求助：f(1+x)=f(1-x)含义是什么？【真正解释的全粉】【数学吧】_百度贴吧
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求助：f(1+x)=f(1-x)含义是什么？【真正解释的全粉】收藏
我知道它的对称轴是x=1，我想知道为什么，这两个函数的x是一个x吗？？？这个等式的含义是什么？？？假如左边x=1,那右边x应该等于-1啊，这样f(1+1)=f[1-(-1)] f(2)=f(2)这样才相等啊，可这样左边x取1右边x取-1这样函数才相等啊，但是对称轴不就成了y轴了吗？再说左边是一个函数右边是另一个函数，两个函数相等是什么意思啊？？？？？？？？？？？？？？？？2个函数对应两个图像，相等是什么意思啊？？？？？？？
f(2)=f(2)当然相等，对于任何函数，只要f(2)有定义，当然和它本身相等如果一个函数f(1-1)=f(1+1)，就有可能对称轴为x=1
谁规定你f（2）不能等于f（0）的——!
这是一个复合函数，可将x－1看成t。即t=x-1,那么就有f(t)=f(t+2)即以2为周期的函数
在二次函数图像上想，对称轴加一个数和减一个数，所对应的y值，即f（x）相等。所以可以表示对称轴是x=1。等式上的x代表在其定义域内的任意数，都满足这个式子。
x可以理解为到1的距离，即1左边跟1右边跟1距离相等的点的函数值相等
对任意x都有lz的等式成立 即对称轴为1
这里不是在定义一个函数，而是说函数f(x)具有性质“对任何x，f(1+x)=f(1-x)“， 不存在什么变量的概念
函数是其实是个映射，你输入一个X，通过f（x）得到一个Y，LZ的式子的含义可以理解成输入到x=1距离相等且不相同的任意两个数，它们通过f（x）映射得到的结果是相同的
实在搞不懂就用描点法吧比如x=0时设f(1)=2.x=1时设f(2)=f(0)=3.x=2时设f(3)=f(-1)=4.。。。。把这些点画在图上，你会发现函数关于x=1对称。over另外一般认为f是函数,f(x)是当输入为x时函数的输出。所以不要说什么f(x)与f(x-1)是不同的函数，这两个都是函数的输出而已。
比如说:1.代数f(x)=(x-1)^2f(1+x)=[(1+x)-1]^2=(1+x-1)^2=x^2f(1-x)=[(1-x)-1]^2=(1-x-1)^2=(-x)^2=x^2f(1+x)=f(1-x)x当然是一个x2.画图说错了就无视吧 我五四制初二 就是你们六三制的初一
对任意的x都有1-x的函数值与1+x的函数值一样大，换句话说，就是在图象上，离1一样远的两个点，函数值一样大，这是不是关于1对称了？
相等就是两个函数图像有交点
是同一个x，两个函数的自变量都是x
函数fx表示一个映射，就是把x对应到一个值。fa=fb的意思是a的对应值和b的对应值相等。如果a=1-x,b=1+x,说明a和b到1的距离相等，又因为他们的值相等，所以对称。
可以把函数理解为一个变换方式，就像一个绞肉机，肉进去，肉馅出来。我们给绞肉机起个名，叫小f，如果放进猪肉，那么出来的肉馅我们为了方便，写作 小f（猪肉）。显然出来的是猪肉馅，那么我们我们有等式 猪肉馅=小f（猪肉）。当然，牛肉馅=小f（牛肉）。腌猪肉我们可以写作“猪肉+盐”，那么 咸猪肉馅=小f（猪肉+盐），同样咸牛肉馅=小f（牛肉+盐）。我们用x代表任何肉，那么（x+盐）代表广泛意义上的腌肉，小f（x+盐）代表广泛意义上的咸肉馅。小f（x+五香面）代表广泛意义上的五香肉馅。我们可以写一个等式，小f（x+盐）=小f（x+五香面），然后求小f是什么，意思可以认为是任何腌肉和任何五香肉放入名字叫小f的绞肉机，出来的都是同一种东西。显然这种绞肉机不是我们平常用的绞肉机。对照题目，f（1+x）=f（1-x），我们就是要求一个绞肉机，x取任何值，将1+x和1-x放进f去，出来的馅儿都是相等的。我们用有限的自然数作例子，x取1时，1+x=2,1-x=0，x取2,3,4,5,6,7时，1+x=3,4,5,6,7,8;
1-x=-1,-2,-3,-4,-5,-6，那么我们要找的是这么一个f，2和0输入给它，它输出的数是相等的；3和-1分别输入给它，它输出的数也是相等的，4和-3输入给它，它输出的数也是相等的。总之，1加某个数和1减某个数输入给它，它输出的数总是相等的。我们需要找的是这种变换方式，而这种变换方式应该有很多个。
这个式子并不是在定义一个函数。。。
f(1-x)=f(1+x)两边的x取同一个值，是一个以x=1为对称轴的f必须满足的关系。
就是说 他的X向左向右移相同的单位 他的Y值会相等，这个F(1+X)=F(1-X)就是指他的对称轴了，例如二次函数，你画个二次函数的图出来就形象了
并不是说F(1+X)和F(1-X)是两个函数
只不过是说在同一个函数的两个值而已
回复 9楼：例如&f(x)=x^2+x&这种写法叫做“定义出一个函数”，通过它，可以计算任何x对应的函数值。而“f(x-1)=f(x+1)&则不是“定义一个函数”，而是一个恒等式、公式。您说的左代1右代2之类的不能这样啊，初中知道公式x^2-4=(x+2)(x-2),您不能左边的x代1右边的代2吧，代东西是要左右一样代的。
当你取一个x带入之后，左右相等是指的函数值相等
其实你陷入一个误区，我跟你说，这个其实很简单，你只要画一个二次函数图像，与x轴有两个焦点，这两个焦点你分别取正负二，你可以看一下，两点函数值相等，从而也就解释了这个式子
首先，x是一个x其次，f(a)=f(b)时可以a≠b(例如二次函数)设1+x=a 原式:f(a)=f(a+2）每一个x都有一个a对应，所以无影响(极端的就都取无穷大，无穷大=无穷大....)这里可以看出对称轴是1了吧?（引用楼上的）楼主的问题的解释。若另一个x为-x（1和-1）;得到f(X)=f(X)及1=1；不构成函数何谈对称轴？（对称轴没有，而不是y轴）（至少现在不是函数）
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编写一个函数fun，它的功能是：根据以下公式求p的值，结果由函数值带回。m与n为两个正整数，且要求m＞n
悬赏：0&答案豆
提问人：匿名网友
发布时间：
编写一个函数fun，它的功能是：根据以下公式求p的值，结果由函数值带回。m与n为两个正整数，且要求m＞n。p=m!／(n!(m—n)!)请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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高考数学一轮 知识点各个击破 第二章 函数、导数及其应用课件 文 新人教A版
目第二章录函数、导数及其应用第一节第二节 第三节 第四节 第五节 第六节函数及其表示函数的定义域和值域 函数的单调性与最值 函数的奇偶性及周期性 函数的图象 二次函数与幂函数第七节 第八节 第九节 第十节 第十一节 第十二节指数与指数函数 对数与对数函数 函数与方程 函数模型及其应用 变化率与导数、导数的计算 导数的应用（一）第十三节导数的应用（二）[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义： 一般地，设A，B是两个非空 的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有 唯一 确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从 集合A到集合B的一个函数．记作 y＝f(x)，x∈A .(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数 值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 ．显然，值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 ． (4)相等函数：如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法 、 图象法 、列表法 ． 3．映射的概念 设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯 一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集 合B的一个映射． 4．分段函数[动漫演示更形象见光盘]超链接若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间， 有着不同的 对应关系 ，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于 A．－2x＋1 C．2x－3 B．2x－1 D．2x＋7 ( )解析：f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7. 答案：D?x2＋1，x≤1， ? 2．(2012? 江西高考)设函数 f(x)＝?2 则 f(f(3)) ?x，x&1， ? ＝ ( )1 A. 5 2 C. 3 B．313 D. 9 ?2? 2 13 ? ?2＋1＝ . 解析： f(3)＝ ，f(f(3))＝ 3 3 9 ? ? 答案：D3．已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是1 A．f：x→y＝ x 8 1 C．f：x→y＝ x 2 1 B．f：x→y＝ x 4 D．f：x→y＝x()解析：按照对应关系f：x→y＝x，对A中某些元素(如x＝8)，B中不存在元素与之对应． 答案：D4．已知?1? f?x?＝x2＋5x，则 ? ?f(x)＝____________.1 1 1 5 解析：令 t＝x，则 x＝ t .所以 f(t)＝ 2＋ t . t 5x＋1 故 f(x)＝ 2 (x≠0)． x 5x＋1 答案： 2 (x≠0) x5．(教材习题改编)若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝ 0，则f(－1)＝________.?1＋b＋c＝0， ? 解析：由已知得? ?9＋3b＋c＝0， ? ?b＝－4， ? 得? ?c＝3. ?即 f(x)＝x2－4x＋3. 所以 f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.答案：81.函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只 能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y＝sin x与y＝cos x，其定义域与值域 完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同， 关键是看定义域和对应关系是否相同． 3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域 应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．[例1] 有以下判断： ?1，x≥0， ? |x| (1)f(x)＝ 与 g(x)＝? 表示同一函数； x ?－1，x&0 ? (2)函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 的交点最多有 1 个；(3)f(x)＝x2－2x＋1 与 g(t)＝t2－2t＋1 是同一函数； ? ?1?? (4)若 f(x)＝|x－1|－|x|，则 f?f?2??＝0. ? ? ??其中正确判断的序号是________．[自主解答]|x| 对于(1)，由于函数 f(x)＝ x 的定义域为?1，x≥0， ? g(x)＝? ?－1，x&0 ?{x|x∈R，且 x≠0}，而函数的定义域是 R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义 域的值，则直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象没有交点，如果 x＝1 是 y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线 x＝1 与 y ＝f(x)的图象只有一个交点，即 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 最 多有一个交点；对于(3)，f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以 f(x)和 g(t)表示同一函数；对于(4)，由于? ?1? ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? f? ?＝? －1?－? ?＝0，所以 f?f?2??＝f(0)＝1. ? ? ?? ?2 ? ?2 ? ?2 ?综上可知，正确的判断是(2)，(3)．[答案] (2)(3)两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和 对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系 完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯 上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1， g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝ x－2? x＋2，y＝ x2－4；(3)y＝x，y＝ 3 t3；(4)y＝|x|，y＝( x)2.解：(1)y＝1 的定义域为 R，y＝x0 的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝ x－2? x＋2的定义域为{x|x≥2}． y＝ x2－4的定义域 为{x|x≥2，或 x≤－2}，故它们不是同一函数． 3 3 (3)y＝x，y＝ t ＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为 R，y＝( x)2 的定义域为{x|x≥0}，故它 们不是同一函数．[例 2](1)已知? 1? 1 ?x＋ ?＝x2＋ 2，求 f x? x ?f(x)的解析式；(2)已知?2 ? f?x＋1?