求学霸们帮忙解一下这三道题【微积分吧】_百度贴吧
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第三个11/2
第一个无穷大
对不定积分结果求导，一般可以得到原有被积函数。这样大概可以快速提高凑微分的计算能力。#你的眼神最唯美#
#你的眼神唯美#
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@你的眼神最唯美，你举报蔡明和――人参――cmh654321的什么呢？别作狗奴才之举。你也是疯了，不搞数学微积分了，写一堆废话了，可悲可怜！
建立中国真理微积分，推翻西方谬论微积分。(宣传单)从牛顿与莱布尼茨发明的微积分，它就成了数学皇冠上的明珠；从中国人蔡明和发现西方微积分是谬论，是鱼目混珠了，蔡明和建立中国微积分真理，必定成为数学皇冠上的真正的夜明珠，须要一场数学文化革命，唤醒黑夜中的学子，去迎接东方太阳升。我来就以实例，建立中国真理微积分，推翻西方谬论微积分。例(1)：y=x十5，对此等式进行微积分。中国真理微积分：对此等式进行微积分，首得微分式dy=dx十5，对变量加d微分符号，其常数微积分不变；后得不定积分式∫dy=∫dx十5，求不定积分，就是求原函式，就是同时去掉∫d，还原成原函数式y=x十5；再后得定值积分法则，dx=(x2一x1)或dx=(dx2一dx1)=10，代入微分式得y=10十5=15。中国微分等式，能夠相等了，确切地说与原等式能夠相等了，所以中国微积分成了真理。西方谬论微积分：对此等式进行微积分，首得导数微分式dy=dx，对变量加d微分符号，其常数微积分变；后得不定积分式∫dy=∫dx十c，求不定积分，就是对∫dy=∫dx十c，进行一些代换进行计算；再后得定值积分法则，dx=(x2一x1)或dx=(dx2一dx1)=10，再设c=5，代入式得y=10十5=15。这才能成立。西方微分等式，已经不能相等了，确切地说与原等式不能相等了，所以西方微积分成了谬论。例(2)：y=xˇ3十5，对此等式进行微积分。中国真理微积分：对此等式进行微积分，首得微分式dy=xˇ2dx十5，对变量加d微分符号，其常数微积分不变，这是局部部分，全微分则是dy=dxdxdx十5；后得不定积分式∫dy=∫xˇ2dx十5，求不定积分，就是求原函式，就是同时去掉∫d，还原成原函数式y=xˇ3十5；再后得定值积分法则，dx=(x2一x1)或dx=(dx2一dx1)=10，代入微分式得y=10ˇ3十5=1005。中国微分等式，能夠相等了，确切地说与原等式能夠相等了，所以中国微积分成了真理。西方谬论微积分：对此等式进行微积分，首得导数微分式dy=3xˇ2dx，对变量加d微分符号，其常数微积分变；后得不定积分式∫dy=∫3xˇ2dx十c，求不定积分，就是对∫dy=∫3xˇ2dx十c，进行一些代换进行计算；再后得定值积分法则，dx=(x2一x1)或dx=(dx2一dx1)=10，再设c=5，代入式得y=30(10ˇ2)十5=3005。这才能成立。西方微分等式，已经不能相等了，确切地说与原等式不能相等了，所以西方微积分成了谬论。所以中国微积分就是真理。西方导数微积分就是谬论。有y=xˇn，它的导数微分式是dy=nxˇ(n一1)dx，求它的不定积分是∫dy=∫nxˇ(n一1)dx，等式两端同时除以∫d，得到y=nxˇn，它与原等式y=xˇn，是不相等了。西方还在谬论不定微积分∫dy=∫nxˇ(n一1)dx处，还大玩特玩大述特述x的相等代換，这也是不能改变∫dy=∫nxˇ(n一1)dx与原式y=xˇn不相等的谬论实质。所以，西方导数微积分就是谬论。
对不定积分结果求导，一般可以得到原有被积函数。这样大概可以快速提高凑微分的计算能力。#你的眼神最唯美#
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求x趋近于的函数极限值，只有定值积分才能解决问题，西方的 求x趋近于的函数极限值法，就是谬论。例11，lim{8/(1一xˇ3)一4/(1一x)}，当x―&1时；因为x趋近于1时存在双趋近是2与1，所以能用定值积分才能解决问题，因x=x2一x1=2一0，代入函数计算得，20/7。进行验证，{8/(1一xˇ3)一4/(1一x)}=20/7，x=2与函数等式成立。所以，用定值积分法正确。西方的 求x趋近于的函数极限值法，不能验证，因为函数等式无一能验证相等，所以是谬论。
