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Green浅绿5Yellow黄13Deep Green深绿6Green绿14Green/Yellow绿滚黄7Blue兰15Black\White白注黑8Purple紫16Light Blue浅兰交流电AC绞向Lay Direction安培Ampere百万Mega美国试验与材料协会ASTM密耳Mil美国线规AWG千分之一Milli包扎物Binder麦拉Mylar电缆Cable美国电气制造商协会NEMA芯线绞合Cabling尼龙Nylon同轴电缆Coaxial Cable奥姆Ohm同心绞Concentric Stranding可塑剂Plasticizer导电率ConductivityPEPolyethylene导体ConductorPPPolypropylene花线CordPUPolyurethane安全电流Current CarryingPVCPolyvinyl Chloride直流DC电阻Resistance地线Drain Wire卷线Retaractile Cord电子工业协会EIA橡胶Rubber地线Earth美国汽车工程协会SAE铁氟龙FEP半硬质 PVCSemi-rigid PVC填充物Fillers隔离层Separator发泡聚乙烯Foamed PE隔离层Shield硬铜线Hard Brawn Copper Wire遮蔽率Shield Coverage电气电子工程师协会IEEE硅胶Silicone阻抗Impedance铁氟龙Teflon绝缘Insulation铁氟龙TFE幅射Irradiation铜箔丝Tinsel被覆Jacket耐热温度Thermal Rating绞距Lay垂直耐燃试验VW-1多条铜线导体资料&&线规 Gauge AWG直径 D iameter面积 Area重量 Weight&线数 / 线径 No./mm　MilsmmCircular Mil C.M.Square inch in 2Square mm 2Kg/km1289.37.34883.6940.0657342.413771/7.3498.50837919/1.6908.537937/1.2108.4837761/0.9412257.66.54466.3580.0521233.632991/65447.412997/2.4747.55129919/1.5027.5930237/1.0804204.35.18941.7380.0327821.151881/5.1905.961887/1.9625.99118819/1.1915.99218837/0.8546.032188133/0.4506.036192.2420/0.25461624.11526.2440.0 206113.3118.21/4.1164.771197/1.5604.82912019/0.9504.74911837/0.6774.803121266/0.2548128.53.26416.5120.012978.36874.391/3.2653.6974.437/1.2343.77174.619/0.7493.7674.437/0.5373.78375133/0.28410101.92.58810.3840.0081565.26246.781/2.5892.96146.947/0.9803.00547.419/0.5953.01747.8105/0.2542.97446.4259/0.1601280.812.0536.530.0051293.30929.421/2.0532.32529.437/0.7762.37129.3719/0.4712.36529.5865/0.2542.39530.1168/0.1601464.081.6284.1060.0032252.08118.51/1.6301.84518.537/0.6161.87718.519/0.3741.88518.6641/0.2541.89418.81105/0.1601650.821.2912.5830.00 20291.30911.641/1.2911.46411.677/0.4881.50211.8326/0.2541.48311.6565/0.1601840.31.0241.6240.0012750.82267.3211/1.0241.1927.4347/0.3901.1787.2816/0.2541.2127.5434/0.1801.1637.1641/0.16020300.81181.0210.00080190.51744.61/0.8130.964.77/0.3100.94214.6521/0.1800.93054.5426/0.1602225.350.6439624.60.00050470.32562.8951/0.6450.7653.1867/0.2540.75242.9717/0.1602420.10.51064040.00031730.20471.821/0.5110.61.067/0.2000.605251.9211/0.1602615.940.4049254.10.00019960.12881.1451/0.4040.4741.2237/0.1602812.640.3211159.80.00012550.080970.71981/0.3220.3810.79037/0.1273010.030.2548100.60.00079010.050970.45311/0.2540.30.497/0.100327.950. 2091 063.24.964E-050.032030.28477/0.080346.3050.160139.753.122E-050.0 20140.1791/0.1613650.127251.963E-050.012670.11261/0.128383.9650. 100715.721.235E-050.0079680.070841/0.102403.1450.079879.8917.768E-060.00 20120.044561/0.080&
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4.3多自由度有阻尼体系的受迫振动
多自由度有阻尼体系的受迫振动多自由度有阻尼受迫振动微分方程组：?? ? Mu ? Cu ? Ku ? ? P(t )?（4.54）?直接积分法：就是按照时间历程对上述微分方程直 ? 接进行数值积分，即数值解法，常用 ? ? 方程的解法 ? 的数值解法由中心差分法、Newmark 法 ? 和Wilson ? ? 法 ? ?振型（模态）叠加法 ?为了说明振型叠加法，先就以下几个概念加以说明。4.3.1坐标的耦联与正则坐标通过前面给出的两质点运动方程知：由于方程组的未知数（坐标） u1 和u 2 是耦联的，也就是说必须联立求解才能得到u1 和u 2的解，这种方程 称为坐标耦联。坐标耦联又可以分为刚度（静力）耦联，以及惯性（加速 度或质量）耦联。因此，微分方程组耦联的数目越少，方程的解法就越 简单。为此，引入广义坐标（独立坐标）的概念对微分方程组进行耦联。对于一个n自由度体系，如果已知体系的振型X i，并引入一组新的坐 标q ? ?q1 , q2 , ???, q j , ???, qn ? , 使新的坐标q与原物理坐标u之间形成一种线性T变换，即u ? Xq ? ? X i qii ?1n（4.55）u ? Xq ? ? X i qii ?1n（4.55）u1 ? q1 X 11 ? q2 X 12 ? ??? ? q j X 1 j ? ??? ? qn X 1n ? ? u2 ? q1 X 21 ? q2 X 22 ? ??? ? q j X 2 j ? ??? ? qn X 2 n ? ? ?????? ? ? （4.56） ui ? q1 X i1 ? q2 X i 2 ? ??? ? q j X ij ? ??? ? qn X in ? ? ?????? ? un ? q1 X n1 ? q2 X n 2 ? ??? ? q j X nj ? ??? ? qn X nn ? ?式中，ui为质点i的位移坐标，即微分方程组的解；X ij为质点j在i振型下的 相对位移幅值；qi为i振型所对应的广义坐标，又称正则坐标或振型坐标。由于方程组（4.56）还可以写成：u ? Xq =X 1q1 ? X 2 q2 ? ??? ? X j q j ? ??? ? X n qn将上式两端同时左乘X iT M ，得（4.57）X iT Mu ? X iT MX 1q1 ? X iT MX 2 q2 ? ??? ? X iT MX j q j ? ??? ? X iT MX n qn（4.58）由于振型关于质量矩阵的正交性，上式右边只有X iT MX i qi这一项不为0.其他 项均为0，故得：X iT Mu ? X iT MX i qiX iT Mu X iT Mu qi t）= T （ ? X i MX i Mi（4.59） （4.60）上式即为广义坐标qi t）与实际位移（t）之间的关系。 （ u4.3.2阻尼假设对于粘滞阻尼，假定阻尼力的大小与质点振动的速度成正比， 而阻尼力的方向与速度相反。在多自由度体系中，每个质点的振动， ? 作用在质点i上的阻尼力，除了受该点振动速度ui影响外，还要受到其 ? 他质点j振动速度u j的影响，所以多自由度体系的阻尼矩阵C为：? c11 c12 ?c ? 21 c22 C? ? ci1 ci 2 ? ?cn1 cn 2 ???? c1n ? ??? c2 n ? ? cij cin ? ? ??? cnn ? ?（4.61）式中，Cij为j质点单位速度对质点i所产生的阻尼力。关于阻尼矩阵却不满足正交条件，因此在一般情况下，只能得到关于振 型坐标的一组相互耦联的微分方程。为了便于方程组解耦，使振型关于 阻尼矩阵正交，现介绍以下两种多自由度体系中的阻尼假设。1.Rayleigh阻尼C =? M ? ? K（4.62）式中，?，? 为比例常数，这时，系统的各振型关于阻尼矩阵正交。即X T CX i ? X T (? M ? ? K ) X i ? ? X T MX i ? ? X T KX i j j j j0 ? ?? ? 2 ? ?c j ? (? ? ?? j )m j(i ? j ) (i ? j )（4.63）式中，c?为第j阶振型的广义阻尼系数。从上式可以求出第j阶振型的阻尼比 j? 1? ? ? j ? ? ? ?? j ? ? 2 ??j ? ?（4.64）另外，如果已知体系的第一、二阶频率和相应的阻尼比，则可以利用下式求 出比例常数?，?。? ? ??12 =2? 1?1 ? ? 2 ? ? ??2 =2? 2?2 ?2?1?2 ? 1?2 -? 2?1） （ 2(? 2?2 -? 1?1） ?= ，? = 2 2 2 ?2 -?1 ?2 -?12（4.65）（4.66）? 1? ? ? j ? ? ? ?? j ? ? 2 ??j ? ?（4.64）阻尼比2. Caughey阻尼Caughey阻尼又称扩展的Rayleigh阻尼。通过对上述Rayleigh阻尼的简介可知： 比例常数?，? 是由第一、二频率和阻尼比来确定的，而更高阶的阻尼比则由 式（4.64）来确定。也就是说，Rayleigh阻尼仅可能在两个频率点上满足等于 给定的阻尼比，而更高阶的阻尼比一般并不和实测结果一致，并且所取得的 振型阶数越高，误差愈大，这就是Rayleigh阻尼的不足之处。因此，可采用如 下阻尼。n ?1C ? ? 0 M ? ?1K ? ? 2 KM ?1K ? ??? ? M ? ? m ( M ?1K )m （4.67）m ?0式中，? 0，?1，? 2， ，? n ?1为n个待定常数。利用广义正交性可以证明Caughey阻 ??? 尼矩阵满足正交性，即i ? j时，X iT CX i ? X iT M ? ? m ( M ?1K ) m X i ? 0m?0n ?1（4.68）当i =j时，广义阻尼矩阵C ?中的主对角线元素c?为 jc? = ? ? e? 2 e m? j j je?0n ?1（4.69）从上式可得1 n ?1 2 e ?1 ? j ? ? ? e? j 2 e?0（4.70）将已知的n阶自振频率以及实测的n阶阻尼比带入上式，可以得到n个线性方程，联立 求解可得n个待定常数，这就使得假设的各阶阻尼比和实测结果完全吻合。