＝lg ? ?x，求 f(x)的解析式；(3)已知 f(x)是二次函数， f(0)＝0， 且 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 求 f(x)．[自主解答](1)由于? 1? 1 ? 1?2 2 f?x＋ ?＝x ＋ 2＝?x＋ ? －2， x? x ? x? ?所以 f(x)＝x2－2，x≥2 或 x≤－2， 故 f(x)的解析式是 f(x)＝x2－2(x≥2 或 x≤－2)．2 2 2 (2)令 ＋1＝t 得 x＝ ，代入得 f(t)＝lg ， x t－1 t－1 又 x&0，所以 t&1， 2 故 f(x)的解析式是 f(x)＝lg (x&1)． x－1(3)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝0，知 c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，?2a＋b＝b＋1， ? 所以? ?a＋b＝1， ?1 解得 a＝b＝ . 2 1 2 1 所以 f(x)＝ x ＋ x(x∈R)． 2 2函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关 于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(如例 (1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))； (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法， 此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于 f(x)与?1? f?x?或 ? ?f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方 程组求出 f(x)(如 A 级 T6)．2．(1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)的解析式；(2)设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等实根， 且 f′(x)＝2x＋2，求 f(x)的解析式．解：(1)法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)， 即 f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程f(x)＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.[例3](2012? 广州调研考试)设函数f(x)＝ 若f(x)&4，则x的取值范围是?2－x，x∈?－∞，1?， ? ? 2 ?x ，x∈[1，＋∞?， ?______．[自主解答]当x&1时，由f(x)&4，得2－x&4，即x&－2；当x≥1时，由f(x)&4得x2&4，所以x&2或x&－2，由于x≥1，所以x&2. 综上可得x&－2或x&2. [答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f(f(－2))的值． 解：∵f(－2)＝22＝4. ∴f(f(－2))＝f(4)＝16.求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大 小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若 给出函数值 (或函数值的范围)求自变量值(或自变量的取 值范围)，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检 验所求自变量值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．3.(2012? 衡水模拟)已知f(x)的图象如 图，则f(x)的解析式为________．解析：由图象知每段为线段． 设? 3? ? 3? f(x)＝ax＋b，把(0,0)，?1，2?和?1，2?，(2,0)分别代入， ? ? ? ?3 ? ?a＝ ， 2 解得? ?b＝0， ?3 ? ?a＝－ ， 2 ? ?b＝3. ??3 ?2x，0≤x≤1， 答案：f(x)＝? ?3－3x，1≤x≤2 ? 2[典例](2011? 江苏高考)已知实数 a≠0，函数 f(x) 若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为?2x＋a，x＜1， ? ＝? ?－x－2a，x≥1. ?______．[解析]①当 1－a＜1，即 a＞0 时，a＋1＞1，由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，计算得 a 3 ＝－ (舍去)；②当 1－a＞1，即 a＜0 时，a＋1＜1，由 f(1 2 －a)＝f(1＋a)，得 2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，计算得 a 3 3 ＝－ ，符合题意．综上所述，a＝－ . 4 4[答案]3 － 4[题后悟道]解答本题利用了分类讨论思想，由于f(x)为分段函数，要表示f(1－a)和f(1＋a)的值，首先应对自变量1－a和1＋a的范围进行讨论，这样才能选取不 同的关系式，列出方程，求出a的值．得出结果后，应 注意检验．所谓分类讨论思想就是当问题所给的对象不 能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零， 各个击破，再积零为整”的解题策略．?针对训练(2013? 杭州模拟)设函数 f(a)＋f(－1)＝2，则 a＝? ? f(x)＝? ? ?x，x≥0， －x，x&0， (若 )A．－3B．±3C．－1D．±1解析：∵f(a)＋f(－1)＝2，且 f(－1)＝ 1＝1， ∴f(a)＝1，当 a≥0 时，f(a)＝ a＝1，a＝1；当 a&0 时，f(a)＝ －a＝1，a＝－1.∴a＝± 1.答案：D教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知函数?3x＋2，x&1， ? f(x)＝? 2 ?x ＋ax，x≥1， ?若 f(f(0))＝4a，则实数 a＝________.解析： ∵f(0)＝3×0＋2＝2， f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a， ∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x) －x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数 f(x)的解析式． 解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2 ＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有 且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x) －x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实 根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x ＋1，易证该函数满足题设条件． 综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.[知识能否忆起]1．常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母 不等于零 ．(2)偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . (3)一次函数、二次函数的定义域均为 R . (4)y＝ax，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为 R .(5)y＝tan? ? π ? ? ?xx≠kπ＋ ，k∈Z? x的定义域为 ? 2 ? ? ?.(6)函数f(x)＝x0的定义域为 {x|x≠0} ．(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R .(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a&0时，值域为 ? ? ? 4ac－b2? ? ? 4ac－b2? ? ?yy≥ ? ?yy≤ ? ；当a&0时，值域为 ? ? ? 4a ? ? 4a ? . ? ? k (3)y＝ (k≠0)的值域是 {y|y≠0} ． x(4)y＝ax(a&0且a≠1)的值域是 {y|y&0} ． (5)y＝logax(a&0且a≠1)的值域是 R . (6)y＝sin x，y＝cos x的值域是 [－1,1] ．(7)y＝tan x的值域是 R .[小题能否全取] 1．(教材习题改编)若f(x)＝x2－2x，x∈[－2,4]，则f(x) 的值域为 ( )A．[－1,8]C．[－2,8]B．[－1,16]D．[－2,4]答案：A1 2．函数 y＝ 2 的值域为 x ＋2()A．R? 1? ? ? ?yy≤ ? C.? 2? ? ?2? 1? ? ? ?yy≥ ? B.? 2? ? ? ? 1? ? ? ?y0&y≤ ? D.? 2? ? ?1 1 1 解析：∵x ＋2≥2，∴0& 2 ≤ .∴0&y≤ . 2 x ＋2 2答案：D1 3．(2012? 山东高考)函数 f(x)＝ ＋ ln?x＋1? 为4－x2的定义域 ( )A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]D．(－1,2] ?x＋1&0， ?x&－1， ? ? 解析： x 满足?x＋1≠1， 即?x≠0， ?4－x2≥0， ?－2≤x≤2. ? ?解得－1&x&0 或 0&x≤2.C．[－2,2]答案：Bx－4 4． (教材习题改编)函数 f(x)＝ 的定义域为________． |x|－5?x－4≥0， ? 解析：由? ?|x|－5≠0， ?得 x≥4 且 x≠5.答案： {x|x≥4，且x≠5}5．(教材习题改编)若 x有意义，则函数 y＝x2＋3x－5 的值 域是________．解析：∵ x有意义，∴x≥0. 又 y＝x2? 3 ?2 9 ＋3x－5＝?x＋2? － －5， 4 ? ?∴当 x＝0 时，ymin＝－5.答案：[－5，＋∞)函数的最值与值域的关系 函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的 值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．[注意] 求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意函数定义域．[例 1] 义域；lg?x2－2x? (1)(2012? 大连模拟)求函数 f(x)＝ 的定 9－x2(2)已知函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(x)的定义域．[自主解答]?x2－2x&0， ? ? ?9－x2&0， ?(1) 要 使 该 函 数 有 意 义 ， 需 要?x&0或x&2， ? 则有? ?－3&x&3， ?解得－3&x&0 或 2&x&3， 所以所求函数的定义域为(－3,0)∪(2,3)．(2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]， 1 即－1≤x≤1，∴ ≤2x≤2， 2 故?1 ? f(x)的定义域为?2，2?. ? ?若本例(2)条件变为：函数f(x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．解：∵函数 f(x)的定义域是[－1,1]， 1 ∴－1≤x≤1，∴－1≤log2x≤1，∴ ≤x≤2. 2 故?1 ? f(log2x)的定义域为?2，2?. ? ?简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不 等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成 的不等式(组)求解．(3)对抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x)) 的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．2x－x2 1．(1)函数 y＝ 的定义域是________． ln?2x－1?(2)(2013? 沈阳质检)若函数 y＝f(x)的定义域为[－3,5]， 则函数 g(x)＝f(x＋1)＋f(x－2)的定义域是( )A．[－2,3] C．[－1,4]B．[－1,3] D．[－3,5]?2x－x2≥0， ? 解析：(1)由?ln?2x－1?≠0， ?2x－1&0， ??0≤x≤2， ? ?x≠1， 得? ? 1 ?x&2. ??1 ? 所以函数的定义域为?2，1?∪(1,2]． ? ??－3≤x＋1≤5， ? (2)由题意可得? ?－3≤x－2≤5， ?解不等式组可得－1≤x≤4. 所以函数 g(x)的定义域为[－1,4]．?1 ? 答案：(1)?2，1?∪(1,2] ? ?(2)C[例2] 求下列函数的值域． (1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；1－x2 (2)y＝ ； 1＋x24 (3)y＝x＋x(x&0)；(4)f(x)＝x－ 1－2x.[自主解答](1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， ∵y＝(x＋1)2－1 在[0,3]上为增函数， ∴0≤y≤15， 即函数 y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．1－x2 2 (2)y＝ ＝ －1， 1＋x2 1＋x2 ∵1＋x2≥1， 2 ∴0& ≤2. 1＋x22 ∴－1& 2－1≤1.即y∈(－1,1]． 1＋x ∴函数的值域为(－1,1]．? 4? 4 (3)∵x&0，∴x＋x＝－?－x－x?≤－4， ? ?