的本身展开，而不思考与其他相似知识的联系。证明后用较多 的时间直接操练该定理的?应用? 。这样教学的弊端是十分明显的。 首先，学生对判定定理整体性认识一开始就被人为地割裂，缺乏对这类知识的整体性 认识，不能从大局观上与原有知识建立有效的联系。也许从当堂课操练效果不错，对练习中 单一使用本定理显示出?能掌握、能理解? 。但当几条定理全部呈现后操练时，不少学生对 定理运用的选择上存在障碍。这是这种?单一对象?的教学无法克服的弊病。 其次，这种?单一对象?的教学不尊重学生和低估学生原有的认知基础。明明学生对 这一类相似型知识有一种?似曾相识?的感觉，有一种内在的对两类?相似型?知识主动的 认知欲望或冲动，但这种主动的欲望和冲动总是被拒绝的。因此学生往往处于被动地位。 第三，这种?单一对象?的教学耗时多，效益低。 3、 “相似型”教学策略的研究价值 由于?相似型?知识在初中数学中占有相当的比重，这部分内容的教学成功与否对整 个数学教学成功与否具有重要的意义。由于?相似型?知识具有相似性，这种相似性在学生 的知识建构中具有怎样的作用？如何把这种相似性与系统整体认识论、建构主义学习理论、 数学学习的本质 ― 化归恰当地整合起来，提高学生学习质量？ 我们认为对?相似型?教学的策略研究，是具有很高的实践与理论价值。于是我们设 想从中选取一个具有代表性的课例作为我们研究的载体。 我们想以此来说明我们可通过教师 教学方式与策略的改变，促使学生学习方式和策略的改变，以达到学习质量提高的目的。 4、为何以“相似三角形判定”作为研究载体 相似三角形的判定是平面几何中直线图形中最后学习的内容，教材中安排在初三第一 学期。教相似三角形判定前，学生已经接触了不少?相似型?知识，对?相似型?知识已经 积累了一定的体验。很有可能一些学生意识到或初步感受到一种默会知识，即?相似型?知 识学习方式的元认知： ?相似型 X?的概念及定义→由定义体现的?相似型 X?的最基本的性6质或判定→ ?相似型 X 的判定定理。 特别引人兴奋的是相似三角形的判定与全等三角形的判 定的相似性高，因为全等三角形是相似三角形的特例（相似比等于 1） ，也是人们的认识从 特殊向一般发展的一个范例，因此，这是一个很理想的探究主题。于是我们选择了相似三角 形的判定作为课例研究的载体。 在这课例中，我们可用如下的框架表达我们的设计（如图 1） 5、 “相似型“教学策略的理论依据 在这个课例的设计中，我们以促进学生的主动学习、自主发展为出发点和归宿。因此 以下列的理念或理论作为设计的支柱。 整体放入，整体认识，整体把握。 我们把相似三角形的三条判定定理作为一般三角形相似的判定方法整体学习的，使学 生对相似三角形判定方法在较短时间内形成完整的认知结构， 有利于学生面对选择时， 作出 正确、有效的判断，有利于领悟学习知识时所应考虑的方式与策略等默会知识。这种策略源 自系统论的整体认识论。数学教学?需要从整体上把握，至少把一个单元的数学思想，核心 意识，象一个胚胎那样Z于中心地位，然后，教师和学生则向这个?数学胚胎?输送营养和 [1] 活力，使数学学习健康进行?” 。因此，基于知识整体结构相似性考虑，运用整体认识论 来设计的? 相似型?知识教学是有利于结构化知识的构建及培养元认知?调控?的能力。 充分尊重学生认知基础，找准新知识的固着点。 现代建构主义的理论告诉我们，只有充分调动学生的认知准备，使学生将新知识与原 有知识建立有效的实质性的联系， 以学生的亲身体验主动构建新知识， 这种学习才是有效的。 我们在设计中始终以 ?全等三角形的判定??相似三角形的预备定理? ， 作为固着点， 以类比、 化归为方法来构建相似三角形判定的新知识。 同时， 当我们构建起相似三角形判定的新知识 结构时， 反过来对原来全等三角形判定的知识作出适当的改变， 使它纳入到新的相似三角形 判定这一新的认知结构中去。在这课例中，知识的同化与顺应是非常清晰的。7“相似型”A 全等三角形 全等三角形的概念 及定义“相似型”B 全等三角形 相似三角型的概念及 定义最基本的性质 （由定义给出）最基本的性质 （由定义给出）已 学 过 的 知 识（固着点 1） ．．．预备定义今 天 学 什 么 ？ （创设问题情景）化 归全等三角形判定 （固着点 2） ．．． 定理同化相似三角形判定 定理？即 将 学 习 的 知 识顺应（放到课的最后）简 记类比 S．A．S A．S．A A．A．S S．S．S 类比） 类比 （部分学生存有的“？”符 号 表 示AB/A1B1= AC/A1C1，Ａ＝ Ａ１ Ａ＝ Ａ１， Ｂ＝ Ｂ１类比AB/A1B1＝BC/B1C1＝CA/C1A1图1凸现数学学习的本质，注重思想方法的领悟 数学学习中经常体现化归的数学思想，学生已有一定的领悟。从某种意义上讲，数学 就是一门化归的科学，数学学习的本质就是化归。在?相似三角形判定定理?的学习过程学 生将看到三条判定定理的得出都是通过将其化归为预备定理得以实现的， 这将势必感受到数8学学习的本质是化归。 化归的思想不仅是数学的学科思想， 而且是人们认识世界、 分析问题、 解决问题不可或缺的思想方法。 同时， 在具体构建新知识时， 又用了类比推理的数学思想， 这些数学思想的领悟是数学学习的主题目标之一。 创设问题情境，使问题情境化、过程化、延伸化。 教育心理学的理论启示我们，应该充分运用动机原理，使学生的学习具有内驱力，学 习将会取得良好效果。 要激起学生学习数学的内驱力的一种很有效的方法， 就是创设问题情 境， 使学生引起认知冲突或Z身于渴望求得新知解决问题的情境中， 这时的学习是最为有效 的。为此，我们设计了?网格中的两个三角形是否相似?的问题情境，学生用定义或预备定 理难解决， 激起新的判定方法的学习欲望。 当学了三条判定定理后， 就较容易地解决了问题， 使他们体会到一种学习成功的愉悦。二、 “相似三角形的判定”的教学研究（一）教学设计教学目标： 1．掌握相似三角形的判定定理，并能初步运用这些知识解决有关问题。 2．经历?观察－探索－猜测－证明?的学习过程，体验科学发现的一般规律，同时提 高几何的图形语言、符号语言、文字语言表达能力。 3。通过相似三角形的判定定理的探索过程，渗透类比、化归等数学思想。 4。通过合作交流、自主评价改进学生的学习方式，提高学习质量，逐步形成正确的数 学价值观。 教学过程： 教学环节 教师活动 复习提问 你知道的有关相似三角形 的知识有哪些？学生活动 （1） 相似三角形 的定义及预备定 理。 （2） 全等三角形 与相似三角形的 关系以及全等三 角形的判定。板书A A1 C B B1 C1在△ABC 和△A1B1C1 中：AB BC AC ? ? A1 B1 B1C1 A1C1∠A=∠A1，∠B＝∠B1、 ∠C＝∠C1 ， 全等三角形的判定 A.S.A；A.A.S；S.A.S; S.S.S；H.L 创设情景 利用已有知识，能否解此 题？如图， 在边长为 1 个单 位的方格纸上有△ABC 和 △BDE， 猜测△ABC 与△BDE 是否相似。 若相似， 能证明 吗？ 当运用已知知识 （预备定理和定 义）来证明这两 个三角形相似面 临困难时，产生 寻求更为有效 的、简便的判定 方法需求？ 课题：相似三角形的判定9ABDCE探求新知 1．猜测根据全等三角形的判定 （条 件） ，利用相似三角形定义 条件， 选择尽可能少的条件 判定两个三角形相似。小组讨论 大胆猜测板书 全等 A．S．A A．A．A S．A．S相似 两角对应相等 两边对应成比例且 夹角相等 三边对应成比例2．证明简单应用以上猜想是否正确， 必须证 小组讨论后，全 明， 请学生选择他们希望首 班交流。 先证明的命题，逐一证明。 （第一个命题的 证明学生口述， 教师板演，强调 证明思路； 第二、 第三个命题证明 学生口述） 运用相似三角形的判定定 独立思考，完成 比较学生的不同证法 理解?情境问题? 后全班交流S．S．S H．L 第一个判定定理证明全过程小结与自 主评价布Z作业提问： 反思和发表对本 全等三角形是相似三角形 堂课的体验和收 的特例， 那么， 全等三角形 获 的判定一定也是相似三角 形判定的特例， 若将全等三 角形的判定纳入到相似三 角形的判定中， 全等三角形 的判定用相似三角形的判 定如何描述？ 必做题：练习册 28.4（1） 选做题：将课堂中的例题引申； （1）∠ABE 为几度； （2）连结 AE，△ABE 是什么三角形？ （3）将△BED 沿 BD 翻折，再沿 BC 平移后，均∠1＋∠2＋∠3 为几度？（运动 过程，多媒体展示）AABDC3E21BDC10（二）课堂教学行为的变化在课堂教学实施过程中，我们特别关注以下几个环节。 1、基于已有认知准备，学生通过类比猜测判定两三角形相似的条件。 在学生已回顾了全等三角形的判定以及相似三角形的定义后教师鼓励学生利用已有 的知识，大胆猜测判定两三角形相似的可能条件。请看以下片断。 ① 师：刚才同学们已经回顾了相似三角形的一些性质，以及全等三角形的判定方法， 结合这些知识，请你思考一下，在这些条件中，选择尽可能少的条件来判断两个三 角形的相似，讨论后回答。 （学生讨论，教师巡视并参与组内讨论） ② 生：∠A=∠A1，∠B＝∠B1（学生口述，教师板书） ③ 师：还有吗？ ④ 生：AB/A1B1=AC/A1C1,且∠A=∠A1。 （学生口述，教师板书） ⑤ 师：还有吗？ ⑥ 生：AB/A1B1=AC/A1C1＝BC/B1C1； （板书）还有比较复杂的。 ⑦ 师：噢，没关系，你说说看。 ⑧ 生：∠A=∠A1，∠B＝∠B1，AB/A1B1= BC/B1C1（板书） ⑨ 师：好，请坐。他们小组得到了四种，其他小组看一看。