名师支招｜初一数学考点难点：因式分解精讲
初高中数学名师：W老师
老师毕业于华东师范大学，拥有丰富的数学教学经验，学校在职名师，长达十年的中考数学冲刺经验。对初高中主干知识有一套全面的归纳梳理注重实际能力和应试技巧的提升。
在我们初中七年级第一学期的学习中，因式分解是一个非常重要的考点，也是考试中的难点，它几乎能够贯穿整个七年级第一学期的学习，并且在以后的学习当中会经常用到。
在考试中，因式分解经常会作为填空及简答题出现，其中以简答题居多。所谓因式分解，是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解在学习的过程中通常出现这样一种特点：综合性强。甚至在压轴题中，大家在学到这样的知识点的时候经常容易疑惑，以致最后在考试中丢分，这些都是非常可惜的。所以我们今天就针对因式分解给大家来讲解一下遇到这类题目我们该用什么样的解题思路和解题套路解决。
学习因式分解注意事项
一、理解因式分解和整式运算的联系与区别
从某个角度来说，因式分解是一种还原整式乘法的过程，教材上才紧密的安排在了整式乘法（包括两个乘法公式）一节的后面。
所以在一开始的学习中，概念是学生最重要的抓手，例如a（b+c）=ab+ac　这个是整式运算中的单项式乘以多项式，利用乘法的运算法则进行的运算。
而ab+ac= a（b+c）, 这个则是因式分解中的提取公因式法，利用的是因式分解的方法进行的分解。
再例如（a+b）（a-b）=a?-b?，这个是整式运算中的平方差公式，而a?-b?=（a+b）（a-b），这个则是因式分解中的平方差公式。
今天我们来看的一些重要例题，感受一下不同的解题方法和解题思路。
例题一、思路不同解法不同
（1）计算：（a+2b）?-（2a-b）?
（2）因式分解：（a+2b）?-（2a-b）?
解题说明：虽然这两个式子本身是相同的，但由于考点不同，在学生刚学习因式分解的时候，命题老师希望学生能够充分理解整式运算与因式分解之间的区别，有了清晰的思路，才能得到解体的出路。
因式分解：
计算：（3a+2b-5c）?-（3a-2b+5c）（3a+2b-5c）
解题说明：当学生基本掌握了因式分解以后，我们就进一步需要学生了解，整式运算和因式分解都是解题的一种手段，优秀的学生不但能理解它们之间的区别，更能把它们很好的融合在一起，做到你中有我，我中有你。
此题是整式运算，但涉及到三项式的计算，运算量相对较大。细心的同学可以发现其中的一些门道，前后两个运算中都有因式3a+2b-5c，所以可以用下面的方法来解决。
在这种解法中，因为学生观察到了公因式，所以用因式分解的方法来解决了整式运算题目，很巧妙。这样的能力自然对学生的要求更好，需要学生平时不仅仅要做题，而且也要多去理解和思考。
例题三、是我出过的一道压轴题：
（1）计算：（X?+2X+2）（X?-2X+2）
（2）因式分解：X?+4
（3）因式分解：X?+3x?y?+4y?
第一问是一道重要的整数运算考题，学生掌握的很好, 解法如下：
第二问很多学生拿到这道题，手足无措，觉得没有教过，无从下手（不能咒骂命题老师）学生主要还是经验不足，既然是第二小问，就应该多想一想和第一小问有什么联系，骑士命题老师就是想考察大家，对于因式分解和整式运算的关联，就是一个“逆向”的过程，解法如下：
因式分解：
最后一问则考察学生在完成上一的解法后，理解并完成新问题。有兴趣的同学可以自己试试看。
今天先和大家探讨第一个注意事项，我们发现，一个看似很难的因式分解，在我们改变思考方式之后，会变得非常简单，也只有这样多总结，才能够轻松搞定这个题目。
感谢大家的阅读和陪伴，今天我们的因式分解就讲解到这里，如果同学们还有什么问题不明白，点击“阅读原文”我们可以进一步交流。
同学们如果还有其他想要听我讲的题目或者知识点，也可以点击右下方“写留言”，给我们留言，老师看到后一定尽快回复。
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初一因式分解有没有窍门?各种题型、解法都说说看,平方在网上显示不出来，想想办法把！
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因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式2x -x -6x -x+2 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 令y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x +9x +23x+15 令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
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