例4.2已知3个自由度体系的前三阶振型阻尼比? 1 =? 2 =? 3 =0.05，结构的质量矩阵和刚度矩阵 0 ? 0 ? ?180 0 ? 98 ?98 分别为M ? ? 0 270 0 ? kN ? s 2 / m, K ? ? ?98 294 ?196? ?103 kN / m, 试求阻尼矩阵。 ? ? ? ? ? 0 ? 0 ?196 441 ? 0 270? ? ? ? ?解：利用方程 K ? ? 2 M ? 0求得结构的三阶频率分别为：?1，?2，?3 =13.445,30.144, 46.661 s） （1（1）假设为Rayleigh阻尼根据式（4.66），有 2?1?2 ? 1?2 -? 2?1） （ ?= =0.93 2 2 ?2 -?1 2(? 2?2 -? 1?1） ?= =0. ?2 -?1故利用式（4.62），可得0 ? ? 392.80 ?225.40 C ? ? ?225.40 927.30 ?450.80 ? kN ? s / m ? ? ? 0 ?450.80 1265.40 ? ? ?再利用式（4.64)得体系的第三振型阻尼比为1 ? 0.93 ? ?3= ? +0.? =0.0636 2 ? 46.661 ?可见，由第一阵型和第二振型阻尼比求的第三振型与实测值 之间有较大差异（27.2%）.（2）假设为Caughey阻尼利用式（4.70）可得方程组：? 0.05=0.5 ? ? 0 13.445 +13.445?1 +13.4453? 2） （ ? 3 0.05=0.5 ? ? 0 30.144 +30.144?1 +30.144 ? 2） （ ? ? 0.05=0.5 ? ? 0 46.661+46.661?1 +46.6613 ? 2） （ ?解的? 0 =0.847，?1 =0.00284，? 2 =-4.96 ?10-7，然后根据式（4.67），有C ? ? 0 M ? ?1M ? ? 2 KM ?1 K 代入已知条件，得 : ? 386.497 ?198.801 ?35.236 ? C ? ? ?198.801 807.952 ?292.371? kN ? s / m ? ? ? ?35.236 ?292.371
? ? ?4.3.3振型叠加法利用Rayleigh阻尼假设将方程（4.54）转化为?? （ ? Mu ? ? M ? ? K）u ? Ku ? P(t )（4.71）u ? Xq ? ? X i qii ?1n（4.55）?? （ ? Mu ? ? M ? ? K）u ? Ku ? P(t ) （4.71） ?? （ ? MXq ? ? M ? ? K）Xq ? KXq ? P(t ) （4.72）?? （ ? MXq ? ? M ? ? K）Xq ? KXq ? P(t ) （4.72）两端左乘 ? X ? jT?? （ ? M j q j ? ? M j ? ? K j）q j ? K j q j ? Fj (t ) （4.73）两端同除以M j?? （ ? q j ? ? ? ?? ）q j ? ? q j ?2 j 2 jX T P (t ) j MjF j (t )=X T P (t ) j 广义荷载（4.74）令? ? ?? 2 ? 2? j? j jPj? ?X T P (t ) j Mj? j?? ? q j ? 2? j? j q j ? ? q j ? P2 j（4.75）由此可见，?? ? Mu ? Cu ? Ku ? ? P(t )?（4.54）实际上是n个独立的方程。如果荷载P (t )是简谐荷载或其他周期 荷载，则每一个方程均可按单自由度体系的方法求解；如果荷 载为其他一般性荷载，则方程可利用Duhamel积分进行求解。? 如果方程（4.54）的初始位移与初始速度均为0，即u(0)=u(0)=0, ? 则可以推得q(0) ? q(0) ? 0, 根据Duhamel积分方程，（4.75）的解：tq j (t ) ?? P (? )e M ??? j j j 01?? j ? j ( t ?? )sin ? ?j (t ? ? )d? （4.76）式中，? ?j =? j 1-? j2如果方程（4.54）的初始位移与初始速度不为0，则应将由初始条件 引起的振动叠加到式（4.76）中，即有：q j (t ) ? e?? j ? j t? ? ? q (0) ? ? j? j q (0) sin ? ?j t ? ? q j (0) cos ? ?j t ? ?j ? ? ? ?t ? j ?? j ? j ( t ?? )?? P (? )e M ??j j 01sin ? ?j (t ? ? ) d? （4.77）? 对于初始条件q(0)和q(0)，可以式（4.60）求得：? X iT Mu (0) X iT Mu (0) ? qi (0)= , qi (0)= Mi Mi（4.78）u ? Xq ? ? X i qii ?1n（4.55）上述求解方法是将运动方程的解用振型的线性叠加来表示，称振型叠加法。振型叠加法思路：相互耦联的微分方程求解n个相互独立的微分方程例4.3如图4.9，已知结构的 两个自振圆频率分别 为?1、?2，结构的第 一主振型与第二主振 型分别为?Y ?1 ? ?1,1? 、T?Y ?2 ? ?1, -1?T, 试求结构在突加载荷P (t ) 1 (? P , 当t ? 0; ? 0, 1 当t ? 0)作用下的 位移和弯矩。解： （1）利用式（4.55）建立正则坐标变换?u1 ? ?1 1 ? ?q1 ? u ? ? ? ? Y ?q? ? ? ? ?q ? ?1 ?1? ? 2 ? ?u2 ?(2)求广义质量由式（4.52）得? m 0 ? ?1? M1 ? Y MY1 ? ?1 1? ? ? ?1? ? 2m ? 0 m? ? ? ? m 0 ? ?1 ? T M 2 ? Y2 MY2 ? ?1 ?1? ? ? ??1? ? 2m ? 0 m? ? ?T 1(3)求广义荷载? P (t ) ? F1 (T ) ? Y P(t ) ? ?1 1? ? 1 ? ? P (t ) 1 ?0 ? ? P (t ) ? T F2 (T ) ? Y2 P(t ) ? ?1 ?1? ? 1 ? ? P (t ) 1 0 ? ?T 1(4)求正则坐标由式（4.76），得1 q1 = P? (? ) sin ?1 (t ? ? )d? ?1 M 1?1 0P 1 1 ? P sin ?1 (t ? ? )d? ? (1 ? cos ?1t ) 2 ?1 2m1?1 0 2m1?1ttP q2 = 1 2 (1 ? cos ?2t ) 2m?2(5)求质点位移根据坐标变换，得u1 (t ) ? 1.0q1 (t ) ? 1.0q2 (t )P P 1 ? (1 ? cos ?1t ) ? 1 2 (1 ? cos ?2t ) 2m1?12 2m?2u2 (t ) ? 1.0q1 (t ) ? 1.0q2 (t )P P 1 ? (1 ? cos ?1t ) ? 1 2 (1 ? cos ?2t ) 2m1?12 2m?2(6)求弯矩设Qi (t )表示质点i在任意时刻t所受的荷载和惯性力之和，则有P 1 (cos ?1t ? cos ?2t ) 2 P ??2 (t ) ? 0- 1 (cos ?1t ? cos ?2t ) Q2 (t )=P -mu 1 2 ?? Q1 (t )=P -mu1 (t ) ? P 1 1则质点1和质点2处截面的弯矩为：2Q1 (t ) ? Q2 (t ) l Pl ? 1 ? 1 M 1 (t ) ? ? ? (1 ? cos ?1t ) ? (1 ? cos ?2t ) ? 3 3 6 ? 3 ? ? Q1 (t ) ? 2Q2 (t ) l Pl ? 1 ? 1 M 2 (t ) ? ? ? ?(1 ? cos ?1t ) ? 3 (1 ? cos ?2t ) ? 3 3 6 ? ?4.4动力特性的实用计算方法4.4.1Dum ker ley公式在动力分析中对体系的基频迅速做出估计是很重要的，所以， 在此，先介绍估算第一频率的Dum ker ley公式.以三个自由度体系为例，按柔度法建立的体系特征方程是1 ? ?11m1 ? 2 ? ? ? ? ? m 21 1 ? ? ? ? 31m1 ? ??12 m2 ? 22 m2 ?1?2? 32 m2? ? ? ? 23 m3 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 33 m3 ? 2 ? ? ??13 m3（4.79）式中，? ij为体系的柔度系数。它的展开式是关于3 21?2的三次代数方程? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? -(?11m1 +? 22 m2 +? 33 m3 ) ? 2 ? ? ??? ? 0 ?? ? ?? ?1（4.80）1 1 设方程的三个根为 2 、 2 、 2 ，则写成方程的形式如下?1 ?2 ?3? 1 1 ?? 1 1 ?? 1 1 ? ? 2 - 2 ? ? 2 - 2 ? ? 2 - 2 ? =0 ? ? ?1 ? ? ? ?2 ? ? ? ?3 ?展开后，有（4.81）1 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 2 ? - ? 2 + 2 + 2 ? ? 2 ? ? ??? ? 0 ? ? ? ? ?1 ?2 ?3 ? ? ? ?3 2（4.82）比较式（4.82）和式（4.80），有1?12 1+1?2 2+1?2 3=?11m1 +? 22 m2 +? 33 m3（4.83）由于工程实际中的高频部分较基频高的多，所以，忽略上式左端的 1 高阶频 2 、 2 后，可以得到关于体系第一频率的近似公式。?2 ?31?2 1? ?11m1 +? 22 m2 +? 33 m3（4.84）它就是Dum ker ley给出的基频计算公式，对于n个自由度体系Dum ker ley 公式的一般形式为1?2 1? ? ? ii mii ?1n（4.85）2 由于? ii mi ? mi kii ? 1 ?ii，所以上式又可写成1?2 1??i ?1n1?2 ii（4.86）动力分析中常常要求在改变体系的质量、刚度参数时，对系统的基频做出 迅速的估算，Dum ker ley公式对此可以方便的计算。设原多自由度体系的 基频为?1，各质点质量的增量为?mi，则按Dum ker ley公式质量增加后体系 的基频?1?为n n n n 1 1 ? ? ?（mi +?mi） ? ? ii mi +? ? ii ?mi = 2 ? ? ? ii ?mi = ii 2 ?1? ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1（4.87）由式（4.84）可知，Dum ker ley公式是在左端略去高频项得到的，因而他给出 的基频降低于实际值；另外，体系的高频与基频相差越大，Dum ker ley公式 给出的结果也就越精确，反之，体系的高频与基频越接近，Dum ker ley公式 的误差也就越大，所以，Dum ker ley公式对于有密集频谱的肋板、连续梁和板 等结构的计算精度较差。例4.4 对于图4.10所示的简支梁，如果m1 ? m2 ? m3 ? 求体系的基频。 ml , 试用Dum ker ley公式 325l 3 81l 3 解:按图乘法求得体系的柔度系数?11 =? 33 = , ? 22 ? , 代入 3888EI 3888EI 公式（4.84），有25l 3 ml 81l 3 ml ? 2? ? + ? 2 ?1 3888EI 3 3888EI 3 1解之，得?1 ? 9.45 EI 9.86 EI , 较精确解?1 ? 2 的误差为-4.15%。 2 l m l m例4.5 如图4.11所示，已知不等高单层厂房m1 ? 59200 N , m2 50000 N , 柔度系数?11 =2.13 ?10-4 m / kN , ? 22 ? 5.65 ?10-4 m / kN , 另外，已经求 出此厂房的基频?1 =5.16 s),如果厂房的质量m1增加了20000 N， （1 试估计质量变化后厂房的基频。解：按式（4.87），有n 1 1 1 ? 