有什么意见吗 ⑩ 生：前面三种我们小组同意，最后一种我们不同意，前面已有两个角相等了，只要 这两个角相等，就能判定这两个三角形相似的话，后面的例式 AB/A1B1= BC/B1C1 是 多余的. 在上述师生互动中，教学鼓励学生根据已有的知识及认识策略，通过学生的合作与讨 论猜测三角形相似的判定条件 （①―⑥） 进一步在同伴的帮助下， ， 明晰判定条件 （⑧―⑩） ， 经历构建知识的活动体验。 2、学生自主探究，验证命题。 学生意识到通过类比猜测所得到的命题不一定都成立,因此学生有强烈地愿望去证明 这些他们亲自构建的命题是否正确。 于是,组织小组讨论,不探究命题的证明。 在这一过程中， 充分体现学生的自主合作与交流，倾听与评价。下面这一片段展示了同学之间的互帮互学： ① 请你说说你们的想法。 ② 生：已知：在△ABC 与△A1B1C1，AB/A1B1=AC/A1C1＝BC/B1C1 ③ 师：他要证的是?三边对应成比例，两三角形相似? ④ 生：在△ABC 中取 AD＝A1B1 ⑤ 师：在哪条边上取？ ⑥ 生：在 AB 上截取 AD＝A1B1，在 AC 上截取 AE＝AC/A1C1，连结 DE，可以证 出△ADE≌△A1B1C1 ⑦ 师：很好，怎么证明这两个三角形全等？ ⑧ 生：AD＝A1B1，AE＝A1C1，然后??（学生证不下去了） ⑨ 师：他的想法很好，但在证明两个三角形全等时，遇到了困难谁能帮助 他，好你来说说。 ⑩ 生：因为 AD＝A1B1，AE＝A1C1，且 A1B1/AB＝A1C1 /AC，所以 AD/AB＝AE/AC， 所以 DE∥BC，所以 AD/AB＝DE/BC，又因为 A1B1/AB＝B1C1 /BC，所以 DE＝B1C1， 所以△ADE≌△A1B1C1，又因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以△ABC∽△ A1B1C1。 在上述片段中，先是一位同学上黑板报告他们小组讨论的结果：证明?三边对应成比 例，两三角形相似? ，可是讲到一半，这位学生?卡?住了（①-⑧） 。此时，老师并没有急11着将正确的证明教给学生，而是鼓励其他同学帮助这个同学修正和发展这一证明（⑨,⑩） 。 这样，教师仅作为问题的提供者，而将发言权交给学生，教学任务是在学生自主学习中完成 的，学生才是学习的主体。 3、反思交流，逐渐明晰化 学生对概念或性质的理解通常经历一个从蒙胧（也许包含一些错误的理解）到明晰， 直到灵活应用的过程，而这一过程需要学生通过不断的实践、交流和反思来完成的。自我的 反思在这一过程中起着关键的作用。 在这节课中，一开始，史莹璐同学提出?全等三角形 的判定定理都可以用在相似三角形的判定中? ，而且在教师的追问下，她一再坚持这个说法 是正确的，考虑学生说法内含一定的合理成分，但仅学生的当时知识基础，老师说?这个问 题留着，新课上完后我们再来讨论? 。这样很自然地为学生设计了一个反思的问题。等到介 绍完了三个判定定理， 把学生引向到讨论是否 ?全等三角形的判定定理都可以用在相似三角 形的判定中? 。 师： 我们再回到史莹璐提出的这个问题。 ?全等三角形的判定方法都可以用在相似三角 形的判定上? 。刚才，史莹璐同学还是认为她的观点是对的。噢，你说说。 史莹璐：我现在认为，比如，全等中的 S、S、S［边、边、边］只要把它的［对应］ ?相 等?改为［对应］ ?成比例? ，就可以用在相似三角形的判定中了。 师：对，这样就对了。 通过上述对话，学生通过这节课的学习与反思，把自己的观点明晰化，把原先原始的 直觉观点，精致成为科学的论断。这种过程的呈现，不仅对这位同学是一个主动学习与内化 的过程，也促进了学生之间互相启发、取长补短的学习共同体的形成。 （三）教师理念、行为的转变 1、课堂整体设计的转变 （1）重视现代信息技术的应用 现代信息技术的迅速发展和广泛应用，对数学课堂教学产生了重大的影响，现代信息 技术的应用对于改善数学课堂教学过程，帮助学生理解数学知识本质和提高数学应用能力、 改进学习方式起到重要作用。在第一次教学设计中，多媒体仅仅用作呈现教学材料的目的， 而在第二次教学设计中， 充分考虑如何用多媒技术来展示证明的思想方法及过程， 以及通过 图形的变换来揭示问题之间的内在联系， 这样较好地把技术与数学学习的本质结构起来。 正 如在课后访谈中，同学在回答?今天这堂课留给你最好印象是什么？?时，有的说?充分利 用学校的硬件设备，使课堂变得生动、形象，我很喜欢? ；也有的答道：多媒体教室里设备 齐全，可以使老师做好充分准备，以致于不会浪费时间，毕竟四十分钟很有限? 。的确，现 代技术与课程内容整合，可将数学中抽象的东西直观化，展示思维的过程，对于改进教学， 提高教学质量有着积极作用。 （2）任务的创设与使用 课堂总是围绕某些任务（或问题）而展开的。一个精心设计的问题，不仅可以用来激 发学生学习新知识的动机， 也可用来作为应用学习新知识的载体， 更可通过适当的变式使问 题解决延伸到课堂以外，拓展学生探究的空间。在这节课中贯穿始终的只有一个任务（即判 定方格纸中两个三角形的相似性） ，在课的开头，它作为激发学生探究?三角形相似判定? 的问题情境。在学习了新知识后，它成为学生运用新知来解决此问题自然平台，使学生有学 以致用的成就感。此外，当学生解决了这个问题时，教师再将此题引申形成新的具有挑战性 的问题，并将问题延伸到课后。这样不仅使这节课前后呼应，内在一致，而且为学生的主动 探究，从情感与认知两方面都提供了合理的载体。这样的教学往往给人新鲜的感觉，能唤起 学生的好奇心和求知欲，因而产生主动参与的动力。然而，第一次教学设计中，任务的创设 主要是为激发学习动机的情境服务。而在第二次教学设计中，创设的任务贯穿于整个课堂：12激发动机，知识应用，课后探究。 2、课堂关注点的改变 在以往的教学中，我们往往关注知识的传授与获得。例如，在本节课的教学中，会把 学生是否掌握相似三角形的判定定理作为教学成功与否的唯一标准。而在这节课的处理时， 教师更关注对思想方法的理解。本课由类比全等三角形的判定猜想得到相似三角形的判定， 企盼在这一过程中，学生能了解两者的内在联系，理解蕴含在其中的辩证唯物主义思想。在 证明相似三角形判定定理的过程中，始终贯彻?化归?的思想，从而达到突破教学难点的目 的。此外，我们更关注学生的学习方式。从形式上，将课堂教学的空间形式由原来的?秧田 式?座位排列改为 T 型排列，缩短了学生与学生之间的距离，增强了学生间的相互交流的机 会，形成合作学习的课堂氛围。从本质上说，这节课的教学试图体现对?相似型?知识?的 学习方式：利用已有知识，通过类比与化归来构建新知。（四）教学评价1、学生课后调查 我们分别对同年级两个平行班的学生进行调查。甲班是按课本内容、教学进度进行教 学， 一节课中仅完成了相似三角形判定定理 1 的教学。 乙班是按本文中提及的教案进行教学， 一节课完成了三个判定定理的教学。在甲、乙两班中的由班主任各抽 15 名学生（好、中、 差各 5 名） ，进行两方面的调查，一方面是学生对这节课的感受，另一方面是对教学内容的 测试。统计结果表明，对于数学学科喜爱程度相仿的两个班，在授课方式上的喜爱程度乙班 略高，在数学思想的认识上，乙班明显优于甲班。 在第二部分的测试中，对乙班 15 名学生进行?判定定理 3?证明的测试，其中 13 名学 生完全正确，2 名学生也掌握了证明的方法，但偶有叙述上的错误。由此可见，实验班的学 生，不仅喜欢这种课堂设计、对知识有较好的把握，而且较好地领会本节课设计思想：利用 类比与化归来探究新知。 2、自主评价 在课的最后，留出 5 分钟的时间，让学生交流本堂课中的体验及收获。这种交流是开放 式的。它包括知识上的收获，能力上的提高，数学思想、方法的领悟，过程的体验与感受， 以及对老师、同伴、自身教学行为的反思、评价。同时，学生也可以对本堂课进行质疑，说 出心中的疑惑，谈谈自己不同的见解。 在本节课中，学生自主评价提到如下几个方面 （1）数学思想方法：类比、化归。 生 1：我们学习相似三角形的判定是结合全等三角形的判定得到的。 生 2：相似三角形的判定定理的证明都是用预备定理来解决的。 （2）同伴互助。 生 3：我第一次站起来讲错了，但经同学的帮助，我现在学会了。 （3）自主发现。 生 4：我认为今天我们学到的三个判定定理比预备定理更加有用、实用。 （4）学生质疑。 生 5：为什么全等中的 A.A.S 在相似三角形中没有对应的判定定理。立刻有学生回答 了这个问题：A.A.S 没有必要去证它，困为 A.S.A 与 A.A.S 都对应于?两角对应相等? 。 此外，全等三角形与相似三角形的特殊关系在?小结与自主评价?这一教学环节中得 以升华，在由学生认识到，把?全等三角形三边对应相等?改为?相似三角形三边对应成比 例?后，教师提出?能否将全等三角形的判定定理纳入到相似三角形的判定定理中，用相似 三角形的判定定理来描述? 这一问题， 使学生真正领悟到全等三角形与相似三角形两者之间 的内在联系。13可见，自主评价是数学教学过程中极为重要的一环，是学生一节课的升华阶段，我们 提倡?让学生在学习过程中评价，在评价过程中学习? ，并且认为，学生长期经历自主评价， 能形成价值判断意识，获得强劲的评价能力，逐步树立正确的数学价值观。三、结论与讨论在?相似型?知识教学设计与实施中，我们深切感受到，这种教学设计策略是有效的、 可行的，有利于促进自主探索、合作交流的学习方式的形成，是实施新课程所倡导理念的一 种有效尝试。