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高数二阶常系数线性齐次常微分方程
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e的次幂数是1，带入初始条件，是y(0)=1,解得C=0，所以lny=x，y=e^x那微分方程变成y``-3y`+2y=e^x首先解齐次通解y``-3y`+2y=0特征方程：r^2-3r+2=0，且非齐次项多项式为常数1，所以设特解y*=Axe^x。将特解求导有(y*)``=A(x+2)e^x。首先是dy&#47，是特征方程r^2-3r+2=0的一重根;dx=y，利用分离变量法，dy&#47这个是非齐次方程;y=dx，两边积分；(y*)`=A(x+1)e^x，得到lny=x+C，解得r1=1，r2=2所以通解是y=(C1)e^x+(C2)e^(2x)再求特解。因为非齐次项是e^x
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二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式
【摘要】：通过引入行列式符号并定义一种形式积分,给出求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式,并进一步将该公式推广到三阶方程的情况.
【作者单位】：
【基金】：
【分类号】：O175.1【正文快照】：
二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=f(x)(1)的通解为y=-y+y*,其中-y是对应的齐次方程y″+py′+qy=0(2)的通解,y*是原非齐次方程的特解.求-y的方法比较简单,大多数教材上都有详细的介绍.如何根据非齐次项f(x)的形式迅速而又准确求出特解y*,则往往不太容易掌握.教材[1]
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高等数学 第十二章 微分方程 第八节 二阶常系数齐次线性
第十二章 微分方程第八节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程的解 特征方程的根 掌握通解与特征根的关系上页 下页 返回 结束二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式: 二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式如何求解? 如何求解 分析: 分析rx和它的导数相差常数可能是微分方程的解! 因子r; y = e 可能是微分方程的解 因子 rx 代入微分方程, 将 y = e 代入微分方程 得(r2 + pr + q ) er x = 0y = er x 是微分方程的解 因此, 因此 函数常数 r 满足 r + pr + q = 02上页 下页 返回 结束称 r + pr + q = 0 为微分方程2微分方程的特征根. 特征方程, 特征方程的根称为微分方程的特征根 的特征方程 特征方程的根称为微分方程的特征根 三种情形: 三种情形 1. 当 p2 ? 4q & 0 时, 特征方程有两个相异实根 r , r2 , 特征方程有两个相异实根 1 微分方程有两个线性无关的特解: 微分方程有两个线性无关的特解rx r x 微分方程的通解为 y = C1 e 1 + C2 e 2上页下页返回结束2. 当 p ? 4q = 0时, 特征方程有两个相等实根 特征方程有两个相等实根2r = r2 1微分方程有一个特解 ( u (x) 待定 待定)设另一特解为 代入微分方程得: 代入微分方程得er x 12 [ ( u′′ + 2r u′ + r u ) + 1 1p(u′ + r u ) + qu ] = 0 1+ p r + q)u = 0 1u′′ + ( 2r + 12 p )u′ + ( r 1是特征方程的重根u′′ = 0 y2 = x er1 x , 因此原方程的通解为 取 u = x , 则得y = ( C1 + C2x ) er1 x上页 下页 返回 结束3. 当 p ? 4q & 0 时, 特征方程有一对共轭复根 特征方程有一对共轭复根2r =α + i β, r2 =α ? i β 1这时原方程有两个复数解: 这时原方程有两个复数解y1 = e(α+i β ) x = eα x (cos β x + i sin β x ) y2 = e(α?i β ) x = eα x (cos β x ? i sin β x )利用解的叠加原理 , 可得原方程的线性无关特解 可得原方程的线性无关特解:1 y1 = 2 ( y1 + y2 ) = eα x cos β x 1 y2 = 2i ( y1 ? y2 ) = eα x sin β x因此原方程的通解为y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x)上页 下页 返回 结束的步骤: 小结: 小结 求解微分方程 y′′ + p y′ + q y = 0 的步骤: 特征方程: 第一步 写出 特征方程 r + pr + q = 0, 第二步 求出 第三步 依据下表写出微分方程的通解: 依据下表写出微分方程的通解:2特征根 实根通解r1 xy = C1e+ C2er2 xy = (C1 + C2 x ) er1 xy = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x )以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .上页 下页 返回 结束推广: 推广 对 n 阶常系数齐次线性微分方程y(n)+ a1 y(n?1)+?+ an?1y′ + an y = 0 ( ak 均 常 ) 为 数特征方程: 特征方程r n + a1 r n?1 +?+ an?1r + an = 0若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 若特征方程含 k 重复根 对应项 则其通解中必含上页下页返回结束例1. 求 程 y′′ ? 2 y′ ? 3 y = 0 的通解 方 的通解. 解 特征方程 r 2 ? 2r ? 3= 0, 特征根 r = ?1, r2 = 3 , 特征根: 1 因此原方程的通解为d2s ds +2 +s =0 2 dt dt例2. 求解初值问题s t =0ds = 4 , d t t = 0 = ?2?t解 特征方程 r 2 + 2r +1 = 0 有重根 r = r2 = ?1, 1 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为s = (C1 + C2 t ) e C1 = 4, C2 = 2上页下页返回结束例3 求 程 y′′ + 2y′ + 5y = 0的 解. 方 通 解 特征方程为 r + 2r + 5 = 0 ,2解得 故所求通解为 例4. 求以 故特征方程为 因此微分方程为r1， = ?1± 2 j , 2y = e ? x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ).为通解的微分方程. 为通解的微分方程解 由通解式可知特征方程的根为上页下页返回结束例5.的通解. 的通解特征根: 解 特征方程 r 4 ? 2 r3 + 5 r2 = 0, 特征根r = r2 = 0, 1因此原方程通解为r3, 4 =1± 2 iy = C1 + C2x + ex (C3 cos 2x + C4 sin 2x )例6.解方程 y(5) ? y(4) = 0.特征方程: 解 特征方程 原方程通解: 原方程通解r1 = r2 = r3 = r4 = 0, r5 =1r5 ?r 4 = 0, 特征根 :y = C1 + C2x + C3x2 + C4 x3 + C5ex(不难看出 原方程有特解 1, x, x2 , x3, ex ) 不难看出, 不难看出上页 下页 返回 结束内容小结y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q 为 数) 常特征根: 特征根 r1 , r2 (1) 当 r1 ≠ r2 时, 通解为 y = C1 er1 x+ C2 er2 x(2) 当 r1 = r2 时, 通解为 y = (C1 + C2 x ) e (3) 当 r1,2 = α ± β i 时, 通解为αxr1 xy =e (C1 cos β x + C2 sin β x)可推广到高阶常系数线性齐次方程 .上页下页返回结束思考与练习求方程 答案: 答案 的通解 .a = 0 : 通解为 y = C1 + C2 x a & 0 : 通解为 y = C1 cos a x + C2 sin a xa & 0 : 通解为 y = C1 e?a x+ C2 e??a x作 业P 28943（1，3，5，6）； 44（2，4）上页 下页 返回 结束附加例题1. 附加例题 求以阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解. 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程 并求其通解 解 根据给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为( r ?1)2 ( r 2 + 4) = 0 r 4 ? 2 r 3 + 5r 2 ? 8 r + 4 = 0上页下页返回结束附加例题2. 附加例题2. ′′ ? ( y′ )2 = y 2 ln y 的通解. 求微分方程 yy 的通解.′ ? y′ ? yy ′′ ? ( y ′ ) ∴ = ln y , ? ? = ln y, ? y? y2 ″ ′ y′ ∴(ln y) = ln y, ∵ (ln y ) x = , y 令 z = ln y 则 z ′′ ? z = 0, 特征根 λ = ±12解∵ y ≠ 0,z = C1e x + C 2 e ? x 通解原方程的通解为ln y = C1ex + C2e?x .上页 下页 返回 结束
高等数学教案课题 时间 第 45 讲:二阶常系数齐次线性微分方程 6 月 27 日,星期五 教学 目的 要求 1.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法; 2.掌握 n ...《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案 第十二章微分方程一、教学目标及基本要求 1、了解...阶的高阶微分方程 第七节高阶线性微分方程 第八节常系数齐次微分方程 第九节...高数高数隐藏&& 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 根据二阶线性微分方程解的结构, 二阶线性微分方程的求解问题, 关键在于如何求得二 阶齐次方程的通解和非齐次...目一、 高等数学电子教案 录 第一章 函数与极限 ...齐次微分方程 第四节 一阶线性微分方程 第五节 全...