2 ? ? ? ii ?mi = +2 ? 2.13 ?10-3 ?1?2 ?1 i ?1 5.162解之，得?1? ? 4.90s ?1 , 参数变化后的精确解为4.95s ?1 , 估算的误差为-1%。4.4.2 Rayleigh能量法根据能量守恒定律，如果忽视体系在振动过程中的能量散失，例如 不计阻尼作用，则在任何时刻，系统的位能与动能之和将保持一个 常数。由于体系在静力平衡位置时的位能为零，因此，此时体系的 动能最大，记为U max；同理，当体系达到最大位移时，由于此时速度 为0，因而动能为0，所以全部能量均变为位能，记为Wmax。由能量守 恒可知。U max =Wmax（4.88）设如图4.12所示的分布质量体系中任一质点的运动方程为y( x, t ) ? Y ( x)sin(?t ? ? )（4.89）振型? y( x, t ) ? ?Y ( x) cos(?t ? ? )（4.90）由此得体系振动时的动能为l 1 l 1 2 2 2 ? U ? ? m( x) y ( x, t )dx ? ? cos (?t ? ? ) ? m( x)Y 2 ( x)dx （4.91） 0 2 0 2当cos(?t ? ? )=1时，体系动能最大，即1 2 l U max = ? ? m( x)Y 2 ( x)dx 0 2仅考虑弯曲变形时，体系的应变能为（4.92）? ? y ( x, t ) ? ? d y ( x) ? 1 1 2 W = ? EI ( x) ? ? dx ? 2 sin (?t ? ? ) ?0 EI ( x) ? dx 2 ? dx 2 2 0 ? ?x ? ? ?l 2 l 222同理，有（4.93）? d y ( x) ? 1 l Wmax = ? EI ( x ) ? ? dx 2 0 2 ? dx ?22（4.94）（4.92）、（4.94）代 入U max =Wmax? d y ( x) ? ?0 EI ( x) ? dx 2 ? dx ? ? ?2 =l 2 2（4.88）（4.95）? m( x)Y0l2( x)dx如果体系除了分布质量m( x)外，还有n个集中质量mi (i ? 1, 2, ???, n) （图4.13），这时，系统的动能除了式（4.91）所表示了分布质量 m( x)的动能外，还应包括集中质量的动能，即1 l 1 n ? ? U ? ? m( x) y 2 ( x, t )dx + ? mi y 2 ( xi , t ) （4.96） 2 0 2 i ?1那么，此时体系的最大动能则为U max 1 2 l 1 2 n 2 ? ? ? m( x)Y ( x)dx + ? ? miY 2 ( xi ) 0 2 2 i ?1（4.97）这样，式（4.95）将改为：? =2? ?l 0l0EI ( x) ?Y ??( x)? dx2 n i ?1m( x)Y 2 ( x)dx ? ? miY 2 ( xi )（4.98）Rayleigh法仅用来计算基本频率，因此，为了求第一频率，Rayleigh 建议：可以用作用于体系上的自重荷载m( x) g在振动方向上产生的静 位移当做第一阵型Y ( x)(注意：如果考虑水平振动，则重力应沿水平 方向作用)，这样它的做功可表示为：1 l W ? ? m( x) gY ( x)dx 2 0n（4.99）因此，对于既有分布质量又有集中质量的结构体系，式（4.98）改写：?2 =? m( x) gY ( x)dx+? m gY ( x )l 0?l0m( x)Y 2 ( x)dx ? ? miY 2 ( xi )i ?1i ?1 nii（4.100）当然，也可以取结构在某一静荷载q( x)作用下所产生的弹性曲线 作为振型曲线的近似表达式，这样，上式又可改写为：?2? q( x)Y ( x)dx = ? m( x)Y ( x)dx ? ? m Y0 l n 2 0 i ?1 il2（4.101）( xi )例4.6 试用能量法求等截面简支梁（EI为常数，分布质量为m）的第 一频率。解：（1）假设等截面简支梁的一阶振型曲线Y ( x)为一抛物线Y ( x)= 4ax (l ? x) 2 l当x ? 0时，Y (0)=0；当x ? l时，Y (l )=0，可见此抛物线满足边界条件，又有d 2Y 8a ?? 2 dx 2 l由式（4.98）得? 8a ? EI ? ? ? 2 ? dx EI ( x) ?Y ??( x) ? dx 0 64 EIa 2 l 3 ?0 l ? ? ?2 = l = = 2 2 l ? 4ax 8ma 2l 15 ?0 m( x)Y ( x)dx m?0 ? 2 (l ? x) ? dx ? ? l ?l l 2210.95 EI 所以，? = 2 l m(2)取均布荷载q作用下的绕度曲线为振型曲线Y ( x), 则q Y ( x) ? ( x 4 ? l 3 x ? 3lx3 ) 24 EI由式（4.98）得? q ? EI ? ? (12 x 2 ? 12lx) ? dx 0 24 EI q 2l 5 120 EI ? ? ?2 = ? 2 2 l? q q ? 31 9 ? ? m? ? ( x 4 ? l 3 x ? 3lx 3 ) ? dx m ? l ? 0 24 EI ? ? ? 24 EI ? 630l2故有9.87 ?= 2 lEI m(3)设形状函数为正旋曲线，即??x ? Y ( x) ? a sin ? ? ? l ?9.8696 EI 代入式（4.98），同理可得? ? l2 m由此可见，由于正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由求得的频率 （? = 9.8696 EI m l 2 ）是第一频率的精确解。另外，所选的前两种曲线， 因为大部分或全部满足边界条件，因此所得结果误差较小，但均比精确 值大，这时能量法的一个特点，因为假定的曲线并非真实的振型曲线， 即相当于给结构增加了某些多余约束，从而增大了体系的刚度，因此所 得的频率将偏大。4.4.3 Ritz法用能量法求体系的第一频率，精确度取决于假设振型的精确程度， 并且只能求得振动基频的上限（比真实值大）。为了求出高阶频率的近似值，以及使最低频率更接近于精确解， Ritz发展了Rayleigh的能量法。Ritz法是建立在Hamilton变分原理基础 上的，是将变分问题转换为求多个变量函数的极值问题。Hamilton原理是分析动力学的一个变分原理，它提供了从一切可 能发生的、满足约束条件的运动中判断真正的实际发生的运动的准 则，对于实际发生的运动，弹性体系的动能U、势能W 和虚功? W 必 须满足? ? (W ? U )dt ? ? ?Wdt ? 0t1 t1t2t2（4.102）对于周期性的（积分上下限可取一个周期，即0与2? ? ）、无阻尼 结构体系自由振动问题，上式中虚功? W 为0，Hamilton原理可表述为： 在所有的可能运动状态中，精确解使2???0(W ? U )dt =驻值（4.103）将式（4.92）及式（4.94）代入上式，由于时间的积分范围取一个 周期，故有，1 ?2 2 ? = ? EI ?Y ??( x)? dx ? m( x)Y 2 ( x)dx ? 驻值 （4.104） 2 2 ?设Y ( x)为假定的振型曲线，将它按振型分解nY ( x) ? a1 y1 ( x) ? a2 y2 ( x) ? ??? ? an yn ( x) ? ? ai yi ( x) （4.105）i ?1Y ( x) ? a1 y1 ( x) ? a2 y2 ( x) ? ??? ? an yn ( x) ? ? ai yi ( x) （4.105）i ?1n式中，Y ( x)是满足位移边界条件的n个独立位移函数，a是待定参数。 将上式代入（4.104），有1 2 ?? ?? ?? ? = ? EI ? a1 y1 ( x) ? a2 y2 ( x) ? ??? ? an yn ( x)? dx 2-?22? m( x) ? a y ( x) ? a y ( x) ? ??? ? a y ( x)?l 0 1 1 2 2 n n2dxn ? 1? n 2 = ? ? a j ai ? EIyi??( x) y??( x)dx ? ? ? a j ai ? m( x) yi ( x) y j ( x)dx ? j 2 ? j ,i ?1 j ,i ?1 ?令kij ? ? EIyi??( x) y??( x)dx, mij ? ? m( x) yi ( x) y j ( x)dx j0 0ll（4.106）得1 n n ? = ?? (kij ? ? 2 mij )ai a j 2 i ?1 j ?1应用驻值条件 ?? ? 0, (i ? 1, ???, n), 有 ?ai（4.107）? (kj ?1nij? ? mij )a j ? 0, (i ? 1, ???, n)2（4.108）写成矩阵形式为(K ? ? M )?a? = ?0?2（4.109）矩阵中的各项按式（4.106）取值。根据克莱姆法则，若方程有非0解， 其行列式应为0，即K ? ? M =02（4.110）由于上式是关于? 2的n次代数方程，故可求出最初n个自振频率的近似值。例4.7 利用Ritz法求等截面悬臂梁的自振频率（图4.14）解： 设近似振型为x? x? ? x? Y ( x) ? a1 ?1 ? ? ? a2 ?1 ? ? l? l? ? l?? 4 EI ? l3 ?K ? ? ? ? ? 2 EI ? l3 ? 2 EI ? ? ml ? 3 ? ? 5 l ? ,?M ? ? ? 4 EI ? ? ml ? 30 l3 ? ? ?22利用式（4.106）求得常数kij 与mij 如下：ml ? 30 ? ? ml ? 105 ? ?故频率方程为4 EI 2 ? ml ? -? ? ? 3 l ? 5 ? 2 EI 2 ? ml ? - 3 -? ? ? l ? 30 ?即2 EI 2 ? ml ? - 3 -? ? ? l ? 30 ? 4 EI 2 ? ml ? -? ? ? 3 105 ? l ?=00.794m2l 2? 4 -972EIm ? 2 l 2 ? 12000( EI l 3 ) 2 ? 0方程的根为EI EI ?1 =3.55 (精确值为3.516 )； 4 4 ml ml?2 =34.81EI EI (精确值为22.035 ) 4 4 ml ml为了改善?2的计算精度，可采用以下四个函数：Y ( x) ? a1 y1 ( x) ? a2 y2 ( x) ? a3 y3 ( x) ? a4 y4 ( x)其中， x? x? ? x? ?x ? x? x? y1 ( x)= ?1- ? ，y2 ( x) ? ?1- ? ，y3 ( x) ? ? ? 0.5 ? ?1- ? ， l? l? ? l? ?l ?l? l? ?x ?? x ? x? x? y4 ( x) ? ? ? 0.75 ?? ? 0.25 ? ?1- ? ?l ?? l ?l? l?2 2 2 2同理，求得结构的前2阶频率分别为?1 =3.516EI EI ，?2 =22.159 ml 4 ml 4可见，如要得到更精确的值更好在假设振型的级数中取更多一些项。4.4.4矩阵迭代法矩阵迭代法又称Stodola法或幂法，它是采用逐步逼近的计算方法来确定 结构的频率和振型，它适用于求出结构的前几阶振型和频率。对于多自由度体系其自由振动方程可表示为KX ? ? MX2上式两端同时左乘 1（4.111）?2K ?11?2令? = 1X ? K MX?1（4.112）?，? =K ?1M，上式为 2?X ? ?X（4.113）现假定X 0是第一振型的第一次近似解，并进行了归一化处理（即其中某 一个质点，通常为第一个或第n个的振幅为1），代入上式左边，并令X ??X10（4.114）如果X 0是第一振型的真实解，则必有X ??X10（4.115）如果不满足上式，再令X =X01（4.116）重复此迭代过程，直到相邻两次的迭代结果相近。在此必须指出：由于振型列向量所表达的物理含义是质点之间的相对位 移，X ? 不是绝对值而是相对值，所以，在进行每次迭代之前，都应将振 ? 型? X ? 做归一化处理，这样才能便于迭代前后两个振型之间的比较，并 更有效的求出真值。例4.8 某三个自由度体系，其质量矩阵M 和刚度矩阵K 分别为 0 0 ? 0 ? ?