具体来说，这种教学设计策略有如下特点： (1)优化认知结构 给学生提供一个较为完整的知识整体结构有利学生对知识的理解（即，知识之间的关 系的把握） ，并形成合理的、本质相关的认知结构，这将有助于学生在应用知识时，迅速而 有效地提取及重组。在这一方面， ?相似型?知识教学设计策略具有独特的优点，而且在中 小学数学教材中有许多?相似型?知识单元，因此，这种教学策略有一定的普适性。 (2)促进自主学习 由于， ?相似型?知识教学策略十分强调学生已有的知识和学习经验，把新知识的获得 看成是一个学生根据他们已有的认知准备，通过类比、猜测新的知识，进行证明或反驳的科 学发现过程，这为学生的主动探究学习提供了理想的平台及可能性。 (3)改进学习质量 学习方式改变的正真目的在于改进学习质量。通过?相似型?教学策略的实施，学生 不仅可以主动的探究、获得新知识，而且体验到构建新知识的方法：类比和化归。这是十分 重要的两种数学思想方法。因此，在种课堂教学中，学生不仅获得了知识与技能、数学思想 方法，更为重要的是经历了主动构建过程的体验，改变了学习的习惯。 然而，我们在设计与实施过程中，也体会实施这种教学策略需要教师较高的教学智慧。 比如， ?相似型?教学设计呈现块状的知识，相对来说知识的容量较大，在一节课中，如何 处理好关键知识点的深广度与各个知识点的全面理解是一个需要平稳的问题？如何设问来 引发学生对?相似型?的联想，以及创设问题情境来激发学生通过类比方法来探究新知识， 这也是一个富有挑战性的问题？另一个基本问题是如何处理学生的主动探究与教师的适度 介入问题。一般而言，鼓励学生发表他们的观点，经常反思是十分重要的。 总之，我们认为， ?相似型?教学策略是有其独特魅力，值得教师去探究的一个领域。参考文献 [1]张奠宙、李士W、李俊。数学教育学导论。高等教育出版社。2003 年 4 月，第 125 页。〔评点〕 本课例关注一个有一定共性的?相似型?知识的教学问题，而且大胆地突破了常规处 理。 这种探究对日常教学有直接的启示作用。 在整个课例的设计、 实施、 反思和改进过程中， 始终关注数学学习规律的应用（将新知识建立在学生原有的知识准备之上） ，强调利用类比 和化归思想来主动建构数学知识， 追求学习方式的转变 （观察－探索－猜测－证明的学习过 程） 。而实现这一设计理念的一个关键是合适的情境创设。本课例中，一个精心设计的?判 定方格纸中两个三角形的相似性?问题，不仅用来激发学生学习新知识的动机，也用来作为 应用学习新知识的载体， 而且通过适当的变式使问题解决延伸到课堂以外， 拓展学生探究的 空间。另外，通过主自评价对课堂学习进行质疑、反思和评价，培养学生监控学习过程的元 认知能力的做法也值得借鉴。 （评点人：黄荣金）14技术支持下的数学应用教学――一个?利用数学知识解决水土流失问题?案例研究上海市闸北区教育局教研室 上海市新中高级中学 孟小龙 张慧 华中全 陶志诚一、引子伴随着略带伤感的钢琴曲，六幅反映我国水土流失日益严重的图片依次呈现在学生面 前，接着，大屏幕上显示：[]国家林业局人事教育司江泽慧在“西部开发林业系列讲座”第一讲中指 出：我国是世界上水土流失最为严重的国家之一，我国现有水土流失面积 179 万平方公 里，全国 15-25 度的坡耕地面积 1.9 亿亩。日益严重的水土流失导致生态环境恶化严重 制约了我国部分地区的经济社会发展，下决心改善这些地区的水土流失问题，已成为摆 在我们面前的一项紧迫任务。学生们全神贯注地看着屏幕，沉思着。此时，老师深情地说：?由上述信息，我们发 现我国的水土流失现象已经非常地严重。国家兴亡，匹夫有责。这节课我们就来尝试利用我 们已学过的数学知识来探究 ‘水土流失’问题?…… 这是在上海市某高中高二年级进行的一节关于数学应用研究课的开头。为了促进新课 程理念在数学课堂中的真正落实，我们按照顾泠沅教授倡导的?三个阶段，两个反思?行动 教育研究模式， 选择了“利用数学知识解决水土流失问题? 这一既具有时代感又体现人文精 神的数学应用课题，开展了行动研究。本课例研究共进行了三次试讲与两次课后反思，上述 片段是经两次改进后的课堂教学的一幕。下面，我们将分别介绍:改进后的课堂教学特点； 改进过程中老师的转变；以及学生的体会和收获。二、改进后的课堂教学特点1、课堂总体结构 本节课由下列阶段组成：情境创设；提出问题；问题解决；问题延伸和总结。在这些过 程中，教师和学生的活动如下表一所示。表一、 课堂总体结构教学过程 （一） 课题引入 教师行为 播放一组有关“水土流失”的图 片。配音乐，文字说明 学生行为 看大屏幕。 屏幕演示或板书 利用数学知识探究“水 土流失”问题。15（二） 引出问题（三） 课题探究教师：由上述材料，很明显坡耕 地的存在是造成水土流失的一大 隐患。因此我们非常有必要采取 些什么措施来解决这个问题？ 教师：事实上九九年我国政府就 已明确了政策 教师： 同时， 我收集到了我国近 4 年退耕数据（教师分发材料） 教师提出问题：假如按近四年退 耕还林的速度，我国到哪一年能 完成退耕任务？ 教师在各小组中巡视，适当参与 同学们的讨论，并鼓励学生尝试 各种方法，并作适当总结 教师： 假设国家加大退耕的力度， 要求 2009 年底完成退耕任务， 那 应该怎么办？ 教师：现在国家实行退耕政策， 农民会面临些什么问题？学生回答：退耕还 林。看大屏幕。 学生看材料一九九九年八月六日， 在延安考察工作的中国 国务院前总理朱F基提 出了“退耕还林(草)、 封山绿化、个体承包、 以粮代赈”的政策措施 屏幕显示材料学生结合材料提炼、 教师在黑板上板书：问 整理数据、讨论。 题Ι :我国到哪一年能 完成退耕任务？ 学生运用 TI 计算器 方法 1：二阶等差数列 自主解决问题Ⅰ。 方法 2：函数拟合 （学生板书与操作略） 学生自主探究解决。 屏幕显示学生用图形计 算器探究过程（四） 问题引伸（五） 问题深入（六） 问题延续（七） 小 结学生回答：Ⅰ、农民 没耕地了。Ⅱ、他们 怎么生活啊？ 教师：大家想一想怎么办？ 学生回答： 政府给农 民补粮食、补钱。 教师：确实我国政府也是这么考 学生看大屏幕： 中国国务院前总理朱F基指示： 虑的。教师演示课件。 （略 ） 教师：我们假定国家财政补助农 学生运用 TI 计算器， 到国家 2009 年底完成退 民每亩 500 斤粮食，每斤粮食按 讨论解题，得出结 耕任务时，国家财政共 0.7 元折算。 请大家来算一算： 论： 政府给予财政补 需支付约多少亿元？ 助达 4 千多亿 屏幕显示学生探究过程 教师：政府不能一直补贴下去， 学生：种树、种草、 可进一步采取什么措施？ 劳务输出、 修梯田等 在学生提到修梯田时， 教师补充： 学生看大屏幕： 显示红河哈尼梯田改造 修梯田在我国很多地方已经实 前后的比较图 施；比较著名的有。 教师就种树适当展开，留下课后探究作业：假定某农民在政府鼓励下承包了一大片 坡耕地，经过几年的苦心经营，现已建成了一初具规模的林场。现在，他想把林场 稳定在一定规模的同时， 又通过木材的上市去获取尽可能多的经济效益， 大家不妨 帮他出谋划策：看看怎样的种植率和砍伐率能帮他实现这个目标。当然，在探究的 过程中，要注意考虑到树木的生长周期及市场上木材的价格等等， 可上网查找?? 1、 教师提问： 学生谈到：应关注环保、数学有用、探 通过本节课的学习，同学们有何感想？ 究问题不容易、TI 计算器功能强大等。 2、教师小结2、课堂片段分析为了揭示学生是如何根据教师提供的信息，通过合作与交流，提出问题，寻求不同的 解决问题策略，最后引发对社会的关爱，下面我们摘录部分片段进行讨论。 （1）明晰信息，提出问题 接着本文开头描述的一幕: 当学生开始关注?水土流失?问题时，教师立即给学生提 供以下几组数据： 数据一：我国近 4 年(1999 年-2002 年)完成退耕还林数据(如图 1 所示)16图 1 1999 年至 2002 年完成退耕还林数据 数据二：?我国现有水土流失面积为 179 万平方公里，全国 15-25 度的坡耕地面积为 1.9 亿亩(2002 年 9 月数据)。 数据三：《光明日报》报道：全国 25 度以上的坡耕地面积为 9100 万亩(2000 年 4 月数据)。 说明：坡耕地分为 4 类：0°~8°、8°~15°、15°~25°、25°以上。其中 25°以上的坡 耕地会造成较多的水土流失，因此国家决定对这一部分坡耕地实行?退耕还林（草） ?政策。 接着，教师要求学生根据这些数据来探究问题 I: 我国到哪一年能完成退耕任务？[学生 运用 TI 计算器自主解决问题Ⅰ，教师巡视,不时鼓励学生尝试各种方法].然后,教师邀请同 学上讲台演示他们的方法. （1）师：下面请 A 同学谈一下他的做法。 1 （2）学生 A：据前四年退耕数据，我发现它们近似成二阶等差 ，就按照此规律从 03 年开始探究。 （3）教师：非常好，请你上去给大家演示一下。 （4）学生 A 操作：（5）师：A 同学根据二阶等差规律，探究出我国到 2012 年底能完成退耕任务，对此大 家有没有什么异疑。 （6）学生 B：老师，A 同学好象做错了，我认为应该从 1999 年开始退，因为 99 年数据 是现成的；我做出来是 13 年，也就是我国到 2011 年底能完成退耕任务，而不是 2012 年底。 （7）学生 C：我认为都可以的，只不过开始探究的年份不一样，但结果都对的，象我 从 2002 年做也是到 2011 年底。 （8）学生 D：老师，A 同学是不对的，我是从 2000 年开始探究的，做出来也是到 2011 年底能完成退耕任务的。 （9）教 师：应该说 C 同学说得对，这个问题我们不管从哪一年开始探究，都应该得 到同样的结果；可现在我们同学得到了两种不同的结果，大家来找一找是什么原因。