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微积分问题的计算机求解(good)
微积分问题的计算机求 解 1.1微积分问题的解析1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 1．5 极限问题的解析 函数导数的解析 积分问题的解析 -----------------------------1-------------------------------1―2 --------------------------------3―4二重积分问题的数值 ----------------------------- 4―5 微积分方程解析----------------------------------52.1 函数的级数展开与级数求和问题求解2. 1 Taylor 幂级数展开-------------------672. 2 级数求和的计算--------------------------------前言 Newton 和 Leibnitz 创立的微积分学是很多科学科学的基础，本课程将借助 MATLAB 语言的符号运算工具箱可以直接对微积分学中最常见的问题，如单变量与多变量微积分、极限、级数求和、Taylor幂级数展开、等问题直接求解。1.11.1 极限问题微积分问题的解析limit函数的调用格式为： limit(f,x,a) limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为： limit(f,x,a,'right') 或 limit(f,x,a,'left')缺省为符号变量-&0时函数f的极限n ?1例1：求n?0lim n 2 (x ? x)nSyms n f=n^2((sqrt(x))^n+1-(sqrt(x)) limit(f,x 0) 例 f(x,y)=5-x5-y4+4xy在原点附近的极大值。fun='x(1)^4+x(2)^4-4*x(1)*x(2)-5'; x=fmins(fun,[0 0]),f=-eval(fun) x= 1.0 f= 7.0000注：用 fmins 命令时，若把函数直接写在算式中，自变量必须用 x(1),x(2),….1.2 导数MATLAB中的求导的函数为： diff(f,x,n)diff 函数求函数 f 对变量 x 的 n 阶导数。参数 x 的用法同求极限函数 limit，可以 缺省，缺省值与 limit 相同，n 的缺省值是 1 例：f=sqrt(1+exp(x)); f=sqrt(1+exp(x)); diff(f) %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos(x);diff(f,x,2) %求(2)。求 f 对 x 的二阶导数 f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); diff(f2)/diff(f1) %求(3)。按参数方程求导公式求 y 对 x 的导数 (diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2))/(diff(f1))^3%求(3)。求 y 对 x 的二阶导数 f=x^2+y^2+z^2-a^2; zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求(5)。%按隐函数求导公式求 z 对 x 的偏导数 例 x=[1, 1.1 ,1.2 ,1.3], y = x3 &&x=[1 1.1 1.2 1.3];y=x.^3; && dy=diff(y)./diff(x) dy = 3.0 4.6900 得到 y’(1),y’(1.1)和 y’(1.2)的近似值（向前差商）。若用梯度(中心差商）求解 && dy=gradient(y,x) dy = 3.0 4.0 得到 y’(1),y’(1.1),y’(1.2)和 y’(1.3)的近似值.第一和最后一个数据分别用前、后差商代替。误差 较小： && 3*x.^2 ans = 3.0 4.0 例：在曲线 y=x3+3x-2 上哪一点的切线与直线 y=4x-1 平行。 命令如下： x=sym('x'); y=x^3+3*x-2; f=diff(y); g=f-4; %定义曲线函数 %对曲线求导数solve(g) 1.3%求方程 f-4=0 的根，即求曲线何处的导数为 4积分问题1.3.1 不定积分例：求不定积分。 