?9.03 M ?? 0 2540 0 ? t , K ? ? ?9.03 17.26 ?8.23? ?10?5 kN / m ? ? ? ? ? 0 ? 0 0 560 ? ?8.23 8.23 ? ? ? ? ? 试用矩阵迭代法解结构的一阶频率和振型。解：因为?0.2 0.1842 ? K -1 ? ? 0.9 0.2949? ? 10?5 kN / m ? ? ? 0.9 0.4164 ? ? ?所以 ? 469.6 103.1308 ? ? =K -1 M ? ? 469.2 165.1463 ? ?10 ?5 ? ? ? 469.2 233.1900 ? ? ?设X 0 ? ?1 1 1? , 代入式（4.114），有T? 469.6 103.1308 ? ?1? ?1.0405? ?? ? ? X 1 ? ? 469.2 165.1463 ? ? 10?5 ? ?1? ? ?1.3838 ? ? 10?2 ? ? ?1? ?1.4519? ? 469.2 233.1900? ? ? ?? ? ?振型归一化，有? X ?(1) ? ?0.717 0.953 1.000? 。因此此时1 T?X ?0? ? X ?(1) ，所以要进行第二次迭代。1第二次迭代时，令? X ? ? ?0.717 0.953 1.000? ，再代0 T入式（4.114），有? 469.6 103.1308 ? ?0.717 ? ?0.8855? ? ? ? ? X 1 ? ? 469.2 165.1463 ? ?10?5 ? ?0.953? ? ?1.2156 ? ?10?2 ? ? ?1.000 ? ?1.2837 ? ? 469.2 233.1900? ? ? ? ? ? ?归一化后，有? X ?(2) ? ?0.0 1.000? ，重复以上过程，1 T进行第三次迭代，有? X ?(3) ? ?0.2 1.000? ，结果已1 T十分接近（? X ?(2) ? ? X ?(3) ）。所以一阶振型的近似解为1 1X ?? ?0.2 1.000?1T故按式（4.112），有?0.6870 ? ? 469.6 103.1308 ? ?0.6870 ? 1 ? ? ? ? 0.9462? = ? 469.2 165.1463 ? ? 10?5 ? ?0.9462? 2 ? ? ? ? ? ? ?1.000 ? ? ?1.000 ? ? 469.2 233.1900? ? ? ?注意到上式为3个独立的方程，可按其中任一式求解，如按第3个方程， 则有1??1.0= ? 469.6133 ? 0.2 ? 0. ?1? ?10?5 2故得?1 =8.89rad / s下面证明用迭代法求出的频率和振型就是体系第一频率及相应的振型1 由式（4.114）可知：经过两次迭代后，振型向量X (2) （下标表示迭代次数）为1 1 X (2) =? X (1) =? ? X 0）=? 2 X 0 （同理，通过k次迭代后X (1k ) =? ? k ?1 X 0）=? k X 0 （由于所假定的X 0可表示为体系真实振型向量X i的线性组合X 0 =?1 X1 ? ? 2 X 2 ? ??? ? ? n X n式中，?i为常数，X i为体系的第i阶振型。所以，根据? X i ? ? i X i (i表示第i阶振型, ? i ?1?2 i)有? X 0 =?1? X1 ? ? 2 ? X 2 ? ??? ? ? n ? X n=?1?1 X1 ? ?2?2 X 2 ? ??? ? ? n? n X n同理可得k k ? k X 0 =?1k?1 X1 ? ? 2 ? 2 X 2 ? ??? ? ? n ? n X n上式两端同除以?1k，有1?1k? k X 0 =?1 X 1 ? ?? ?2 ? ?? ? ? 2 X 2 ? ??? ? ? n ? ? n X n ? ? ?1 ? ? ?1 ?kk因为0 ? ?1 ? ?2 ? ??? ? ?n，即?1 ? ? 2 ? ??? ? ? n ? 0，也就是 说：当k 充分大时， i ?1 ? ? 0，所以有 ??kX1 (k )? ? X ? ? ? X1k 0 k 1 1可见，经过k次迭代后，? k X 0与第一振型的精确解X 1仅差常 数项?1k ?1，而每次迭代后所作的归一化处理又可以消除常数 项的影响，故多次迭代后X1 (k )? X1振型迭代法不仅可以求解体系的基频和一阶振型，也能用来 确定高阶频率和相应的振型。但是要做到这一点，必须对假 定的迭代向量做适当的处理，即为了确定第二振型，必须在 假定的迭代向量中消除第一振型的影响；在确定第三振型时， 则消除第一和第二振型的影响，以此类推。按照这一规律， 如果迭代前，令?1 =0，迭代的最终结果将收敛于第二振型；令?1 =? 2 =0，将收敛于第三振型，以此类推。所以用迭代法求体系第i阶频率或振型的具体方法如下：将振型向量X i的线性组合两边左乘 ? X i ? M ，并利用振型的T正交性，有X iT MX 0 =?1 X iT MX1 ? ??? ? ?i X iT MX i + ??? +? n X iT MX n=?i X iT MX i故有X iT MX 0 ?i = T X i MX i为了在假设的振型中消除前面的r阶振型分量，可取初始迭代 向量为X 0 ? ? ? j X j，将? j 代入，则有j ?1 rX 0 ? ? ? j X j =X 0 ? ? X jj ?1 j ?1rrX j T MX 0 X j T MX j=Sr X 0式中，Sr =E ? ?? X jj ?1rX jT M X j MX jT为清型矩阵。在实际迭代过程中，为了避免振型中可能含有的前r阶振型分量, 要求每次都要用清型后的矩阵来前乘。也就是说，用矩阵迭代法 求体系的第一频率时可按式（4.113）（4.116）的过程进行；而高 ? 阶频率时，则用? r ? ? Sr 代替式（4.113）中的?，然后进行矩阵迭 代即可。例4.9 求例4.8的第二振型与频率。解： 由于已知X ，M , K , ? , ? ，故有 1 10 0 ? ?0.6870 ? ? 2550 ? ? X 1T MX 1 = ?0.2 1.000? ? 0 2540 0 ? ?0.9462 ? ? ? ? ? ? 0 0 560 ? ?1.000 ? ? ?=4037.600 0 ? ?0.6870 ? ? 2550 ? ? X 1 X 1T M = ?0.0 0.? ? 0 2540 0 ? ? ? ?1.000 ? ? ? 0 560? ? ? ? 0?1.1 0.3847 ? = ?1.0 0.5299? ? 103 ? ? ?1.3 0.5600? ? ??1 ? ?1.1 0.3847 ? S1 ? ? 1 ? ? ?1.0 0.5299 ? ?103 / 4037.60 ? ? ? ? ? 1? ?1.3 0.5600? ? ? ? ?? 0.9 ?0.0953? ? ? ?0.8 ?0.1312 ? ? ? ? ?0.2 0.8613 ? ? ?? 469.6 103.1308 ? ?1 ? ? S1 ? ? 469.2 165.1463 ? ?10?5 ? ? ? 469.2 233.1900 ? ? ?? 0.9 ?0.0953? ? ? ?0.8 ?0.1312? ? ? ? ?0.2 0.8613 ? ? ?? 0.2 ?0.1731? ? ? ?0.3 ?0.0081? ?10 ?3 ? ? ? ?0.8 0.5780 ? ? ?0 设二阶振型的初始近似值为X 2 = ?1.00 1.00 -1.00?，再按例4.8的矩阵迭代法进行迭代，其中? 取?1。结果有? X ?2 ? ?0.98?0.49 ?1.00? , ?2 ? 27.20rad / sT4.4.5子空间迭代法子空间迭代法也称平行迭代法。实质就是对一组试验向量反复的使用Ritz法和矩阵迭代法。 矩阵迭代法每次只能求出矩阵的一个特征值和特征向量。子空 间迭代法一次可求矩阵的前几个最大的特征值及特征向量。原理： 矩阵X 的原n个线性无关的特征向量（振型）X 1，X 2， ，X n ??? 构成一个n维向量空间，先任取p ( p ? n)个线性无关的向量形成 n的p维子空间Y1，Y2， ，Yp，然后，反复使用Ritz法和矩阵迭代 ??? 法，使p个试验向量的低阶振型分量不断的相对放大，最总都向 低阶特征向量X 1，X 2， ，X p 所形成的子空间靠拢。 ???注意： 如果只对p维子空间向量进行迭代而不进行正交化处理，则 Y1，Y2， ，Yp 最终都收敛于一阶振型X 1，所以，迭代过程中必须 ??? 对其做质量矩阵M的正交化处理，使Yi 逼近Xi。子空间迭代具体过程： 若要求X的前p个特征值及其相应的特征向量（p ? n），先取p个 线性无关的向量X 1，X 2， ，X p 构成n ? p的初始矩阵，并令此初 ??? 始矩阵? 0为? =? = ? X 1，X 2， ，X p ? ??? ? ?0 0（4.117）用矩阵? =K ?1M 左乘上式，有? =??10（4.118）对?1进行正交化处理，使其各列向量迭代后分别趋于不同阶的振 型，而不是都趋于第一振型，为此，令? =? Z1 1（4.119）式中，Z 为待定系数矩阵，可表示为Z = ? Z1，Z 2， ,Z p ? ，利用广义 ??? ? ? 质量和广义刚度矩阵M 1 ? (? 1 )T m1? 1 ? ? 1 1 T 1 1 ? K ? (? ) k ? ? ?（4.120）将原问题简化为p ? p阶的特征值问题，因此有（K -? M ）Z=01 2 11 1 1（4.121）由于p ? n，因此，可求的p阶自振频率和对应的待定系数向量的 第一次近似值 ?Z ?1 , ?Z ?2 ， ，Z ? p ,由此可求的体系p阶振型的第一 ??? ? 次近似值为? =? Z1 1同理，再用? 左乘?1后得到? 2，再利用Ritz法求得待定系数向量 的第二次近似值 ?Z ?1 , ?Z ?2 ， ，Z ? p , 重复上述迭代过程，计算结 ??? ?2 2 2果将收敛于体系的前p阶振型和频率。例4.10已知m1 ? m2 ? m3 ? 1, 楼层侧移刚度均为k ? 1, 利用子空间迭 代法求前两阶振型。? 2 ?1 0 ? ?1 0 0 ? ?1 1 1 ? 解：K ? ? ?1 2 ?1? ，M ? ?0 1 0 ? ，则? =K ?1 M ? ?1 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ?1 1 ? ?0 0 1 ? ?1 2 3 ? ? ? ? ? ? ?取前两阶振型的初始近似值为?0.5 0.75 1 ? ? =? = ? 1 0.5 -0.75? ? ?0 0 T? 2.25 0.75 ? ，利用? 1 =??0 = ? 4.0 0.5 ? ? ? ?5.0 -0.25? ? ??0.45 1 ? 归一化后，有? 1 = ?0.80 0.67 ? ，求解广义质量矩阵和广义刚度 ? ? ?1.00 -0.33? ? ? 矩阵?1.1? M ? (? ) m ? ? ? 0.6 ? ? ?1 1 T 1 1?0.365 0.133? K ? (? ) k ? ? ? ? ?0.133 2.111?1 1 T 1 1若（K 1 -? 