当且仅当x＝－2时等号成立． ∴y∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．1－t2 (4)法一：(换元法)令 1－2x＝t，则 t≥0 且 x＝ ， 2 1－t2 1 于是 y＝ －t＝－ (t＋1)2＋1， 2 2? 1? 1 由于 t≥0，所以 y≤ ，故函数的值域是?－∞，2?. 2 ? ?法二：(单调性法)容易判断 f(x)为增函数，而其定义域?1? 1 1 应满足 1－2x≥0，即 x≤ ，所以 y≤f?2?＝ ， 2 ? ? 2 ? 1? 即函数的值域是?－∞，2?. ? ?求函数值域常用的方法 (1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的 函数(例(1))．(2)换元法(例(4))．(3)基本不等式法(例(3))． (4)单调性法(例(4))．(5)分离常数法(例(2))．[注意] 求值域时一定要注意定义域的使用，同时 求值域的方法多种多样，要适当选择．x－3 2．(1)函数 y＝ 的值域为________． x＋1 (2)(2012? 海口模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“”如下：当a≥b时，ab＝a；当a&b时， ab＝b2.设函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]， 则函数f(x)的值域为________． x－3 x＋1－4 4 解析：(1)y＝ ＝ ＝1－ ， x＋1 x＋1 x＋14 4 因为 ≠0，所以 1－ ≠1， x＋1 x＋1 即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．(2)由题意知?x－2，x∈[－2，1]， ? f(x)＝? 3 ?x －2，x∈?1，2]， ?当 x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4；－1]； 当 x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,6]， 即当 x∈[－2,2]时，f(x)∈[－4,6]．答案：(1){y|y∈R，y≠1} (2)[－4,6][例 3](2012? 合肥模拟)若函数 f(x)＝2x 2 ?2 ax ? a?1的定义域为 R，则 a 的取值范围为________．[自主解答]函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax2－a－1≥0对x∈R恒成立，即 2 xa≥0恒成立，＋2 ax－a? 1 ，x2＋2ax－因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. [答案] [－1,0]求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是 依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问 题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．4 3．(2013? 烟台模拟)已知函数 f(x)＝ －1 的定义域是 |x|＋2 [a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数 对(a，b)共有________个． 4 4 解 析 ： 由 0≤ － 1≤1 ， 即 1≤ ≤2 得 |x|＋2 |x|＋2 0≤|x|≤2， 满足整数数对的有(－2,0)， (－2,1)， (－2,2)， (0,2)，(－1,2)共 5 个．答案：5函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求法也各式各样， 因此求函数的值域就存在一定的困难，解题时，若方法适 当，能起到事半功倍的作用．求函数值域的常用方法有配 方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法(以上例2都已讲解)、判别式法、数形结合法等．1．数形结合法 利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观 性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．[典例 1] 对 a， b∈R， 记?a，a≥b， ? max|a， ? b|＝ ?b，a&b. ?函 数 f(x) ＝ max||x ＋ 1| ， |x － 2||(x ∈ R) 的 值 域 是 ________．[解析]1 ? ?|x＋1|，x≥2， f(x)＝? ?|x－2|，x&1， 2 ??3 ? 由图象知函数的值域为?2，＋∞?. ? ?[答案]?3 ? ? ，＋∞? ?2 ?[题后悟道]利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型： y (1)直线的斜率： 可看作点(x， y)与(0,0)连线的斜率； xy－b 可看作点(x，y)与点(a，b)连线的斜率． x－a(2)两点间的距离： ?x－x1?2＋?y－y1?2可看作点(x，y)与点(x1，y1)之间的距离．?针对训练1．函数 y＝ ?x＋3?2＋16＋ ?x－5?2＋4的值域为______．解析：函数 y＝f(x)的几何意义为：平 面内一点 P(x,0)到两点 A(－3,4)和 B (5,2)距离之和就是 y 的值．由平面几 何知识，找出 B 关于 x 轴的对称点 B′ (5，－2)．连接 AB′交 x 轴于一点 P 即为所求的点， 最小值 y＝|AB′|＝ 82＋62＝10. 即函数的值域为[10，＋∞)．答案：[10，＋∞)2．判别式法 a1x2＋b1x＋c1 对于形如 y＝ 2 (a ，a 不同时为零)的函数 a2x ＋b2x＋c2 1 2 求值域，通常把其转化成关于 x 的一元二次方程，由判别 式 Δ≥0，求得 y 的取值范围，即为原函数的值域．x2－x [典例 2] 函数 y＝ 2 的值域为________． x －x＋1[解析] 法一：(配方法) 1 ∵y＝1－ 2 ， x －x＋1 又x2? 1 ?2 3 3 －x＋1＝?x－2? ＋ ≥ ， 4 4 ? ?1 4 1 ∴0& 2 ≤ ，∴－ ≤y&1. 3 x －x＋1 3? 1 ? ∴函数的值域为?－3，1?. ? ?法二：(判别式法) x2－x 由 y＝ 2 ，x∈R， x －x＋1 得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0. ∵y＝1 时，x∈?，∴y≠1. 又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0， 1 ∴－ ≤y&1. 3? 1 ? ∴函数的值域为?－3，1?. ? ?[答案]? 1 ? ?－ ，1? ? 3 ?[题后悟道]本题解法二利用了判别式法，利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，若x∈R，则Δ≥0，从而确定函数的最值；再检验a(y)＝0时对应 的x的值是否在函数定义域内，以决定a(y)＝0时y的值 的取舍．?针对训练mx2＋4 3x＋n 2．已知函数 y＝ 的最大值为 7，最小值为－ 2 x ＋1 1，则 m＋n 的值为 ( )A．－1 C．6B．4 D．7解析：函数式可变形为(y－m)x2－4 3x＋(y－n)＝0，x ∈R， 由已知得 y－m≠0， 所以 Δ＝(－4 3)2－4(y－m)? (y －n)≥0，即 y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0，① 由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7 是方 程 y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0 的两根，?1＋?m＋n?＋mn－12＝0， ? 代入得? ?49－7?m＋n?＋mn－12＝0 ? ?m＝1， ? ? ?n＝5. ? ?m＝5， ? ，解得? ?n＝1 ?或所以 m＋n＝6. 答案：C求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰 当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法(以后还要讲解)．教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知函数 f(x)＝2 x＋ 4－x，则函数 f(x)的值域为 (A．[2,4] C．[4,2 5 ] B．[0,2 5 ] D．[2,2 5 ])解析：∵x∈[0,4]，∴可令 x＝4cos2? π? θ，θ∈?0，2 ?， ? ?则 y＝2? 2cos θ＋2sin θ＝2 5sin(θ＋φ)，tan φ＝2. π π 又 0≤θ≤ ，φ≤θ＋φ≤ ＋φ， 2 2 1 故 cos φ≤sin(θ＋φ)≤1，而 cos φ＝ ， 5 ∴2≤y≤2 5.答案： D2． 若函数 f(x)＝2 ?a －1?x ＋?a－1?x＋ 的定义域为 R， a＋12 2求实数 a 的取值范围．解：由函数的定义域为 R，可知对 x∈R，f(x)恒有意义， 2 即对 x∈R，(a －1)x ＋(a－1)x＋ ≥0 恒成立． a＋12 2①当a2－1＝0，即a＝1(a＝－1舍去)时，有1≥0，对x∈R恒成立，故a＝1符合题意；②当 a2－1≠0，即 a≠± 时，则有 1 ?a2－1&0， ? ? 2 2 2 ?Δ＝?a－1? －4?a －1?×a＋1≤0， ?解得 1&a≤9.综上，可得实数 a 的取值范围是[1,9]．[知识能否忆起]一、函数的单调性 1．单调函数的定义增函数 减函数 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任 意两个自变量的值x1，x2 定 当x1&x2时，都有 f(x1)&f(x2)， 当x1&x2时，都有 f(x1)&f(x2)， 义 那么就说函数f(x)在区间D上 那么就说函数f(x)在区间D上 是增函数 是减函数增函数减函数图象描述 自左向右看图象 逐渐上升 自左向右看图象 逐渐 下降2．单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ，则称 函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 区间D 叫做y＝f(x)的单调区间．二、函数的最值 前 提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足①对于任意x∈I，都有 ①对于任意x∈I，都有 f(x)≥M f(x)≤M ； 条 ； 件 ②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M 结 M为最大值 ②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M M为最小值论[小题能否全取] 1．(2012? 陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函 数的为A．y＝x＋1 1 C．y＝x B．y＝－x3 D．y＝x|x|()解析：由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排 除B、C，由y＝x|x|的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 答案：D2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()1 A．k& 2 1 C．k&－ 21 B．k& 2 1 D．k&－ 2解析：函数 y＝(2k＋1)x＋b 是减函数， 1 则 2k＋1&0，即 k&－ . 2答案：D1 3．(教材习题改编)函数 f(x)＝ 的最大值是 ( 1－x?1－x?4 A. 5 3 C. 4 5 B. 4 4 D. 32)解析： ∵1－x(1－x)＝x 1 4 ≤ . 1－x?1－x? 3? 1? 2 3 3 －x＋1＝ ?x－2? ＋ ≥ ，∴ 4 4 ? ?答案：D4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为________；f(x)max＝________.解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]， f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8. 答案：[1,4] 85． 已知函数 f(x)为 R 上的减函数， m&n， f(m)______f(n)； 若 则 若??1?? f??x??&f(1)，则实数 ?? ??x 的取值范围是______．解析：由题意知 f(m)&f(n)；?1? ? ?&1，即|x|&1，且 ?x?x≠0.故－1&x&1 且 x≠0.答案： &(－1,0)∪(0,1)1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调， 在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解 函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本 初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二 次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应 根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． [注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[例 1]1 证明函数 f(x)＝2x－x在(－∞，0)上是增函数．[自主解答]设 x1，x2 是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且 x1&x2. 1 1 则 f(x1)＝2x1－ ，f(x2)＝2x2－ ， x1 x2? 