简介/常微分方程
定性理论物质运动和它的变化规律在数学上是用来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及之间的关系的，就叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和、、，以及其他的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
内容/常微分方程
如果在一个微分方程中出现的只含一个，这个方程就叫做常微分方程，也可以简单地叫做微分方程。一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。
发展/常微分方程
常微分方程20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如、、、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。从“求通解”到“求解定解问题”　数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃。第一，能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，为数是很小的。高阶方程中，线性方程仍可以用叠加原理求解，即□阶齐次方程的通解是它的□个独立特解的线性组合，其系数是任意常数。非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，这个特解并且可以用常数变过求积分求得。求齐次方程的特解，当系数是常数时可归结为求一代数方程的根，这个代数方程的次数则是原方程的阶数;当系数是变数时，则只有二种极特殊的情况（、）可以求得。至于非线性高阶方程则除了少数几种可降阶情形(如方程(1)就是这几种情形都有的一个方程)之外，可以求得通解的为数就更小了。□阶方程也可以化为一阶方程组（未知函数的个数和方程的个数都等于 □）早已为人们所知，并且在此后起着一定作用，但对通解的寻求仍无济于事。在偏微分方程方面，一阶方程可以归结为一阶常微分方程组，但是如上所述，一阶常微分方程组可以求得通解的还是很少的。高阶方程中几乎只有少数二阶方程（如□，以及□，当用时在一系列不变量中有一个开始为零的情形，和少数极个别的非线性方程如□□-□□□=□0等等）可以求得。在线性情形，推广常数变易法则是杜阿美原理。
特点/常微分方程
常微分方程常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。 求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。一个常微分方程是不是有特解呢，如果有，又有几个。这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而人们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性对于微分方程的求解是十分重要的。大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。
作用/常微分方程
常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门的理论更加完善。&
分支学科/常微分方程
&算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、。
实例/常微分方程
下列方程都是微分方程&(其中&y,&v均为未知函数).
(1)&y'=&kx,&k&为常数；
(2)&(&y&-&2xy)&dx&+&x?&dy&=&0；
(3)&mv'(t)&=&mg&-&kv(t)；
解法/常微分方程
一阶微分方程的普遍形式一般形式：F（x,y,y'）=0
标准形式：y'=f(x,y)主要的一阶微分方程的具体形式1.可分离变量的一阶微分方程
2.齐次方程
3.一阶线性微分方程
4.伯努利微分方程
5.全微分方程
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应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。
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同济大学(高等数学)_第三篇_常微分方程
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常微分方程
常微分方程
函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．
在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．
微分方程的概念
下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念．
引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点处的切线斜率为，求这条曲线方程．
解 设所求曲线方程为，且曲线上任意一点的坐标为．根据题意以及导数的几何意义得
两边同时积分得
（为任意常数）．
又因为曲线通过（1，2）点，把，代入上式，得．故所求曲线方程为
引例2 将温度为的物体放入温度为的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度成正比，求物体的温度与时间之间的函数关系．
解 依照冷却定律，冷却方程为
（为比例常数），
所求函数关系满足，．
以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系．
下面我们介绍有关微分方程基本概念．
1.2 微分方程的基本概念
含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．
例如 下列微分方程中，
（2）； （3）
都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程．
本课程只讨论常微分方程．
微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶．
在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程．
