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& 高一数学教案《4.10
正切函数的图象和性质》
高一数学教案《4.10
正切函数的图象和性质》
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资料概述与简介
第三单元 生物圈中的绿色植物
第三章 绿色植物与生物圈的水循环
（本检测题满分：100分，时间：60分钟）
一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分。）
1.植物由根系吸收来的水分，大部分用于（
A．分解有机物
B．吸收作用
C．蒸腾作用
D．合成有机物
2.植物体内促进水分和无机盐向上运输的动力是（
A．运输作用
B．光合作用
C．呼吸作用
D．蒸腾作用
3.导管输送的物质和输送的方向是（
A.有机物、从上往下
B.有机物，从下往上
C.水和无机盐，从上往下
D.水和无机盐，从下往上
4.下列做法不属于运用蒸腾作用原理的是（
A.选择阴雨天移栽植物
B.移栽植物时剪去部分叶片
C.对移栽后的植物进行遮阳
D.夏天早上和傍晚给植物浇水
5.有人形容植物像个喷泉，能将土壤中的水带到大气中，这是因为植物能进行（
A.光合作用
B.呼吸作用
C.蒸腾作用
D.吸收作用
6.下列有关植物蒸腾作用意义的叙述中错误的是（
A．促使根从土壤中吸收水分
B．散失热量，降低植物体的温度
C．增加大气温度，调节气候
D．促进水分和无机盐在植物体内的运输
7.下列有利于植物叶片快速蒸腾失水的因素是（
A．保卫细胞吸水，气孔口径增大
B．保卫细胞吸水，气孔口径缩小
C．保卫细胞失水，气孔口径增大
D．保卫细胞失水，气孔口径缩小
8.植物生活离不开水，其原因不包括（
A.环境中水越多，植物生长得越好
B.干种子必须吸足水才能萌发
C.植物进行光合作用需要水
D.土壤中的无机盐必须溶解在水中才能被根吸收
9.下列各项中能正确描述水分在无机环境中和生物界中的循环途径的是（
A．大气→植物根系→植物叶片→大气
B．大气→自然降水→植物根系→植物茎、叶→大气
C．植物叶片→植物根系→大气
D．自然降水→植物茎、叶→植物根系→大气
10.下面是观察叶片结构实验的几个方法步骤，正确的排列顺序是（
①将新鲜的叶片平放在小木板上
②横向迅速切割叶片
③右手捏紧并排的两个刀片
④选用最薄的一片制成临时切片
⑤把刀片夹缝中存在的薄片放入水中
A．⑤④③②①
B．①⑤④③②
C．①③②④⑤
D．①③②⑤④
11.控制气孔开闭，调节植物体内水分蒸腾的是（
A.表皮细胞
B.叶肉细胞
C.保卫细胞
D.叶脉细胞
12.下列关于陆生植物叶片上气孔的叙述中正确的是（
A.一般情况下，上表皮气孔少，下表皮气孔多
B. 一般情况下，上表皮气孔多，下表皮气孔少
C.保卫细胞吸水膨胀时，气孔缩小
D.保卫细胞失水收缩时，气孔张开
13.下列哪种植物的叶具有明显的上表皮和下表皮？（
14.把细嫩的茎掐断，从断面上方流出来的汁液主要来自（
B．表皮细胞
15.炎炎夏日，绿地中央比马路中央凉爽，其主要原因是（
A．绿色植物的蒸腾作用降低温度
B．马路对太阳光的反射作用较弱
C．绿色植物的光合作用放出氧气
D．马路对太阳光有会聚作用
16.下列植物特征中，适于在比较干旱环境中生活的是（
①叶变态为叶刺
②叶上有蜡质层
⑤植株高大
⑥植株矮小
⑦根系发达
A．①②④⑥⑦
B．②③⑤⑦
C．①②③⑤
D．②④⑤⑦
17.下图是显微镜下观察到的某种陆生植物叶的上下表皮（ab表示细胞）。以下判断错误的是
A．甲是上表皮B．a处散失
C．乙是下表皮
D．b处散失
18.根毛细胞能够吸水的原因是（
A.根毛细胞数量多，吸收面积大
B.根毛细胞与土壤溶液相接触
C.液泡大，细胞液浓度大于土壤溶液浓度
D.液泡小，细胞液浓度小于土壤溶液浓度
19.移栽后的植物常出现萎蔫现象，主要是由于（
A.折断了枝叶
B.移栽后不适应新的水土条件
C.移栽后破坏了部分幼根和根毛
D.移栽后生命活动旺盛，植株散失水分过多
20.植物茎中导管的主要作用是（
A.连接细胞
B.输导水分和无机盐
C.吸收水分和无机盐
D.支持细胞
21.下图是某同学在显微镜视野中看到的洋葱根尖纵切图，该图缺少的根尖结构以及要想看到这一结构应采取的正确操作是（
向下移动装片
向上移动装片
向下移动装片
向上移动装片
22.园林工人在移栽树苗后，常常在树苗上方加装黑色网罩以提高成活率。该做法应用的原理是（
A.减缓土壤中水分的蒸发
B.降低蒸腾作用的强度
C.降低叶片温度
D.保护叶片不被阳光灼伤
23.学习了根的相关知识后，你认为下列说法不正确的是（
A．根尖的成熟区能吸收水和无机盐
B．根尖的分生区细胞能分裂
C．根的导管能运输有机物
D．移栽植物要注意保护幼根和根毛
24.下列关于蒸腾作用的叙述，正确的是（
A.蒸腾作用能带动植物体对水分和无机盐的运输
B.蒸腾作用的结果是把植物体内的水分全部散失掉
C.蒸腾作用只有在炎热的夏天才会表现
D.蒸腾作用在晚上比较旺盛
25.下列关于植物对水分的吸收、运输与散失的叙述，不正确的是(
A．根吸收水分的主要部位是根冠
B．茎通过导管运输水分
C．根吸收的水分大部分用于蒸腾作用
D．蒸腾作用促进了生物圈的水循环
二、非选择题（本大题共6小题，共50分。）
26.（5分）判断题。
（1）植物的根、茎、叶内的导管是连接贯通的。
（2）在种子植物的根、茎和叶中都有导管。
（3）植物通过蒸腾作用丧失了吸收的99%的水分，这是一种浪费。
（4）根吸收的水和无机盐是通过导管运输到其他器官的。
（5）根毛的存在大大提高了根尖吸收水分和无机盐的表面积。
27.（12分）实验题：请你设计一个实验证明：叶片是蒸腾作用的主要器官。
（1）实验假设：
（2）实验器材：枝条（同种植物）、透明塑料袋、锥形瓶、剪刀、清水等。
（3）实验步骤：第一步：
（4）实验现象预测：
28.（7分）阅读下列资料并回答问题。
莽山国家森林公园气候温和、雨量充沛、风景壮丽，是湘粤边界上的绿色明珠，至今仍保持有6 000公顷的原始森林，是一座“绿色水库”。森林中的枯枝落叶就像厚厚的海绵，能够吸纳大量的雨水，也使得雨水更多地渗入地下，补充地下水，即使在干旱季节，山上的溪流也不干涸。莽山夏无酷暑，冬有冰雪，7月平均气温22.7 ℃，比市区低5～7 ℃，是生态旅游、避暑、休闲度假胜地。
