大一文科高等数学学求极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-11-07 06:48 标签： 求数列极限的方法例题
高等数学大一上总结_中华文本库
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第一章 函数与极限
主要内容:函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间上连续函数的性质。
内容要点：
1. 函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。
2. 复合函数和反函数的概念。
3. 基本初等函数的性质及其图形。
4. 立简单实际问题中的函数关系式。
5. 极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。
6. 子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。
7. 极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单调有界数列必有极限的原理, 柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、密性定理) 。会用两个重要极限求极限。
8. 无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。
9. 函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。
10. 初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性) 。
一、求函数的定义域
①分式的分母不等于零；②偶次方根式中，被开方式大于等于零；③含有对数的式子，真数式大于零；④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；(6)若已知
解a ≦t(x)≦b
二、判断两个函数是否相同
一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断函数表达式是否统一即可。
三、判断函数奇偶性
判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶) 函数之和仍是奇(偶) 函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。
四、数列极限的求法
利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。(1)若数列分子分母同时含n ，则同除n 的最高次项。（2）若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求极限的方法。(3)所求数列是无穷项和，通常先用等差或等比数列前n 项求和公式求出，再求极限。（4）利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。通式为形如1的无穷次方的不定式，一般采用两个重要极限中等于e 的那个式子求解。
五、函数极限的求法
1. 用数列求极限方法，2. 在一点处连续，则在此处极限等于此处函数值，3. 分段函数，在某点极限存在，则此处左右极限都存在且相等。 y=f(x)的定义域是[a,b]，求y=f[t(x)]的定义域，方法是
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同济大学高等数学第七版1-5极限的运算法则.ppt 37页
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例6 解 例6 解 * 为非负常数) 结论 ： 注:这种极限的结果只取决于分子和分母中的最大项，其他项对结果毫无影响。
“ 抓大头” 例7 解 先变形再求极限. 拆项相消 例8 解 (利用无穷小的性质) =0 三、 复合函数的极限运算法则 定理6： * 解:
原式 = 例9. 求
复合函数求导
（变量代换） * 练习. 求
分母有理化 解: * 练习 解: 原式= 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 要求分母不为 0 ) 时, 对 型 , 约去公因子， 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量
二、 极限的四则运算法则
三、 复合函数的极限运算法则
一 、无穷小运算法则
第五节 极限运算法则 一、 无穷小运算法则 命题
两个无穷小的和还是无穷小 . 直观记忆：0+0=0 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 定理1：有限个无穷小之和仍为无穷小 .
同理可证：三个无穷小之和也是无穷小 .
用数学归纳法可证:
直观记忆：M*0=0 这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。 回忆一些重要的有界函数。 定理 2.
有界函数与无穷小的乘积是无穷小. * 常见的有界函数 * 注意： 也有界 记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。 * 定理 2.
有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 注: 无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 ! 问: 无穷大是否有类似的性质？ 以下命题成立？ （1）两个无穷大之和也是无穷大 ？ （2）两个无穷大的积也是无穷大？ （3）无穷大与有界函数的和也是 无穷大？ （4）无穷大与有界函数的乘积也是无穷大？ （5）无穷大与无穷小的乘积是什么？ 说不清楚，有各种可能 D P45
第4题 * 定理3
二. 极限的四则运算法则 则
若 * 推论 1 . 推论 2 . * 注意：极限的四则运算法则成立的条件为： 参与四则运算的各项的极限都存在！ 定理 4.
* 极限的计算 一些基本极限（已经证明或明显的） * 结论： 设多项式
则有 * 解 例 2. 结论： 设有理分式函数
则有 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例3 先求其倒数的极限 结论： 解 例4 消去零因子法 例5 例5 结论： 1. 2. 3. 4 * 练习1. 解: * 解:
x = 1 时 分母=0 , 分子≠0, 但因 练习2. 解：
通分 练习3. 解:
原式 练习4 例6 解 “ 抓大头”
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