命令如下： x=sym('x'); f=(3-x^2)^3; int(f) f=sqrt(x^3+x^4); int(f) %求不定积分(2) %求不定积分(1)g=simple(ans) 1.3.2%调用 simple 函数对结果化简符号函数的定积分int(f,x,a,b)定积分在实际工作中有广泛的应用。在Matlab中，定积分的计算使用函数：当不定积分无解析表达式时，可用double计算其定积分数值例：求 f=1/(1+x^2) 定积分。 命令如下： x=sym('x');t=sym('t'); int(abs(1-x),1,2) f=1/(1+x^2); int(f,-inf,inf) int(4*t*x,x,2,sin(t)) f=x^3/(x-1)^100; I=int(f,2,3) double(I) %用符号积分的方法求定积分(4) %将上述符号结果转换为数值 %求定积分(2) %求定积分(3) %求定积分(1)1.4二重积分用法 I=dblquad2(‘f_name’,a,b,’c_lo’,’d_hi’.m,n) ‘f_name’―为被积函数 f(x,y)的字符串，x 为标量，y 为向量；a,b 为 x 的下上限，‘c_lo’和‘d_hi’ 是 y 的下上上限函数 c(x),d(x),都是 x 的标量函数，m,n 分别为 x、y 方向的等分数（缺省值为 100）。 %M 函数 dblquad2.m function I=dblquad2(f_name,a,b,c_lo,d_hi,m,n) if nargin&7,n=100;end if nargin&6,m=100;end if m&2|n&2 error('number 0f intervals,invalid'); end mpt=m+1;hx=(b-a)/m;x=a+(0:m)* for i=1:mpt ylo=feval(c_lo,x(i));yhi=feval(d_hi,x(i)); hy=(yhi-ylo)/n;y(i,:)=ylo+(0:n)* f(i,:)=feval(f_name,x(i),y(i,:)); G(i)=trapz(y(i,:),f(i,:));end I=trapz(x,G); 例21 ? 1? x 2 ? 1 ? x 2 dxdy ? ? ? ? 1 ? x 2 dy ?dx ??2 ?1 ? 1? x 2 ? ? x 2 ? y ?1解 先作三个 M 文件 %M 文件 eg2_2fun.m function z=eg2_2fun(x,y); z=sqrt(1-x^2)*ones(size(y));%M 文件 eg2_2low.m function y=eg2_2low(x) y=-sqrt(1-x^2); %M 文件 eg2-2up(x) function y=eg2_2up(x) y=sqrt(1-x^2); 然后在窗口用 &&dblquad2(‘eg2_2fun’,-1,1,’eg2_2low’,’eg2_2up’) ans= 2.66641.5解微分方程的 MATLAB 命令ode23 二、三阶 Runge-Kutta 法； ode45 四、五阶 Runge-Kutta 法； ode15s 刚性方程组解法； dsolve 符号解析解。 1. 数值解 [tout,yout]=ode45(‘yprime’,tspan,y0) 字符串 yprime 用以表示 f(t,y)的 M 文件名，tspan=[t0,tf]表示自变量的初值和终值，y0 表示初值向量 y0. 输出列向量 tout 表示节点(t0,t1,…,tn)T,输出矩阵 yout 表示数值解，每一列对 应 y 的一个分量。若无输出参数，则自动作出图形。 2. 符号方程解析解 s=dsolve(‘方程 1’，‘方程 2’,…,‘初始条件 1’，‘初始条件 2’,…,‘自变量’） 均用字符串表示，自变量缺损值为 t. 导数用 D 表示，2 阶导数用 D2 表示，依次类推。 s 返回解析解。方程组情形，s 为一个符号结构. 