带走热量、降低气温，可见生物可以
、水分和隐蔽地。
（4）1～2条好的建议：
29.（8分）为了探究植物体内水分的运输速率和叶面积大小的关系，某同学设计了如下实验：
实验步骤：（1）取两组树龄相同、生长状况相似的同种植物枝条，分别留下6片和3片叶片。
（2）把枝条放入盛有红色染液的烧杯中。
（3）1小时后，把枝条洗净，并在两组枝条的等高位置切出相应的切片。
实验现象：如右图所示（横切面中出现红色染液部分表明有水分经过）。
实验结论：植物运输水分的速率和叶面积大小的关系是
分析应用：（1）横切面中的红色染液存在于木质部的
（2）叶面积越大，气孔越多，是
作用越强的原因之一。
（3）根据实验结论，在移栽植物时，为了减少水分的散失，应该采取的措施是
30.（10分）请阅读下列材料，回答问题。
据科学家实验：一棵25年生天然树木每小时可吸收150毫米降水，22年生人工水源林每小时可吸收300毫米降水，裸露地每小时吸收降水仅为5毫米。林地的降水有65%被林冠截留或蒸发，35%变为地下水；而在裸露地面，约为55%的降水变为地表水流失，40%暂时保留或蒸发，仅有5%渗入土壤。林地涵养水源的能力比裸露地高7倍。据专家测算，一片66.7平方千米的森林，相当于一个二百万立方米的水库。
（1）树木能吸收大量降水的结构是
，它与吸水相适应的结构特点是什么？
（2）植物能大量吸水的动力来自于
，这种功能进行的主要部位是
（3）通过以上资料，你认为森林有哪些主要作用？（至少答出三点）
（4）看了这个资料，你有何感想？
31.（8分）小刚是个爱动脑筋、爱思考的学生，课余时间喜欢做一些小实验。下图为小刚利用某植物的枝条所做的实验装置。实验开始前，小刚在甲瓶中枝条叶片上下两面均涂抹了厚厚的一层凡士林（护肤油），乙瓶中枝条不做处理，并用水彩笔分别标记了甲、乙两瓶的水面高度。在接下来的几天里，他定时观察、记录水位的变化情况。
根据自己所学知识回答下列问题。
（1）实验目的是验证
（2）水面上油层的作用是
（3）为了使实验结果更可靠，放入两个瓶子中的枝条生长状况和叶片数目应尽量一致， 这遵循了科学实验的
（4）预测实验结果：甲、乙两个瓶子中，水面高度基本保持不变的是
第三单元 生物圈中的绿色植物
第三章 绿色植物与生物圈的水循环
解析：植物吸收的水分，通过根、茎、叶中的导管运送到叶肉细胞，其中的一部分被叶肉细胞用于光合作用等生命活动，其余的绝大部分通过蒸腾作用散失到大气中。
解析：植物通过蒸腾作用，可以拉动水分与无机盐在体内的运输，保证各组织对水和无机盐的需要。
解析：导管存在于植物的根、茎、叶内，属于植物的输导组织。根、茎、叶内的导管相互连接在一起，形成了水分运输的管网，水分通过这个管网被送到植物体的各个部分，同时，溶解在水中的无机盐也通过这个管网被运输到植物体的各个部分。
解析：选择阴雨天移栽植物、移栽植物时剪去部分叶片、对移栽后的植物进行遮阳都是运用植物蒸腾作用的原理，减少植物蒸腾作用。
解析：植物根从土壤中吸水，然后通过蒸腾作用将水分散发到大气中。
解析：对于植物而言，通过蒸腾作用，不仅可以拉动水分和无机盐在植物体内的运输，保证各器官对水分和无机盐的需要，还可以通过蒸腾作用降低叶片表面的温度，避免植物因气温过高而被灼伤；对于生态环境而言，植物的蒸腾作用能够提高大气湿度，增加降水量。
解析：保卫细胞吸水膨胀时，气孔张开，可以加速蒸腾作用失水。
解析：植物的需水量与植物种类、生长时期等因素有关，并不是水越多，植物就生长得越好。旱生植物在水量很多的环境中有可能会死亡。
解析：大气中的水分通过降雨回到地面，植物通过根系吸收降到地面的水，通过导管输送到叶片，最后通过蒸腾作用又散失到大气中。由此，水分在无机环境和生物界形成了一个循环。
解析：制作叶片横切面的临时切片的步骤如下：将新鲜的叶片平放在小木板上；右手捏紧并排的两片刀片，横向迅速切割叶片；把刀片夹缝中存在的薄片放入水中；选出最薄的一片制成临时切片。
解析：叶片的表皮上分布有气孔，气孔是蒸腾作用的“门户”，也是气体交换的“窗口”。气孔由一对保卫细胞围成，这对保卫细胞的形状和大小是可以调节的。保卫细胞吸水膨胀时，气孔张开；保卫细胞失水收缩时，气孔闭合。
解析：一般情况下，陆生植物叶片表面的气孔是上表皮少，下表皮多。保卫细胞的形状和大小调节控制着气孔的开闭：保卫细胞吸水膨胀时，气孔张开；保卫细胞失水收缩时，气孔闭合。
解析：根吸收的水分通过导管向上运输。
解析：蒸腾作用能够降低叶片表面的温度，降低周围环境的温度，同时提高大气的湿度。
解析：干旱环境缺水，适于在干旱环境中生活的植物必须能够尽量多的吸收水分，同时尽量少的散失水分。
解析：表皮分上、下表皮，表皮由a表皮细胞和b保卫细胞构成，保卫细胞围成的结构叫气孔，蒸腾作用就通过气孔散失水分；通常陆生植物下表皮保卫细胞多，构成的气孔多。
解析：根毛细胞具有大液泡，细胞液浓度大于土壤溶液的浓度，因此水分就从土壤中进入根毛细胞中。
解析：根吸水的主要部位是根尖的成熟区，移栽植物时会不可避免地损伤部分幼根和根毛，使根吸水能力下降，造成植物萎蔫。
解析：解答本题的关键是掌握根尖的组成和显微镜的使用方法。根尖是幼根生长最快的部位，从下往上依次是根冠、分生区、伸长区和成熟区。根冠在根的顶端，细胞比较大，排列不够整齐，像一顶帽子似地套在外面，具有保护作用；分生区的细胞较小，排列紧密，通过分裂产生新细胞，不断补充伸长区细胞的数量；伸长区下部细胞较小，越往上越大，最后成为成熟区细胞的一部分；成熟区的表皮细胞一部分向外突出，形成根毛，是根吸收水分和无机盐的主要部位。由以上叙述可以看出，题图中缺少的是成熟区。在显微镜下所看到的物像是一个倒像，物和像之间左右相反、上下颠倒。所以在移动装片时，装片与物像的移动方向相反，因此，若想看到成熟区，应将装片向上移动。
解析：移栽树苗时会损伤一部分根，影响根对水分的吸收。如果此时蒸腾作用还是很强，就会使植物缺水，影响移栽树苗的成活。在树苗上方加装黑色网罩，可以降低蒸腾作用，提高移栽树苗的成活率。