利用学 生的不同答案生疑,然后,鼓励学生释疑]1后一项减前一项依次为 140,160 和 180(近似数)构成一等差数列.17（10）学生 E：老师，你看黑板上 A 同学的三个数据：140、160、180，而第三个数据 精确值为 181.9，误差差不多 10%，所以相差一年也很正常。 （11）教师：有道理，A 同学发现二阶等差规律时采取了近似处理，有比较大的误差， 从而会对结果造成一定的影响。不过，大家再想一想还有没有其它原因？ （12）学生 F：我不知道 A 同学怎么想到二阶等差的，我认为数据体现的应该是等比规 律。 （13）教师：很好，我们可以接着探究；但是还没有说明前面矛盾产生的原因。这样， 我再问一下 A 同学， 你看一下大屏幕， 为什么你认为是第 10 年底， 而不认为是第 9 年底呢？ 2 （14）学生 A：因为 2003 年现有坡耕地 28100 万亩 。 （15）教师：好，大家再结合材料看看能否发现原因？ （16）学生 G：我看出来了，材料三 2000 年 4 月 11 日《光明日报》指出的坡耕地可认 为是 99 年底的数据，现在 A 从 2003 年做，那现有坡耕地应该是 28100 减去 00 年、01 年、 02 年已退的。 （17） 非常好！ 师： 大家再算一算 2003 年我国现有坡耕地应该为多少？⒅学 生： 24176 3 万亩 。 （18） 教师： 大家再看一下屏幕上的显示， 我们发现第 9 年底 24728 就已经超过了 24716。 因此，我们也应得出：到 2011 年底能完成退耕任务。 在上述讨论中,由于三位学生获得相同的答案,从而一致质疑学生 A 答案的合理性(①~ ⑧).此时,教师不失时机地鼓励学生去解释学生 A 产生错误的原因(⑨).有的学生试图从数 据取近视值的误差来解释(⑩~⑾),有的学生从二阶等差数列规律的不合适来解释(⑿),最后, 在教师的启发下,学生找到了导致同学 A 求解错误的根源是递推的初始值不正确(⑿~⒆).这 种基于学生的错误,由学生提出问题,并解决问题的教学策略,有利于培养学生独立的探究和 批判精神。 (2) 优化解题策略 根据学生观点“二阶等差有比较大的误差,等比数列更加精确”,教师进一步鼓励学 生去寻求不同的解法。 教 师：好，这个问题解决了。应该说，A 同学通过前四年的数据找规律去探究问题， 这个思维模式非常好；不过，E 同学又提出了，A 发现的二阶等差有比较大的误 差， 那我们就再看看能不能发现更好的规律？事实上， 同学已经提出了是等比， F 大家试一试。 学生 H：我认为 A 和 E 的方法本质上是一样的，都有误差；今天，我们是探究实际问 题，这样科学吗？ 教 师：好！我们发现后面一年和前面一年数据的比都非常接近于……？ 学 生：1.14！ 教 师：对！是等比。可是 H 同学提出这也有误差。既然我们今天是探究实际问题， 应该使我们发现的规律具有比较高的可信度才行。 学生 I：提到可信度，我想到了函数拟合，它不是可以进行可信度的比较吗？ 教 师：非常好！通过数据找规律，TI 计算器函数拟合功能很好，而且能给出拟合的 可信度。下面大家就来尝试一下。 [学生 I 上讲台操作：输入前四年退耕数据（1），画出离散点图形（2），用直线型 拟合（3）（4）]2 31 度，2002 年 9 月数据）+9100（25 度以上，2000 年 4 月数据）=28100 万亩。 2.1+2.4)=2417618（1） （2） （3） （4） I 同学操作过程中，A 同学又提出：我用指数型函数拟合，我觉得效果好。 学生 I 用指数型函数拟合（5）、（6）（5）（6）（教师巡视）。 学生 J：老师，可以用二次函数拟合吧？ 教 师：可以，你去尝试一下！ [大屏幕上显示 I 同学操作到指数型函数拟合与直线型拟合可信度的比较时] 教师问同学 J：二次函数的可信度是多少？ 学生 J ：比指数型低。 教师：好！同学们分别用直线型、二次函数、指数型函数对前四年的数据进行了拟合， 我们发现哪一个可信度高？ 学生：指数型函数。 在解决实际问题时，允许有一定的误差。由于不同方法的误差有大小，学生自然想到 用函数拟合的方法来比较各种解法的?可靠性? 。出人意料的是，学生们除了用指数型函数 拟合之外，还用到了一次函数、二次函数。教师抓住时机鼓励学生比较不同解法的拟合可靠 度，优化解题策略。学生借助于 TI 计算器的强大功能，这些问题得到了圆满的解决。在这 一过程中，教师不仅鼓励学生寻求多种解题策略，也且也启发学生对问题的解进行优化，使 学生真正感受与体验解决问题的过程。 （3）提炼数学思想方法 教 师：我们再来看一下大屏幕，指数型函数拟合的结果[可靠系数 r=0.], 又进一步告诉我们：前四年的数据呈现了什么规律？ 学 生：等比。 教 师：公比为多少？ 学 生 ：1.14。 教 师：这实际上证明 F 同学发现的等比规律有很高的可信度。好，下面我们就按照 此规律继续探究下去。既然这规律是 F 同学发现的，我们就让他上去操作。 [学生 K 用数列求和公式求解,大屏幕显示计算过程和结果 部分结果如下19同时, 教师在下面走动，关注小组的讨论。] 学生 K:[ 操作完]我探究出来，我国到 2011 年底能完成退耕任务。 教 师：好！我刚才在下面看到 J 小组的方法挺不错的，你们推一个代表上去给大家 演示一下。 [学生 K 同学上去操作：直接用 TI 求和功能，估算探究…… 教 师：F 和 K 给我们提供了两种方法，都很好！F 是利用数列求和公式求解；K 的 方法体现了一种重要的思考问题的方式：估算。即：先估值、尝试，再比较， 然后作出选择，这也是我们解决数学问题以及实际应用问题的一个重要途径。教师：假设随着国家经济的发展，政府要求加大退耕的力度，要求 2009 年底完成 退耕任务，那应该怎么办？ [学生 L 主动上讲台去演示尝试过程, 根据等比数列求和公式,最后,找到了只要把每 年退耕面积的增长率提高到 19%就可以了(如下图所示)。]当学生明确利用等比数列来计算退耕还林的年数最为精确时,学生展示了两种不同的 计算策略:一种是逐项计算,观察哪一年已经完成任务;另一种方法是先估计一个年数,然后, 计算直到该年未退耕还林的数量,比较与所需完成的退耕还林数量。而第二种策略：估计， 尝试，逼近是数学的一种重要的思想方法，在解决?要求 2009 年完成年底完成退耕任务， 那应该怎么办？?问题时，得到充分的发挥。 （4）深化应用 讨论了上述退耕还林问题后，教师提出下列相关问题?坡耕地的产生是由于农民为获取 赖以生存的粮食对土地实行掠夺性开垦，而现在国家实行退耕政策，大家再来想一想：农民 会面临些什么问题？?，学生意识到?农民没耕地了，面临生活困难?，接着，让学生讨论 解决这种实际问题的方法。 教 师：那大家想一想怎么办？ 学 生：政府给农民补粮食、补钱等。 教 师：确实我国政府也是这么考虑的。 课件演示：中国国务院前总理朱F基指示：搞好退耕还林、还草工作，一定要合理确定对退 耕农民粮食、现金补助的年限，需要多少年就补多少年，绝不使农民利益受到损 失，让农民放心。 教 师：我们假定，国家财政补助农民每亩 500 斤粮食，每斤粮食按 0.7 元折算。 请大家来算一算：到国家 2008 年底完成退耕任务时，国家财政共需支付约多 少亿元？[教师在黑板上写下这个问题 II] 学生 G 操作过程中如下列（只考虑给农民一年的补贴）20学生 C：[举手]G，你做错了！ 学生 G：错了？哪里错了？ 学生 C：这么说吧，假定你是第一批退耕的农民，按照你的做法，国家只给你补贴 一年的钱，你觉得公平吗？ 学生 G：[看看黑板，思考一会儿]我知道了，第一年退耕的农民，国家应该补贴 10 年。对，我改过来。于是学生 G 自行纠正他的算法：教师：非常好，C 同学帮助 G 同学纠正了一个我们都易犯的错误。我们再来看一 下屏幕，G 同学是从 2000 年开始算的，而实际上我国的退耕从哪一年已经 开始了？ 学 生：1999 年。 教 师：好，国家应补贴多少年？ 学 生：11 年。 教 师：G 同学还未做对，G 再来更正。 学生 G 正确完成了问题Ⅱ。在这一环节中，教师抓住学生急于纠正同学错误的心理，放手让学生交流，培养学生 主动学习， 并帮助学生发展对自己学习过程的监控与调节。 当发现学生仍然没有完全正确地 解决问题并对此毫无察觉时，教师给予了恰当的提示，并使问题最终得以解决，这样既体现 了以学生为中心，又发挥了教师的主导作用。 （5）关注社会 接着上述问题， 教师指出?仅仅 11 年，政府给予财政补助就需 4 千多亿，很明显，政 府能不能一直补贴下去？?，鼓励学生通过讨论，给政府提出建议。于是，学生各叙其见： 有的说，输出剩余劳力到经济发达的地区去打工；有的说，通过种植经济林来获得经济收入 等。 最后，教师总结：课后我们还可以继续探究下去，比如，刚刚 M 同学提到了种树，我 们就假定他在政府鼓励下承包了一大片坡耕地， 经过几年的苦心经营， 现已建成了一初具规 模的林场。现在，他想把林场稳定在一定规模的同时，又通过木材的上市去获取尽可能多的 经济效益， 大家不妨帮他出谋划策： 看看怎样的种植率和砍伐率能帮他实现这个目标。 当然， 在探究的过程中， 要注意考虑到树木的生长周期及市场上木材的价格等等， 这些大家可上网 查找……这就作为课后作业。21通过本节课的探究，学生发现数学原来与我们的现实生活密切相关，可能帮助我们解 决现实问题。 通过探究问题的解决， 学生不仅体验到如何应用现代技术和数学知识来解决问 题的方法和技巧，同时，也引起他们关心社会，关心自然，强化了社会责任感与人文精神。 [课后，有一些学生迫不及待地找教师介绍他们的方案，并用数学知识证明方案的可行性！]