1? ? 1? f(x1)－f(x2)＝?2x1－x ?－?2x2－x ? ? ? 1? 2? ?1 1? ＝2(x1－x2)＋?x －x ? ? 2 1?? 1 ? ＝(x1－x2)?2＋x x ? ? 1 2?1 由于 x1&x2&0，所以 x1－x2&0,2＋ &0， x1x2 因此 f(x1)－f(x2)&0， 即 f(x1)&f(x2)， 故 f(x)在(－∞，0)上是增函数．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的 单调性有两种方法：(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明； (2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单 调性的证明，一般采用定义法进行．－2x 1． 判断函数 g(x)＝ 在 (1， ＋∞)上的单调性． x－1 解：任取 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1&x2，－2x1 －2x2 则 g(x1)－g(x2)＝ － x1－1 x2－1 2?x1－x2? ＝ ， ?x1－1??x2－1? 由于 1&x1&x2， 所以 x1－x2&0，(x1－1)(x2－1)&0， 因此 g(x1)－g(x2)&0，即 g(x1)&g(x2)． 故 g(x)在(1，＋∞)上是增函数．[例 2](2012? 长沙模拟)设函数 y＝f(x)在(－∞， ＋∞)内 有 定 义 ． 对 于 给 定 的 正 数 k ， 定 义 函 数 fk(x) ＝?f?x?，f?x?≤k， ? ? ?k，f?x?＞k， ?取函数 f(x)＝2－|x|1 .当 k＝ 时，函数 fk(x) 2 ( )的单调递增区间为A．(－∞，0)C．(－∞，－1)B．(0，＋∞)D．(1，＋∞)[自主解答] －1 或 x≥1.1 1 由 f(x)& ，得－1&x&1，由 f(x)≤ ，得 x≤ 2 2所以 f 12?2－x，x≥1， ? ?1 (x)＝? ，－1＜x＜1， ?2 ?2x，x≤－1. ?故 f 1 (x)的单调递增区间为(－∞，－1)．2[答案]C若本例中f(x)＝2－|x|变为f(x)＝log2|x|，其他条件不 变，则fk(x)的单调增区间为________．1 解析：函数 f(x)＝log2|x|，k＝ 2 时，函数 fk(x)的图象如图所示，由 图示可得函数 fk(x)的单调递增区间 为(0， 2 ]．答案：(0， 2 ]求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x) 的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是A．[1,2] C．[0,2]解析：由于()B．[－1,0] D．[2，＋∞)?x2－2x，x≥2， ? f(x)＝|x－2|x＝? ?－x2＋2x，x&2. ?结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．答案：A[例3](1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)&f(m2)的实数m的取值范围是________． (2)(2012? 安徽高考)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.[自主解答] m&m2.(1)∵f(x)在 R 上为增函数，∴2－∴m2＋m－2&0.∴m&1 或 m&－2.a ? ?－2x－a，x&－2， (2)由 f(x)＝? ?2x＋a，x≥－a， 2 ?? a ? 单调递增区间为?－2，＋∞?，故 ? ?可得函数 f(x)的a 3＝－ ，解得 a＝－6. 2[答案](1)(－∞，－2)∪(1，＋∞) (2)－6单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行 大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是 函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等 价转化思想与数形结合思想的运用．1 3．(1)(2013? 孝感调研)函数 f(x)＝ 在[2,3]上的最小值为 x－1 ________，最大值为________．?1 ? 1 1 (2)已知函数 f(x)＝a－x(a&0，x&0)，若 f(x)在?2，2?上 ? ? ?1 ? 的值域为?2，2?，则 ? ?a＝__________.1 解析：(1)∵f′(x)＝－ &0，∴f(x)在[2,3]上为减函 ?x－1?2 1 1 1 数，∴f(x)min＝f(3)＝ ＝ ，f(x)max＝ ＝1. 3－1 2 2－11 1 (2)由反比例函数的性质知函数 f(x)＝ a － x (a&0，x&0)在?1 ? ? ，2?上单调递增， ?2 ?1 ?1 ? ?1? 1 ?a－2＝2， ?f? ?＝ ， 所以? ?2? 2 即? ?f?2?＝2， ?1－1＝2， ? ?a 21 答案：(1) 2 1 2 (2) 52 解得 a＝ . 5[典例]?x2＋1，x≥0， ? ? ?1，x&0， ?(2012? 京 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ 南 则满足不等式 f(1－x2)&f(2x)的 x 的取值范围是________．[尝试解题]?x2＋1，x≥0， ? ? ?1，x&0 ?法一：画出 f(x)＝ 的图象，由图象可知，若 f(1－x2)&f(2x)，?1－x2&0， ? 则? ?1－x2&2x， ? ?－1&x&1， ? 即? ?－1－ 2&x&－1＋ ?2，得 x∈(－1， 2－1)．法二：当 x＝－1 时，1－x2＝0,2x＝－2，则 f(0)＝1， f(－2)＝1，无解； 当－1&x≤0 时，1－x2&0，f(1－x2)&f(2x)化为(1－x2)2 ＋1&1，恒成立； 当 0&x≤1 时，1－x2≥0,2x&0，原不等式化为(1－x2)2 ＋1&(2x)2＋1， 即(x＋1)2&2，∴0&x& 2－1； 当 x&－1 或 x&1 时，1－x2&0，无解． 综上知－1&x& 2－1.[答案](－1， 2－1)1．解答本题有两大误区：(1)误将 f(1－x2)，f(2x)中的 x 当成分段函数 f(x)＝?x2＋1，x≥0， ? ? ?1，x&0 ?中的 x，从而造成失误；(2)仅考虑函数单调性， 由 f(1－x2)&f(2x)，得 1－ x2&2x，却忽略了 1－x2&0 而失误．2．解决分段函数的单调性问题时，应注意： (1)抓住对变量所在区间的讨论； (2)保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；(3)弄清最终结果取并还是交．?针对训练(2012?山 西 四 校 联 考 ) 已 知 函 数 ??a－2?x，x≥2， ? ??1?x ??2? －1，x&2 ?? ? f(x) ＝满 足 对 任 意 的 实 数 x1≠x2 ， 都 有f?x1?－f?x2? &0 成立， 则实数 a 的取值范围为 x1－x2A．(－∞，2) C．(－∞，2]? 13? B.?－∞， 8 ? ? ? ?13 ? D.? 8 ，2? ? ?()解 析 ： 函 数 f(x) 是 R 上 的 减 函 数 ， 于 是 有 ?a－2&0， ? 13 ?1? ? 由此解得 a≤ ，即实数 a 的取 2 8 ??a－2?×2≤?2? －1， ? ? ?? 13? 值范围是?－∞， 8 ?. ? ?答案：B教师备选题（给有能力的学生加餐）1．求函数f(x)＝ x2＋x－6的单调区间． 解：设u＝x2＋x－6，y＝ u.由x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2. 结合二次函数的图象可知，函数u＝x2＋x－6在 (－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的． 又∵函数y＝ u是递增的，∴函数f(x)＝ x2＋x－6 在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．2．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(m＋n)＝f(m)? f(n)，且当x&0时，0&f(x)&1.(1)试求f(0)的值； (2)判断f(x)的单调性并证明你的结论；(3)设 A＝{(x，y)|f(x2)? 2)&f(1)}，B＝{(x，y)|f(ax－y f(y ＋ 2)＝1， a∈R}， A∩B＝?， 若 试确定 a 的取值范围．解：(1)在f(m＋n)＝f(m)? f(n)中，令m＝1，n＝0， 得f(1)＝f(1)? f(0)． 因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)任取x1，x2∈R，且x1&x2. 在已知条件f(m＋n)＝f(m)? f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝ x1，则已知条件可化为：f(x2)＝f(x1)? 2－x1)． f(x 由于x2－x1&0，所以0&f(x2－x1)&1. 为比较f(x2)，f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可． 在f(m＋n)＝f(m)? f(n)中，令m＝x，n＝－x， 则得f(x)? f(－x)＝1. 因为当x&0时，0&f(x)&1， 1 所以当x&0时，f(x)＝ &1&0. f?－x?又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R， 均有f(x1)&0. 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]&0.所以函数f(x)在R上单调递减．(3)f(x2)? 2)&f(1)，即x2＋y2&1. f(y f(ax－y＋ 2)＝1＝f(0)，即ax－y＋ 2＝0. 由A∩B＝?，得直线ax－y＋ 2 ＝0与圆面x2＋y2&1无公 2 共点，所以 2 ≥1，解得－1≤a≤1. a ＋1[知识能否忆起]一、函数的奇偶性奇偶性 定 义 图象特点 如果对于函数f(x)的定义域内任 偶函数 意一个x，都有 f(－x)＝f(x) ， 关于 y轴 对称 那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任 奇函数 意一个x，都有 f(－x)＝－f(x)， 关于 原点对称 那么函数f(x)是奇函数二、周期性1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么 就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的 正数 ，那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期．[小题能否全取] 1．(2012? 广东高考)下列函数为偶函数的是A．y＝sin x C．y＝ex B．y＝x3 D．y＝ln()x2＋1解析：四个选项中的函数的定义域都是 R.y＝sin x 为奇 函数．幂函数 y＝x3 也为奇函数．指数函数 y＝ex 为非奇 非偶函数． f(x)＝ln 令 ＝ln x2＋1， f(－x)＝ln 得 ?－x?2＋1x2＋1＝f(x)．所以 y＝ln x2＋1为偶函数．答案：D2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是 1 A．－ 3 (1 B. 3)1 1 C. D．－ 2 2 解析：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上偶函数，1 ∴a－1＋2a＝0，∴a＝ ，且 f(－x)＝f(x)， 3 1 ∴b＝0，∴a＋b＝ . 3 答案：B3．(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x ＋4)＝f(x)，则f(8)的值为 A．－1 C．1 B．0 D．2 ( )解析：∵f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)．∴f(0)＝0，T＝4. ∴f(8)＝f(0)＝0. 答案：B4．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴| －x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得 ax＝0，对于x∈R恒成立，故a＝0.法二：由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|，故a＝0. 答案：05．(2011?广东高考)设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11， 则f(－a)＝________. 解析：观察可知，y＝x3cos x为奇函数，且f(a)＝ a3cos a＋1＝11，故a3cos a＝10.则f(－a)＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.答案：－91.奇、偶函数的有关性质： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必 要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的 图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间 上的单调性相反． 2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．[例1](2013? 福州质检)设Q为有理数集，函数f(x)＝ ex－1 g(x)＝ x ，则函数h(x)＝f(x)? g(x) e ＋1 ( )?1，x∈Q， ? ? ?－1，x∈?RQ， ?A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是偶函数也不是奇函数[自主解答]∵当 x∈Q 时，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；当 x∈?RQ 时，－x∈?RQ，∴f(－x)＝f(x)＝－1.