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数学期望和方差【PPT】
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数学期望和方差【PPT】
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期望、方差、协方差及相关系数的基本运算
这篇文章总结了概率统计中期望、方差、协方差和相关系数的定义、性质和基本运算规则。
设是一个离散概率分布函数，自变量的取值范围为。其期望被定义为：
设是一个连续概率密度函数。其期望为：
1、线性运算规则
期望服从线性性质（可以很容易从期望的定义公式中导出）。因此线性运算的期望等于期望的线性运算：
这个性质可以推广到任意一般情况：
2、函数的期望
设为x的函数，则的期望为：
一定要注意，函数的期望不等于期望的函数，即！。
3、乘积的期望
一般来说，乘积的期望不等于期望的乘积，除非变量相互独立。因此，如果x和y相互独立，则。
期望的运算构成了统计量的运算基础，因为方差、协方差等统计量本质上是一种特殊的期望。
方差是一种特殊的期望，被定义为：
1、展开表示
反复利用期望的线性性质，可以算出方差的另一种表示形式：
2、常数的方差
常数的方差为0，由方差的展开表示很容易推得。
3、线性组合的方差
方差不满足线性性质，两个变量的线性组合方差计算方法如下：
其中为x和y的协方差，下一节讨论。
4、独立变量的方差
如果两个变量相互独立，则：
作为推论，如果x和y相互独立：。
两个随机变量的协方差被定义为：
因此方差是一种特殊的协方差。当x=y时，。
1、独立变量的协方差
独立变量的协方差为0，可以由协方差公式推导出。
2、线性组合的协方差
协方差最重要的性质如下：
很多协方差的计算都是反复利用这个性质，而且可以导出一些列重要结论。
作为一种特殊情况：
另外当x=y时，可以导出方差的一般线性组合求解公式：
相关系数通过方差和协方差定义。两个随机变量的相关系数被定义为：
相关系数的取值范围为-1到1，其可以看成是无量纲的协方差。
2、统计意义
值越接近1，说明两个变量正相关性（线性）越强，越接近-1，说明负相关性越强，当为0时表示两个变量没有相关性。
TA的推荐TA的最新馆藏[转]&[转]&[转]&
喜欢该文的人也喜欢二项分布期望与方差的证明
二项分布是概率统计里面常见的分布，是指相互独立事件次试验发生次的概率分布，比较常见的例子。种子萌发试验，有种子，每颗种子萌发的概率是发芽了颗的概率就服从二项分布。
如果还是迷茫，就听我说说故事，在古代，大概明末清初的时候，瑞士有个家族，叫伯努利家族，出了很多数学家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James
Bernoulli)的，比较喜欢做试验，他的试验有特点，是一系列的试验，没发生就是失败，而且每次的成功概率都是，若果失败了就是=在这些试验中，每次得出的结果与其他次试验都不发生关系，同样人们也给了这种不发生关系的性质一个比较抽象的名称，叫相互独立事件，同时把这种试验叫做伯努利试验。在次伯努利试验中，发生x次的概率满足二项分布。
如果令q=(1很容易得出发生x次的概率为{，}q^(n-x)，因为决定该分布的只有n、p，所以为了简单起见，人们把x服从的二项分布记做x～(n，p)。
现在的目标是计算二项分布的期望和方差，在网上寻找二项分布的期望和方差大都给一个结果，、，很难找到它是怎么来的。好不容易查到，还是花钱才能看的，就那几步过程，有必要藏着盖着吗？今天我把过程写出来，让大家都了解了解，都是原创，互相学习，希望支持。
首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。期望用E表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，方差为ξ=∑(ξ－)^2*Pξ，另外还有一个常见的量叫做标准差，一般用σ表示，ξ，根据方差的概念，
ξ=∑(ξ－)^2*Pξ
=∑(ξ^2＋ξ*)*Pξ
& =∑(ξ^2*Pξ＋*Pξ*Pξξ*
& =∑ξ^2*Pξ＋∑Pξ*∑Pξξ
因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ
所以ξ=∑ξ^2*Pξ
∑ξ^2*Pξ，表示
& & 下面计算数学期望,
Eξ=∑{ξ&=0，n}{&，}^^()
=∑{ξ&=0，n}!//(n-)!^^()
&=∑{ξ&=1，n}!/(/(n-)!^^()
&=n*∑{ξ&=1，n}C{，n-1}^(^()
如果要计算方差，ξ&=
=∑{ξ&=0，n}{，}^^()
－&n*p*∑{ξ&=0，n}{&，}^^()
&=n*∑{ξ&=1，n}!/(/(n-)!^(^()
－&n*∑{ξ&=1，n}{&，}^^()
=n*∑{ξ&=1，n}^(^()(C{，n-1}－{&，}＋{&，}*q)
&=n*∑{ξ&=1，n}^(^()[{&，}*q{&，}－C{，n-1})]
&=n*∑{ξ&=1，n}^(^(){&，}*q∑{ξ&=1，n-1}^(^()C{，n-1}]
&=n*∑{ξ&=1，n}^(^()n!/(/q∑{ξ&=1，n-1}^(^()n-1)!/(/
&&=n*∑{ξ&=1，n}n*q*n-1}^(^(－
∑{ξ&=1，n-1}n-2}^(^()]
以上就是二项分布的期望与方差的证明，过程比较简单，就是一个思路，要想更深入的领悟，就须要自己亲自地证明一遍了，也许你的方法将会更简单……
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几个重要分布的期望和方差
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1、0-1分布:E(X)=p ,D(X)=p(1-p)2、二项分布B(n,p)：P(X=k)=C(k\n)p^k·(1-p)^(n-k),E(X)=np,D(X)=np(1-p)3、泊松分布X~P(X=k)=(λ^k/k!)·e^-λ,E(X)=λ,D(X)=λ4、均匀分布U(a,b):f(x)=1/(b-a),a