解析：根尖的成熟区是吸收水和无机盐的主要部位，A项正确；根尖的分生区细胞能够不断分裂，使细胞数目增多，B项正确；根的导管的主要功能是运输水和无机盐，而不是有机物，C项错误；由于根是吸收水和无机盐的主要部位，移栽植物时，如果根损伤太多，植物往往不易成活，D项正确。
解析：植物通过根吸收到体内的水分只有很少一部分被自身利用，其余的都散失掉，但蒸腾作用并没有把体内的水分全部散失掉。植物的蒸腾作用并不仅仅在夏天才能进行，在秋天落叶之前，以及春天长出叶片之后，都可以进行。在没有光照的情况下蒸腾作用也可进行。
解析：根冠主要起保护作用，根吸收水分的主要部位是成熟区，A项错误；木质部中的导管可以运输水分和无机盐，韧皮部中的筛管可以运输有机物，B项正确；根吸收的绝大部分水分用于蒸腾作用，C项正确；蒸腾作用散失的水，提高了大气湿度，增加了降雨，促进了生物圈的水循环，D项正确。
26.（1）√
解析：植物的根、茎、叶内的导管相互连接在一起，形成水分运输的管网，根吸收的水分和无机盐通过这个管网被送到植物体的各个部分。
解析：种子植物具有输导组织。在种子植物的根、茎、叶内都有运送水分和无机盐的导管。
解析：蒸腾作用对于植物本身和整个生态系统都有重要意义。植物通过蒸腾作用，不仅可以拉动水分和无机盐在植物体内的运输，保证各器官对水分和无机盐的需要，还可以通过蒸腾作用降低叶片表面的温度，避免植物因气温过高而被灼伤。植物的蒸腾作用还能够提高大气湿度，增加降水量。
解析：导管是运输水分和无机盐的结构，根吸收的水分和无机盐通过导管运输到其他器官。
解析：植物根尖成熟区具有大量的根毛，根毛的存在使根具有巨大的吸收面积，因而具有强大的吸收水和无机盐的能力。
27.（1）在相同条件下，叶片越多，蒸腾作用越强，无叶片，蒸腾作用微弱
（3）第一步：选两枝粗细相似、叶繁茂的枝条，其中一枝将叶剪掉，定为甲，另一枝不作处理，定为乙
第二步：分别将枝条插入两个锥形瓶中（瓶中装有清水），枝条露出瓶外的部分用塑料袋套住，扎紧
第三步：将它们放在相同光照条件下，放置相同时间
（4）甲塑料袋上的水珠较少，乙塑料袋上的水珠较多（其他合理设计均可得分）
28.（1）植物通过蒸腾作用参与水循环
（2）蒸腾作用
（4）爱护植被，植树造林等
解析：森林可以保持水土、涵养水源。大量种植树木的地方，可以储存大量的地下水，因此，森林有“绿色水库”之称。植物进行蒸腾作用要带走一部分热量，可以降低环境的温度，体现了生物对环境的影响。植物可以通过光合作用为其他生物提供物质和能量。
29.实验结论：植物叶面积越大,运输水的速率越大
（3）剪去部分枝叶（叶片）
解析：通过观察图片的实验结果，可以得出结论：植物叶面积越大，运输水的速率越大。水分是由导管运输的，所以导管会变红。蒸腾作用的主要器官是叶，水分主要通过叶上的气孔散发到体外，因此剪去部分枝叶可以降低蒸腾作用，减少水分的散失。
30.（1）根
具有大量根毛，大大增加了吸水面积
（2）蒸腾作用
（3）①涵养水源；②增加大气的湿度；③增加降水量。 （4）提示：从保护森林的角度回答问题。
31.（1）植物散失水分的主要部位是叶（或“叶是植物进行蒸腾作用的主要器官”）
（2）防止水分蒸发，干扰实验结果
（3）单一变量
气孔堵塞，水分蒸发不出去
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174位同学学习过此题，做题成功率84.4%
（12分）下图1为绿色植物紧密联系的两个生理过程（甲和乙）；图2为该植物在盛夏一昼夜中吸收和释放二氧化碳的情况，其中S1、S2、S3分别表示曲线与时间轴围成的面积；图3表示该植物在适宜的光照、CO2浓度环境中，在不同温度条件下的净光合作用速率和呼吸作用速率曲线。请据图回答：（1）图1中过程甲表示&。过程乙的完成，需首先经过　&过程将葡萄糖分解为丙酮酸，再经过　&过程将丙酮酸彻底氧化分解释放能量。（2）图2中曲线ab段上升的原因是　&，e点进行的生理过程可用图1中的　&(甲/乙)过程表示，e点凹陷的原因是图1中的　&（用数字标号表示）过程减弱。（3）如图2所示，已知该植物能正常生长，则一昼夜该植物有机物的积累总量为　&（用S1、S2、S3的数学关系来表示），该植物一昼夜中有机物积累量最多的时刻是曲线上　&点对应的时间。&（4）图3中45℃时叶肉细胞中产生还原性氢的细胞结构是　&。（5）图3中，植物在不同温度条件下光合速率最大值（用单位时间内有机物的合成量表示）　&（单位），当温度达到　&摄氏度时，光合作用有关的酶的活动降为0。（6）如果该植物每周合成的葡萄糖总量为1.35mol,消耗0.35mol葡萄糖。则不考虑厌氧呼吸的情况下，该植物每周净释放氧气　&克。&
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2013-浙江温州平阳中学高三10月月考生物卷
分析与解答
习题“（12分）下图1为绿色植物紧密联系的两个生理过程（甲和乙）；图2为该植物在盛夏一昼夜中吸收和释放二氧化碳的情况，其中S1、S2、S3分别表示曲线与时间轴围成的面积；图3表示该植物在适宜的光照、CO2浓度环境中，...”的分析与解答如下所示：
（1）甲过程生成糖类，是光合作用，乙过程是有氧呼吸，需要经过糖酵解将葡萄糖分解为丙酮酸，再经过三羧酸循环将丙酮酸彻底氧化分解。（2）凌晨时温度减低，呼吸作用减弱，e点时有光合作用也有呼吸作用，用图1中的甲和乙过程表示，e点下降的原因是光合作用的减弱。（3）横坐标以上区域表示积累量，横坐标以下表示消耗量，一天的积累量应是S2-S1-S3，一天中积累有机物最多的点是f点。（4）由图可知45℃时既有光合作用也有呼吸作用，故产生还原性氢的细胞结构有叶绿体、线粒体、细胞溶胶。（5）植物在不同温度条件下光合速率最大值（用单位时间内有机物的合成量表示）即真正光合作用=有机物积累量+呼吸作用，大概在8.5-9左右，由图可知在55℃时光合作用消失。（6）由题意可知净释放氧气为6mol，则为6*32=192克。
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（12分）下图1为绿色植物紧密联系的两个生理过程（甲和乙）；图2为该植物在盛夏一昼夜中吸收和释放二氧化碳的情况，其中S1、S2、S3分别表示曲线与时间轴围成的面积；图3表示该植物在适宜的光照、CO2浓...