综上 有， 对任意 x∈R， 都有 f(－x)＝f(x)， 故函数 f(x)为偶函数． ∵ e－x－1 1－ex ex－1 g(－x)＝ －x ＝ x＝－ x＝－g(x)，∴函数 g(x)为奇 e ＋1 1＋e 1＋e 函数．∴h(－x)＝f(－x)? g(－x)＝f(x)? [－g(x)]＝－f(x)g(x)＝ －h(x)，∴函数 h(x)＝f(x)? g(x)是奇函数．∴h(1)＝f(1)? g(1) e－1 e 1－1 1－e ＝ ，h(－1)＝f(－1)? g(－1)＝1× －1 ＝ ，h(－ e＋1 e ＋1 1＋e 1)≠h(1)，∴函数 h(x)不是偶函数．－[答案]A利用定义判断函数奇偶性的方法 (1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断 f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒 成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)． [注意] 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．1．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；(2)f(x)＝3x－3－x；4－x2 (3)f(x)＝ ； |x＋3|－3?x2＋2，x&0， ? (4)f(x)＝?0，x＝0， ?－x2－2，x&0. ??x2－1≥0， ? 解：(1)∵由? ?1－x2≥0， ?得 x＝± 1，∴f(x)的定义域为{－1,1}． 又 f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， 即 f(x)＝± f(－x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．?4－x2≥0， ? (3)∵由? ?|x＋3|－3≠0， ?得－2≤x≤2 且 x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]， 4－x2 4－x2 4－x2 ∴f(x)＝ ＝ ＝ x ， |x＋3|－3 ?x＋3?－3 ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x&0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x&0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)． 故该函数为奇函数．[例2](1)(2012? 上海高考)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.(2)(2012? 烟台调研)设偶函数 f(x)在(0， ＋∞)上为减函 f?x?＋f?－x? 数， f(2)＝0， 且 则不等式 &0 的解集为 x ( )A．(－2,0)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2) D．(－2,0)∪(0,2)[自主解答](1)∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，∴当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得 f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.(2)∵f(x)为偶函数， f?x?＋f?－x? 2f?x? ∴ ＝ x &0. x ∴xf(x)&0.?x&0， ? ∴? ?f?x?&0 ? ?x&0， ? 或? ?f?x?&0. ?又 f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 故 x∈(0,2)或 x∈(－∞，－2)．[答案](1)－1(2)B本例(2)的条件不变，若n≥2且n∈N*，试比较f(－n)， f(1－n)，f(n－1)，f(n＋1)的大小． 解：∵f(x)为偶函数，所以f(－n)＝f(n)，f(1－n)＝f(n－1)．又∵函数y＝f(x)在(0，＋∞)为减函数，且0&n－ 1&n&n＋1， ∴f(n＋1)&f(n)&f(n－1)． ∴f(n＋1)&f(－n)&f(n－1)＝f(1－n)．函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式． 利用奇偶性关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数． 常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母 的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2．(1)(2012? 徐州模拟)已知函数f(x)＝ 为奇函数，则a＋b＝________.?x2＋x，x≤0， ? ? 2 ?ax ＋bx，x&0 ?(2)已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)， 若f(3－a2)&f(2a)，则实数a的取值范围是________．解析：(1)当x&0时，则－x&0，所以f(x)＝x2＋x，f(－x) ＝ax2－bx，而f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx，所以a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.(2)因为f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又因为f(x) 是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使 f(3－a2)&f(2a)，只需3－a2&2a，解得－3&a&1. 答案：(1)0 (2)(－3,1)(2012? 浙江高考)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则[自主解答] 则?3? f?2?＝________. ? ?依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，?3? ? 1? ?1? 1 3 ? ?＝f?－ ?＝f? ?＝ ＋1＝ . f2 2 ? ? ? 2? ?2? 2[答案]3 21．周期性常用的结论： 对f(x) 定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；1 (2) 若 f(x＋a)＝ ，则 T＝2a； f?x? 1 (3) 若 f(x＋a)＝－ ，则 T＝2a. f?x? 2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒 有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式． 解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．抽象函数是高中数学的难点，大多数同学感觉找不着头绪，对抽象函数的研究往往要通过函数的性质来体 现，如函数的奇偶性、单调性和周期性．利用赋值法将 条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略．下面从 5个不同的方面来探寻一些做题的规律．1．抽象函数的定义域 抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利 用代换法得到不等式(组)进行求解．[典例 1] 已知函数 y＝f(x)的定义域是[0,8]， 则函 f?x2－1? 数 g(x)＝ 的定义域为________． 2－log2?x＋1?[解析]?0≤x2－1≤8， ? 要使函数有意义，需使?x＋1&0， ?2－log ?x＋1?≠0， ? 2 则 1≤x&3，所以函数的定义域为[1,3)．?1≤x2≤9， ? 即?x&－1， ?x≠3， ?[答案][1,3) 函数y＝f(g(x))的定义域的求法， 常常通[题后悟道]过换元设t＝g(x)，根据函数y＝f(t)的定义域，得到g(x)的范 围，从而解出x的范围．在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，使得分式、对数等都要有意义．2．抽象函数的函数值 [典例2] 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－2)＝(A．2 C．6 [解析] B．3 D．9)令x＝y＝0，得f(0)＝0，令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)＋2＝6，由0＝f(2－2)＝f(2)＋f(－2)－8得f(－2)＝2.[答案] A[题后悟道]抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函 数的周期性来转化解答． 3．抽象函数的奇偶性 函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．[典例3] 已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋ f(x－y)＝2f(x)? f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数． [证明] 取x＝0，y＝0，得2f(0)＝2f 2(0) ，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1；再取x＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)? f(y)＝2f(y)．所以f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)是偶函数．[题后悟道] 在利用奇偶函数的定义进行判断时，等式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，还需 要令x，y取特殊值进行求解．4．抽象函数的单调性与抽象不等式 高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点， 常出现一些综合性问题，利用导数进行判断求解，并对 所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题．(结合本节例2(2)学习)． 5．抽象函数的周期性 有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自变量 值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利用周期把函数值转化为已知求出．[典例 4]1 已知函数 f(x)满足：f(1)＝ ，4f(x)f(y)＝ 4f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则 f(2 014)＝________.[解析] 取 x＝n，y＝1，有 f(n)＝f(n＋1)＋f(n－1)，同理 f(n＋1)＝f(n＋2)＋f(n)， 联立，得 f(n＋2)＝－f(n－1)，所以 f(n＋3)＝－f(n)， f(n＋6)＝－f(n＋3)＝f(n)，所以函数的周期为 T＝6，故 f(2 1 014)＝f(4)＝－f(1)＝－ . 4 1 [答案] － 4[题后悟道]判断抽象函数的周期性时，给一个变量赋值是关键，但由于函数的周期性是函数的整体性质，因此另一个变量必须具有任意性． 从以上几种类型来看，解答抽象函数问题并不是 无计可施，只要我们善于观察、分析、掌握解题规律， 把抽象问题形象化、具体化，问题就可以化难为易、迎刃而解．教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， 且?1? f(x)－g(x)＝?2?x，则 ? ?f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________．解析： 在?1? f(x)－g(x)＝?2?x 中， 用－x ? ?替换 x， f(－x)－g(－ 得x)＝2x，由于 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函 数， 所以 f(－x)＝－f(x)， g(－x)＝g(x)， 因此得－f(x)－g(x) 2－x－2x 2－x＋2x ＝2x.于是解得 f(x)＝ ，g(x)＝－ ，于是 f(1) 2 2 3 5 ＝－ ，g(0)＝－1，g(－1)＝－ ，故 f(1)&g(0)&g(－1)． 4 4答案：f(1)&g(0)&g(－1)2．关于y＝f(x)，给出下列五个命题：①若f(－1＋x)＝f(1＋x)，则y＝f(x)是周期函数； ②若f(1－x)＝－f(1＋x)，则y＝f(x)为奇函数；③若函数y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则y＝f(x)为偶函数； ④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x ＝1对称； ⑤若f(1－x)＝f(1＋x)，则y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．填写所有正确命题的序号________．解析：由f(－1＋x)＝f(1＋x)可知，函数周期为2，①正确；由f(1－x)＝－f(1＋x)可知，y＝f(x)的对称中心 为(1,0)，②错；y＝f(x－1)向左平移1个单位得y＝f(x)， 故y＝f(x)关于y轴对称，③正确；两个函数对称时， 令1＋x＝1－x得x＝0，故应关于y轴对称，④错；由f(1－x)＝f(1＋x)得y＝f(x)关于x＝1对称，⑤错，故正确的应是①③. 答案：①③3．