2 M 1）Z=0有非零解，则有 2...7528=0解得：?12 =0.197，?22 =1.555 对于?1，有：Z 2 ? ?0.0002 Z1 ;对于?2，有：Z1 =-0.351Z 2故有 ?0.351? ? 1.00 Z ?? ?0. ? ? ?1因此，第一近似的一、二阶振型为 ?0.1 ? ?1 =? 1 Z 1 = ?0.9 ? ? ? ?1.0 ?0.6843? ? ?归一化后, 有 ?0. ? ?1 == ?0.3 ? ? ? ?1.0 ?0.8126 ? ? ?再对?1左乘算子? 得? 2 ?0.4455 1 ? ? 2 ? ??1 ? ?0.802 0.4513 ? ? ? ?1.00 ?0.8072 ? ? ?作广义质量振型和广义刚度矩阵的第二近似为?1.2 ? M ? (? ) m? ? ? 0.3 ? ? ? ?0.7 ? 2 2 T 2 K ? (? ) k? ? ? 0.9 ? ? ?2 2 T 2再次归结为Ritz特征值问题。若（K 2 -? 2 M 2）Z=0有非零解， 则有3...0521=0解得?12 =0.198，?22 =1.5549对于?1，有：Z 2 ? ?0.0606 Z1 ; 对于?2，有：Z1 =-0.0002 Z 2 故有 ?0.0002 ? ? 1.00 Z ?? ?0. ? ? ?2因此，第二次近似的一、二阶振型为 ?0. ? ? 2 =? 2 Z 2 = ?0.46 ? ? ? ?1.0 ? ? ?归一化后, 有 ?0. ? ? 2 == ?0.4 ? ? ? ?1.0 ?0.8069 ? ? ? 由第二轮迭代得到的?12 =0.198，?22 =1.5549与真实解差别 已经很小了。4.5动力反应数值分析方法对结构体系，当外载P(t )为解析函数时，采用时域分析方 法中的Duhamel积分法或频域分析法中的Fourier 变换方法等， 一般都可以得到体系动力反应的解。但这两种方法均是基于 叠加原理，要求结构体系是线弹性的，而且当载荷没有解析 表示式（如地震荷载）或解析式太复杂时，叠加原理将不再 适用，也就是说，Duhamel 积分、Fourier 变换或振型叠加法 此时失效，因此只能采用数值分析方法。目前最常用最有效的数值方法就是时域内的逐步积分法，或称 直接积分法、时程分析法，该方法是通过直接求解振动方程来 确定结构动力反应的方法。?分段解析法 ? ?中心差分法 ?平均加速度法 ? 逐步积分法 ? ?线性加速度法 ? Newmark ? ? 法 ? ?Wilson ? ? 法 ??显式方法：在每一步内计算新的反应值仅仅依赖于前面步骤已经 ? 获得的量。 ? ? 中心差分法等 ? ? ?隐式方法：在每一步长给出新值的表达式中包含了与本步有关的 ? 一个或多个值，所以，必须假定所需要的试验值，然 ? ? 后反复迭代才能求出下一步的初始值。 ? Newmark ? ? 法、Wilson ? ? 法 ? ??收敛性，即当积分步长?t ? 0时，数值 ? 解是否收敛于精确解。 ? ?稳定性，当计算总步长增大时，数值解 ? ? 评价逐步积分的优劣标准 ? 是否远离精确值。 ?计算精度，即截断误差与时间步长?t的关 ? ? 系，如果误差EN ?1 ? ?(?t N ?1 ), ? 则称为该方法具有N阶精度。 ? ?下面以单自由度体系为例，简单介绍其中的几种方法。4.5.1 中心差分法在时刻t处，单质点的震动方程为?? ? mu(t ) ? cu(t ) ? ku(t ) ? P(t )（4.122）如果采用等时间步长（?t ? ?ti =ti ?1 -ti）,则速度在时刻 ? ? ti处得向前差分uif 和向后差分uib分别为ui ? ui ?1 b ui ?1 ? ui ? ? ui = , ui = ?t ?tf（4.123）所以其中心差分为?if ? uib ui ?1 ? ui ?1 ? u ? ui ? ? 2 2?t同理，可得其加速度的中心差分近似为（4.124）ui ?1 ? 2ui ? ui ?1 ?? ui ? ?t 2（4.125）将式（4.124）和式（4.125）代入式（4.122）有ui ?1 ? 2ui ? ui ?1 ui ?1 ? ui ?1 m +c ? kui ? Pi 2 ?t 2?t位移ui ?1可由下式求解：（4.126）如果已知ti时刻，以前的位移ui ?1，ui ?1，则ti ?1时刻的c ? m ? ? m ? 2m ? ? c ? 2 ? ui ?1（4.127） ? 2? ? ui ?1 ? Pi ? ? 2 ? k ? ui ? ? 2?t ? ? ?t ? ?t ? ? 2?t ?t ?而ti ?1时刻的速度和加速度则可由式（4.124）和式（4.125） 求得。上式即为单自由度体系的中心差分法计算公式。 对于多自由度体系，只需将参数m, c, k 和P改写成矩阵或 向量的形式即可? ? 对于初始条件为u0 ? u (0), u0 ? u (0)的单质点振动方程，中心 差分法的具体迭代步骤为：1 ?? ? ? 1）计算基本数据和初始条件u0 ? ( P0 ? cu0 ? ku0 ), m?t 2 ? ?? u?1 ? u0 ? ?tu0 ? u0 2 2)根据ti 及以前时刻的运动，利用式（4.127）计算ti ?1时刻的位移ui ?1。3）重复上述计算步骤可得体系在整个时间段的动力反应。以上的计算公式具有2阶精度，其稳定条件为?t ? T1 ? , T1 为体系的最小自振周期。虽然中心差分法是有条件稳定的， 但由于其为显式积分，具有计算效率高的优点，在很多情况 下得到广泛应用。4.5.2 平均常加速度法考虑一单自由度体系，假定在?t内质点加速度为常数，它 ?? ?? 等于质点在ti时刻的加速度u (ti )和ti +?t =ti ?1时刻的加速度u (ti +?t ) 的平均值 ?图4.15 ?,即有 （a） ? ??? ?? u (ti )+u (ti +1 ) ?? u (ti，ti +?t )= 2（4.128）故质点的速度在?t时段内呈线性变化[图4.15（b）]，并 且在ti ? ?t ? tt ?1时刻的速度为?? ?? u(ti ) ? u(ti ?1 ) ? ? ?? ? u(ti ? ?t )=u(ti )+u(ti，ti ? ?t )?t =u(ti )+ ?t 2（4.129）位移在?t时段按抛物线变化[图4.15（c）]，并且在时段 末的加速度为?? ?? u(ti ) ? u(ti ?1 ) 2 ? u(ti ? ?t )=u(ti )+u(ti )?t + ?t 4（4.130）对于式（4.122）的单质点运动方程，在时刻t ? ?t处，则 有?? ? mu(t ? ?t ) ? c?u(t ) ? ku(t ? ?t ) ? P(t ? ?t ) （4.131）式（4.131）与式（4.22）相减，可以得到增量形式表示的 振动方程为?? ? m?u(t ) ? c?u(t ) ? k ?u(t ) ? ?P(t )其中（4.132）?? ?? ?? ?u (t )=u (t ? ?t )-u (t ) ? ? ? ? ? ?u (t )=u (t ? ?t )-u (t ) ? ? ?u (t )=u (t ? ?t )-u (t ) ? ?P(t )=P(t ? ?t )-P(t ) ? ?（4.133）将速度按式（4.129）改写成增量形式?? ?? u (ti ) ? u (ti ?1 ) ? ? ? ?u =u (ti ? ?ti )-u (ti )= ?t 2 ?? ?? u (ti ?1 ) ? u (ti ) 2 1 ?? ?? ?? ? u (ti )?t ? ?t ? u (ti )?t ? u (ti )?t 2 2 2（4.134）同理，位移增量形式为1 1 2 ? (ti )?t ? u(ti )?t + u(ti )?t 2 ?? ?? ?u =u 2 4由式（4.132）得（4.135）c k ?P ?? ? ?u(t )=- ?u(t ) ? ?u(t ) ? m m m（4.136）由式（4.133）求得加速度增量4 4k ?? ? ?? ?u(t )= 2 ?u(t )- u(ti ) ? 2u(ti ) ?t ?t并回代入式（4.134），有（4.137）2 ? ? ?u = ?u -2u ?t（4.138）将式（4.137）和式（4.138）代入式（4.132），得K ?u (ti ) ? ?P (ti )（4.139）式中2 4 K =k ? c ? 2 m ?t ?t（4.140）? 4k ? ? ?? ? ?P (ti ) ? ?P(ti ) ? m ? u (ti ) ? 2u (ti ) ? ? 2cu (ti ) ? ?t ?（4.141）式（4.140）和式（4.141）分别称为等效刚度和等 效增量荷载。在用平均常加速度法进行迭代时，在初始位移u (ti ? 0 ) ? 和初始速度u (ti ? 0 )已知的条件下，先用式（4.139）求出 ? ?? ?u (ti )，再用式（4.137）和式（4.138）得到?u、?u，然 后利用式（4.133）可得下一时刻ti ?1的位移、速度，为了 避免误差积累，加速度宜按式（4.136）直接计算。对于多自由度体系，只需将以上各式中的相应物理量 改写成矩阵或向量的形式即可。最后指出，平均常加速度法是加速度法中的一种，对 于具有各种自振周期的结构和取用各种时间步长时，此 法都是稳定的。4.5.3 线性加速度法线性加速度法假定加速度在?t内按线性变化 ?如图4.16 （a)所示? ? ? 即有：?? ?u(ti ) ?? ?? u(t ) ? u(ti ) ? (t ? ti )(ti ? t ? ti ?1 ? ti ? ?t )（4.142） ?t将上式积分一次，可得?? (t ? ti )2 ?u(ti ) ? ? ?? u(t ) ? u(ti ) ? u (ti )(t ? ti )+ 2?t速度按二次抛物线图4.16 ] [ （b）（4.143）再积分一次，有?? ?? (t ? ti )2 u(ti ) (t ? ti )3 ?u(ti ) ? u(t ) ? u(ti ) ? u(ti )(t ? ti )+ + 2 6t位移：三次曲线（4.144）在式（4.143）和式（4.144）中，令t ? ti ? ?t，则有? ? ? ? ? ? ?? ?u(ti )=u(ti +?t )-u(ti )=u(ti +1 )-u(ti ) ? u(ti )?t ? ?u(ti )?t （4.145） 2?t ?t ? ?? ?? ?u(ti )=u(ti )?t +u(ti ) ? ?u(ti ) 2 622（4.146）?? ? 为便于计算，将?u(ti )，?u(ti )用?u(ti )表示，故有6 6 ?? ? ?? ?u(ti )= 2 ?u(ti )- ?u(ti )-3u(ti ) ?t ?t（4.147）3 3 ?t ? ? ?? ?u(ti )= ?u(ti )- ?u(ti )- u(ti ) ?t ?t 2（4.148）现将式（4.132）中令t ? ti，并将以上两式代入，得6 3 ?t ? 6 ? ?3 ? ? (ti )-3u (ti ) ? ? c ? ?u(ti )- ?u(ti )- u(ti ) ? ?? ? ?? m ? 2 ?u (ti )- ?u ?t ?t 2 ? ?t ? ? ?t ? ? k ?u (ti ) ? ?P(ti )（4.149）将上式整理后，可得与式（4.139）相同的方程K ?u (ti ) ? ?P (ti )式中（4.150）3 6 K =k ? c ? 