三、学生的获得1、 学生的自我小结 临近尾声，老师问学生：?通过今天的学习，大家有什么感受和收获？?，于是学生 说出了下列所感： （1）社会责任感 学生 1：通过这节课的探究，我觉得收获还是蛮大的；不仅用数列知识解决了实际 问题，还让我们认识到我国的生态环境问题已迫在眉睫。 学生 2：我也同意他的看法，我认为全社会都应该一起来关注环保。 （2）数学是有用的 学生 2：另外，我发现数学不仅能在纸上解决问题，还能在日常生活中发挥很重要的 作用。 学生 5：我以前对数学没多少兴趣，可这节课我发现原来数学还挺有用的。 （3）数学应用的灵活性 学生 3：我发现探究实际问题，需先收集材料，整理材料，再利用数学知识；从中我 感觉到了数学的灵活性，不过探究实际问题可真不容易啊！ （4）计算机真强大 学生 4：TI 计算器功能这么强大。老师，高考能带入考场吗？ 从上面学生的自我反思中可以看到，通过这节课的教学，学生体会到数学的有用性， 数学应用的灵活性和复杂性；同时，也体会到计算器的强大功能；此外，学生也意识到，他 们应该关心社会和保护环境。 2、教学效果的调查 为了解本节课的效果，课后，我们立即对上课班级进行了问卷调查，我们只出了一道 题：本节课后你印象最深刻的是哪些方面。我们把学生的答案进行归类整理，发现学生的感 受主要集中在以下5个方面： （1）数学与生活的联系非常密切； （2）发现--探究--解决问题 的过程； （3）图形计算器的运用； （4）活跃的课堂氛围； （5）日益严重的环境问题。 针对学生反映的5个方面，我们设计了一套问卷，分别对实验班级和一个对照班级进行 了调查，收到有效问卷96份，其中实验班48人，对照班48人。对以上在实验班与对照班采集 到的数据进行分析，不难看出实验班的学生普遍有以下四方面的改进。 ? 数学学习方式的改变 与对照班相比，实验班的学生更加注重课堂上的探究学习与合作学习（98%，而对照班 46%） ，更加注重发现问题、分析问题与解决问题的过程。 ? 数学应用意识明显加强 在本节课中，从问题引入后的问题解决、问题深入到问题延伸，每一个环节中，学生 都能充分感受到数学的作用。大多数的学生（85%学生，而对照班只有21%）深刻地感受到了 这一点， 学生在学会用数学的道路上更进了一步。 同时表明常规教学中应加强对学生数学应 用意识的培养。 ? 进一步端正了数学学习态度 统计结果表明，实验班的学生中，绝大多数认为学习数学的目的主要是解决实际问题22和培养思维能力（54%，对照班为6%） ，而对照班的学生中有较多地人认为学习数学的主要目 的是升学与掌握基础知识（71%，实验班为13%） ，说明通过这堂课，学生对学习数学的目的 有了新的认识，学习态度也有了一定的转变。 ? 应用技术的意识明显加强 实验班有71%学生认为数学课中应用技术是重要的，而对照班只有12%的学生意识到技 术对数学学习的重要性。因此，通过这节课实施，学生明显体验到使用技术在数学应用中的 重要作用。四、教师的转变通过三次执教，两次反思，经历了理念转变，行为跟进的艰苦历程，执教教师又有什 么感受和收获呢? 当研究人员问 “这一次活动从开始到结束占用了你大量的时间，你感觉值 不值？”时,教师深有感触地说“非常地值得！原想一节课上完就差不多了，现在发现每一次 的试讲与反思都有新的发现、新的认识与新的提高。”。在教师反思笔记和访谈记录中我们 发现教师在下列方面有较大的转变： ? 设计工作单，明晰相关信息。 本节课中，学生有多处要用到工作单中的信息。在试讲中，我由于没有给学生提供相 关信息的材料，所以不得不反复回放相关材料，这不但占用了时间，而且回放带有明显的指 向性， 效果并不理想。 最后， 我把相关信息以工作单的形式提供给学生， 这不仅节省了时间， 更重要的是为培养学生主动获取信息创设了条件。 ? 突破定向思维的限制 在试讲中，学生们并没有按照我预期的采用多种方法解决?我国那一年能完成退耕还 林的任务？”的问题， 而是几乎所有的学生都直接“发现”了退耕是按照等比数列的规律进 行的！通过课后反思找原因，发现这主要是我不恰当的引导造成的[预先讲了一个用等比数 列的例子]。这样，表面上看，学生们充分利用了原有的知识经验，但实际上，教师极大地 束缚他们的思维空间。改进后的教学取消了这些?多余?的铺垫，并抓住学生学习中出现的 问题不放手，引导他们逐步深入，进行探究性学习。 ? 注重同学间的交流与合作，强调自我反思 第一次试讲时，因怕学生犯错误总是不停地讲，通过课后反思意识到了这一点，因此， 在第二次试讲时，我有意识地把某些问题交给学生，发现效果不错，所以，这一次我把更多 的内容交给了学生，有意识地培养他们的交流与合作的能力，鼓励学生进行自我反思。通过 这一次教学，我真正体会到了?教是为了不教?的道理，教师不仅是知识的传授者，更是学 生学习的促进者。 ? 提炼数学思想方法 第一次试讲中，在解决“我国哪一年能完成退耕还林的任务”过程中，我对课本中的 数列求和的方法比较重视，但对有些学生采用的估计，尝试和逼近的方法未作进一步引伸， 失去了提炼数学思想方法的好机会。这种先估值、尝试，再比较，然后作出选择的方法是解 决数学问题以及实际应用问题的一个重要途径，也体现了 TI-83 型图形计算器的强大功能。 因此，改进后的教学中，我不但强调了?估算?的方法，而且还设计了一个变式练习。五、结论与讨论综上所述，通过本课例的研究，学生在许多方面已开始转变，如数学应用意识和人文 意识的加强；更加注重探究与合作学习；应该指出的是，在实现以上转变的过程中，现代教23育技术始终扮演着非常重要的角色，多媒体技术不仅快捷而有效地为学生呈现了所需材料， 而且在引起注意与激发动机方面起到了不可替代的作用。TI-83型图形计算器在解决实际问 题中的估算与函数拟合等方面显示出强大的功能， 这无疑促进了探究学习。 问卷结果也显示， 学生对计算机辅助教学的态度有较大地转变。 在本案例的设计与实施中，我们做了一些有益的尝试，具体地说，我们试图体现以下 几个方面。 1、让学生感受用数学、学会用数学 新课程标准十分强调数学应用，这个课例的基本出发点是让学生感受数学与现实世界 的联系，并且会用已学过的数学知识与数学思想和方法解决现实中的问题。 2、关注学习过程，改变学生的学习方式 我们试图关注教学过程中的以下几个方面： （1） 暴露学生的思维过程 应该让学生有更多的机会去谈论自己的观点，一方面教师可以借机更好地了解学生 的真实想法，另一方面，学生的表述也必然会促进学生的自我意识和自我反省，从而促进 主动学习。 （2） 多种观点和策略的碰撞 有比较才会产生?观念冲突? ，学生才会清楚地看到自己已有观念的不足之处，并努力 去修正自己的观念，从而促进新的学习。因此，教师要善于创设这样的环境，在其中学生能 够把已有观念与别人的观念进行比较，优化或改进已有观念。 （3） 重视同伴互助 通过同学间的交流与合作， 学生不仅可以有更多的机会对自己的观念进行表述和反省， 而且也可学会如何去倾听别人的意见并做出适当的评价 因此，我们试图让学生充分感受问题的发现、探究与解决直至延伸的思维过程，关注 学生经验的形成、积累与建构，从而改变学生的学习方式。 3、强化科学精神和人文精神的培养 我们试图通过具有时代感的社会问题，鼓励学生主动发现问题、敢于质疑，敢于实践， 培养坚持真理，勇于创新，实事求是的科学精神，开阔学生的视野与胸襟，引导学生正确对 待自我、尊重他人，增强社会责任感与合作意识，强调学生主动学习态度的形成，培养人文 精神。 4、注重现代教育技术与数学教学以及学科间的整合 收集、分析、处理、交流和呈现信息是信息化时代所必须的素质，我们试图培养学生 的信息素养，加强技术的应用，使学生的学习与技术有机的融合，逐步实现?学技术、用技 [1] 术，与技术一起学? 由于本节课涉及地理、环保、经济与人文等领域的相关知识，因此，体现学科整合也 是我们的目标之一。 培养学生的数学应用意识和数学应用能力是新课改提倡的一个重要方面，也是培养学 生的创新精神和实践能力不可缺少的内容。本文通过展示这一课例研究的一些做法和经验， 希望引起同行对相关问题的进一步思考和探究，例如，如何开发学生既感兴趣，又紧密联系 生活与社会的数学应用课题？如何处理好学生自主学习与教师适当控制之间的关系？如何 利用现代教育技术促进学生的有效学习等。 关注并研究这些问题无疑将有效促进新课程理念 的真正落实。参考书目 [1]?上海市普通中小学课程方案? （征求意见稿） 上海教育出版社2002年12月第5页24致谢：感谢华东师大数学系 黄荣金博士对本课例研究的大力支持和帮助。评点： 本课例的选题较好。它既包含开放的提出数学问题的资源，又体现丰富的人文精神。 通过开放式地组织这个课题的教学， 不仅使学生体会到数学的实用性， 培养了应用数学知识 解决问题的能力，也增强了学生关注社会的意识。特别是由于充分使用的图形计算机（TI） 的强大功能，使得数学建模过程（不同数学模型的比较）和数学探究过程（不同计算策略） 得到充分展示， 这样不仅促进了学生自主学习的动机， 也使得学生在技术支持下从事高认知 水平的活动，达到了学生在高投入状态下进行高认知水平活动的结合，提高了学习的质量。 （评点人：黄荣金）从学科知识的形式变异到教学意义的深层构建――过程性变式在?平行线分线段成比例?教学中的尝试上海市徐汇区教师进修学院 上海市园南中学 华东师范大学数学系 徐晓燕 徐莉萍 聂必凯一、问题的提出变式教学作为颇具中国本土特色的教学现象，在数学教育领域的使用是常见的，其课 堂实施形式较多体现在基本概念的变式、数学命题的变式、图形的变式、解题的变式（如： [1] [2] 一题多解、一法多用、一题多变）等 ，顾泠沅先生提出的过程性变式 与杜宾斯基（Ed [3] Dubinsky）的 APOS 学习理论 不谋而合，他们都认识到作为学习结果的?