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经过分析，习题“（12分）下图1为绿色植物紧密联系的两个生理过程（甲和乙）；图2为该植物在盛夏一昼夜中吸收和释放二氧化碳的情况，其中S1、S2、S3分别表示曲线与时间轴围成的面积；图3表示该植物在适宜的光照、CO2浓度环境中，...”主要考察你对“绿色植物通过光合作用制造有机物”
等考点的理解。
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绿色植物通过光合作用制造有机物
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欢迎来到乐乐题库，查看习题“（12分）下图1为绿色植物紧密联系的两个生理过程（甲和乙）；图2为该植物在盛夏一昼夜中吸收和释放二氧化碳的情况，其中S1、S2、S3分别表示曲线与时间轴围成的面积；图3表示该植物在适宜的光照、CO2浓度环境中，在不同温度条件下的净光合作用速率和呼吸作用速率曲线。请据图回答：（1）图1中过程甲表示____。过程乙的完成，需首先经过____过程将葡萄糖分解为丙酮酸，再经过____过程将丙酮酸彻底氧化分解释放能量。（2）图2中曲线ab段上升的原因是____，e点进行的生理过程可用图1中的____(甲/乙)过程表示，e点凹陷的原因是图1中的____（用数字标号表示）过程减弱。（3）如图2所示，已知该植物能正常生长，则一昼夜该植物有机物的积累总量为____（用S1、S2、S3的数学关系来表示），该植物一昼夜中有机物积累量最多的时刻是曲线上____点对应的时间。（4）图3中45℃时叶肉细胞中产生还原性氢的细胞结构是____。（5）图3中，植物在不同温度条件下光合速率最大值（用单位时间内有机物的合成量表示）____（单位），当温度达到____摄氏度时，光合作用有关的酶的活动降为0。（6）如果该植物每周合成的葡萄糖总量为1.35mol,消耗0.35mol葡萄糖。则不考虑厌氧呼吸的情况下，该植物每周净释放氧气____克。”的答案、考点梳理，并查找与习题“（12分）下图1为绿色植物紧密联系的两个生理过程（甲和乙）；图2为该植物在盛夏一昼夜中吸收和释放二氧化碳的情况，其中S1、S2、S3分别表示曲线与时间轴围成的面积；图3表示该植物在适宜的光照、CO2浓度环境中，在不同温度条件下的净光合作用速率和呼吸作用速率曲线。请据图回答：（1）图1中过程甲表示____。过程乙的完成，需首先经过____过程将葡萄糖分解为丙酮酸，再经过____过程将丙酮酸彻底氧化分解释放能量。（2）图2中曲线ab段上升的原因是____，e点进行的生理过程可用图1中的____(甲/乙)过程表示，e点凹陷的原因是图1中的____（用数字标号表示）过程减弱。（3）如图2所示，已知该植物能正常生长，则一昼夜该植物有机物的积累总量为____（用S1、S2、S3的数学关系来表示），该植物一昼夜中有机物积累量最多的时刻是曲线上____点对应的时间。（4）图3中45℃时叶肉细胞中产生还原性氢的细胞结构是____。（5）图3中，植物在不同温度条件下光合速率最大值（用单位时间内有机物的合成量表示）____（单位），当温度达到____摄氏度时，光合作用有关的酶的活动降为0。（6）如果该植物每周合成的葡萄糖总量为1.35mol,消耗0.35mol葡萄糖。则不考虑厌氧呼吸的情况下，该植物每周净释放氧气____克。”相似的习题。&p&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e44ffe01b947f3e7d9af36_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&716& data-rawheight=&61& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&716& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e44ffe01b947f3e7d9af36_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=tan1%5E%5Ccirc& alt=&tan1^\circ& eeimg=&1&& 是有理数吗？&/p&&p&&br&&/p&&p&10个字，引出了日本高考史上最短的问题&/p&&p&&br&&/p&&p&当年的考生看到这个问题心里的想法一定是&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bafefc15a605d755f16d426a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&222& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&肯定是无理数啊，这他妈还用问？？？&/p&&p&&br&&/p&&p&妈呀 怎么证啊？？？&/p&&p&&br&&/p&&p&这一题，完全印证了越短的题目越恶心这一定理&/p&&p&可以自己先思考一下再看下面的答案&/p&&p&其实解法并不复杂，所用的方法也都是学过的&/p&&p&——————————————————————————————————&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&思路：&/p&&p&我们知道，如果两个数都是有理数，那么它们的商也一定是有理数&/p&&p&那么关键来了，还记得正切的和角公式么&/p&&p&没错！和角公式里没有出现根号之类的东西&/p&&p&&br&&/p&&p&证：&/p&&p&假设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=tan1%5E%5Ccirc& alt=&tan1^\circ& eeimg=&1&& 是有理数&/p&&p&那么根据正切的和角公式我们可以得到&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=tan2%5E%5Ccirc%3Dtan%281%5E%5Ccirc%2B1%5E%5Ccirc%29%3D%5Cfrac%7Btan1%5E%5Ccirc%2Btan1%5E%5Ccirc%7D%7B1-%28tan1%5E%5Ccirc%29%5E2%7D& alt=&tan2^\circ=tan(1^\circ+1^\circ)=\frac{tan1^\circ+tan1^\circ}{1-(tan1^\circ)^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&因为分子分母都是有理数，那么 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=tan2%5E%5Ccirc& alt=&tan2^\circ& eeimg=&1&& 也是有理数&/p&&p&同理，&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=tan3%5E%5Ccirc%3Dtan%281%5E%5Ccirc%2B2%5E%5Ccirc%29%3D%5Cfrac%7Btan1%5E%5Ccirc%2Btan2%5E%5Ccirc%7D%7B1-tan1%5E%5Ccirc+%5Ctimes+tan2%5E%5Ccirc%7D& alt=&tan3^\circ=tan(1^\circ+2^\circ)=\frac{tan1^\circ+tan2^\circ}{1-tan1^\circ \times tan2^\circ}& eeimg=&1&&&/p&&p&也就是说， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=tan3%5E%5Ccirc& alt=&tan3^\circ& eeimg=&1&& 也是有理数&/p&&p&………………&/p&&p&………………&/p&&p&………………&/p&&p&那么， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=tan30%5E%5Ccirc& alt=&tan30^\circ& eeimg=&1&& 也是有理数&/p&&p&然而， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=tan30%5E%5Ccirc%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt3%7D& alt=&tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt3}& eeimg=&1&&
是无理数&/p&&p&&br&&/p&&p&因此，先前的假设不成立&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=tan1%5E%5Ccirc& alt=&tan1^\circ& eeimg=&1&& 为无理数&/p&&p&证毕&/p&&p&&br&&/p&&p&——————————————————————————————————————&/p&&p&这题真的有点厉害...尤其是在考场上被放在最后一题，估计很多考生第一眼扫完试卷之后整个脑子里想的都是怎么证怎么证之类的……&/p&&p&心疼考生一秒钟&/p&&hr&&p&对于日本其他的高考题有兴趣的话，请关注我的专栏啦&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/math-in-japan& class=&internal&&来看看日本高中的高考数学都考些啥？&/a& &/p&&hr&&p&日本有趣的高考真题：&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&试证明圆周率是无理数&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&试证明自然对数的底e是无理数&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&1+1/4+1/9+……+1/n^2=pi^2/6&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&证明 e^π&21&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&证明 3.141&π&3.142&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&日本史上最难的高考题&/a&&/p&&hr&&p&补充，这个和自主招生不是一个东西&/p&&p&详情看 &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&日本的高考制度&/a&&/p&
tan1^\circ 是有理数吗？ 10个字，引出了日本高考史上最短的问题 当年的考生看到这个问题心里的想法一定是 肯定是无理数啊，这他妈还用问？？？ 妈呀 怎么证啊？？？ 这一题，完全印证了越短的题目越恶心这一定理可以自己先思考一下再看下面的答案其实解法…