2 m ?t ?t（4.151）?t ? 6k ? ? ? ? ?? ? ?? ?P (ti ) ? ?P(ti ) ? m ? u(ti ) ? 3u(ti ) ? ? 2c ?3u(ti )+ u(ti ) ? 2 ? ?t ? ? ?（4.152）有式（4.150）求出位移增量?u (ti )后，代入式（4.147）和式 （4.148），便可求出速度增量和加速度增量，然后，便可按 式（4.133）求出i时段末ti ? ?t =ti +1的动力反应值。重复上述 迭代过程，便可求出整个时间范围的全部振动反应。这里应指出：线性加速度法是一种有条件的稳定数值积分 方法，稳定性条件为时间步长?t ? 3 T1 ? .当所取得时间步长 太大时，就可能出现不收敛的情况。4.5.4 Newmark ? ? 法平均常加速度法的基本假定是：在时段?t ? [ti , ti ?1 ] ?? 内，质点的加速度u (? )(ti ? ? ? ti ?1 )取时段开始于时段 末的加速度平均值。?? 线性加速度法假定：u(? )按线性规律变化（如图4.17）。?? ?? Newmark ? ? 法的特点是假定：加速度介于u (ti )和u(ti ?1 ) 之间的某一常数，可表示为?? ?? ?? u(? )=（1-?）u(ti )+? u(ti ?1 )（4.153）?? 系数? 可以理解为该时段内加速度初始值u (ti )与终值 ?? ?? u (ti ?1 )对u (? )的贡献权重，故0 ? ? ? 1.同时，为了提高迭 代精度，令取一个参数0 ? ? ? 1将上式表示为?? ?? ?? u(? )=（1-2?）u(ti )+2? u(ti ?1 )按式（4.153）可得ti ?1时刻的速度（4.154）? ? ?? ? ?? ?? u(ti ?1 )=u(ti )+u(? )?t =u(ti )+（1-?）u(ti )?t +? u(ti ?1 )?t（4.155）同理，按式（4.155），得ti ?1时刻的位移1 ? ?? u (ti ?1 )=u (ti )+u (ti ) ?t + u (? ) ?t 2 2 （4.156） 1 ? ?? ?? =u (ti )+u (ti ) ?t + （1-2 ?）u (ti ) ?t 2 +? u (ti ?1 ) ?t 2 2由以上两式可得ti ?1时刻的速度和加速度计算公式? ? ?? ? u (ti ) ?t ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ?? ? ?? u (ti ?1 )= u (ti ?1 )-u (ti ) ? u (ti )- ? -1? u (ti ) ? ? （4.157） ??t ??t 2 ? 2? ? ? ? ? ? ? u (ti ?1 )= ?u (ti ?1 )-u(ti ) ? + ? 1??t ? ? ? ? ? ? ? u (ti )+ ? 1? ? 2?将上式代入多自由度体系振动方程（4.54），并改写 后，为Ku(ti ?1 ) ? P (ti ?1 )式中（4.158）? 1 K =K ? C? M 2 ??t ??t（4.159）? 1 ? ? 1 ? 1 ? ?? P (ti ?1 ) ? P(ti ?1 ) ? M ? u (ti ) ? u (ti ) ? ? -1? u (ti ) ? 2 ??t ? 2? ? ? ??t ? ? ? ? ?? ? ? ?t ? ? ? ?C ? u (ti ) ? ? -1 ? u (ti ) ? ? -2 ? u (ti ) ? 2 ?? ? ?? ? ? ??t ?（4.160）Newmark ? ? 法的迭代过程：? 1）确定基本参数和初始条件K、M 、C、u (0)、u (0)、u (0)。 2）选择时间步长?t，参数?，? ，一般取? =0.5， ? ? ? 0.25 0 3）按式（4.159）形成等效刚度矩阵K，按式（4.160）计算 4）按式（4.158）计算ti ?1时刻的位移?u (ti ?1 )?。 5）按式（4.157）计算相应的速度和加速度。 循环第3）至第5）步骤，可以得到体现的全部动力反应。 ti ?1时刻的等效荷载。Newmark ? ? 法的稳定条件是?t ? 1 ? 2? -4? ）。 （当参数? =1 2，? =1 4时， Newmark ? ? 法简化为平均常加速度法。当参数? =1 2，? =1 6时， Newmark ? ? 法简化为线性加速度法。 当参数? =1 2，? =0时， Newmark ? ? 法简化为中心差分法。4.5.5Wil sin? ? 法Wil sin ? ? 法是在线性加速度法的基础上发展的一种数值 积分方法。如图4.18.这种方法假设加速度在时间段[t , t ? ??t ]内线性变化，首先 采用线性加速度法计算体系在ti ? ??t时刻的加速度、速度和 位移，然后采用内插法得到体系在ti ?1 =ti ? ?t时刻的运动反应。设加速度在一个延长的时段? =??t ? ? 1 （ ）内线性变化，按照线 性加速度的推导方法，可得Wil sin ? ? 法中的增量拟静力平衡方 程、等效刚度和等效增量荷载分别如K? ?u? (ti ) ? P (ti ) ?式中（4.161）3 3 K? ? k ? c? m 2 ??t (??t )? 6 ? ? ?? ?P (ti ) ? ?p? (ti ) ? m ? u? (ti ) ? 3u? (ti ) ? ? ???t ? ??t ? ? ?? (ti ) ? ??? (ti ) ? ?c ?3u u 2 ? ?（4.162）（4.163）同理，式（4.147）可写成6 6 ?? ? ?? ?u? (ti )= u (t ) ? u? (ti ) ? 3u? (ti ) 2 ? i ??t (??t )，于是，对应于正常步长的?t加速度增量为（4.164）?? 从式（4.161）求出?u? (ti )后，将其代入式（4.164）可求得u? (ti )?? ?? ?u (ti )= ?u? (ti )1?（4.165）?? ? 将?u (ti )分别代入式（4.145）和式（4.146）即可求出?u (ti )和 ?u (ti )。重复上述计算步骤，即可得到结构反应的时程曲线。当? =1时，Wil sin ? ? 法退化为线性加速度法，并且当? ? 1.37时， 该法无无条件稳定的。例题4.11 已知一单自由度体系的质量m ? 200kg , 刚度k ? 7200 N / m，阻尼比 为0.05，所受随时间变化的外载如图4.19所示，试用线性加速度法求 该质点的动力反应。解：体系的自振频率为? = k m ?
? 6(1 s )，固有周期 T ? 2? 6 ? 1.047 s,阻尼系数c ? 2m?? ? 120, 取时间步长为0.1s. 等效刚度3 6 K =k ? c ? 2 m ?t ?t ? 130800 N / m等效增量荷载为 ? 6 ? ? (ti ) ? 3 ? u (ti ) ? ?? ?P (ti ) ? ?P(ti ) ? 200 ? ? u ? 0.1 ? 0.1 ? ? ? ?? ?120 ?3 ? u (ti ) ? u (ti ) ? 2 ? ? ? ?? ? ?P(ti ) ? 12360u (ti ) ? 606u (ti )3 0.1 ? ? ?? ?u (ti ) ? ?u (ti ) ? 3u (ti ) ? u (ti ) 0.1 2 ? ?? ? 30?u (ti ) ? 3u (ti ) ? 0.05u (ti ) ?? ? u (ti ? ?t ) ? 0.005?P(ti ? ?t ) ? 0.6u (ti ? ?t ) ? 36u (ti ? ?t )体系的初始条件t ? t0 ? 0时， ? ?? u (0)=u (0)=u (0)=0 ?P (t0 )=-200 ?u (t0 )=-0.00153m因此，当t ? t1 ? 0.1s时， u (t1 )=-0.00153m ? ?u (ti )=-0.0459m/s ? u (t1 ) ? -0.0459m/s ?? u (t1 ) ? -0.917m/s 2其余迭代过程见表4.6动力学分析中的有限元法有限单元法是位移法的一种推广。有限单元法的基本思想： 把具有无限个自由度的结构体系，理想化为有限 个自由度的单元集合体，使问题适用于数值方法求解。为了具体说明有限单元法分析过程所涉及的有关概念， 下面考虑一个简单的例子。例4.12 如图4.20所示，一弹性模量为E的变截面直杆，各段长度 分别为l (1)、l (2)、l (3)，相应的截面面积为A(1)、A(2) 和A(3)，作 用荷载P2、P3，试用有限单元法求解杆的截面应力。解：（）划分单元 1将变截面杆划分3个单元，各单元之间形成的结点 为1, 2,3和4，由于杆只有轴向变形，取各节点的结点位移 为未知量，分别为u1 , u2 , u3 , u4 .(2)位移模式设编号为e的单元（如 图4.21），单位的长度、 截面面积结点编号、结 点位移和轴力分别为l， A， j，u，N 。 i
假设单元内部质点的轴向位移u ( x)呈线性变化，则位移 模式可表示为：u( x)=a ? bx移ui(,ej)之间的关系为（a）式中，a, b为待定系数。单元内部位移u ( x)与单元结点位? ? (e) (e) ? x ? l , u ( x) ? u j ? ? x ? 0, u ( x) ? u(e) i由此可以求出a, b, 代入式（a）后，解得单元的位移模式为u ( x ) ? ui( e ) + x ? ? ?1 ? ( e ) ? lu (je ) -ui( e ) l(e)x? (e) x (e) ? ui ? ( e ) u j l ?（b）如果再令x x ? (e) ? N ? ?1 ? ( e ) , ( e ) ? , u ? l l ?示为?ui( e ) ? ? ? ? ? ( e ) ? （c） ?u j ? ? ?式中，N 称为形函数或插值函数矩阵，则式（b）又可以表u ( x) ? Nu(e)（d）(3)单元刚度矩阵单元刚度矩阵k 表示单元结点位移列向量? ? ?u , ue e (e) i e T (e) T j?和结点力列向量F ? ? N i , N j ? 之间的关系。利用虚位移原理 可得k e为e A k = (e) le(e)(e)? 1 ?1? ? ?1 1 ? ? ?（e）故有F e ? k e ?? e ? 。 ? ?（4）整体刚度矩阵将悬臂梁杆作为一个整体考虑时，每个单元的结点力是内力， 外载列向量则为? P? ? ? P，P2，P3，P4 ? , 其中P =P4 =0.将整个杆 1 1件的结点位移用向量表示为?? ? = ?u1，u 2，u3，u 4 ? 。则整体T刚度矩阵K 必定满足K ?? ? = ? P?的方法求出整体刚度矩阵K。（f）由于现已知3个单元的单元刚度矩阵k e =1,2,3，则可以用刚度叠加（5）求结点位移和单元应力从方程（f）不能直接求出结点位移向量? ，这是因为整体刚度 矩阵K是奇异的，必须将边界条件u1 ? u4 =0代入式（f)才能解出?。 得到了结点位移向量? ，便可以利用式（b）求解各单元的内部 位移、应变及内力。