已知 f(x)是偶函数，且 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，如果 f(ax＋1)≤f(x－2)在 范围．?1 ? x∈?2，1?上恒成立， 求实数 ? ?a 的取值解：由于 f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则在(－ ∞，0]上为减函数，由 f(ax＋1)≤f(x－2)，则|ax＋1|≤|x－2|， 又?1 ? x∈?2，1?，故|x－2|＝2－x， ? ?3 1 即 x－2≤ax＋1≤2－x.故 x－3≤ax≤1－x,1－x≤a≤x－1，?1 ? 在?2，1?上恒成立． ? ? ?1 ? ? 3? 由于?x－1?min＝0，?1－x?max＝－2，故－2≤a≤0. ? ? ? ?[知识能否忆起]一、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数 的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶 性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零 点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描 点，连线．二、利用基本函数的图象作图 1．平移变换(1)水平平移：y＝f(x±a)(a&0)的图象，可由y＝f(x)的图象向 左 (＋)或向 右 (－)平移 a个 单位而得到． (2)竖直平移：y＝f(x)±b(b&0)的图象，可由y＝f(x) 的图象向上 (＋)或向 下 (－)平移 b个 单位而得到． 2．对称变换(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于 y轴 对称．(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于 x轴 对称．(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于 原点对称．(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴 下方的部分以 x轴 为对称轴翻折到x轴上方，其余部分 不变． (5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分 y轴 作出，再利用偶函数的图象关于 的对称性，作出x ＜0时的图象．3．伸缩变换(1)y＝Af(x)(A&0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为 原来的A倍 ， 横坐标 不变而得到．(2)y＝f(ax)(a&0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有 1 点的横坐标变为 原来的a倍 ， 纵坐标 不变而得到．[小题能否全取] 1．一次函数f(x)的图象过点A(0,1)和B(1,2)，则下列各点 在函数f(x)的图象上的是 A．(2,2) B．(－1,1) ( )C．(3,2)D．(2,3)解析：一次函数f(x)的图象过点A(0,1)，B(1,2)，则f(x) ＝x＋1，代入验证D满足条件． 答案：D2．函数y＝x|x|的图象大致是()解析：函数y＝x|x|为奇函数，图象关于原点对称． 答案：A3．(教材习题改编)在同一平面直角坐标系中，函数f(x) ＝ax与g(x)＝ax的图象可能是下列四个图象中的( )解析：因a&0且a≠1，再对a分类讨论． 答案：B4．(教材习题改编)为了得到函数y＝2x－3的图象，只需把 函数y＝2x的图象上所有的点向______平移______个 单位长度．答案：右35．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：由题意 a＝|x|＋x 令?2x，x≥0， ? y＝|x|＋x＝? ?0，x＜0， ?图象如图所示，故要使 a＝|x|＋x 只有一解则 a&0.答案：(0，＋∞)1.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法． 其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换， 要记住它们的变换规律．[注意] 对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立． 2．一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的 图象关于原点(y轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇( 偶)函数，后者是两个不同的函数对称．[例1] 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.[自主解答]?lg x，x≥1， ? (1)y＝? ?－lg x，0&x&1. ?图象如图 1.(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2.?x2－2x－1，x≥0， ? (3)y＝? 2 ?x ＋2x－1，x&0. ?图象如图 3.画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟 悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出． (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图 象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换 单位及解析式的影响．1．作出下列函数的图象：(1)y＝|x－x2|；x＋2 (2)y＝ . x－1 ?x－x2，0≤x≤1， ? 解：(1)y＝? ?－?x－x2?，x&1或x&0， ?? ? 1 ?2 1 ?－?x－2? ＋4，0≤x≤1， ? ? ?? 即 y＝ 1?2 1 ??x－ ? － ，x&1或x&0， ?? 2? 4其图象如图1所示(实线部分)．?x－1?＋3 3 3 (2)y＝ ＝1＋ ，先作出 y＝x的图象，再将其 x－1 x－1 x＋2 向右平移 1 个单位， 并向上平移 1 个单位即可得到 y＝ x－1 的图象，如图 2.[例2](2012? 湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所 示，则y＝－f(2－x)的图象为 ( )
[自主解答] 法一：由 y＝f(x)的图象知?x?0≤x≤1?， ? f(x)＝? ?1?1&x≤2?. ?当 x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]， 所以 故?1?0≤x≤1?， ? f(2－x)＝? ?2－x?1&x≤2?， ??－1?0≤x≤1?， ? y＝－f(2－x)＝? ?x－2?1&x≤2?. ?法二：当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时， －f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项，可知应选B. [答案] B“看图说话”常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而 得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决 问题． (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．2.(1)如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB， 其中点 O，A，B 的坐标分别为(0,0)， (1,2)，(3,1)，则? 1 ? ? f? ?f?3??的值等于_______． ? ?(2)(2012? 东城模拟)已知函数对任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，且当x&0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为 ( )
解析：(1)∵由图象知 f(3)＝1，? 1 ? 1 ? ∴ ＝1.∴f? ?f?3??＝f(1)＝2. f?3? ? ?(2)∵对任意的 x∈R 有 f(x)＋f(－x)＝0，∴f(x)是奇函 数．f(0)＝0，y＝f(x)的图象关于原点对称，当 x&0 时，f(x) ＝－f(－x)＝－ln(－x＋1)＝－ln(1－x)，由图象知符合上 述条件的图象为 D.答案：(1)2(2)D[例3](2011? 新课标全国卷)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图 象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有 ( )A．10个C．8个B．9个D．1个[自主解答]根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；0&x&10时，|lg x|&1；x&10时|lg x|&1.结合图象知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．[答案] A若本例中f(x)变为f(x)＝|x|，其他条件不变，试确定交点个数．解：根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可 作图如下：由图象知共10个交点．1．利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系． 2．利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究 方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点 的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交 点的横坐标．3．已知函数f(x)＝2－x2，g(x)＝x.若f(x)*g(x)＝min{f(x)，g(x)}，那么f(x)*g(x)的最大值是________．(注 意：min表示最小值)解析：画出示意图(实线部分)， ?2－x2?x≤－2?， ? f(x)*g(x)＝?x?－2&x&1?， ?2－x2?x≥1?， ? 其最大值为 1.答案：1[典例]|x2－1| (2012? 天津高考)已知函数 y＝ 的图象 x－1与函数 y＝kx－2 的图象恰有两个交点， 则实数 k 的取值 范围是________．[解析]|x2－1| ?x＋1，x≤－1或x&1， ? 因为函数 y＝ ＝? x－1 ?－x－1，－1&x&1， ?所以函数 y＝kx－2 的图象恒过点(0，－2)，根据图象易知， 两个函数图象有两个交点时，0&k&1 或 1&k&4.[答案](0,1)∪(1,4)[题后悟道]所谓数形结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是 借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手 段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性 质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属 性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确 地阐明曲线的几何性质．解答本题利用了数形结合思想，本题 |x2－1| 首先作出y＝ 的图象，然后利用图象直观确定直线y＝kx x－1 －2的位置．作图时应注意不包括B、C两点，而函数y＝kx－2 的图象恒过定点A(0，－2)，直线绕A点可以转动，直线过B、 C两点是关键点．?针对训练 1．(2013? 长春第二次调研)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则 实数a的取值范围是________．解析：如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可 知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时， 不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)?|2x－1|，x&2， ? 2．已知函数f(x)＝ ? 3 ?x－1，x≥2， ?若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A．(1,3) C．(0,2)B．(0,3) D．(0,1)解析： 因为方程 f(x)－a＝0 的根， 即是直线 x＝a 与函数 ?|2x－1|，x&2， ? f(x)＝? 3 ?x－1，x≥2 ?的图象交点的横坐标， 画出函数图象进行观察可以得知，a 的取值范围是(0,1)．答案：D教师备选题（给有能力的学生加餐）1．设D＝{(x，y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S， 则函数S＝f(t)的图象的大致形状为 ( )解析： 如图平面区域 D 为阴影部分， 当 t＝－1 时，S＝0，排除 D；当 t＝－ 1 1 时，S& Smax，排除 A、B. 2 4答案：C2．(2012? 深圳模拟)已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图 所示，对于满足0&x1&x2&1的任 意x1、x2，给出下列结论： ①f(x2)－f(x1)&x2－x1；②x2f(x1)&x1f(x2)；f?x1?＋f?x2? ?x1＋x2? ? ③ &f? ? 2 ?. 2 ? ?其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)f?x2?－f?x1? 解析：①错误，①即为 &1，在(0,1)上不恒成 x2－x1 f?x1? f?x2? 立；由题图知，0&x1&x2&1 时， & ，②正确；图 x1 x2 象是上凸的，③正确．