图式构建?离不 开?操作和过程?这两个重要环节，而过程性变式应该是执行?操作和过程? 这两个环节 [4] 的有效的教学形式 。 教师对变式教学的认识和行动又是是怎样的呢？课堂是教学科研的最好阵地。我们对 上海市 53 名初级中学数学教师随机问卷的结果表明， 52.8%的被试认为自己是 ?经常在用变 式教学? ，30.2%的被试认为是?偶尔用之? ，而没有一个被试认为自己?没用过? ，上述数据 一定程度上验证了变式教学的普遍性， 但是同时我们还发现教师对变式教学的理解和应用还 存在一定的偏差：只是关注于学科知识的形式变异，而忽视了其教学意义的深层构建。为了 进一步研究过程性变式的教学意义， 我们认为有必要选择一个具有代表性的课例作为研究的 载体，对这一问题加以探讨。 [5] 选择上海初中数学教材第九册§28.2（1）（2）部分?平行线分线段成比例? 作为 、 课例研究对象的缘由，主要是源于教师的教学困惑：按教材顺序及教参安排教学，2 课时才 能完成本部分的教学，而这一部分，内容相似，忽视了知识之间的变式联系，学生因重复感 而生厌倦，因知识的零散而缺乏整体把握，还纠缠于四个定理的名称和语言叙述。经过整理 分析后发现这些定理源于一个基本定理，图形也是基于一个图形的变式，因此，我们试图通 过变式教学的引入， 通过对一个基本图形的研究解决一系列变式图形的问题， 突破这些教与 学障碍，从而提高学生的学习质量。25二、过程性变式在“平行线分线段成比例”教学中的尝试（一）基本图形的确立和猜想的获得● 特殊图形的观察与测量 1. 在练习本上画出两条平行线 l1、l3，以及第三条直线 a 与这两条平行线相交于点 A 和 C， 过 AC 的中点 B 作 l1 的平行线 l2，则 相交于 D、E、F。(如图一) 学生在测量的基础上求出AB =1，请再任作一条直线 b 与这三条平行线分别 BCDE 的值为：1, 0.97, 1.01 等,大都很接近&1&。初步得到： EFAB DE = BC EFabababA B CD E Fl1 l2 l3A B C（图二）D E Fl1 l2 l3CA BD E Fl1 l2 l3（图一）（图三）AB 1 2、改变 B 点的位Z,使得 = ,重复上述操作过程。(如图二) BC 2 DE 1 学生在测量的基础上求出 的值为：0.49,0.52,0.52,0.5 等, 大都很接近& &。也 EF 2 AB DE 得到： = BC EF● 基本图形的确立和猜想的获得 3、若点 B 是线段 AC 上的任意点，AB DE = 还成立吗？(如图三) BC EF AB DE = ，而与 B 点 BC EF学生通过测量和计算，猜想在 l1，l2 和 l3 平行的条件下，仍有 的位Z无关。 4. 教师几何画板演示：移动直线 l2 或者直线 b.（如下图） a b a babA B CD E Fl1 l2 l3C BAD E Fl1 l2 l3AD B C E Fl1l2 l3AB = 0.64 厘 米 BC = 2.21 厘 米 DE = 0.58 厘 米 EF = 2.01 厘 米AB = 1.33 厘 米 BC = 1.51 厘 米 DE = 1.22 厘 米 EF = 1.38 厘 米AB = 2.12 厘 米 BC = 0.73 厘 米 DE = 1.93 厘 米 EF = 0.66 厘 米26AB DE =2.9, =2.9 BC EF AB DE 同学们通过观察发现这些线短的长度一直在变，但是 与 始终是相等的，得到 BC EF AB DE 如下猜想：当 l1∥l2∥l3 时， = 成立。 BC EF（二）体现化归思想的证明 ● 体现化归思想的证明（师生共同完成）AB DE =0.29, =0.29 BC EFAB DE =0.88, =0.88 BC EFAB BC化归?S ?ABE S ?BCE等底同高 等底同高S ?DEB S ?EFB?化归 DEEF（如图四）● 对应线段的理解 师：除了这四条线段成比例，你还有其他成比例的线段吗？ 师：同学可以看到直线 a 和 b 被三条平行线截得的线段就 这四条吗？还有其它吗？还有什么？ 生：还有 AC 和 DF。 师：那你猜想一下还能是否有其他成比例的线段。 生：A B CD E F图（四）l1 l2 l3AB DE BC EF = ， = 。 AC DF AC DF生：师：将比例式中的分子分母互换位Z，结论还成立吗？ 生：成立。AB DE AB DE BC EF = ， = ， = ； BC EF AC DF AC DF BC EF AC DF AC DF ? ? ? ， ， . AB DE AB DE BC EF AB 师：你能给出证明吗？用刚刚的方法，可以把 转化成哪两个面积之比？ AC板书： 生：三角形 ABE 和三角形 ACE 的面积比。 师：同学们发现了，我还可以把这两个比倒过来写，结论那么多，你们看一看这里 AB 始终 对应着谁？ 生：DE。 师：BC 呢？ 生：EF。 师：AC 呢？ 生：DF。 师：不管怎么比，怎么写，它始终保持着线段之间的对应，这就是我们今天要学习的平行线 分线段成比例定理。那么你能用文字语言来概括描述一下吗？ 师：刚刚老师讲过了条件是什么？ 生：三条平行线。 师：是谁截谁？ 师：平行线截两条直线或者是两条直线被第三条直线所截？ 师：结论是什么？我把这么多比全都写下来吗？ 师：截得的线段成比例，这样讲恰当吗？ 生：是对应线段27师：非常好，这就是我们今天要学的平行线分线段成比例定理（投影显示： ） 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例。 ● 巩固练习：已知 l1∥l2∥l3 与 a、b 分别相交与 A，B，C 及 D、E、F，AB=2，BC=3，DF=7.5， 求 DE 和 EF。（三）从基本图形的变异到教学意义的构建● 学生操作---变式图形的获得 教师设问：保持 l1、l2 、 l3 互相平行，而直线 a、b 始终与它们相交，你们自己画画看有没 有什么新的图形产生？图画得越多越好！ （强调前提，教师巡视） 学生活动：操作画图 展示学生画图结果：● 教学协助---教学意义的构建 教师设问：在这些图形中刚刚的结论还成立吗？ 生（小声嘀咕） ：应该是成立的吧？ 师：请你比较一下你们所画的图形与平行线分线段成比例定理的图形的异同。 学生交流与讨论后发现只不过是两条直线的交点的位Z不同而已。 教师活动：利用几何画板操作演示进一步阐述上述图形都可以化归为基本图形， （如下图）a b l1 l2 l3a b l1 l2 la b l1 l2 l33 （A） (B) (C) 教师设问：图（B）中的 l2,图(C)中 l1 的我们可以拿走吗？拿走后影响结论吗？ 教师进一步梳理总结：abab l1l2 l3l3● 小结与巩固---变式的深化 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条直线所截，截得的线段 对应成比例。相对应的基本图形练习： 如图已知点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的延长线上一点,DE 交 BC 于点 F,EF=3,BF=2 求 DF、BC 的长。28DCF三、课后简评与反馈ABE原设计中教师是通过几何画板的演示， 把基本图形中的直线平移 到特殊位Z后得到?A?字型、 ?8?字型等特殊图形。我们发现这样的设计是以一个教师的 角度出发，把自己认为比较顺的一个变化过程呈现给了学生，教师一讲到底，既没有师生间 的呼应，也没有学生自己动手、动脑的探究，教室成为了老师表演的舞台。 课后，我们对学生进行了一个测试：如图：AD∥BE∥FC, BC=4,AC=6,DF=5,求 EF 的长。 结果显示：全班 46%的学生没有得出正确结果。 我们对这一部分学生进行抽样访谈，发现学生无法得出正确结果 A D 的原因是他们很难在复杂的背景中找到有用的对象。他们对定理的理 解只停留在靠平移得到的几种特殊图形上，而并没有意识到图形的本 B E 质结构。 针对上述情况，在新设计中，我们采取当基本定理得出后，由学 F C 生放手画出各种变式图形，对于图形的变化不再强调?平移? ，而通 过比较所画图形与基本图形的异同以及教师几何画板的操作演示揭示这些图形的本质联系： 这些图形虽然不同， 而究其实质还是三条平行线截两条直线的问题。 把教材中的其他三个定 理或推论作为基本定理的特例整体把握，不再特意作为定理的形式出现。 教师课后反思： ?第二次讲课后发现效果比第一次有所好转，例如学生对定理的条件、 结论区分得比较清楚， 并且几乎所有学生都能画出各种变式图形并发现它们与基本图形之间 的一些联系，另外，学生较好的完成了课堂练习。 ? ?把教材§28.2（1）（2） 、 ?平行线分线段成比例?两节课整合在一起这样的设计既 让学生从四个定理的纷繁复杂的名称和语言叙述中解放出来，又加强了对定理及其变式的 整体认识和把握。 ? 我们用原设计中的问题对学生进行了测试，93%的同学得出了正确结果。由此可见， 学生对?平行线分线段成比例定理?的理解不是形式的、外延性的，而是内在的、本质的。 四、结果与讨论 ● 过程性变式――揭示学科知识的本质联系 过程性变式通过反映知识的演变过程来揭示它们之间的本质联系，利用适当的过程性 变式， 可以帮助学生体验新知识是如何从已有的知识逐渐演变和发展而来的。 