可降阶的高阶微分方程 第八节 二阶线性微分方程解...高等数学 A 教学大纲课程名称:高等数学 A 课程编码...6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法, 并了解...第八节 多元函数的极值及其求法(无条件极值) 第八...《高等数学I》教学大纲_理学_高等教育_教育专区。《...第十章 第十一章 第十二章 合计学时数 章目名称...常系数齐次线性微分方程 第八节 常系数非齐次线性...《高等数学》 李德新主编 厦门大学出版社,2007 (2)...章八九十 十二 第二学期 40 学时 内容 学时 10...常系数齐次线性微分方程 第八节 常系数非齐次线性...无穷大 第五节 第六节 第七节 第八节 极限运算...习题课 1 学时 第七章 微分方程(22 学时) 1....(5)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解...10-11-2 高数(二)日历_理学_高等教育_教育专区。...第六节 二阶常系数齐次线性微分 方程 1、 二阶常...启发式 讲练结 合 无 3 3.29 第八节 二次...第七节:常系数齐次线性微分方程 要求:掌握二阶常系数线性齐次方程的解法。 第八章 向量代数与空间解析几何 第一节:向量及其线性运算 要求:1、理解向量的概念,...
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解 所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0? 特征方程的根为r1=1+2i? r2=1-2i? 是一对共轭复根? 因此所求通解为
y=ex(C1cos2x+C2sin2x). 帮忙解释下r1怎么会等于1+2i,r2怎么会等于1-2i谢谢!
分类：数学
y'' - 2y' + 5y = 0,设y = e^[f(x)],则 y' = e^[f(x)]*f'(x),y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,当f(x) = ax + b,a,b是常数时.f''(x) = 0,f'(x) = a.0 = a^2 - 2a + 5.2^2 - 4*5 = -16 a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix) 或 y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix) 因2个解都满足微分方程.所以,微分方程的实函数解为,y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)] 或 y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)] 微分方程的实函数的通解为,y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)] = e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]其中,c1,c2 是任意常数.记 C1 = 2c1e^b,C2 = 2c2e^b,有 y = e^x[C1cos(2x) + C2sin(2x)] C1,C2为任意常数.这个,可能就是特征方程无实数根时,通解的由来吧~【俺记忆力很差,公式都记不住,全靠傻推.这样的坏处是费时,好处是,自己推1遍,来龙去脉就清楚1些了.不知道,俺的傻推过程对你的疑问有点帮助没~】
cos40 + cos60 + cos80 + cos160= cos(60-20)+ cos60 + cos(60+20)+cos(180-20)= cos60cos20 + sin60sin20 + cos60 + cos60cos20 -sin60sin20 + cos180cos20 + sin180sin20= 1/2 cos20 + 1/2 + 1/2 cos20 -cos20 +0=1/2参考公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB技巧,将非特殊角转化成特殊角与另一个角相加,然后设法消掉那个角
三角函数应用题求解已知角A属于（0,2π）且sinA和cosA是方程x2-kx+k+1=0的2个根,求K和A
sinA和cosA是方程x2-kx+k+1=0的2个根所以有：sina+cosa=ksina*cosa=k+1sina^2+cosa^2=1(sina+cosa)^2-2sina*cosa=1k^2-2(k+1)-1=0k^2-2k-3=0(k+1)(k-3)=0k=-1,k=3(不符合,舍去）sina+cosa=-1,sina*cosa=0A(0,2pai)无解
0所以m/n>0,n/m>0所以m/n+n/m>=2根号(m/n*n/m)=2当m/n=n/m,m=n时取等号2m+n=1,m=n,有解,等号能取到所以最小值=4+2*2=8">x=-2,y=loga(1)-1=-1所以A(-2,-1)所以-2m-n+1=02m+n=1(1/m+2/n)*1=(1/m+2/n)(2m+n)=4+2(m/n+n/m)mn>0所以m/n>0,n/m>0所以m/n+n/m>=2根号(m/n*n/m)=2当m/n=n/m,m=n时取等号2m+n=1,m=n,有解,等号能取到所以最小值=4+2*2=8
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