&p&偶然间看到一篇文章，个人认为这是关于矩阵最精彩的理解。想把它分享出来，原文如下：&/p&&p&====================================&/p&&p&&b&线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。&/b& &b&事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。&/b& &b&大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：&br&* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？&br&&br&* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？&br&&br&* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？&br&&br&* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？&br&&br&* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？&br&&br&* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？&br&&br&* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？&/b& &b&这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？&/b& &b&我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。&/b& &b&自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。&/b& &b&对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A.&br&Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。&/b& &b&因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。&br&&br&---------------------------------------------------&br&&br&今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。&/b& &b&首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。&/b& &b&总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。&/b& &b&我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，&/b& &b&上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。&/b&
&/p&&p&&b&认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。&/b& &b&因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。&/b& &b&下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：&br&1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？&br&&br&2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？&/b& &b&我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：&br&&br&L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。&br&&br&L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。&/b& &b&所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。&/b& &b&下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。&/b& &b&线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。&/b& &b&简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。&/b&
&b&是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。&/b&&/p&&p&&b&可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。&/b& &b&接着理解矩阵。&/b& &b&上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。&/b& &b&不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：&/b& &b&“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。&/b&
&b&可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。&/b& &b&一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：&br&“矩阵是线性空间里的变换的描述。”&br&到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：&br&T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，&/b& &b&那么就称T为线性变换。&/b& &b&定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。&/b& &b&接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。&/b& &b&好，最后我们把矩阵的定义完善如下：&br&“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”&/b&&/p&&p&&b&理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。&/b& &b&比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。&/b& &b&同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。&/b& &b&但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。&/b& &b&好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：&/b& &b&若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：&br&A = P-1BP&br&线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。&/b& &b&而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。&/b& &b&这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。&/b& &b&这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。&/b&&/p&
偶然间看到一篇文章，个人认为这是关于矩阵最精彩的理解。想把它分享出来，原文如下：====================================线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的…
&p&怎么回答这个问题呢？&/p&&p&第一步，先去外面抓些不同领域的老师回来，请他们说说他们心中的最美（牛）公式（定理）。&/p&&p&然后发现，虽然公式（定理）“美（牛）”这事见仁见智，不过从已有回答里能看到，还是和好多知友有共鸣。唯一遗憾的是，这么好的问题，来晚了！为了找出有多少趣味相投的知友，险些看瞎了双眼……有的公式，在非科研领域的知名度也相当高，堪称“国民方程”，例如， &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/87963bd2baf19b953b2fc6c& data-hash=&87963bd2baf19b953b2fc6c& data-hovercard=&p$b$87963bd2baf19b953b2fc6c&&@吴奕韬&/a& &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/cdd1e221f3dc2fcb98c21aabac4dbadc& data-hash=&cdd1e221f3dc2fcb98c21aabac4dbadc& data-hovercard=&p$b$cdd1e221f3dc2fcb98c21aabac4dbadc&&@baozx&/a& 等都提到的欧拉公式， &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/e9aee19ee54a311d69a6e43& data-hash=&e9aee19ee54a311d69a6e43& data-hovercard=&p$b$e9aee19ee54a311d69a6e43&&@fr0zen bear&/a& 提到的质能方程；有的公式虽然不太熟悉，但对业内人来说也是缪斯般的存在，例如 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/73e219e857c4cb3f7ae59c067d7272df& data-hash=&73e219e857c4cb3f7ae59c067d7272df& data-hovercard=&p$b$73e219e857c4cb3f7ae59c067d7272df&&@何史提&/a& 提到的麦克斯韦方程，&a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/becffad2d6bf& data-hash=&becffad2d6bf& data-hovercard=&p$b$becffad2d6bf&&@Patrick Zhang&/a& 提到的曼德博集合， &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/c06e444d2dc779ab9ffb6f92013dbe45& data-hash=&c06e444d2dc779ab9ffb6f92013dbe45& data-hovercard=&p$b$c06e444d2dc779ab9ffb6f92013dbe45&&@毕导&/a& 提到的热力学Gibbs方程， &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/deb9a66f03dbbef0d571c& data-hash=&deb9a66f03dbbef0d571c& data-hovercard=&p$b$deb9a66f03dbbef0d571c&&@qfzklm&/a& &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/a3cd9a2cdd91e& data-hash=&a3cd9a2cdd91e& data-hovercard=&p$b$a3cd9a2cdd91e&&@贾晨琦&/a& 提到的塔珀自指公式，这个公式名字里的“自指”实在是太妙了……&/p&&p&第二步，再去外面抓个小哥哥试用下公式编辑器，上手一波操作。、&/p&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/164416& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic4.zhimg.com/80/v2-0e0be114d2d70a15ef9272f_b.jpg& data-lens-id=&164416&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic4.zhimg.com/80/v2-0e0be114d2d70a15ef9272f_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/164416&/span&