例 1 (1) 求 y'=ay+b 的通解； (2) y' =y-2t/y , y(0)=1, 0&t&1 (3) y''=cos(2x)-y, y(0)=1,y' (0)=2 (4) f'=f+g, g' = - f-g, f(0)=1, g(0)=2 注： 刚性方程组即病态方程组； ode15s 及 ode23 使用格式同 ode45. && s=dsolve('Dy=a*y+b') s= -b/a+exp(a*t)*C1 && dsolve('Dy=y-2*t/y','y(0)=1') ans = (2*t+1)^(1/2) && s=dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0','x'),simplify(s) ans = -2/3*cos(x)^2+4/3*cos(x)+1/3 && S=dsolve('Df=f+g','Dg=-f+g','f(0)=1','g(0)=2'); && S.f,S.g %S 是一个结构 ans =exp(t)*(cos(t)+2*sin(t)) ans =exp(t)*(-sin(t)+2*cos(t))2.1 函数的级数展开与级数求和问题求解2.1 Taylor 级数展开 单变量函数的 Taylor 级数展开 例：求函数在指定点的泰勒展开式。命令如下： x=sym('x'); f1=(1+x+x^2)/(1-x+x^2); f2=sqrt(1-2*x+x^3)-(1-3*x+x^2)^(1/3); taylor(f1,x,5) %求(1)。展开到 x 的 4 次幂时应选择 n=5 taylor(f2,6) %求(2)。 例１ sinx 在０点展开到６次。taylor(sin(x),6,0) ans = x-1/6*x^3+1/120*x^5 2.2 级数和 级数符号求和函数 symsum，调用格式为： symsum(a,n,n0,nn) 例：求级数之和。 命令如下： n=sym('n'); s1=symsum(1/n^2,n,1,inf) %求 s1 s2=symsum((-1)^(n+1)/n,1,inf) %求 s2。未指定求和变量，缺省为 n s3=symsum(n*x^n,n,1,inf) %求 s3。此处的求和变量 n 不能省略。 s4=symsum(n^2,1,100) %求 s4。计算有限级数的和
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基础投资：圆及周长圆是曲线，人脑，电脑只会直线（两点以直线段为最短）. 看圆怎样构成圆井由直砖砌成； 电脑画圆放大看不是圆，只是多边形即以直（弦或切）代曲（弧）. 进一步观察，它们（即直与曲）相除还能保持→1（当弧→0）：这称为高等数学第一题(它反复出现)即夹在0.9...9与之间：
& & & & & &
前式为什么以算术（0.9...9）代三角（cosθ）？因cosθ→1（当θ→0），那总能保持0.99...（例如取0.98...不能任意接近1. 但在9后面有别的数，不可能永远取9. & & & & & & & & & & & & & & & & 后式则不证自明（这里为简单对圆周作等分，所以每个弦、每个弧都相同）！简言之，圆有一道算术题：当分子=弦或切，分母=弧，则局部比→1推出整体比→1：结论：弦（或切）相加/圆周→1，或弦（或切）相加→圆周（定死了）. 但弦（或切）相加永远达不到圆周，达不到精准值.尽管如此，圆的算术却钓出了精准的微积分. 微积分小卡片（左半为圆、右半为微积分）：比较小高与全高安民告示：像念三字经（三个词：分子，分母与0.9）先背下，以后再做题来理解算术假设
每个分数的分子与分母足够接近，相除能保持→1，必然取
这里，分子们、分母们可不同微积分就藏身其中：取分子=小直角三角形的高=微分（命名）分母=相应曲边三角形的高（称小高），使之满足算术假设（局部） （也记：割线→切线），由算术定理得（整体） 9的个数在增（随分点增） 记：微分相加→全高或微分的积分=全高此即基本定理 设分母&0且9的个数一样（均匀），则有算术定理 由局部分数到整体分数，需要均匀只要验证. 先验左边0.9...9 分母 & 分子0.9...9分母相加 & 分子相加同理再验右边要点：微分（或切线）的定义，已经含有基本定理（由算术定理）. 这里，定义定理，事情就这么简单！靠看： 卡右出现曲边三角形. 小学学过直边三角形，所以先将曲边三角形分解为小的直边三角形（又称‘微分三角形’如阴影部分）. 然后，用‘微分三角形’的高（称微分），来接近原有曲边三角形的高. 这也可看作登山故事：登高与坡度的关系. 见1998我的《画中漫游微积分》，一图胜千言