上述简单例子，概括了有限元方法的基本过程，这些步骤可以 总结如下:(1)结构的离散化将本来连续的结构或区域离散成若干个单元的集合体，离散化时， 注意给各单元编号，给每个单元的结点编号，并确定单元的类型 数量、尺寸等。（2）选择合适的位移模式有限元法的基本思想是以结点位移为基本未知量，通过假定各单元 的位移近似结构的实际位移，所以先要在单元内假定一个适当的位 移解，即位移模式。另外不同的位移模式也决定了单元不同的形函 数或插值函数矩阵。（3）推导单元刚度矩阵单元刚度矩阵反应了单元结点力与结点位移之间关系，可以利用 虚功原理或平衡条件求出。另外，如果单元的局部坐标系与结构的 整体坐标系的方向不一致，还应将单元局部坐标系下的单元刚度矩 阵乘以转换矩阵，转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。（4）建立整体刚度矩阵由于刚度矩阵反映了单元的结点力与结点位移之间 的关系，所有，单元刚度矩阵中的各元素的位置是 与单元编号和单元的结点编号相对应的，而各单元 的结点编号与整体坐标系下的结点编号又有一定关系，如上例中单元（2）的左右结点i, j就是整体坐标 系下的2,3结点，单元（3）的左右结点i, j就是整体坐标系下的3, 4结点。因此可以这样说：单元（2）刚度矩阵 中的各元素实际上是反映了整体坐标系下的结点编号 为2,3的轴向位移与单元（2）结点力之间的关系，同理 单元（3）刚度矩阵中的各元素实际上是反映了4,3结点 的轴向位移与单元（3）结点力之间的关系，可见结点3 的位移与单元（2）和单元（3）的刚度矩阵中的某一元素 都有关。整体刚度矩阵正是建立在单元刚度矩阵对整体 刚度矩阵的贡献之上，按照“对号入号”的原则组装而 成的。（5）求解结点位移、单元应变和应力在已知整体刚度矩阵K、结点力P的条件下，就可以利用 刚度法方程（f )求解结点位移，然后再通过形函数得出单 元内部的位移、应变和应力。 上述为有限单元法的一般步骤，既适用于静力问题，也适 用于动力问题。4.6.2 动力分析中的有限元法设单元e的应变矩阵、弹性矩阵和形函数矩阵分别为B、D、 ?? ?? N，则单元内部各点的加速度u可以用单元结点的加速度ue 表示为?? ?? u =Nue（4.166）如果单元的密度为?，则单元中的分布惯性力f ?为?? ?? f ? ? ? ?u ? ? ? Nue（4.167）假定单元结点产生一个虚位移? e，单元内各点相应的虚位移?。设单元体积力、表面力和集中力的等效结点荷载向量为Re，根据虚功原理：如果在虚位移发生之前，变形体处于平 衡状态，那么在虚位移发生时，外力在虚位移上所做的虚功 等于整个变形体内应力在虚应变上所做的虚功。所以，可以 得到单元的虚功方程为：??T? dV ? ? ? fdV ? ? ? Re （4.168）T T e设单元内部的位移?、应变? 和应力? 分别为? =N ? e ? ? B? e ? ? DB? e代入式（4.168），有（4.169）?B设TDBdV? e ? ? ? N NdV ? ReT（4.170）（4.171a） （4.171b）me ? ? ? N T NdVke ? ? B DBdVT则式（4.170）可改写为?? meue ? keue ? Re法的集合过程，最好得到动力平衡方程（4.172）式中me为单元质量矩阵，ke为单元刚度矩阵，按照有限元?? Mu ? Ku ? R运动方程。（4.173）如果考虑阻尼的影响，则可以得到一般形式的弹性体系?? ? Mu ? Cu ? Ku ? R（4.174）下面以一维梁为例来说明采用有限元分析时的各主要环节 并给出简单的算例。4.6.3梁的位移模式和形函数如图4.22所示，在梁上任取一单元，单元长度为l , 抗弯刚度 为EI，单位长度的质量为m，坐标原点取在梁的左端，这种 与单元相联系的坐标系也称为局部坐标系。梁的弯曲振动过程中，梁的位移不仅是位置x的函数，也是 时间的函数。作为近似，仍假定在振动过程中，梁单元的插 值函数又称形函数N与静力有限元相同。假定梁左右端相应 的结点位移yi , ?i , y j , ? j , 则单位内部的位移模式可用单元的结点（4.175） y ( x, t ) ? Nij ( x) yi (t )+Ni? ( x)?i (t )+Nij ( x) y j (t ) ? N j? ( x)? j (t ) ? N ?ue ?式中， 形函数N ? ? N ij ( x ), N i? ( x ), N ij ( x ), N j? ( x ), ? 为 ? ?2 3位移表示如下：? x? ? x? ? N ij ( x )=1-3 ? ? +2 ? ? ? ?l? ?l? ? 2 3? ?x? ? x? ? N i? ( x )=x-2l ? ? +l ? ? （4.176） ?l? ?l? ? 2 3 ? ? x? ? x? ? N ij ( x ) ? 3 ? ? ? 2 ? ? ? ?l? ?l? ? 2 3 ?x? ? x? ? N j? ( x ) ? ?l ? ? +l ? ? ? ?l? ?l? ?4.6.4单元刚度矩阵设ye ( x, t ) ? ? yi (t ), ?i (t ), y j (t ), ? j (t )? 为梁单元位移向量，T对应梁单元结点的结点力向量为Fe ? ? F1 , F2 , F3 , F4 ? ,T则单元结点力与结点位移之间的关系为Fe ? ke ye , 其中单元刚度矩阵ke可以利用虚功原理求得。当单元结点产生一个虚位移? e时，梁的内力虚功 Wn 可表示为? ? T ? dV , 对于等截面一维梁单元来说， 梁的虚功为?u ?u Wn = ? M ( x)d? ?? 2 EI 2 d? 0 0 ?x ?xl l 2 2（4.177）由式（4.175）知?? ?? y ??( x, t ) ? Nij ( x) yi (t )+Ni?? ( x)?i (t )+Nij ( x) y j (t ) ? N ?? ( x)? j (t ) ? j? d2N ? ue ? Bue 2 dxd N ?? 式中，B ? ? ? Nij ( x), Ni?? ( x), Nij ( x), N ??? ( x) ? . ? j 2 ? ?? ? dx 将式（4.178）代入式（4.177）可得2（4.178）Wn =? uT e??l0BT EIBdx u?（4.179）而梁单元结点的外力虚功可表示为Ww =? u FeT e（4.180）根据虚功原理Wn =Ww，可得ke = ? EIN i??N ??dx j0l（4.181）对于等截面直梁，将式（4.176）代入上式，有6l ? 12 ? 6l 4l 2 EI ? ke = 3 l ? ?12 ?6l ? 6l 2l 2 ? ??12 ?6l 12 ?6l6l ? 2? 2l ? ?6l ? 2? 4l ? ?（4.182）以上给出的梁单元刚度矩阵与不考虑轴向变形的梁的 解析解是完全相同的，这是由于上述所用的梁的形函 数是精确解。如果梁单元既要考虑弯曲变形又要考虑轴向变形，则 梁单元结点的位移向量为?ui , vi , ?i , u j , v j , ? j ?，相应的单 元刚度矩阵ke为? EA ? l ? ? 0 ? ? ? 0 ? ke = ? EA ?? ? l ? 0 ? ? ? 0 ? ? ?12 EA l3 6 EA l2 0 ? 12 EA l3 6 EA l34 EA l 0 ? 6 EA l2 2 EA lEA l 0 12 EA l3 0 6 EA l2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 EA ? ? l ? ?（4.183）如图4.23，在局部坐标系下的位移ue , ve ,?e与整体坐标系下的 位移u, v,? 之间的关系如下：? ? ve ? ?u sin ? e ? v cos ? e ? ? ?e ? ? ?ue =u cos ? e ? v sin ? e（4.184）如果表示成矩阵的形式，则有? ye ( x, t )? ? Te ? y ( x, t )? , 其中? ye ( x, t )? 为局部坐标系下的位移向量，y( x, t )? 为整体坐标 ?系下的位移向量，Te为仅与梁单元的方向角? e 有关的坐标 转换矩阵，Te为：? cos ? e ?-sin ? e ? ? 0 Te = ? ? 0 ? 0 ? ? 0 ?sin ? e cos ? e 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 cos ? e 00 0 0 sin ? e cos ? e 00 -sin ? e0? 0? ? 0? ? 0? 0? ? 1? ?（4.185）
4.6.5 质量矩阵建立质量矩阵的方法有两种： 一是将全部质量换算成集中质量集中在结点上，形成集中 质量矩阵；二是根据能量原理计算每一单元的质量影响系数， 形成一致质量矩阵。现将两种方法分述如下：1.集中质量矩阵单元集中质量矩阵是把单元集中成质量块方在梁单元的两个 端点（i, j）上。对于图4.23的两个结点（i, j）6个自由度体系 相应的集中质量矩阵M 为：? mui ? ? ? M ?? ? ? ? ? ?mvi m? i muj mvj? ? ? ? ? ? ? ? m? j ? ?可见，集中质量矩阵中的各个元素相当于相应方向上的加速度为 1时的惯性力的大小。例如mui即为x方向上结点i的加速度等于1时， 结点i在x方向上的惯性力的大小；而m? j即为结点j的转角加速度等 于1时，结点j的转动惯量的大小。假如在某一结点处有几个平动自由度，则与该结点每 一个平动自由度（u, v）相应的质量等于该结点的集中 质量，另一方面因为假定质量集中成质点，没有转动 惯量，所以任何一个与转动自由度相应的质量为零。 所以，对于质量均匀分布的等截面直梁，集中质量的 最简单方法是将质量平均分配给单元各结点，故对于 图4.23的梁不考虑轴向变形，则有?0.5 ? ? ? 0 ? M e ? ml ? ? 0.5 ? ? ? 0? ? ? ?（4.187）如果质量分布不均匀，可先假定各结点所分担的区域， 例如，对于图4.24的三角形单元，可以按三角形的形心 C分割的面积，把各个区域的质量分配给各结点。2 一致质量矩阵一直质量矩阵中的质量影响系数mij的物理意义是： ?? 体系处于平衡位置时，j方向上的单位加速度u j ? 1的惯 性力在i方向上的位移ui 上引起的约束反力。一致质量的 计算公式为式（4.171a)，因为在推导过程中所采用的形 函数和推导单元刚度矩阵所用的形函数相同，所以称为 一致质量矩阵。如果形函数N按式（4.176）计算，则按照式（4.171）求得 的均匀质量m( x) ? m等截面梁的单元一致质量矩阵M ec为? 13 ? 35 ? ? 11l ? 210 c M e =ml ? ? 9 ? 70 ? ? ?13l ? 420 ?11l 210 l2 105 13l 420 ?11l 2 1409 70 13l 420 13 35 ?11l 210?13l ? 420 ? ? 2 ?11l ? 140 ? ? ?11l ? 210 ? ? 2 l ? 105 ? ?（4.188）同理，如果考虑到梁的轴向变形的影响，则梁的形函数 矩阵为N为N ( x) ? 0 ? x 1? ? l ? 2 3 ? 