&/a&&p&第三步，具体聊聊为什么这些公式“美（牛）”到不行。&/p&&p&&b&先来知名度特别高的“国民方程”系列。&/b&&/p&&p&&b&1）质能方程 &/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E%3Dmc%5E%7B2%7D& alt=&E=mc^{2}& eeimg=&1&&&/p&&p&这个方程极其简单，没有复杂的运算关系，看起来有一种简洁的美感。如果现代物理学的理论都能像这个公式这么简单，那所有搞物理的人都应该放下手中的工作庆祝三天三夜，而他们之所以没能停下手中的工作来庆祝，就是为了实现这样的目标！&/p&&p&物理学是为了看透复杂世界背后的简单本质。公式中，E代表的是能量，m代表的是质量，c代表的是真空中的光速，这个公式表明任何有质量的物体都具有能量，反之亦然。以后胖的人可以自豪的说，质能方程表明，质量大的人具有更大的能量，而且是正比于光速的平方增长的……&/p&&p&&b&这一方程是爱因斯坦在奇迹年也就是1905年的一篇论文中写下的，是从狭义相对论中得到的。&/b&质能方程表明，静止的有质量的物体也具有内禀能量，是静止能量，当它动起来时，除了静止能量，还有动能，静止能量和动能之和是总的能量，这样换算出的质量就会变大，也就是动质量会大于静质量。核武器以及核电站利用的核能，以及我们的太阳能，都是是原子核在发生反应时由于微小的质量亏损而释放出的巨大能量，原子弹和核电站是利用重核裂变；太阳内部是轻核的聚变；科学家们一直致力于在地球上实现可控核聚变，一劳永逸地解决能源问题。既然是等式，转换就是双向的，宇宙大爆炸初期是没有物质存在的，高能光子的碰撞产生了轻子夸克等粒子，宇宙逐渐冷却才形成现在的物质。&/p&&p&&b&2）万有引力定律 &/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%3DG+%5Cfrac%7Bm_%7B1%7Dm_%7B2%7D%7D%7BR%5E%7B2%7D%7D& alt=&F=G \frac{m_{1}m_{2}}{R^{2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&万有引力定律可以说是最为著名的物理定律之一了。&b&艾萨克·牛顿在其1687年出版的《自然哲学的数学原理》中，详细阐述了其三大运动定律和万有引力定律&/b&。&/p&&p&书的原文是用拉丁文写成的，读过该书的人会知道，这本书远非我们所知晓的一些定律这么简单。它可以说是科学研究的典范，在引论部分先给出定义、公理或运动定律，接下来三部分就是论物体运动的两卷和论宇宙的系统。&/p&&p&在该书中，牛顿详细推导了在引力作用下的三种轨道即椭圆、双曲线和抛物线，里面所用到的几何学的知识和技巧，即使是现代人，也很难想到。而且在《原理》一书中，可以看出牛顿已经应用了微积分的思想，而他关于微积分的详细论述则在其他数学著作中。（传说牛顿是在苹果树下被苹果砸中受启发而发现万有引力定律，现在剑桥三一学院以及剑桥大学植物园内还保留着这棵苹果树的后裔，中国科学院上海分院还嫁接了一枝。）&/p&&p&万有引力定律将地上的苹果落地现象、大海的潮汐以及天上日月星辰的运动统一了起来，表明任何两个有质量的物体之间都存在引力作用。虽然现在广义相对论是描述引力本质的理论，今年诺贝尔物理学奖发现的引力波也再次证明广义相对论的正确性，但并不代表万有引力定律的失效，宏观天体在引力作用下的运动用万有引力定律来解决，仍然十分方便和精确，而且在天文观测上也有很重要的意义。1846年，法国数学家和天文学家勒维耶根据引力定律计算得到一颗未知行星对天王星公转轨道的引力摄动，建议柏林天文台寻找这颗未知行星，结果找到了天王星，而且观测到的天王星的位置与勒维耶的计算结果只差1°，可以说明引力定律仍然是十分精确的和应用广泛的。另外，描述真空中点电荷的相互作用的库仑定律，也是类似的平方反比定律。平方反比这一关系，在很多其他情况下也应用广泛，是很好的近似。&/p&&p&&b&3）欧拉公式 &/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bi%5Cpi%7D%2B1%3D0& alt=&e^{i\pi}+1=0& eeimg=&1&&&/p&&p&题主的提问里，就是用它做的例子，你说美不美~&/p&&p&这个公式是由瑞士数学家欧拉发现。该公式由5个数学上最简单的符号组成，它通过3种基础运算，即加法、乘法和幂运算就将1、0、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 、i和e这五个数学中最重要的数字联系在了一起，堪称天才的完美之作。&/p&&p&它是数学与世界之间兼具理性色彩与深邃之美的巅峰之笔。它是纯粹的数学之美，淋漓尽致地展现出数学作为跨文化、跨种族的通用语言的简单与和谐，让人们得以一窥数学穿越宇宙时空通行无碍的完美特性。&/p&&p&&br&&/p&&p&再来&b&知名度略低但见到就容易爱上的最美（牛）公式（定理）&/b&&/p&&p&1） &b&圆周率的级数表达公式 &/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%3D1-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B11%7D%2B%E2%80%A6& alt=&\frac{\pi}{4}=1- \frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+…& eeimg=&1&&&/p&&p&自古以来，人们就痴迷于如何计算圆的周长。以拉丁字母 标记的圆周率，其定义就是一个圆的周长相对于其直径的比。尽管圆是如此地简单和完美，在生活中更是有举足轻重的应用，但是众多先贤对计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 的精确值却一筹莫展。&/p&&p&早在古希腊时期，主流的毕达哥拉斯学派就认为世界上所有的数都是有理数。具有讽刺意义的是，无理数正是毕达哥拉斯的弟子所发现，因为和主流思想相悖，最终被其学派迫害身亡。然而对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 是有理数还是无理数的争论，以及如何简单便捷地计算出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 的具体值却困扰了人们1000多年。&/p&&p&早在南北朝时期，中国的祖冲之用古老的算筹计算出圆周率 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 的近似值介于3..1415927之间。如此精确地测量圆周率 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 有着积极的现实意义。他因此能够修正古代的量器容积的计算，极大地改进了生产实践的需要。尽管如此，祖冲之的方法虽然简单，但却需要极为持久的耐心和仔细，以至于他的记录直到一千多年后才被打破。圆周率 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 就好像一份宝藏，为它的主人牢牢地守护着自己的秘密。&/p&&p&&b&这个公式将圆周率精确地表达为数学的级数公式，一举揭示了作为无理数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&&b&的终极秘密。&/b&它是由德国数学家莱布尼茨在1673年发现，也因此被后世称为莱布尼茨公式。事实上，与莱布尼茨同时期的苏格兰数学家格列固里、印度数学家索马亚吉均独立发现了类似的级数公式。在参与人们的生活数千年后，圆周率 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 终于第一次清晰地展露出自己的的真实面目。&/p&&p&&b&2）纳维-斯托克斯方程式&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho+%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D& alt=&\rho \frac{dv}{dt}& eeimg=&1&&&/p&&p&纳维-斯托克斯方程是以克劳德·路易·纳维和乔治·斯托克斯命名，广泛应用于流体物质的方程。流体，其实简单说就是流动的物体，比如空气和液体。通过依赖微分方程的形式来描述流体的运动，并不是普通的代数方程，纳维-斯托克斯方程所表示的是一个变化的过程，正如没有绝对静止的流体。&/p&&p&为什么说这个方程式美呢？这又不得不回到它的描述对象，流体。举个最简单的例子，水。水美不美，集刚柔于一身，既有“海神东过恶风来，浪打天门石壁开”这等气势磅礴，亦有“柔情似水,佳期如梦,忍顾鹊桥归路.两情若是久长时,又岂在朝朝暮暮”这般缠绵入骨。除了诗人的文采，难道大家就不好奇都是水，到底它们内在的差别是什么？纳维-斯托克斯方程便是这条发现之路不可缺少的指南针。最后附一张流体电镜图。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c9e1c7adfcddcd0e00876f1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&461& data-rawheight=&308& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&461& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c9e1c7adfcddcd0e00876f1_r.jpg&&&/figure&&p&&b&3）阿伦尼乌斯方程&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%3DAe%5E%7B-E_%7Ba%7D%2FRT%7D& alt=&k=Ae^{-E_{a}/RT}& eeimg=&1&& 或 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln+k%3D-%5Cfrac%7BE_%7Ba%7D%7D%7BRT%7D%2B%5Cln+A& alt=&\ln k=-\frac{E_{a}}{RT}+\ln A& eeimg=&1&&&/p&&p&阿伦尼乌斯方程是最早由范特霍夫提出，瑞典科学家阿伦尼乌斯进一步分析得到的温度和反应速率的关系，并且提出能垒Ea的存在。&/p&&p&&b&我认为整个方程最精华的地方在于提出了能垒这个概念，也就是说，Ea不变的情况下，无论如何改变外界条件,比如温度浓度等，反应都不会发生。&/b&能垒在自然界中是普遍存在的现象，大部分的非自发反应都需要从外界获取能量以跨越能垒使反应能够得以发生。很多化学反应的条件十分苛刻，原因就在于能垒极高，反应想要发生需要汲取天地日月之精华（从外界获得极高的能量）&/p&&p&就好像你无法得到心仪姑娘的心一样，条件不过硬，说啥都白扯，你们之间的化学反应就是没法发生。那么我们有什么办法降低反应的能垒也就是Ea呢？&/p&&p&答案是长得帅（催化剂）。&/p&&p&科学家们开发出各种各样的催化剂，让Ea变得更低，使得以前在较为温和的条件下无法发生的反应现在可以发生。阿伦尼乌斯方程导出了能垒的概念，加深了我们对化学反应的理解，在药物合成，化工生产，材料研究中应用极广。&/p&&p&&b&5）Student's t test&/b&（简称T检验）