答案：②③[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质函数 特征 性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x1 2y＝x－1图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}函数 特征 y＝x 性质值域 奇偶性 单调性 公共点y＝x2y＝ x3y＝x 21y＝x－1R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇 (－∞，0)和 (0，＋∞)减奇偶奇 非奇非偶增(－∞，0]减 增 (0，＋∞)增 增 (1,1)二、二次函数 1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式 ax2＋bx＋c(a≠0) ； (1)一般式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) ； (2)顶点式：f(x)＝ (3)零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ．超链接3．二次函数的图象和性质 [动漫演示更形象，见配套课件] a&0 a&0图象图象b ①对称轴：x＝－ ； 2a 特点2 ? b 4ac－b ? ? ②顶点：?－ ， ? 2a 4a ? ? ?a&0 定义域?4ac－b2 ? y∈? ， 4a ?a&0 x∈R? 4ac－b2? ? ? y∈?－∞， 4a ? ? ?值域＋∞性 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数 质 b? ? b? － ? 时递 x∈ ?－∞，－ ? 时递 x∈－∞， 2a? 2a? ? 单调性 ? ? b ? ? b ?－ ，＋∞? 减，x∈ ?－2a，＋∞? 增，x∈ ? 2a ? ? ?时递增时递减[小题能否全取] 1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是 ( )A．f(x)＝x2－1C．f(x)＝－x2B．f(x)＝5x2D．f(x)＝x2解析：形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数． 答案：D2． (教材习题改编)设? ? 1 ? ? ?－1，1， ，3?， α∈ 则使函数 2 ? ? ? ?y＝xα )的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为(A．1,3 C．－1,3－1B．－1,1 D．－1,1,31 解析：在函数 y＝x ，y＝x，y＝x ，y＝x3 中，只有函 2 数 y＝x 和 y＝x3 的定义域是 R，且是奇函数，故 α＝ 1,3.答案：A3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是? 1? A.?0，20? ? ? ?1 ? C.?20，＋∞? ? ? ? 1? B.?－∞，－20? ? ? ? ? 1 D.?－20，0? ? ?()?a&0， ? 解析：由题意知? ?Δ&0， ??a&0， ? 即? ?1－20a&0 ?1 得 a& . 20答案：C? 4． (教材习题改编)已知点 M? ? ?? 3 ? ，3?在幂函数 f(x)的图象上， 3 ?则 f(x)的表达式为________． 解析：设幂函数的解析式为 y＝x ，则 ＝－2.故 y＝x 2.答案：y＝x－2－α? 3＝? ? ?3 ?α ? ? ，得 α 3?5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．? a＋2 ?－ ＝1， 2 解析：由题意知? ?a＋b＝2， ??a＝－4， ? 得? ?b＝6. ?则 f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.答案：51.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定 是原点．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题?a&0， ? 2 (1)ax ＋bx＋c&0，a≠0恒成立的充要条件是? 2 ?b －4ac&0. ?(2)ax2?a&0， ? ＋bx＋c&0，a≠0恒成立的充要条件是? 2 ?b －4ac&0. ?[注意] 当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0 两种情况．[例1]已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________.[自主解答]∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0， ＋∞)上是减函数； 当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞) 上是增函数． ∴m＝－1.[答案] －11．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较 复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α&0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α&0时，图象不过原点，在第一象限的 图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α&1时，曲线下凸；0&α&1时，曲线上凸；α&0时，曲线下凸． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应 正确的是 ( )A．①y＝x ，②y＝x2，③y＝x ，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x ，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x ，④y＝x－ 1 D．①y＝x ，②y＝x ，③y＝x2，④y＝x－11 3 1 2 1 2 1 21 31 2解析：由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义 域为R，当x&0时，图象是向下凸的，结合选项知选B. [答案] B(2)(2013? 淄博模拟)若a&0，则下列不等式成立的是(?1? A．2a&?2?a&(0.2)a ? ? ?1? C.?2?a&(0.2)a&2a ? ?a ?1?a B．(0.2) & &2a)? ? ?2?a ?1?a D．2a&(0.2) &? ? ?2?解析：若 a&0，则幂函数 y＝xa 在(0，＋∞)上是减函数，a ?1?a a ?1?a 所以(0.2) & &0.所以(0.2) & &2a.? ? ?2?? ? ?2?[答案]B[例2]已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f(x)解析式； (2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式．[自主解答](1)由于 f(x)有两个零点 0 和－2，所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)， 这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a， 由于 f(x)有最小值－1，?a&0， ? 所以必有? ?－a＝－1， ?解得 a＝1.因此 f(x)的解析式是 f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.(2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原 点对称的点 P′(－x，－y)必在 f(x)图象上， 所以－y＝(－x)2＋2(－x)， 即－y＝x2－2x， y＝－x2＋2x， 故 g(x)＝－x2＋2x.求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解 析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数 的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的 基本方法．2．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x， 当x&2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式； (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图； (3)写出函数f(x)的值域．解： (1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y＝a(x －3)2＋4，将(2,2)代入可得 a＝－2， 则 y＝－2(x－3)2＋4， 即 x&2 时，f(x)＝－2x2＋12x－14. 当 x&－2 时，即－x&2. 又 f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14， 即 f(x)＝－2x2－12x－14. 所以函数 f(x)在(－∞，－2)上的解析式为 f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质[例3] 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6] 上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15， 故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a， 所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a＝1时，f(|x|)的单调区间．解：当 a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3， 则 f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为 x∈[－6,6]， 且?x2＋2x＋3，x∈?0，6]， ? f(x)＝? 2 ?x －2x＋3，x∈[－6，0]， ?故 f(|x|)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相 互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意 分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．3．(2013? 泰安调研)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．解析：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1， 当 a&1 时，ymax＝a； 当 0≤a≤1 时，ymax＝a2－a＋1； 当 a＜0 时，ymax＝1－a.?a＞1， ? 根据已知条件? ?a＝2 ? ?0≤a≤1， ? 或? 2 ?a －a＋1＝2 ? ?a＜0， ? 或? ?1－a＝2， ?解得 a＝2 或 a＝－1.答案：2或－1[例4] －1.(2012?衡水月考)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x(1)若存在x∈R使f(x)&b?g(x)，求实数b的取值范围； (2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2 ，且|F(x)|在[0,1] 上单调递增，求实数m的取值范围．[自主解答](1)存在 x∈R，f(x)&bg(x)?存在 x∈R，x2－bx＋b&0?(－b)2－4b&0?b&0 或 b&4. 故 b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4. 2 5 2 5 ①当 Δ≤0，即－ ≤m≤ 时， 5 5 ?m ? 2 ≤0， 则必需? ?－2 5≤m≤2 5 5 5 ? 2 5 ?－ ≤m≤0. 52 5 2 5 ②当 Δ&0， m&－ 即 或 m& 时， 设方程 F(x)＝0 的根 5 5 为 x1，x2(x1&x2)． m 若 ≥1，则 x1≤0， 2?m≥1， ? 即? 2 ?m≥2； ?F?0?＝1－m2≤0 ?m 若 ≤0，则 x2≤0， 2?m≤0， ? 2 5 2 即? ?－1≤m≤－ . 5 ?F?0?＝1－m2≥0 ?综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因 此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图 象是探求解题思路的有效方法．4．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)&2x＋m恒成立， 求实数m的取值范围．解：(1)由 f(0)＝1，得 c＝1.即 f(x)＝ax2＋bx＋1. 又 f(x＋1)－f(x)＝2x， 则 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即 2ax＋a＋b＝2x，?2a＝2， ? 所以? ?a＋b＝0， ? ?a＝1， ? 解得? ?b＝－1. ?因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)&2x＋m 等价于 x2－x＋1&2x＋m，即 x2－3x＋1－ m&0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数 g(x) ＝x2－3x＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于 0 即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1， 由－m－1&0 得，m&－1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(－∞，－1)．