0 ? x? ? x? 1 ? 3? ? ? 2 ? ? ? ?l? ?l? ? 0 ? x? ? x? x ? 2l ? ? ? l ? ? ?l? ?l?2 31? 0x l20 ? x? ? x? 3? ? ? 2 ? ? ?l? ?l?3? ? ? 2 3 ? x? ? x? ? ?l ? ? ? l ? ? ? ?l? ?l? ? 0代入式（4.171 ）后，可得考虑轴向变形的一致质量矩阵 M 为c e（4.189）?1 ?3 ? ?0 ? ? ?0 ? c M e =ml ? ?1 ?6 ?0 ? ? ?0 ? ? ?13 35 11l 210 0 9 70 ?13l 420l2 105 0 13l 420 ?11l 2 1401 3 0 013 35 ?11l 210? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? l2 ? ? 105 ? ?（4.190）相应的集中质量矩阵为?0.5 ? ? 0 0.5 ? ? ? ?0 ? 0 0 c M e =ml ? ? 0 0 0.5 ?0 ? ?0 0 0 0 0.5 ? ? ? 0 0 0 0 0? ?0 ? ?（4.191）综上所述，质量矩阵是对角的，而一致矩阵是非对角的， 但是两者均为对称矩阵。由于集中质量法体系质量集中于 一点，因此相应的转动自由度和转动惯量等于零，而一致 质量法中含有转动自由度。在体系的单元数量划分相同时，一致质量显然比集中质量 法的计算精度更高，但是计算的工作量也更大。另外，对 于比较复杂的结构，质量的分布特性不能用公式精确描述， 有时用人工判断所得的集中质量矩阵反而更会切合实际。 一般来说，用一致质量求出的频率是体系真实频率的上限， 用集中质量算得的频率则是实际值的下限。4.6.6阻尼矩阵设沿梁单元e长度上分布的粘滞阻尼力为f D ( x, t ), 则有? ? ? f D ( x, t )? ? ?c ? y( x, t )? ? c ? N ( x)?? ye ( x, t )? （4.192）式中，c为阻尼系数，它等于单位速度下作用在梁上单位长度 ? ? 的阻尼力；y ( x, t )为梁单元内沿梁竖向各质点的速度；ye ( x, t ) 为梁单元结点（i,j）上的竖向速度。按照虚功原理，如果单元结点发生的一个虚位移? ye ( x, t )，则 此阻尼力所作的虚功? W fD为? W fD =-? ylT e?loT ?T ?T c ? N ( x) ? dxye ? -? ye Cye T（4.193）其中，C ? ? c ? N ( x) ? dx，称C为阻尼矩阵，比较C与式（4.171）T o可知，阻尼矩阵与质量矩阵或刚度矩阵具有相似的形式。实际上，阻尼的机理十分复杂，阻尼系数一般难以确定， 所以结构的整体阻尼矩阵一般不是由单元阻尼矩阵集合成， 而是利用结构的整体质量矩阵、整体刚度矩阵和有关的 阻尼实验数据通过线性组合，按照前面的比例阻尼形式求得。4.6.7 等效结点荷载在前面的讨论中，假定外载 ? Re ? 直接作用于单元的结点上。 例如，对于一根不考虑轴向变形的一维梁单元e，其中两个结 点(i, j )的4个自由度上分别作用有荷载Piu (t ), Pi? (t ), Pju (t ), Pj? (t ), 则等效结点荷载也就是外载向量 ? Re ? 为?Re ? = ?Piu (t ), Pi? (t ), Pju (t ), Pj? (t )?上的弯矩。T（4.194）其中Pu (t )表示作用于结点上的力，P (t )表示作用于转动自由度 ?如果外载是作用于梁上分布线荷载P( x, t )和作用于xn 处得集中力 的等效结点荷载?Ri (t )? 为lPn (t )，则按照虚功原理，可以得出以上外载荷载相对于结点i处Ri (t )=? P( x, t ) Ni ( x)dx ? ? Pn (t ) Ni ( xn )0 n（4.195）式中，Ni ( xn )为结点i处与等效结点荷载相同方向（自由度）一致 的插值函数。这里要说明是：以上阻尼矩阵与等效结点荷载向量均是在局部坐 标系下建立的，都要通过单元的坐标转换矩阵Te，才能形成整体 坐标系下的单元力矩阵和向量。例4.13 如图4.25所示的等截面悬臂梁，梁的抗弯刚度为EI，分布 质量为m,试用有限元法求的自振频率和振型。解： （）确定梁的有限元计算模型 1按照有限元计算步骤，先将梁离散化，为简化求解过程，将梁 划分为2个等长的单元、3个结点i、j、k[如图4.25b], 每个结点包括 2个自由度，一个为竖向位移，一个为转动自由度，共形成6个自 由度。（2）形成单元刚度矩阵对于不考虑轴向变形的一维梁，其局部坐标系下的单元刚度矩阵 可按式（4.181）计算，这里应注意单元长度 l 2，故两个单元的刚度 矩阵分别为(5) ? 96 EI ? l3 ? ? ? ke1 ? ? ? ? ? ? ? ?(6) 24 EI l2 8 EI l(2) 96 EI ? 3 l 24 EI ? 2 l 96 EI l3(4) (5) 24 EI ? l2 ? ? (6) 4 EI ? l ? ? 24 EI ? (2) ? 2 l ? 8 EI ? (4) ? l ? ?(5) ? 96 EI ? l3 ? ? ? ke 2 ? ? ? ? ? ? ? ?(6) 24 EI l2 8 EI l(2) 96 EI ? 3 l 24 EI ? 2 l 96 EI l3(4) (5) 24 EI ? l2 ? ? 4 EI ? (6) l ? ? 24 EI ? (2) ? 2 l ? 8 EI ? (4) ? l ? ?式中，圆括号中的数字代表单元刚度矩阵中的自由度在整体 刚度矩阵中的位置。 由于局部坐标系和总体坐标系的方向一致，所以，不需要 再用坐标转换矩阵Te 将单元刚度矩阵转化为总体坐标系下的 单元刚度矩阵。（3)形成总体刚度矩阵由图4.25（c）知，单元1的自由度在总体刚度中为自由度5 ，单元2的自由度1在总体刚度中为自由度2，故有：(u1 ) ? u5 ,(u2 ) ? u6 ,(u3 ) ? u2 ,(u4 ) ? u4 , 1 1 1 1 (u1 )2 ? u5 ,(u2 )2 ? u4 ,(u3 )2 ? u1 ,(u4 )2 ? u3式中，(ui )j ? um , 其中u表示相应方向的转角或位移，i代表单元 中的第自由度，j表示第j个单元，m代表总体刚度矩阵中的第m i 个自由度。因此，单元1和单元2的各位移向量 ?u1 , u2 , u3 , u4 ?e ?1,2 与总体自由T度 ?u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 ? 之间的关系为T?u?e?1 ? ?1u, ?u?e?2 ? ? 2u式中， ?0 ?0 ?1 = ? ?0 ? ?0 ? 0 0 0 1 0? ?0 ?0 0 0 0 0 1? ? ，? = ? 2 ?1 1 0 0 0 0? ? ? 0 0 1 0 0? ?0 ? ? 1 0 0 0 0? 0 0 1 0 0? ? 0 0 0 0 0? ? 0 1 0 0 0? ?这样，总体刚度矩阵K6?6与单元刚度矩阵[ K1,2 ]4?4 之间的关系可按 下式计算。K6?6 =? [ K1 ]4?4 ?1 +? [ K2 ]4?4 ? 2T 1 T 2将已知条件代入上式，得总体刚度矩阵K6?6为0 0 ? ? 12 ?12 ?3l ?3l ? ?12 24 3l 0 ?12 ?3l ? ? ? 0 ? l2 l2 2 0 8EI ? ?3l 3l K 6?6 = 3 ? ? 2 2 2 0 l 2 2l 3l l 2 ? l ? ?3l ? 0 ?12 0 3l 12 3l ? ? ? 2 2 ?3l 0 l 2 3l l ? ? 0 ? ?(4)形成单元质量矩阵与整体质量矩阵由式（4.188）给出的一致质量矩阵，将公式中用l 2 代替l，可得 单位质量矩阵M1 =M 2为M e ?1,2? 13 ? 70 ? ? 11l ? 840 ? ml ? ? 9 ? 140 ? ? ?13l ?1680 ?11l 840 l2 840 13l
11209 140 13l
?11l 1120?13l ? 1680 ? ? 2 ?11l ? 1120 ? ? ?11l ? 840 ? ? 2 l ? 840 ? ?同理，总质量矩阵M 6?6与单位质量矩阵[ M1,2 ]4?4 之间的关系可按 下式计算为M 6?6 =? [M1 ]4?4 ?1 ? ? [M 2 ]4?4 ? 2T 1 T 2将已知条件代入上式，得总体质量矩阵M 6?6为9 ? 13 ? 70 140 ? 13 ? 9 ? 140 35 ? ? ?11l ?13l ? 840 1680 ? ml ? 0 ? 13l ?1680 ? 9 ? 0 ? 140 ? 0 13l ? ? 1680 ? ?11l 840 ?13l
140 0 ?13l
11l 840 ? ? ? 13l ? 1680 ? ? 0 ? ? 2 ? ?11l ? 1120 ? ? 11l ? 840 ? ? l2 ? 840 ? ? 0M 6? 6(5)求解振动方程由于悬臂梁的第5, 6个自由度被固定端约束，因此，u5 ? u6 ? 0, 即整体刚度矩阵与整体质量矩阵中的第5, 6列与第5,6行对振动 ?? 方程没有意义，可以划掉，所以按照运动方程Mu ? Ku ? 0, 有9 ?11l ? 13 ? 70 140 840 ? 13 ?13l ? ? 35 1680 ? l2 ? ? 840 ? ? ? ? ? ?u1 ? ?? ?? ? ?? ? ?? 0 ? ?u2 ? ? ? ? 8 EI ?? 3 2 ?? ?11l ? ? ? l ?? ? ?u3 ? 1120 ?? ? 2 l ?? ? ?? 420 ? ?u4 ? ?? ? 13l 1680?12 ?12 ?3l ?3l ? ?u1 ? ?0 ? ? ? ? ? 24 3l 0 ? ?u2 ? ?0 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? l 2 l 2 2 ? ?u3 ? ?0 ? ? ? 2l 2 ? ?u4 ? ?0 ? ? ?? ? ? ? ?(6)求体系的自振频率自振频率可以通过求解特征方程得到?1 =3.518 EI ml 4 , ?2 =22.222 EI ml 4 , ?3 =75.157 EI ml 4 , ?4 =218.138 EI ml 4(7)用集中质量法重新计算?? 用集中质量法重新计算的振动方程仍为Mu ? Ku ? 0，其中总体 刚度矩阵与整体集中质量矩阵分别为?12 ?12 ?3l ?3l ? ?0.25 0 0 0 ? ? ? ? ? 24 3l 0 ? 0.5 0 0 ? 8EI ? ? K= 3 , M ? ml 2 2 ? l l 2? 0 0? l ? ? ? ? 2 ? 2l ? 0? ? ? ? ? ? ?由于采用集中质量矩阵的体系只有两个动力自由度，所以求得 的梁的两个自振频率为?1 =3.516 EI ml 4 , ?2 =16.258 EI ml 4可见，用一致质量求出的频率是体系真实频率的上限，用集中 质量算得的频率是实际值的下限。谢谢！
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