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t%3D%5Cfrac%7B%5Cbar%7BX%7D-%5Cmu%7D%7B%5Cfrac%7B%5Csigma+x%7D%7B%5Csqrt%7Bn-1%7D%7D%7D& alt=&t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma x}{\sqrt{n-1}}}& eeimg=&1&&&/p&&p&生物学是充满了个体不确定性的研究科目，尤其是基础生物类都是寻找现象解释机理，缺乏像数学和物理那样准确的定量描述。并且生物本身是没有什么所谓的生物公式，基本就是统计学由来，物理学由来或者微积分的简单公式。&/p&&p&所以&b&在此，我想写一个作为资深生物工作者，又或者对于99.5%以上的科研工作者来说，最美的公式：Student's t test，简称T检验。&/b&几乎每一篇设计结果置信度的科研论文都会使用到t检验，t检验是主要用于样本含量较小（例如n&30），总体标准差σ未知的正态分布。&/p&&p&&b&该公式的名字极具后现代意识流风格，其背后的故事更是令人莞尔乃至惋惜。&/b&1908年，当时供职于都柏林健力士酿酒厂的统计学家戈斯特发表了t检验的相关论文。该检验完美的契合了酿酒厂对于产品质检的需求，并马上在工程及科研领域得到广泛应用。&b&然而，工厂老板认为该公式的发明人属于商业机密，戈斯特最终被迫使用笔名“学生”（student）来命名这一公式，从而失去了一个名垂史册的机会。&/b&&/p&&p&用t分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。研究里最常用的显著性水平是0.05，0.01。也就是说，当科研工作人员得出实验组和比较组显著水平小于0.05时，就可以高举双手欢呼：是的！看我有了多么了不起的世界级新发现！&/p&&p&当然，有时候我们在论文里写道，我们以其中几个为样本进行了深入的研究，其实潜台词非常可能是，如果再加两个样本或更多，显著水平就会大于0.05，就变得毫无意义了……&/p&&p&&b&6）范德华状态方程式&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28%5Crho%2B%5Cfrac%7Bam%5E%7B2%7D%7D%7BV%5E%7B2%7D%7D+%5Cright%29%5Cleft%28+V-mb+%5Cright%29%3DmRT& alt=&\left(\rho+\frac{am^{2}}{V^{2}} \right)\left( V-mb \right)=mRT& eeimg=&1&&&/p&&p&1834年，物理学家埃米尔·克拉佩龙（Beno?t Paul ?mile Clapeyro）提出了理想气体的状态方程：PV=nRT，从而将气体的压强、体积和温度联系了起来。&b&关于理想气体有几个假设：气体分子不占空间，一直作直线运动，撞在容器壁上不发生变化，像弹力球一样回弹，此外分子间没有任何关系，都是孤独的分子，也不会变成液体或固体。&/b&&/p&&p&而1873年物理学家范德华（Johannes van der Waals）提出了实际气体状态方程。其特点在于将被理想气体所忽略的气体分子自身体积和分子间作用力考虑在内了。自此对气体的宏观物理特性有了更精确的描述。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d694f8ffcdb9_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&298& data-rawheight=&593& class=&content_image& width=&298&&&figcaption&水分子之间的范德华力&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a87f1c1c801fa591f7ad0b652f9ed34e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&585& data-rawheight=&585& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&585& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a87f1c1c801fa591f7ad0b652f9ed34e_r.jpg&&&figcaption&一个双原分子的排斥体积&/figcaption&&/figure&&p&&b&我为什么觉得这个公式牛呢？因为它是人类历史上第一个既能反映气、液各相性质，又能描述相变和临界现象的状态方程。&/b&它描述了热力学系统平衡状态的独立参量与温度之间的关系。由于形式简单，物理意义清楚，这个方程成为了热力学和统计物理学的追捧对象。范德华描述方程中分子间作用力时所使用的研究方法，实际上就是后来所说的平均场方法，这一方法对铁磁、超导、超流等众多物理系统相变和临界现象的研究，对热力学和统计物理理论的发展都产生过重大影响。&/p&&p&&b&7）塔珀自指公式&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3C%5Cleft%5B%5Cmod%28%5Cleft%5B+%5Cfrac%7By%7D%7B17%7D+%5Cright%5D2x%5E%7B-17%5Cleft%5B+x+%5Cright%5D-%5Cmod%28%5Cleft%5B+y+%5Cright%5D%2C17%29%7D%2C2%29+%5Cright%5D& alt=&\frac{1}{2}&\left[\mod(\left[ \frac{y}{17} \right]2x^{-17\left[ x \right]-\mod(\left[ y \right],17)},2) \right]& eeimg=&1&&&/p&&p&这个说的挺多了，妙就妙在公式的二维图像与公式本身外观一模一样&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fe3dffaa06c0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1269& data-rawheight=&231& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1269& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-fe3dffaa06c0_r.jpg&&&/figure&&p&&b&8）曼德博集合&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f_%7Bc%7D%28z%29%3Dz%5E%7B2%7D%2Bc& alt=&f_{c}(z)=z^{2}+c& eeimg=&1&&&/p&&p&这个也说的挺多了。其中，c是一个复数参数，&b&如果我们把复数c表示成复平面上的点，在这个平面上，曼德博集合就是分形的人大代表。&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2e771a8a5dca5f94f7410_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&506& data-rawheight=&576& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&506& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2e771a8a5dca5f94f7410_r.jpg&&&/figure&&p&上图中后一个图像是前面图像的局部放大。分形图可以无限重复，无数的圆圈围绕包括原点在内的心形，把无数较小的圆圈限定到圆。另外，如果放大周围环境，可以发现周围环境形状和这个分形图非常相似。如果把我们每个人想象成其中的一份子，很多“我们”形成了体积更大的“我们”，没有尽头，没有终点，无限循环，想来是不是挺可怕的？&/p&&p&&b&9）魏尔斯特拉斯函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cleft%28+x+%5Cright%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Ba%5E%7Bn%7D%5Ccos%5Cleft%28+b%5E%7Bn%7D+%5Cpi+x+%5Cright%29%7D& alt=&f\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}{a^{n}\cos\left( b^{n} \pi x \right)}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中0&a&1为正的奇数，使得： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ab%3E1%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cpi& alt=&ab&1+\frac{3}{2}\pi& eeimg=&1&& ，&b&这个函数的特点是处处连续而又处处不可导。&/b&根据魏尔斯特拉斯在他的论文中所描述，早期的许多数学家，包括高斯等都曾经假定连续函数不可导的部分是有限或可数的。这可能是因为直观上想象一个连续但在不可数个点上不可导的函数是很困难的事。当我们绘制函数的图像时，总会画出较为规则的图形，比如满足利普希茨条件的函数图像。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-123e2a1b59fb2b323b3b29_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&795& data-rawheight=&505& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&795& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-123e2a1b59fb2b323b3b29_r.jpg&&&figcaption&图为区间[-2, 2]上的魏尔斯特拉斯函数。这个函数具有分形特性：某些部分会和整体自相似。&/figcaption&&/figure&&p&魏尔斯特拉斯函数可以被看作第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。&b&无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。把魏尔斯特拉斯函数在任何一点放大，得到的局部图都和整体图形相似。这个函数和上面的曼德博集合类似，“你的身体的任何一小部分都是另一个你自己！&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&作者：&/b&黄逸文 枕草子 雁丘客 翼 荡漾喵 张璞&/p&&p&&b&出品：&/b&科普中国&/p&&p&&b&监制：&/b&中国科学院计算机网络信息中心&/p&
怎么回答这个问题呢？第一步，先去外面抓些不同领域的老师回来，请他们说说他们心中的最美（牛）公式（定理）。然后发现，虽然公式（定理）“美（牛）”这事见仁见智，不过从已有回答里能看到，还是和好多知友有共鸣。唯一遗憾的是，这么好的问题，来晚了！…
&blockquote&江湖上的武林高手加起来都打不过神仙吗？？&br&神仙有这么强吗？？强到什么程度？&br&神仙一巴掌能打碎多厚的石板？&/blockquote&&hr&&p&无意冒犯, 不过这个问法真的很像 &b&皇帝家的金锄头&/b&.&/p&&p&了解一个东西的程度有两个方法,第一个就是题主开头说的:&/p&&blockquote&整个宇宙都比不上一个葛立恒数吗？&/blockquote&&p&这个叫 &b&比较法&/b&.&/p&&p&比如这篇文章: &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&把脑洞开成黑洞的「葛立恒数」&/a&&/p&&p&写的很好...然而没有什么卵用...&/p&&p&其实就是网文套路.&/p&&blockquote&武林高手很强但是在炼气期的修士面前不堪一击, 炼气分为九段, 高段位吊打低段位.但是有的天资禀议的越阶以下克上,但是大境界是不行的.&br&炼气九段之后是筑基, 筑基咋滴咋滴强大,但是在金丹强者眼中啥也不是&br&金丹上面还有元婴,怎么怎么怎么样,超级超级超级啥啥啥&br&然后金丹修炼到极致就是化神了,你现在知道化神有多强了吧?&br&不过上面还有炼虚、合体、大乘、渡劫........&/blockquote&&p&说到底还是皇帝家的金锄头...毕竟作者自己都没踏破虚空怎么知道神仙怎么过活的...&/p&&hr&&blockquote&葛立恒数一共有多少个数字？&/blockquote&&p&这个问题问的很好, 这个就是 &b&标度法&/b& 了.&/p&&p&寻找一种标度来衡量有多强.&/p&&p&反正...我没见过写得好的数据流小说...&/p&&p&毕竟没学过数值策划的普通人怎么写都是指数爆炸......&/p&&p&所以没法举例了...&/p&&blockquote&比如 13&11 谁大?&/blockquote&&p&因为 13-11=2&0,所以13&11&/p&&blockquote&比如