[典例]设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，则函数的最小值g(a)＝________.[解析]∵函数 y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线 x＝1， x＝1 不一定在区间[－2， 而 a]内， 应进行讨论． 当－2&a&1 时，函数在[－2，a]上单调递减，则当 x ＝a 时，ymin＝a2－2a；当 a≥1 时，函数在[－2,1]上单调递 减，在[1，a]上单调递增，则当 x＝1 时，ymin＝－1.?a2－2a，－2&a&1， ? 综上，g(a)＝? ?－1，a≥1. ?[答案]?a2－2a，－2&a&1， ? ? ?－1，a≥1 ?[题后悟道]1.求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定(见本节例3)、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是确定对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区 间的关系进行分类讨论．2．解答本题利用了分类讨论思想，由于区间未确定，不能判定其对称轴x＝1是否在[－2，a]内，从而要分类讨论，分类讨论应遵循： (1)不重不漏； (2)标准要统一，层次要分明； (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原 则地讨论．?针对训练已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b&1)在区间 [2,3]上有最大值4，最小值1，则a＝________，b＝________.解析：g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a， 当 a&0 时，g(x)在[2,3]上为增函数，?g?3＝4， ? ? 故? ?g?2＝1 ? ? ?4a＋1＋b－a＝4， ? ?? ?a＋1＋b－a＝1 ? ?a＝1， ? ?? ?b＝0. ?当 a&0 时，g(x)在[2,3]上为减函数，?g?3＝1， ? ? 故? ?g?2＝4 ? ? ?4a＋1＋b－a＝1， ? ?? ?a＋1＋b－a＝4 ? ?a＝－1， ? ?? ?b＝3. ?∵b&1，∴a＝1，b＝0.答案：1 0教师备选题（给有能力的学生加餐） 1．比较下列各组中数值的大小．(1)3 3 ；2 50.8, 0.7(2)0.213,0.233；2 ?5 3 5(3) 4.1 ，3.8 ，(－1.4) ；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y＝3x是增函数，故30.8&30.7. (2)y＝x3是增函数，故0.213&0.233.(3)4.1 &1,0&3.8 &1， 而(－1.4)2 5 ? 2 5 3 5&0， 4.1 &3.8 &(－1.4) . 故2 5?2 53 5(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y＝0.2x是减 函数，故0.20.5&0.20.3；y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3&0.40.3.则0.20.5&0.40.3.2．设abc&0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是 ( )b 解析：当－ &0 时，ab&0，从而 c&0，可排除 A，C； 2a b 当－ &0 时，ab&0，从而 c&0，可排除 B，选 D. 2a 答案：D3．已知函数f(x)＝ax2－2x＋1. (1)试讨论函数f(x)的单调性；1 (2)若 ≤a≤1，且 f(x)在[1,3]上的最大值为 M(a)，最 3 小值为 N(a)， g(a)＝M(a)－N(a)， g(a)的表达式； 令 求1 (3)在(2)的条件下，求证：g(a)≥ . 2解：(1)当 a＝0 时，函数 f(x)＝－2x＋1 在(－∞，＋∞)上为减 函数； 1 当 a&0 时， 抛物线 f(x)＝ax －2x＋1 开口向上， 对称轴为 x＝a，2故函数? ?1 ? 1? f(x)在?－∞，a?上为减函数，在?a，＋∞?上为增函数； ? ? ? ?21 当 a&0 时， 抛物线 f(x)＝ax －2x＋1 开口向下， 对称轴为 x＝a， 故函数? ?1 ? 1? f(x)在?－∞，a?上为增函数，在?a，＋∞?上为减函数． ? ? ? ?? 1 ?2 1 (2)∵f(x)＝a?x－a? ＋1－a， ? ? ?1? 1 1 1 ? ?＝1－ . 由 ≤a≤1 得 1≤ ≤3，∴N(a)＝f a a a 3 ? ?1 1 当 1≤a&2，即 &a≤1 时，M(a)＝f(3)＝9a－5， 2 1 故 g(a)＝9a＋ －6； a 1 1 1 当 2≤a≤3，即 ≤a≤ 时，M(a)＝f(1)＝a－1， 3 2 1 故 g(a)＝a＋a－2.?1 1? ? 1 ?a＋a－2，a∈?3，2?， ? ? ∴g(a)＝? ? ? ?9a＋1－6，a∈?1，1?. a ? ?2 ??1 1? 1 ? ， ?时，g′(a)＝1－ 2&0， (3)证明：当 a∈ 3 2 a ? ? ?1 1? ∴函数 g(a)在?3，2?上为减函数； ? ? ?1 ? 1 ? ，1?时，g′(a)＝9－ 2&0， 当 a∈ 2 a ? ? ?1 ? ∴函数 g(a)在?2，1?上为增函数， ? ? ?1? 1 1 ∴当 a＝ 时，g(a)取最小值，g(a)min＝g?2?＝ . 2 ? ? 21 故 g(a)≥ . 2[知识能否忆起]一、根式1．根式的概念 根式的概念 如果 xn＝a ，那么x叫做 a的n次方根 符号表示 备注 n＞1且 n∈N*根式的概念符号 表示备注当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是 一个负数 ， 负数的 n 次方根是一个n零的 n 次方根 a 是零当 n 是偶数时，正数的 n 次方根 有 两个 ，这两个数互为相反数n 负数没有偶次 ± a (a&0) 方根2．两个重要公式?a ， n n ? ? a ?a≥0?， ? (1) a ＝? ?|a|＝? -a ?a＜0?， ? ? ? n为奇数， n为偶数；a (注意 a 必须使 n a有意义)． (2)( a) ＝nn二、有理数指数幂 1．幂的有关概念am (a&0， n∈N*， n&1)； (1)正分数指数幂： ＝ a m， 且(2)负分数指数幂：a n∈N ，且 n&1)；*? m nm nn＝1 am n＝1 n am(a&0，m，(3)0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义．2．有理数指数幂的性质 (1)aras＝ ar＋s (a&0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars (a&0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a&0，b&0，r∈Q)．超链接三、指数函数的图象和性质 [动漫演示更形象，见配套课件] 函数 y＝ax(a&0，且a≠1) 0&a&1 a&1图象图象 在x轴 上方 ，过定点 特征(0,1)函数 定义域 值域 性 单调性y＝ax(a&0，且a≠1) R(0，＋∞)减函数 增函数质函数 值变当x＝0时，y＝1当x&0时， y&1； 当x&0时， 0&y&1 ；0&y&1 化规律 当x&0时，当x&0时， y&1[小题能否全取]1．(教材习题改编)化简[(－2) ] －(－1)0 的结果为(1 6 2)A．－9 C．－101B．7 D．9解析：原式＝(26) 2 －1＝7.答案：B2．(教材习题改编)函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是()A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)解析：∵1－2x≥0，∴2x≤1，∴x≤0.答案：A3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是A．(1,5) B．(1,4)()C．(0,4)D．(4,0)解析：当x＝1时，f(x)＝5. 答案：A4．若函数y＝(a2－3a＋3)?ax是指数函数，则实数a的值为________．解析：∵a2－3a＋3＝1，∴a＝2或a＝1(舍)． 答案：2 5．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则 实数a的取值范围是________．解析：由题意知 0&a2－1&1，即 1&a2&2， 得－ 2&a&－1 或 1&a& 2.答案：(－ 2，－1)∪(1， 2)1.分数指数幂与根式的关系：分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数 指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简 化计算过程． 2．指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0&a&1和a&1进行分类讨论．指数式的化简与求值[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)．( a .b ?1 ) .a .b (1) ； 6 . 5 ab? 7? ? 10 ? ? 2 37 － ?2 ?0.5＋0.1 2＋?2 ? 3 －3π0＋ . (2) 48 ? 9? ? 27 ?2 3 ? 1 2 ? 1 2 1 3[自主解答] ＝a1 1 1 ? ? ? 3 2 6(1)原式＝1 1 5 ? ? 2 3 6a b ? b a a b1 6 5 6?1 31 2?1 21 3? b1 ＝ . a?25 ? 1 ?64 ? ? 2 1 37 5 9 ? ?2＋ ? ? 3 －3＋ ＝ ＋100＋ (2)原式＝ ＋ 9? 0.12 ?27? 48 3 16 ?37 －3＋ ＝100. 48指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的 化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形 式力求统一．1．计算：(1)(0.027)? 1 3? 1?－ ? 7? 1 －?－ ? 2＋?2 ? 2 －( ? 7? ? 9?2－1)0；?1 ? ? 1 ( (2)? ? 2 ? ?4 ?4ab ?1 )31 ?3 2.0.1?2 ( a 3 b )? 27 ? ? 1 ?1?－ ?25? 1 解：(1)原式＝?1 000? 3 －(－1)－2?7? 2＋? 9 ? 2 －1 ? ? ? ? ? ?10 5 ＝ －49＋ －1＝－45. 3 34 .4 (2)原式＝ ? ? ? ? a a b b 1001 2 3 23 2?3 23 2?3 24 0 0 4 ＝ a?＝ . b 25 25[例2](2012?四川高考)函数y＝ax－a(a&0，且a≠1) ( )的图象可能是[自主解答]法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C. 法二：当a&1时，y＝ax －a是由y＝ax 向下平移a个单 位，且过(1,0)，排除选项A、B； 当0&a&1时，y＝ax －a是由y＝ax 向下平移a个单位， 因为0&a&1，故排除选项D. [答案] C1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往 利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到 其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．2．(1)(2012? 北京模拟)在同一坐标系中，函数 y＝2 与 的图象之间的关系是 (x?1? y＝?2?x ? ?)A．关于y轴对称C．关于原点对称B．关于x轴对称D．关于直线y＝x对称(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．?1? － 解析：(1)∵y＝?2?x＝2 x，∴它与函数 ? ?y＝2x 的图象关于 y轴对称．(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只 有一个解． 答案：(1)A (2)1指数函数的性质及应用[例3]?2? － 已知函数 f(x)＝?3?|x| a.则函数 f(x)的单调 ? ?递增区间为________，单调递减区间为________．[自主解答]令 t＝|x|－a，则?2? f(x)＝?3?t， ? ?不论 a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋ ∞)上单调递增， 又?2? y＝?3?t 是单调递减的， ? ?因此 f(x)的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)．[答案] (－∞，0][0，＋∞)9 在本例条件下， f(x)的最大值等于 ， a＝______. 若 则 4 9 9 ?2?－2 解析：由于 f(x)的最大值是 ，且 ＝?3? ， 4 4 ? ?所以 g(x)＝|x|－a 应该有最小值－2， 从而 a＝2.答案：2求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要 明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问 题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终 将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．3．(1)(2012?福州质检)已知a＝20.2