但变式教学如 果不从深层次上挖掘其教学意义， 很容易变成数学问题或几何图形的看似绚烂的 ?万花筒? ， 成为?为变而变?的机械操作，若如此，几何图形的变式也就是一种图形变化的游戏了，充 其量也只是相关图形的罗列和展示。 对于本节课的教学内容， 如果教师只是通过多媒体的操 作，演示那些变式图形的来历，学生也许清楚了图形之间的关系，但不易发现藏匿于图形之 下的知识本身的结构之间的关系，或者不易看出这些以命题的形式给出的知识之间的关系。 从第一轮课的课后学生访谈，我们得知，由于教师仅仅对变式图形的多媒体演示，即将其中 的一条被截直线从右至左的平行移动， 学生认为： （1） 所有那些变式图形只能通过有关直线 的平行移动得到； （2） 正因为那些变式图形都是通过有关直线的平行移动得到的， 那么从其 他途径（诸如非平移变形）得到的变式图形就有可能不满足这些定理； （3）从?井?字形到 ?8?字形和?A?字形的变异必须要有严格证明。 事实上，可以从以下几个维度来观察变异图形的获得： （1）被截直线的位Z关系：相 交或平行； （2）三条平行线的位Z关系：等距或非等距； （3）被截直线的交点与三平行线之 间的位Z关系：①交点在三条平行线的上（下）方；②交点在第一或第三条平行线上；③交29点在任两条平行线之间。 在第二轮课上， 变式图形由学生自己根据要求画出， 学生动手操作、 体验变式图形的获得过程， 从而真正懂得了这些变式图形之间不仅仅只是形式上的变化， 而 在本质上是一致的，因此，从平行线分线段成比例得到的相关推论是很自然的，甚至是不需 要证明的， 只要给学生提示在推论的图形的适当位Z添上一条平行线， 即是他们先前得到的 变式图形之一，然后，进一步引导学生对定理的理解：在定理的题设部分， ?两条直线被三 条平行线所截? ――既没有限定被截两直线的位Z关系， 也没有限定这三条平行线应截在何 处，故上述所有变式图形都满足定理的条件，因而相应的结论当然是成立的（从课后对学生 的访谈情况，我们发现学生是能够理解这一点的） 。 ● 过程性变式――促进知识由学术形态向教育形态的转化 ?数学知识需要形式化的表述，而教师的责任是返璞归真，运用适度的非形式化方法， [6] 将数学的学术形态转化为教育形态，展现数学的魅力，激起学生学习数学的热情? 尽管 。 教材这一部分对知识的教育形态问题已有所关注， 表现在平行线分线段成比例定理从三角形 的情况引入， 也许是考虑到三角形是学生之前研究最多也是了解最深的图形， 因而也是他们 所熟悉的内容，但正如前面所述，内容的相似，忽视了知识之间的变式联系，学生因重复感 而生厌倦，因知识的零散而缺乏整体把握等问题如何解决呢？ （1） 做过的，才有可能是真正理解的。 过程性的外在表现为可操作性。 当被观察的事物处于在运动和动态的过程中时,其各部 分内在联系和相关性质更容易被我们所发觉。 学生对基本图形的变形操作过程， 是基本图形 的一个动态变化过程，尽管这个过程不可能像几何画板那样直观、连续地展现，但学生对这 一过程的心理操作应该是连续、动态的。学生通过这一系列外显的和心理的操作过程，可以 认识到， 对于这些变式图形来说， 尽管被截直线与平行直线之间的位Z关系发生了一些变化， 甚至图形可能会千变万化，但?一组平行线截直线得到对应线段?这一关系始终未变，这也 正是变式教学所追求的理想之一：发现变化中的不变。 ?万变不离其宗? ，教学抓住了这个 ?宗?字，学生意会了这个?宗?字，便也就理解了。当然，学生对变化中?不变?的发现 并非易事，常常需要一定的教学协助，本课例中，教师较好地使用多媒体从移动被截直线或 平行直线这两个维度来演示图形变化的动态过程， 然后分析平行线分线段成比例定理的题设 部分，和学生一同找到这个?不变? 。 过程性变式的引入，使本单元的教学摆脱了?定理加证明?的?冰冷面孔? ，学生投入 积极的操作和火热的思考之中。 （2）基本图形（原型）的选取决定教学的基本走向 这里的基本图形，是指作为变式图形出发点的图形，或者称为原型。基本图形中的基本 元素和关系应该是学生熟悉或易于了解的。 本课例选取了?两条直线被三条平行线所截?作为基本图形，其结构简单明了，正是 学生所熟悉的，而且作为原型，为图形的变式提供了较大的发展空间。从基本图形出发的变 式教学，只要是能够为学生创造适当的学习空间，适应学生的认知结构（或认知顺序） ，而 教学过程中改变教材的逻辑结构（或逻辑顺序）也是必要的。 ● 过程性变式――促进教学的有层次递进 数学知识本身是一个多层次的结构系统。人的认识往往是从特殊到一般然后又到特 殊的过程， 课堂教学的有层次递进正是基于数学知识的结构和人的认识的这一规律， 加上学 生在学习准备上的差异性， 教学的层次性使得不同学习水平的学生在教学进程的各个阶段各 有所获。本课例的教学序列为： 猜想 特殊图形的操作、 测量 平行线分线段成比例定理 几个推论 （平 行线等分线段、三角形形内和形外的平行线） 事实上，几个推论无非是平行线分线段成比 ， 过程性变式 例定理的特例而已，这一序列可以进一步概括为：30操作 测量 猜想 证明 推广 应用。观察、测量、猜想以及图形的变 式等操作活动或数学活动，对于那些不善于几何证明的学生来说，无疑是有很大帮助的。 [7] 数学理解也是一个进行中的、动态的、分水平的过程 。教学的有层次递进利于不同 的学生在不同的学习阶段达到不同的理解水平。观察、测量、猜想以及图形的变式可能使学 [8] 生达到?初步了解、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察述评?等理解水平 。参考文献 [1] 刘长春 张文娣 中学数学变式教学与能力培养（M） ，山东教育出版社，2001。 [2] 顾泠沅 学会教学（M） ，人民教育出版社，1991。 [3] Ed Dubinsky ,et. al. APOS: A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research. [4] 鲍建生、黄荣金、易凌峰、顾泠沅 年级第一学期。 [6] 张奠宙、王振辉 数学教育学报，2002（2） [7]、[8] 李士 PME:数学教育心理(M)。华东师范大学出版社，2001。 关于数学的学术形态和教育形态――谈?火热的思考?与?冰冷的美丽? （J） ， 变式教学研究（J）,中学数学教学，2003（1）（2）（3） 、 、 。 [5] 上海市中小学课程教材改革委员会 九年制义务教育课本，数学，九〔评点〕 文章立意鲜明，内含深刻，利用?平行线分线段成比例?作为课例，调整、重组。论述 了?过程性变式?从学科知识形式变异到教学意义的深层构建，是一篇较好的文章。生成式的数学概念教学――一次?众数、中位数?教学尝试上海市恒丰中学 沈岱?曹治安摘要：在?众数、中位数?教学中，我们的教学策略是：创设问题情境，揭示数学概念 的来源；提供探究任务，明晰数学概念的内涵；组织变式训练，深化数学概念的理解；回归 问题原型，加强学生情感体验。 关键词: 比较研究 建构主义一、研究的背景1．中美数学教学的一些基本特征 20 世纪 80 年代以来，中国的数学教学基本上以?接受式?为主，后来?启发式?有所 发展，近来人们认识到?活动式?教学的重要性。而美国的数学教学一贯重视让学生自主探 [1] 索和自主发现，对学习过程的体验 。下面，我们以?众数、中位数?教学为例说明中美两31种不同理念下的教学设计。 2． ?众数、中位数?的两种教学设计 [2] 中国的一种?众数、中位数? 设计过程为： （1）创设情景、提出问题； （2）合作讨论、 探索新知； （3）理性概括、纳入系统； （4）指导应用、鼓励创新： （5）归纳小结、反思提高。 [3] 而美国的一种 ?众数、 中位数? 设计为： （1） 提供开放性活动的任务工作单； （2） 探讨 ?发 现?的方法与规律； （3）组织探究过程； （4）实施探究任务。比较上述两种设计，我们发现 他们之间的一些差异（如表一所示） 。 表一 中美对“众数、中位数”的两种教学设计之比较中国“课例大家评―众数、中位数” 美国“赋予各种集中量数的意义”优点1．教师通过对学生 参与学习的启发、调整、 激励来体现自己的主导作 用。 “学疑结合”“学 进行 、 思结合” “学用结合”的 、 学法指导。 2．其知识的系统性、 教学目标的达成度都较 高，数学思想方法有所体 现与贯穿。 3．课堂容量与密度 大， “双基”训练多。不足1． 学生的探究活动 少，缺少对知识的发生、 发展过程的体验。 2． 课堂中学生主动 建构数学知识、 探究知识 内在联系等方面的机会 少。 3． 学生直面数学困 惑并挑战难关的主动性 很少能够被激发与调动 起来。优点1．教师呈现探 究任务， 学生在研究 的情境中 探究某个 概念的意义。 2．学生参与到 提出猜想 、检验猜 想、 推理证明的过程 之中。 3．教师参与到 学生的小 组活动之 中，施以 必要的帮 助。不足1． 教学组织比较凌 乱、课堂容量小，任务实 施大多数时间处于无组 织不系统的探究水平之 上。 2． 学生很少能够清 晰而明白地说出猜想的 理由， 不少学生的探究处 于盲目的状态。 3． 学生难以增进对 建立与检测猜想过程的 理解。3．教学内容的考虑 教学目标 （1）从生活故事中产生问题，在遭遇问题过程中自主发现疑问，产生渴望建立新概念的 要求，借此培养学生发现问题的探索习惯与质疑事件的敏锐性； （2）引导学生建立新概念，在交流讨论中领悟概念的内涵与外延，通过合作探究来建构 概念，培养学生的交流表达能力； （3）回归生活实践，解决实际问题，把知识内化为一种能力。 （4）营造数学课堂教学中平等对话、和谐互动的氛围。渗透建构主义理念和归纳猜想的 数学思想方法。帮助学生树立全面发展、学科相互借鉴和相互促进的意识，养成科学思维的 习惯。 教学内容地位分析与重难点解读 众数、 中位数与平均数都是描述一组数据的集中趋势的统计特征量。 面对描述某个对象 或某件事情的一组数据， 可以利用这几个基本概念帮助学生学会用数据说话。 平均数的概念 在学生头脑中已有较深的印象和基本认识， 不再讲解， 本节课的重点在于众数与中位数的求 法与应用； 众数与中位数概念的形成与定义既是重点又是难点。 如果教师开门见山给出定义， 既不利于学生主动探索知识能力的培养， 也不利于学生理解数学与生活的关系， 误解成数学 概念是天上掉下的馅饼。中学生学习数学重要的是能够理解?数学源于生活，又反作用于生 活? ，学生建构概念时能够用他们自己的语言表述科学概念的含义，不求遣词的生动，只求 表达的准确和易于理解。因此，(1)根据学生的认知特点，笔者将概念解读为以下两个说法： 1°众数是代表大多数的数， 即重复次数最多的数据； 2°按大小排列后的一组数据居正 中的一个数据或两个数据的平均数来表示中位数。二、教学设计32我们追求一种有意义的活动式学习， 主动建构， 进行必要地变式训练， 重过程亦重获得。 我们主张课堂教学应?以学生为本? ，以促进学生的自主发现、自主研究、自主发展作为出 发点而实施探究活动；以?教师组织教学是为了有利于学生有意义的活动式学习、主动积极 建构?而实施合作学习；以有效提高学习质量为归宿点而进行变式训练。我们以如下的想法 作为我们的设计支柱。 1、创设问题情景，揭示数学概念来源 教师为了激起学生的内驱力，最有效的方法就是?重视教学与现实生活的联系? （顾泠 沅《面向 21 世纪上海市中小学数学学科教育改革行动纲领》，即创设问题情景，使学生引 ） 起认知冲突，直面数学困惑，Z身于渴望解决问题的情境之中。为此我们设计了?广告策划 员的工资该定为多少?的问题情景，问题的解决转化数学问题的争论：学生用已有的知识直 接解决问题存在争议， 用创造性的知识解决问题又存在疑问， 这激起了他们对解决矛盾的迫 切愿望。我们创设了小张到某公司应聘的如下问题情景：诚 聘 上海安化广告有限公司由于业务发展需要，现向社会公开招聘一名广告策划员。 要求：熟悉平面设计与办公自动化软件、大专以上学历、男女不限、待遇从优。
小张应征而来，向总经理询问一些情况。总经理说： ?我们这里经济效益好，待遇不错，员工月平 均工资 2500 元。只要你干得好，公司不会亏待你。不过，你得先试用一周? 。小张工作几天后，公司通 知小张说他的月薪为 2000 元。小张很有情绪地找到总经理说： ?你欺骗了我，你不是说月平均工资为 2500 元嘛，怎么才给我 2000 元呢??总经理说： ?小张，员工月平均工资就是 2500 元，不会错的，我不 可能骗你。至于你的工资，公司决定按全体员工的一般工资水平 2000 元给你。不信，我可以给你看我 们的工资统计表。 ?边说边拿出一张表格给小张看。 上海安化广告有限公司 2003 年 4 月工资发放统计表 员工 总经理 部门经理 设计员 业务员 文秘 总计 人数（人） 1 4 10 12 3 30 月工资（元） 00 合计（元）
30003375000 讨论的问题：小张的工资该定为多少？2、提供探究任务，明晰数学概念的内涵 为保护和鼓励学生的个人能动性并提高课堂效率，我们要求学生自主或小组合作学习， 利用工作表推导出?众数、中位数”意义。从而在某种程度上利用以前的学习，对新信息进 行精制，并与其他信息关联起来，以便在保持简单信息的同时，理解复杂信息；学生清晰地 认识到了自己的工作目标，就可以形成与获得所希望的成果相应的预期―从一组数集猜想， 利用别的数集验证或纠正猜想， 使合作学习取得成功。 由此让学生熟悉归纳猜想的数学思想 方法，体验克服困难的兴奋与团结协作的价值。我们提供的工作单如下： 表二 中位数、众数意义根据下列各组数据，推测众数、中位数的意义。 A 组：2、3、10、12、17 众数：无 中位数：10 C 组：1、1、9、6、11 众数：1 中位数：6 E 组：2、15、12、2、8 众数：2 中位数：8 G 组：6、6、1、8、8、7、7、7、4、6 众数：6、7 中位数：6.5 B 组 1、2、2、5、6、7、8 众数：2 中位数：5 D 组：3、6、8、9、10、11 众数：无 中位数：8.5 F 组：8、2、12、15、2 众数：2 中位数：8 H 组：5、5、5、5、5、5 众数：5 中位数：53、回归问题原型，实施适度的变式训练 为确保授课的完整性，我们在鼓励学生从情境中发现数学概念，经过探究明白了数 学概念的本质之后，再回到问题情境之中，解决问题。为了巩固学习成果和检验迁移水平， 我们将情境改造，形成?貌似神非?和?貌非神是?的新问题，加强变式训练。训练题如 下：1． 小张的工资按经理的意思该定为多少？ 2． 如果将表格改为下表，销售员的月销售改定为多少？并说明理由。 上海×商场 2003 年 6 月电冰箱的试销售情况统计表 销售台数 3 8 9 11 12 33 人数 1 3 11 5 5 1 3．若为下表，该选谁做班长？并说明理由。 班级班长候选人得票数 候选人 徐听 奉献 张以淼 刘铮铮34选票数 3 16 10 74、尝试文理互补，深化数学概念的理解 ?二期课改?强调中学各学科要有机整合。我们用录像片断呈现故事情景，结尾部分通 过两首诗帮助学生理解两个概念，在用数学语言学习的同时，又以诗的语言加深印象。师生 合作小结，既有利于学生巩固建构成果，又有利于学生精炼建构经验。下面是我们归纳的两 首诗： 表三 中位数、众数的描述诗众 数 中 位 数 一群好汉闹嚷嚷，兄弟依次排成行。 中位数啊中位数，不当尾来不称王， 胆小如鼠站中央。兄弟 9 个你老 5， 前怕狼来后怕虎；10 个兄弟又咋办， 老 5 老 6 平均算。 三人为众众表多，众数含义我来说。 一群好汉选首领，众数当然做大哥。 大哥大哥该是谁？数数谁家兄弟多： 没有大哥别伤心；一个大哥最好过； 几个大哥也好说。5．自主评价 通过自主评价，促使学生反思他们的体验和获得的知识等，提高反思性学习的能力。三、课堂活动的分析（一）课堂教学行为的变化在课堂教学实施过程中， 策略型学习的建构主义思想得到了充分的体现： 讨论的开放度， 平等对话、 和谐互动的课堂教学氛围， 学生长时间保持较高的思维水平都给我们留下了深刻 的印象。下面我们分两个环节来说明。 1．基于问题情境，学生从不同的角度提供不同的解决方案，多观点交锋 在学生各小组仔细琢磨了录像情境中的问题后，教师鼓励学生大胆设想自己的解决方 案，并对学生的回答作评价或总结。请看片断： ①师：小张的工资该定为多少呢？下面我们一起来听听大家的意见。 ②生 1：我们认为经理应该给小张开 2500 元的月薪。因为 2500 元代表员工工资平均水 平，也就是全体员工的一般水平。 （有学生反驳：如果比尔.盖茨来我们班级，我们平均就有几十亿美元了，这几十亿美 金是我们班级的一般水平吗？） （全班学生大笑） ③师（笑） ：反驳的有道理，举例也很生动。看样子，一般水平并非就是平均水平?? ④生 2：我们认为小张的月薪可以定为 2000 元。因为公司中业务员最多，有 12 个人， 他们的工资都是 2000 元，少数服从多数。所以 2000 元合理。 （大家部分赞成，部分反对，有学生低声说设计员也有 10 人呢，不算少数） ⑤师：很有道理，第二小组给出了一个数学概念―众数，很了不起的，极富创造力。下 面我们再一起来听听其他意见。 ⑥生 3：我们认为总经理工资太高，不该把他的工资算进月平均工资，应该扣除。再去 掉一个最低工资，平均工资应该是（-1000）÷（30-2）≈2393（元）这个工资 代表一般水平，更合理些。 （许多同学笑：不对。你以为是跳水比赛，要去掉最高分，去掉最低分?） ⑦师：很好，同学们，第三小组能够把运动员评分规则用到这里，说明我们的同学学习 很灵活，肯动脑筋，我们都要学习这种精神??数学上习惯称这种平均数为截尾平均数,但352393 代表工资的一般水平是不是最合理，好像还有不同的意见。 ⑧生 4：我们认为一般水平就是中等水平。我们把 30 个员工的工资从高到低排列后， 中间有两个值：第 15 人为 2500 元，第 16 人为 2000 元。取哪一个都不好，我们就取它们的 平均值：2250 元。这种做法是我们讨价还价的结果，合不合理请大家批评指正。 （很多学生很佩服发言人的创新精神与设计能力， 频频点头； 也有同学说哪有这么复杂） ⑨师：这种理解有独到之处，逻辑合理，不简单！他们算出的这个 2250 就是这 30 个工 资数的中位数。 （老师将它写在黑板中央） 我们已经有四种意见了， 让我们再听听别的意见。 ⑩生 5：小张是不是名牌大学毕业的，工作能力强不强？找工作最讲这个！我表哥复旦 大学毕业的，做广告，月薪就是 5000。我认为广告策划工作工资可以拿到 5000 元一个月， 当然要看他是那个大学毕业的，是否工作能力强?? （学生都笑：这个问题又不是数学问题，他吹牛不打草稿??） 在上述活动中， 学生根据自己熟悉的知识以及课堂以外见过的其他类型的知识， 提供解 决问题的方案并能够阐述理由，学生②④⑥⑧⑩分别提供了 5 个方面的内容，开放度较大。 2．平等对话，促进了学生元认知的发展；自主探究，始终使学生处于高认知水平的活 动中。 通过师生、生生对话，对多种问题解决策略进行分析和比较，探索合理的问题解决 策略或方案。从如下教学片断可见一斑。 （1）师：好！我们一起来听听