几道题一起解 总结 &微积分传统模式，从理论到理论：实数论→连续函数论→微分学（导数、中值公式、泰勒公式）→积分学（原函数、不定积分、定积分、基本定理），样样俱到，定理太多、证明太长，布下了迷魂阵. 多数人甚至不知其然，更不知其所以然. 但这个模式根深蒂固，被认为是千锤百炼、天衣无缝.我们的模式倒过来了：始于做题、终于做题. 它聚焦于导数与积分，一开始就是一条基本定理，并立下战书：每道证明不超过四行，不仅知其然，也知其所以然，甚或一目了然.我们只保留泰勒公式，它是基本定理的四行推论.简言之，微积分一条定理、四行证明，就这么绝.简单、容易，在微积分面前人人平等. & 总之，基本定理只要拿几道题，自己做一遍，就完全明白了.没有必要回到传统教材：由实数论，到连续函数论，到微分学（中值公式、泰勒公式、原函数、不定积分），再到黎曼积分...越多越糊涂，喧宾夺主，以为微积分是数学分析，研究极限论与连续函数论微积分一座大山，终于变成了几碟小菜.够了，读者可以松口气了！暂停. & &注 & 张景中的三角公式无图证法:
& 建议微积分一开始就布置这几题，作为打擂台、比武场，供学生试身手、比功夫.直到他们交卷了，才能肯定微积分过关了.原函数导数......这几题真值得，包含了微积分的最初功能：求导数与积分. 加上四则运算求导，便可以制造导数表与相应的积分，如上表。 & &以后仅仅是套公式. 下面仅举出决定性的一招：利用上表求单位圆的周长与面积即 圆周长=4arcsin(x)的高，圆面积=2（arcsin(x)+x）的高. 仍然有一方的面积或周长 = 另一方的高洪琪琛建议应该说的更清楚些：这里不是要推导圆周长等于2Pi，而是关注弧长的计算，Pi在这里只是一个符号，实际上是需要将arcsin（x）通过泰勒展开来计算（见附录一）. 或者在这里可以不把Pi当成是由圆周长来定义的，而是用无穷级数的形式来定义的.微积分大目标已经达到了，你已经非常成功了，一辈子学这么多（几道题）也就知足了. 这就是公共微积分这几题，是微积分的五脏六腑，或几颗“真金”.也好比清明上河图习题：求椭圆的面积未难倒学生，你可以问椭圆的周长（不可解）你也可以出个莫名其妙的积分题：随便写一个什么函数，求出导数后再把前面的函数抹掉，然后求这个函数的积分. 可是，这样的题除了考倒学生，还有什么意义？太紧张了，太累了公共微积分的大戏终于演到头了！应该喘口气.但是，以上只是一种方案. 张景中的工作另立标杆，他提出的不等式就是一条通向罗马的新路. 他的《不用极限的微积分》布满了新思想和真功夫. 凡是微积分有看不懂的地方，很可能从他书中找到解答. 特别，此书（第九、十讲）包括了微积分的两个函数，对数函数和指数函数，这是我们需要的，没有这两个函数积分表就不能完备.微积分小卡片与高中版结合附言：打基础 &微积分的基础，包括什么叫做1？（包括举例用到的），包括前面的微积分小卡片，必须从小学知识点补起一 微积分的准备：0.99.... & &达到的目标：什么叫做1 公元前369-286年 & 小学时听老师讲庄子故事，一辈子都记住一尺之棰，日取其半，万世不竭项数和40.9375 & & & & & & & 一九70.9921875 & & & & & 二九100.9990234375 & & & &三九140.9999 & &四九 &170.99999 &五九 &…………340.4179233...十九 为什么右边会出现0.99...？因为中间是一个小于1又任意接近1 的数，总能取到0.99...（否则例如取0.98...，怎么能任意接近1呢） & &举一反三 & & & & & & & & & & & & & & & & & （1）中学学到三角时，说又任意接近1（令θ缩小），那是什么意思呢？它总能取到0.99...（否则例如取0.98...，怎么能任意接近1呢）. 所以 &
& &（2）哲学家说，人类通常做不到百分之百（=1）正确，只能做到百分之九十九，百分之九十九点九，...正确：商家也说，百分之九十九，百分之九十九点九，..., 所以尽可能用0.9...9说事.再举一反三 & &（3）庄子故事中，1/n任意接近0（令n增大），那是什么意思呢？它总能取到0.0...01...（）（否则例如取0.0...02...，怎能任意接近0呢）. 即 & &（4）在前面（1）中令即柯西的语言 & 重复柯西的警告：“摆脱直觉的危险与图解的诱惑，即使显而易见的事实也必须用无可争辩的推理过程来证明”. 公式一多就烦了！简言之，以前只用到夹在0.9...9与之间（不必说成1-ε与1+ε之间）的量. 此外，避长就短，常说成趋于1或（因两头，所以夹在中间的量也），其意思很明白，即夹在0.9...9（即1-ε）与（即1+ε）之间的量. 常用就习以为常.