&br&和 289993 谁大&/blockquote&&p&你数了下,前面的大,有57位,后面的只有29位.&/p&&p&但是很遗憾...对于葛立恒数来说多少位数毫无意义...&/p&&p&毕竟是修仙者...&/p&&p&位数法本质是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5Ex& alt=&10^x& eeimg=&1&& 增长速度很快,所以增长速度比这个慢的都可以用多少多少位来比较.&/p&&p&比如地震等级,比如声音强度...100级地震和1000分贝就是宇宙大爆炸了...&/p&&p&葛立恒数来源于葛立恒记号,增长速度远超指数,不能用多少位来形容...&/p&&p&没有什么能用来形容大数除了更大的数...&/p&&hr&&p&不过葛立恒数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%2864%29& alt=&G(64)& eeimg=&1&& 再怎么大不过是个化神期,上面还有个大乘期的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BTree%7D%283%29& alt=&\mathrm{Tree}(3)& eeimg=&1&& .&/p&&p&在神仙眼里什么都不是...&/p&&p&神仙是谁...神仙一般长这样:&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-abnf&&&forall R {
{for any (coded) formula [ψ] and any variable assignment t
(R( [ψ],t)
( ([ψ] = `x_i ∈ x_j' ∧ t(x_1) ∈ t(x_j)) ∨
([ψ] = `x_i = x_j' ∧ t(x_1) = t(x_j)) ∨
([ψ] = `(~θ)' ∧ ~R([θ],t)) ∨
([ψ] = `(θ∧ξ)' ∧ R([θ],t) ∧ R([ξ],t)) ∨
([ψ] = `?x_i (&theta)' and, for some an xi-variant t' of t, R([θ],t'))
R([φ],s)}
&/code&&/pre&&/div&&p&把天书翻译成人话就是:&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&&f(s):=“符合‘大于任何使用一阶逻辑语言，并用不超过s个符号所能表示的数’的最小数”
&/code&&/pre&&/div&&p&什么什么语言中,用s个符号可以表示的数...可以证明这个比任何使用递归定义的数增长都快...&/p&&p&我忘记 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%2864%29& alt=&G(64)& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BTree%7D%283%29& alt=&\mathrm{Tree}(3)& eeimg=&1&& 在这把尺上标在哪了,好像一个是个位数,一个是三十几.......&/p&&hr&&p&不过神仙也是有极限的啊...这个极限之上叫做超限基数....&/p&&p&超越所有神仙的第一个数.........不想解释这是什么....&/p&&p&不过不管怎么样,这一切的一切都有尽头,这个尽头叫绝对无穷: □-□.&/p&&p&讲师推了推黑框眼镜,如是说.............&/p&
江湖上的武林高手加起来都打不过神仙吗？？ 神仙有这么强吗？？强到什么程度？ 神仙一巴掌能打碎多厚的石板？无意冒犯, 不过这个问法真的很像 皇帝家的金锄头.了解一个东西的程度有两个方法,第一个就是题主开头说的:整个宇宙都比不上一个葛立恒数吗？这个叫 …
&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi%3Dn%2A137.3%C2%B0& alt=&\phi=n*137.3°& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%3Dc%5Csqrt%7Bn%7D& alt=&r=c\sqrt{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-814b1c21eb6ce2d26ad07_b.jpg& data-rawwidth=&596& data-rawheight=&605& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&596& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-814b1c21eb6ce2d26ad07_r.jpg&&&figcaption&将公式通过Processing表达出来&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-df9c223c346c_b.jpg& data-rawwidth=&1366& data-rawheight=&768& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1366& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-df9c223c346c_r.jpg&&&figcaption&权力的游戏中异鬼的图腾&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&&//n是绘制的点的个数
float n =0;
//c是一个给定的放射系数
float c = 8;
void setup() {
size(600, 600);
background(255);
void draw() {
float theta =n *radians(137.3);
float r = c * sqrt(n);
float x =r * cos(theta)+width/2;
float y = r * sin(theta)+height/2;
fill(0, 0, 0, abs(r-width/2));
noStroke();
ellipse(x, y, abs(r-width/2)/25, abs(r-width/2)/25);
&/code&&/pre&&/div&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&这两个公式由数学家H. Vogel提出，他用这个公式来模拟植物生长的方式。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0bced5780e7c_b.jpg& data-rawwidth=&298& data-rawheight=&297& class=&content_image& width=&298&&&figcaption&(C)OpenAlea&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9256bebf2aa034b872ad3_b.jpg& data-rawwidth=&205& data-rawheight=&198& class=&content_image& width=&205&&&figcaption&(C)OpenAlea&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-03cd10c77ad6ebabc4d4d_b.jpg& data-rawwidth=&803& data-rawheight=&659& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&803& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-03cd10c77ad6ebabc4d4d_r.jpg&&&figcaption&(C)The Algorithm Beauty of Plants&/figcaption&&/figure&&p&不算美得不行，但是却非常有趣。&/p&&p&对CS了解越多，越发觉得数学很美。&/p&&p&如果改变theta，形状也会发生改变，有兴趣的朋友可以试试。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-964a2d686eac139ba9023babc54cfb74_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-964a2d686eac139ba9023babc54cfb74_r.jpg&&&figcaption&当theta=137.5°的时候&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1d1fbd0beecd72cd011b9a2_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1d1fbd0beecd72cd011b9a2_r.jpg&&&figcaption&当theta=137.6°的时候&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&数学家都是cool guy！&/p&
\phi=n*137.3°r=c\sqrt{n} //n是绘制的点的个数
float n =0;
//c是一个给定的放射系数
float c = 8;
void setup() {
size(600, 600);
background(255);
void draw() {
float theta =n *radians(137.3);
float r = c * sqrt(n);
float x =r * cos(…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a709a8cea56ff3b4d24f1_b.jpg& data-rawwidth=&1290& data-rawheight=&726& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1290& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a709a8cea56ff3b4d24f1_r.jpg&&&/figure&&p&本期混乱博物馆是对上一期节目“&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzI3NzY1OTc0OQ%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Db899b841b375dd3c82a1f9%26chksm%3Deb63aa27dcb9a4af2f2012eef6dcb577cabf940efbde17bd0f409bfcscene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&哥德尔、埃舍尔、巴赫&/a&”的具体延续——在5分钟之内演示哥德尔不完备定理的证明方法。这无论对我们还是对观众来说，都是一个巨大的挑战。 &/p&&p&这个数学史上极其重要的定理，不可能在短短几分钟内详细阐述清楚，为此我们几乎省略了所有细节的推敲，也简化了大部分的函数，但保留了公式化的表达方法。高度抽象的形式化逻辑必然会让普通观众遇到思维方式上的重大障碍，难以同步理解我们的演示。&/p&&p&但不要紧，感兴趣的观众可以反复暂停观看本期内容，结合《哥德尔证明》这本小册子，你可以在大约一周的时间内弄懂这个最有哲学影响力的数学问题，随后感受到整个人的智力都上了一个台阶。&/p&&p&而对于那些不感兴趣的观众，本来也没什么好损失的。&/p&&a class=&video-box& href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/655296& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-fb05b9dc024f_b.jpg& data-lens-id=&655296&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic2.zhimg.com/80/v2-fb05b9dc024f_b.jpg&&&span class=&content&&
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