一般地，阶微分方程记为：
若将代入微分方程中使之恒成立，则称是微分方程的解（也称显式解）；若将代入微分方程中使之恒成立，则称关系式是微分方程的隐式解．
定义4 微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．
引例1中，积分后得到为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件．
设微分方程中未知函数，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是，，上述这些条件叫做初始条件．
定义5 求解微分方程满足初始条件的特解问题称为一阶微分方程的初值问题．记作
例1 验证是微分方程
解 的一阶导数和二阶导数分别是
把和代入微分方程中，
因此，是微分方程的解．
如果、是任意常数，则解是二阶微分方程的通解．
例2 已知是微分方程的通解，求满足初始条件，的特解．
解 由题意得
把，分别代入得
于是微分方程的特解为
1．指出下列各微分方程的阶数．
2. 验证下列函数是所给的微分方程的解．
（3） ； （4）．
3．验证函数是微分方程的解，并求满足初始条件的特解．
4．写出下列条件确定的曲线所能满足的微分方程．
（1）曲线在任一点处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍．
（2）曲线在任一点处的切线斜率与该点横坐标成正比．
5．英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年来的人口出生统计资料，发现了如下现象：人口出生率是一个常数．在1798年，他发表了《人口原理》一书，其中提出了著名的Malthus人口模型．他假定条件如下：在人口的自然增长过程中，人口增长率与人口总数成正比．表示时间（变量），表示人口总数（依赖于时间变化），表示人口增长率与人口总数之间的比例常数，试用微分方程表达上述条件．
6．一棵小树刚栽下去的时候生长缓慢， 渐渐地， 小树长高了并且长得越来越快， 几年之后， 绿荫底下已经可乘凉了； 但长到某一高度后， 它的生长速度趋于稳定， 然后再慢慢降下来． 如果假设树的生长速度既与目前的高度成正比， 又与最大高度和目前高度之差成正比，试用微分方程来描述
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数学系常微分方程申请伊犁师范学院院级精品课程
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
常微分方程课程是数学与应用数学、统计学专业的重要基础课之一，要求学生已具备数学分析、高等代数和普通物理中的基础知识。本课程主要目的是用微积分的思想，结合高等代数，解析几何和普通物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习后继课微分几何、泛函分析、矩阵分析和数理方程作好准备，另一方面通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。
该课程教学时间一般安排在第三学期，每周4学时。课程目前采用的教材是王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编著的《常微分方程》（高等教育出版社2008年第三版）。该书的第一版获国家教委第三届优秀教材一等奖。本课程的内容包括绪论、一阶微分方程的初等积分法、一阶微分方程的解的存在定理、高阶微分方程、线性微分方程组、非线性微分方程和稳定性、一阶线性偏微分方程等。本课程有两个鲜明特点：（1）在数学系的本科生课程系列中，它起着承前启后的作用。一方面，它要大量应用前面重要的基础课&数学分析高等代数和&解析几何&的内容，是数学分析的天然的后续课程，而且在它所产生的的较深的问题中，它又是高等分析里大部分的理论和方法的根源。在微分方程发展的过程中，它是产生以下数学分支的主要因素之一：复分析，Lebesgue积分，Banach空间和Hilbert空间。（2）常微分方程扎根于实际问题，因此这门课程又是数学理论联系实际的一个重要触角。
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2017考研高等数学一考点（常微分方程）
辅导课程：&&
来源：中公考研&&发布时间： 14:34:25
[摘要]寒假伊始，如今各位备战2017的考研学子们正面临着基础阶段的复习。中公考研辅导老师为大家总结了考研数一考点（常微分方程），希望能对大家复习备考有帮助!
　　2017考研交流群：
　　寒假伊始，如今各位备战2017的考研学子们正面临着基础阶段的复习，考研历年数学大纲几乎都不会发生变化，考生们可以提前复习。下面是根据考试大纲总结的高等数学一的常微分方程考点，希望能帮到你们。
　　八、常微分方程
　　考试要求
　　1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
　　2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
　　3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
　　4.会用降阶法解下列形式的微分方程：和。
　　5.理解线性微分方程解的性质及解的结构。
　　6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
　　7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
　　8.会解欧拉方程。
　　9.会用微分方程解决一些简单的应用问题。
　　数学成绩是长期积累的结果，因此准备时间一定要充分。首先对各个知识点做深入细致的分析，注意抓考点和重点题型，同时逐步进行一些训练，积累解题思路，这有利于知识的消化吸收，彻底弄清楚有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。中公考研特为广大学子推出2017考研、、系列备考专题，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。同时，中公考研一直为大家推出，足不出户就可以边听课边学习，为大家的考研梦想助力！
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