&附录一 & 扫尾工作：实数理论讲到三角测量，例如求，它不是有限循环小数. 一般它们都是无限不循环小数，也就是华罗庚说的实数，简单列成表格测量需要实数. 利用无限位小数，逐句逐字，或改头换面，耍出一般实数按部就班依序试算联合成不等式最终等式唯一实数的整数部分↕阿基米德原理选出整数a小数部分第一位↕区间分成十份小数部分第二位↕区间再分十份小数部分第三位↕区间再分十份找出规律归纳类推至所有位每为多找一个小数位，等号右边的小数点后就在加9，越来越接近1. & 这就是华罗庚构造法（，R不能用有限位小数表达）古今总结古人认为：（整数及其四则运算，其中整数之比未必是整数，可能是有限或无限循环小数）任一长度对应华罗庚耍出推论：单调上升且有上界的数列必有极限（这话比较专业，先认下来）的故事(抄自网页) & &其实，看似简单的一个，却引发了第一次数学危机。著名的勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，就是这个毕达哥拉斯在历史上提出过“万物源于数”的理论。这个理论听上去有些奇怪，但是如果你仔细了解毕达哥拉斯的学说的话，他的理论还是挺有道理的。毕达哥拉斯还成立了一个像宗教形式的学派，他本人和他的学生们都对数有着疯狂的迷恋。前580-500 & & & & 前500-?　　毕达哥拉斯认为宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达，并不存在无理数。可是他的一个学生希帕苏斯却证明出了√2是一个无理数，这让学派的其他成员惊恐不已，因而将他抛入了大海，以保守这个秘密。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　无理数的出现深深的困扰着古希腊的数学家，人们无法理解无理数的意义，陷入了逻辑上的困难。这就是第一次数学危机。思考题已被证明为是无理数，问题是怎么发明的？应该先去算它的头几位小数，总算不尽，才怀疑它不是有理数，见上一张表.后面只是轻松的务虚，不动脑筋了...附录二 &公共微积分还有什么 & & & &公共微积分，即务实的微积分，除了以上三把斧基本定理、单调判别、泰勒公式还有什么利器？高三、大一必学的，做题应试所必须的，也就是这些. & &其它知识点：级数呢？好处理：指数、对数函数呢？它们特别有意思：的导数还是，的导数是.前者可用来预报人口，只用几分钟（以及前几年已有的数据），后者用来填补积分表.见张景中书《不用极限的微积分》第九、十讲.附录三 公共微积分的模式 & &微积分倒放了. 传统微积分有固定模式： & &实数→极限→连续函数理论→微分学（中值定理＋单调性判别＋泰勒公式）→基本定理现在倒过来出牌：基本定理→单调性判别＋泰勒公式代替了中值定理，成本骤降. 这就是公共或务实的微积分!过去根深蒂固、千锤百炼、天衣无缝的微积分被动摇了第二部 & 绣花微积分 （以中值定理为动力） & &第一部例5讲到了中值定理，干净、有用. 遗憾：它的论证远不是四行的问题，要用到连续函数理论与实数理论，成本太高、太奢侈，没有资格作为公共微积分的内容. 但它很有魅力：北京珠市口天桥上就有它事实上，中值定理成了一个动机或动力，由“公共微积分”向“数学分析”过渡. 由于张景中的《不用极限的微积分》第十八讲用了最短的篇幅把这个烫手的部分讲透，我们推荐它给各位读者就行了。
& 务虚：学微积分（包括圆）能得什么好处？ & &（1） 学了圆才恍然大悟：尽管圆存在（离中心距离相等的轨迹），人脑电脑却得不到圆，只能以直代曲，以多边形来接近圆：于是你才相信：尽管绝对真理存在，人类却得不到它（它比圆更复杂），只能以相对真理来接近绝对真理：于是你才有了辩证的世界观，不至滑到民间数学家的圈子，否定前人相对真理，一步登天.有这一点提高，就已值得. & &其实，醉翁之意不在酒，我们学圆，动机是带出微积分 & &（2）托尔斯泰等由此观察人类历史 《冯·卡门传》：历史只观察大多数人活动的平均效果，系统地目前状态包含着过去的历史.看来不懂微积分，看高级小说，就知其然、不知其所以然 &（3）微积分低成本高收益实例：2000年人口普查，全国挨家挨户访问5亿人花了一年. 若根据马尔萨斯定律，利用过去（1990）人口数据，再应用微积分，一个大学生只花五分钟，即推算出2000年的人口马尔萨斯（）结果相差6.4%，但成本更要紧. 又例：材料科学基本靠微积分来算. 过去爱迪生为找灯丝的最优材料，做了几千次实验，因为他一点也不懂微积分（据说）