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这篇文章总结了概率统计中期望、方差、协方差和相关系数的定义、性质和基本运算规则。
设P(x)是一个离散概率分布函数自变量的取值范围是。那么其期望被定义为：
这篇文章总结了概率统计中期望、方差、协方差和相关系数的定义、性质和基本运算规则。
设P(x)是一个离散概率分布函数自变量的取值范围是。那么其期望被定义为：
设P(x)是一个连续概率分布函数 ，那么他的期望是：
1.线性运算：
期望服从先行性质，因此线性运算的期望等于期望的线性运算：
我们可以把它推广到任意一般情况：
2.函数的期望：
设f(x)是x的函数，则f(x)的期望为：
3.乘积的期望:
一般来说，乘积的期望不等于期望的乘积，除非变量相互独立。因此，如果x和y相互独立,则
期望的运算构成了统计量的运算基础，因为方差、协方差等统计量本质上是一种特殊的期望。
设C为一个常数，X和Y是两个。以下是数学期望的重要性质：
1.E（C）=C
2.E（CX）=CE（X）
3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)
4.当X和Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)
性质3和性质4可以推到到任意有限个相互独立的随机变量之和或之积的情况。
某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个。求一个家庭平均小孩的数目:
思路：则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量。它可取值0，1，2，3。其中取0的概率为0.01(1000/10万)，取1的概率0.9(9000/10万)，取2的概率为0.06(6000/10万)，取3的概率为0.03(3000/10万)。它的数学期望0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个。用数学式子表示为E(X)=1.11。
方差是一种特殊的期望，
被定义为：
离散型的方差：
连续型的方差：
以上两式是一样的，只是写法不同。
证明：由数学期望的性质得
1.设C是，则D（C）=0
2.设X是随机变量，C是常数，则有
3.设 X 与 Y 是两个随机变量，则
其中协方差
特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量（相互独立）则
此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。
统计学意义：
方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其平方的平均数，它是测算的最重要的方法。标准差为方差的算术平方根，用S表示。方差相应的计算公式为（无偏性）。
标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。
三、协方差
在和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差。期望值分别为E[X]与E[Y]的两个实随机变量X与Y之间的协方差Cov(X,Y)定义为：
特殊情况下，当X=Y时:
从直观上来看，协方差表示的是两个变量总体误差的期望。
如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值时另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值；如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个变量大于自身的期望值时另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。
如果X与Y是统计独立的，那么二者之间的协方差就是0，因为两个独立的随机变量满足E[XY]=E[X]E[Y]。
但是，反过来并不成立。即如果X与Y的协方差为0，二者并不一定是统计独立的。
（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；
（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常数）；
（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。
由协方差定义，可以看出Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。
四、相关系数
协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。为此引入如下概念；
称为随机变量X和Y的(Pearson)相关系数。
1.若ρXY=0，则称X与Y不线性相关。
2.即ρXY=0的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。
3.相关系数ρXY取值在-1到1之间，ρXY = 0时，称X,Y不相关；
| ρXY | = 1时，称X,Y，此时，X,Y之间具有线性函数关系；
| ρXY | & 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大；
| ρXY | & 0.8时称为高度相关，当 | ρXY | & 0.3时称为低度相关，其它时候为中度相关。
五、参考资料
1.、等百度百科
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