& （4）微积分改变世界 & & & & & & & & & &
& &莉莉安·李伯说，麦克斯韦第一个想出了“电磁场里的波”这个概念，再运用微积分耍出电磁波存在（微积分有没有用，就看你会不会耍）. 之后赫兹验证了电磁波的存在，时代翻页 &（）（）
& &克里斯·罗里斯说，若阿基米德“失传遗稿”（有关微积分吧）早牛顿100年被世人发现，那么人类科技进程可能就会提前100年，人类说不定都已经登上了火星 （前287-212） & &（5）吴文俊： /watch/.html & （6）丘成桐：数学改革最简单的做法是把微积分纳入高考，微积分在所有理科，包括经济、医学、 物理、现代科技等领域都会用到，但我们现在的高考反而不考微积分，这是很大的错误. & （7）阿诺德：不懂数学的人就不能认识其他任何科学.不要相信所有物理概念，相信数学方案.本世纪初期的纯物理概念已被物理学所摒弃 & （8）最后，对学生来说，微积分最实惠的就是帮你应试.不学白不学，不学白丢题！后言（致教师） & &小卡片的求高图来自《光明日报》《人民日报》（1997）我当然不满足于图解，微积分的成功在于“摆脱直觉的危险与图解的诱惑，即使显而易见的事实也必须用无可争辩的推理过程来证明”. 不过，中学数学也应该有一个行规：每一证明不能超过四行（就像证明是无理数那样）. 所以，当我参加院士丛书（广西出版社1998年）的写作时，就把一个四行的证明写进《画中漫游微积分》. & &见过这证明的朋友，如加拿大院士陈掌星，立刻拍板说“这就是微积分教学法的突破”. 之后，专家圈里也得到个别支持：美国M. Livshits几处演讲题目就是“由笛卡尔到...”，中国张景中的书称之为“微积分基本定理的林群模型”，美国Michael Range的微积分新书称之为“Ideas of Lin Qun”，当他看到我的微积分小卡片，来邮件说“我开始的时候不得其解，觉得这怎么可能. 我花了一段时间来理解，为什么您的“区间导数”或“区间微分”可以绕开技巧，原来估计的一致性已经隐藏在条件之中。我知道Lax认为连续应该定义在区间上（即一致连续）而非逐点定义，从而可以避免一些对大部分学生而言十分艰涩的分析结果. 您对导数（微分）的类似处理有异曲同工之妙”. 网上liyu称“这个卡片太神奇了, 图中间的不等式着实很强大(上下界的选择), 高中生或者初中生都可以尝试证明. 有很强的几何意义. 之后的证明也非常简洁明快”. 它进入《高等数学研究》（主编张肇炽）的简讯：题目为并进入香港电视剧特别，进入中学生及家长的社会，被评为“2016中国科学年度新闻人物” & &我爱别人赞成，只挑赞成的特例. 笑话的、反对的多得很：如果你随便问一位教师，他都会摇头 & & & & & & & & & & & & & & & &
网上就有人预言：已经为实践所逐步证实，他们的方法不会成功，也就是不会成为微积分理论和教学主流. 我还是硬着头皮做实验......声明：所有插图均来自网络. 附件1：高等数学第一题，三角不等书的李瑜图解 （通过比较面积可得） 附件2 《全民科学素质学习大纲》（中国科普研究所，2016）第二章“数学与信息”，P. 53-54，游春光、谢满庭主笔：
& &附件3 &张景中《不用极限的微积分》P. 232-235的证明与图解
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